Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y
TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO
Geometría y Trigonometría
1 Ing. Edison Villacrés
Cuaderno de Trabajo
Nombre: _________________________
El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno
el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se
llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante
mundo de las matemáticas.
2013

Primer Parcial
Secuencia 1 Actividad I
Prueba de Diagnóstico
Nombre: ______________________________ Grupo: ___________
Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas.
1. Según tu propia percepción, escribe la definición de Geometría:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. ¿qué es un punto?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. La recta, es una línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección, cuando los puntos no siguen
una misma dirección la línea puede ser: curva, quebrada o mixta, según tu percepción, clasifica las
siguientes líneas:
_______________
_______________
_______________
_______________
4. ¿Qué entiendes por superficie?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son
perpendiculares, ¿en qué nos basamos para afirmar esta aseveración?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. Escribe el significado de hipótesis:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
7. ¿Cuáles son las rectas paralelas?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
8. El teorema de Pitágoras de Sarrios enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un
triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
9. ¿Qué es un segmento?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
10. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú
que influye el ángulo en el que el competidor lanza el objeto?

____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________

Puntos y Rectas
Puntos
Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas.
Rectas
Una recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra
minúscula. Dos puntos determinan una recta.
Dos rectas que se cortan determinan un punto.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha
o de derecha izquierda.
Semirrectas

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.
Planos
Un plano posee dosdimensiones: longitudyanchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β
(beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta.
Un plano viene determinado por:
Tres puntos no alineados.
Dos Rectas que se Cortan.
DosRectasParalelas.
Por unPunto y unaRecta.
Semiplanos

Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.
Posiciones Relativas de Rectas en un Plano
Rectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.
Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección.
Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen.
Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.
Segmentos
Definición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.
Tipos de Segmentos
Segmento Nulo.- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos Concatenados.- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en común.

Segmentos Consecutivos.- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en
común pertenecen a la misma recta.
Mediatriz de un Segmento.- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del
segmento y es perpendicular a él.
Operaciones con Segmentos
Suma de Segmentos.- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del
primer segmento y como final el final del segundo segmento
La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.
Resta de Segmentos.- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del
segmento menor y por final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos.
Producto de un Número por un Segmento.- El producto de un número con un segmento es otro
segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica
La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial.
División de un Segmento por un Número.- La división de un segmento por un número es otro segmento
tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original
La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.
División de un Segmento en Partes.- Dividirel segmentoAB en 3 partes iguales.
1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir
de A.

Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con
la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3
partes iguales en que se divide.

Secuencia 1 Actividad II
1. Observen la figura y respondan lo que se les pide:
a. Determina tres segmentos_______________________________
b. Determina cinco puntos _________________________________
c. Determina una figura plana_______________________________
d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________
e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________
f. Determina un ángulo ___________________________________.
2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda.
a. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales,
los resultados son iguales.
b. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una
recta y solo una.
c. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valen
un ángulo recto.
d. Llámese así a toda proposición que puede ser demostrada
mediante un conjunto de razonamientos que conducen a la
evidencia de la verdad.
e. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, solo
posición.
f. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección le
llamamos.
g. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y que
tiene dos dimensiones (largo y ancho).
h. Fin y término del procedimiento deductivo, que establece
absolutamente convincente una verdad.
i. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dos
puntos señalados en una recta.
j. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando al
prolongarse no tienen ningún punto en común?
k. Son dos rectas que se intersecan en un punto formando un
ángulo de 90°.
l. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par de
ángulos más grandes que otro par.
m. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajo
hacia arriba.
n. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte al
atardecer.
o. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas que
significan "medir la Tierra".
( ) Geometría
( ) Axioma
( ) Vertical
( ) Corolario
( ) Superficie
( ) Paralelas
( ) Punto
( ) Teorema
( ) Demostración
( ) Perpendiculares
( ) Horizontal
( ) Segmento
( ) Oblicuas
( ) Línea recta
( ) Postulado

3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes:
a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario que:__________________
b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________
c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________
d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________
e. Si fueran perpendiculares¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________
f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________
g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de: _______________________
h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________
i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________
4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata.
A con B _______________
F con C _______________
F con A _______________
E con B _______________
E con D _______________
D con B _______________
A con D _______________
A con E _______________
B con F _______________
D con F _______________
5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso:
a. Dos parejas de segmentos perpendiculares
b. Una pareja de segmentos paralelos
c. Una pareja de segmentos paralelos
d. Una pareja de segmentos perpendiculares

e. Dos parejas de segmentos paralelos
f. Tres puntos
g. Cuatro puntos
6. Tracen lo que se pide en cada caso:
a. Dos rectas paralelas
b. Un punto P
c. Un plano
d. Dos rectas perpendiculares
e. Una semirrecta
f. Un segmento AB
g. Una recta m
h. Un segmento RS de 3 cm
i. Un sólido geométrico

j. Una recta horizontal
k. Es una parte del plano limitada por una recta
l. Es la porción de recta limitada por dos puntos
m. Es la recta perpendicular al horizonte
7. Resuelvan los problemas siguientes:
a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentos
b. Tracen un plano y en él tres puntos no colineales
c. Representen la intersección de dos planos
d. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan
8. Completen cada enunciado
a. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90°
b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto
9. Realicen lo que se pide en cada caso:
a. Dibujen algo que esté formado por planos.
b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas.
c. Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.

10.Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son
perpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración?
11.Escribe el significado de hipótesis
12.¿Cuáles son las rectas paralelas?
13.El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un
triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:
14.¿Qué es un segmento?
15.En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú
que influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?

Ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se
las llama lados y al origen común vértice.
Medición de ángulos
Para medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°)
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Radián.- Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide
con la longitud de su radio.
Operaciones con ángulos
Suma de Ángulos
a. Gráfica
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de
los dos ángulos iniciales.
b. Numérica
1. Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los
minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
+

2. Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los
segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
60
3. Se hace lo mismo para los minutos.
60
Resta de Ángulos
a. Gráfica
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud
del ángulo mayor y la del ángulo menor.
b. Numérica
1. Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los
minutos y los segundos debajo de los segundos.
-
2. Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en
60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
-
3. Hacemos lo mismo con los minutos.
-
Multiplicación de Ángulos
a. Gráfica
La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos
iguales al dado como indique el número.

b. Numérica
1. Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.
*
2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y
el cociente se añadirán a los minutos.
60
3. Se hace lo mismo para los minutos.
60
División de ángulos
a. Gráfica
La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da
como resultado el ángulo original.
/4 =
b. Numérica
Dividir 37º 48' 25'' entre 5
1. Se dividen los grados entre el número.
5
2. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
5
3. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

5
4. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
5
Tipos de ángulos
Clasificación de ángulos según su medida
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º
Mayor de 360°
Tipos de Ángulos Según su Posición
a. Ángulos Consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
b. Ángulos Adyacentes
Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno
en prolongación del otro.
Forman un Ángulo Llano.
a. Ángulos Opuestos por el Vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.Los
ángulos 1 y 3 son iguales.Los ángulos 2 y 4 son iguales.
Clases de Ángulos según su Suma
a. Ángulos Complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
b. Ángulos Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversal
a. Ángulos Correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.
b. Ángulos Alternos Internos
c. Ángulos Alternos Externos
Ángulos en la Circunferencia
a. Ángulo Central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
b. Ángulo Inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
c. Ángulo Semiinscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
d. Ángulo Interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.Mide la mitad de la suma de
las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
e. Ángulo Exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o
uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la
circunferencia.

f. Ángulos de un polígono regular
g. Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono:Ángulo central =
360°: nÁngulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º
h. Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior del
pentágono regular = 180° − 72º = 108º
i. Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.Los ángulos exteriores e interiores
son suplementarios, es decir, que suman 180º.
j. Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
Bisectriz
Definición de bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.
Trazar la bisectriz
1. Se traza un arco correspondiente al ángulo
2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que
han de cortarse en un punto.
3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.
Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo
1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.
2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias
con el mismo radio.
3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la
bisectriz.

Incentro
El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Secuencia 1 Actividad III
1. Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas:
Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes,
consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos.
2. Contesta brevemente lo que se te pide.
a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos?
b. ¿Qué tipos de ángulos conoces?
c. ¿Qué es un ángulo?
d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?

3. Halla el Conjugado de los siguientes Ángulos
Ángulo Conjugado Gráfica
300º
20º
150º
359º
180º
4. En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”

5. Calcula el valor de los siguientes ángulos.
ÁNGULOS SOLUCIÓN

6. En la siguiente figura obtén los valores de los ángulos b, c, d y e, también
demostrar que
ÁNGULOS SOLUCIÓN
7. Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, según lo que se pide
Grados a Radianes Radianes a Grados

8. Escribe el nombre correspondiente a los ángulos señalados, según su posición de sus lados
9. Identifica los ángulos y completen correctamente lo que sigue:
10. Complete cada enunciado:
a. Ángulo equivalente a dos rectas
b. Si mide , entonces es un Ángulo
c. Si el Angulo es un Ángulo
d. Si es un Ángulo
e. ¿Qué sucede si ?
11. Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura.

a. Nombren tres ángulos rectos
b. Nombren cinco ángulos agudos
c. Nombren cuatro ángulos obtusos
d. Nombren tres ángulos llanos
e. Nombren dos ángulos convexos
12. Resuelvan los problemas siguientes:
a. Si se tiene un ángulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triángulo, ¿qué clase de
ángulos serán los otros dos?
b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeña como lado inicial y a la aguja grande como
lado final, ¿qué ángulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes donde
se formen ángulos rectos.
13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ángulos:

∆ Es rectángulo
Α=

Β=
ϒ=
ϴ=
a
b
c
1

14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen:
a. ¿Cómo son entre sí los ángulos a y α?
b. ¿Cómo son entre sí los ángulos b y β?
c.
d.
e. _______ y _______ ¿Qué puede concluir?
15. Calcule la medida de los ángulos indicados:
α=
β=
ϒ=
=
=
=
=
=
=
=
=
16. Completar correctamente:
a. El Complemento de
b. El Complemento de
c. El Complemento
d. El Suplemento de
e. El Suplemento de
f. El Suplemento de

Polígonos
Definición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.
Elementos de un polígono
Lados.-Son los segmentos que lo limitan.
Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados.
Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos.
Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de unpolígono: La suma de los
ángulos de un polígono = (n − 2) · 180°
Diagonal.- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos
Número de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono:El Número de diagonales
= n · (n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2
5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9

Tipos de polígonos
Según sus lados
Triángulos
Tienen 3 lados
Cuadriláteros
Tienen 4 lados
Pentágonos
Tienen 5 lados
Hexágonos
Tienen 6 lados
Heptágonos
Tienen 7 lados
Octágonos
Tienen 8 lados
Eneágono
Tiene los 9 lados
Decágono
Tiene 10 lados.
Endecágono
Tiene 11 lados
Dodecágono Tridecágono Tetradecágono

Tiene 12 lados Tienen 13 lados Tiene 14 lados.
Pentadecágono
Tiene 15 lados
Hexadecágono
Tiene 16 lados
Heptadecágono
Tiene 17 lados
Octadecágono
Tiene 18 lado
Eneadecágono
Tienen 19 lados
Icoságono
Tiene 20 lados
Según sus ángulos
Convexos
Todos sus ángulos menores que 180°.Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos
Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior.
Elementos de un Polígono Regular
Polígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.
Elementos de un polígono regular
Centro.- Punto interior que equidista de cada vértice
Radio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice.
Apotema.-Distancia del centro al punto medio de un lado.
Ángulos de un polígono regular
Clases de ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n.
Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º
Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior del
pentágono regular= 180° − 72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.Los ángulos exteriores e interiores son
suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior= Ángulo centralÁngulo exterior del pentágono
regular = 72º
Clasificación de Polígonos Regulares
Triángulo Equilátero
Tiene los 3 lados y ángulos
iguales
Cuadrado
Tiene 4 lados y ángulos iguales
Pentágono Regular
Hexágono Regular
Heptágono Regular
Tienen 7 lados y ángulos iguales
Octágono Regular
Tiene 8 lados y ángulos iguales.
Eneágono Regular
Tiene los 9 lados y ángulos
iguales
Decágono regular
Endecágono Regular
Dodecágono regular Tridecágono Regular Tetradecágono Regular

Tiene 12 lados y ángulos iguales. Tienen 13 lados y ángulos iguales Tiene 14 lados y ángulos iguales.
Pentadecágono Regular
Hexadecágono Regular
Heptadecágono Regular
Octadecágono Regular
Eneadecágono Regular
Tienen 19 lados y ángulos iguales
Icoságono Regular
Polígono Inscrito
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.
Circunferencia Circunscrita
Es la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio
del polígono.
Circunferencia Inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio
es laapotemadel polígono.
Tipos de triángulos
Un triángulo es un polígono con tres lados.
Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Según sus Lados
Tres lados iguales
Triángulo Isósceles
Dos lados iguales
Triángulo Escaleno
Tres lados desiguales
Según sus Ángulos
Triángulo Acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo Rectángulo
Un ángulo recto. El lado mayor es
la hipotenusa. Los lados menores
son los catetos
Triángulo Obtusángulo
Un ángulo obtuso.
Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un Triángulo
Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su
prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un Triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice
mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG= 2GA
Mediatrices de un Triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un Triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro

Es el punto de corte de las tres bisectrices.Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Clasificación de Cuadriláteros
Paralelogramos
Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4
ángulos rectos
Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los
4 ángulos rectos
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos
Trapecios
Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio Rectángulo
Tiene un ángulo recto
Trapecio Isósceles
Tiene dos lados no paralelos
iguales
Trapecio Escaleno
No tiene ningún lado igual ni
ángulo recto
Trapezoides
Cuadriláteros que no tiene ningún
lado igual ni paralelo

Circunferencia
Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto
fijo llamado centro.
Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la
misma.
Elementos de la circunferencia
Cuerda
Segmento que uneñ. dos puntos
de la circunferencia
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro
Arco
Cada una de las partes en que una
cuerda divide a la circunferencia.
Se suele asociar a cada cuerda el
menor arco que delimita
Semicircunferencia
Cada uno de los arcos iguales que
abarca un diámetro.
Círculo
Es la figura plana comprendida en
el interior de una circunferencia
Elementos de un círculo
Segmento circular
Porción de círculo limitada por
una cuerda y el arco
Semicírculo
Porción del círculo limitada por un
diámetro y el arco correspondiente.
Zona circular
dos cuerdas.

correspondiente Equivale a la mitad del círculo.
Sector circular
dos radios
Corona circular
Porción de círculo limitada por dos
círculos concéntricos.
Trapecio circular
dos radios y una corona
circular.
Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
Interior
Su distancia al centro es
menor que el radio.
Punto sobre la circunferencia. Punto exterior a la circunferencia
Su distancia al centro es mayor que el
radio
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Recta Secante
La recta corta a la circunferencia
en dos puntos
Recta Tangente
La recta corta a la circunferencia
en un punto
Recta Exterior
No tiene ningún punto de corte
con la circunferencia
Posiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en común
Exteriores
La distancia entre los centros es
mayor que la suma de las radios.
Interiores
menor que la diferencia de los
Concéntricas
Los centros coinciden.

radios.
Un punto común
Tangentes Exteriores
igual a la suma de los radios.
Tangentes Interiores
igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en común
Secantes
La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.
Ángulos en la Circunferencia
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice
en el centro de la circunferencia y
sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su
ángulo central correspondiente.
Ángulo Inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice
está en la circunferencia y sus
lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que
abarca.
Ángulo Semiinscrito
El vértice de ángulosemiinscrito
está en la circunferencia, un lado
secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que
abarca.
Ángulo Interior Ángulo Exterior
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus
ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o
tangentes a ella:

Su vértice es interior a la
circunferencia y sus lados
secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las
medidas de los arcos que abarcan
sus lados y las prolongaciones de
sus lados.
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que
abarcan sus lados sobre la circunferencia.
Áreas
Longitud de una circunferencia Longitud de un arco de
circunferencia
Área de un círculo
Área de un sector circular Área de una corona circular
Es igual al área del círculo mayor
menos el área del círculo menor.
Área de un trapecio circular
Es igual al área del sector
circular mayor menos el área del
sector circular menor.

Área de un segmento circular
Área del segmento circular AB =Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB
Lúnula de Hipócrates
Construcción de una lúnula de Hipócrates
Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.
Con centro en O se traza el arco AB.
Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco.La parte enmarcada por el
color verde se llama lúnula de Hipócrates.

Secuencia 1 Actividad IV
Circunferencia y círculo. Ejercicios
1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado
100 vueltas?
2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es
la longitud máxima en metros del arco correspondiente?1 milla = 1 852 m
3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la
longitud de la circunferencia.
5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm
el radio de la circunferencia.
6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y
OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de
forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos
semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.
9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos
pequeños miden 2 cm.

10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de
circunferencia de centros B y D.
11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga
Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una
cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.
12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°.
Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el
máximo.

13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de
la circunferencia.
14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.
15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un
1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

Triángulos
Definición de triángulo
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Propiedades de los triángulos
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Clasificación de triángulos
Según sus lados
Tres lados Iguales
Triángulo Isósceles
Dos lados iguales.
Triángulo Escaleno
Tres lados desiguales
Según sus Ángulos
Triángulo Acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo Rectángulo
Un ángulo recto. El lado mayor es
la hipotenusa. Los lados menores
son los catetos
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso
Elementos notables de un triángulo
Alturas de un triángulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su
prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas
Ortocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas

Medianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el
vértice opuesto.
Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianas
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice
mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
Mediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por
su punto medio.
Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia
circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos
iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.Recta
de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir,
pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.
Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre
ella.
a hipotenusa
b y c catetos
m proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n proyección del cateto c sobre la hipotenusa
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar
el otro cateto.
Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos
que dividen a ésta.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.
Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro
cateto?
3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los
dos menores.
Determinar si el triángulo es rectángulo.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Diagonal del cuadrado
Diagonal del rectángulo

Aplicaciones del teorema de Pitágoras I
Lado oblicuo del trapecio rectángulo
Altura del trapecio isósceles

Altura del triángulo equilátero
Aplicaciones del teorema de Pitágoras II
Apotema de un polígonoregular
Apotema del Hexágono Inscrito

Aplicaciones del teorema de Pitágoras III
Lado de un triángulo equilátero inscrito

Lado de un Cuadrado Inscrito
Secuencia 1 Actividad V
Aplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m.
Calcular:
a. Los catetos.
b. La altura relativa a la hipotenusa.
c. El área del triángulo.
2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la
hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo cm.

3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la
pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de
lado. ¿Serán iguales sus áreas?
5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro
círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
8. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente.
Calcular los lados no paralelos y el área.
9. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra.
Hallar el área de la corona circular así formada.
10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente.
Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento
circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco
correspondiente.
13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la
circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
14. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a
un cuadrado de 8 m de diagonal.

15. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo
equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular
el área del trapecio.
16. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo
perímetro.
17. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia
el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

Trigonometría
Medida de ángulos.- Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las
semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en
caso contrario.Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1. Grado sexagesimal (°).- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central
correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.Un grado tiene 60
minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2. Radián (rad).- Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Ejemplos
Razones Trigonométricas
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por .
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por .

Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por .
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por .
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por .
Razones Trigonométricas de Cualquier Ángulo
Se llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la
unidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se
numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.

Signo de las Razones Trigonométricas
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 0
Razones Trigonométricas de
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º
Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del
mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno.
Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:
Seno, coseno y tangente de y
= = = =
Seno, coseno y tangente de

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 0
Identidades Trigonométricas Fundamentales
Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo
.

Identidades Trigonométricas
Ángulos Complementarios.- Son aquéllos cuya suma es radianes.
Ángulos suplementarios.- Son aquéllos cuya suma es .

Ángulos que se diferencian en .- Son aquéllos cuya resta es radianes.
Ángulos Opuestos
Son aquéllos cuya suma es radianes.

Ángulos Negativos.- El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
Mayores de .- Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.
Razones Trigonométricas de otros Ángulos.- Ángulos que difieren en

Ángulos que suman
Ángulos que difieren en

Secuencia 2 Actividad 1
Trigonometría
1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
a.
b. .
c. .
2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:
a.
b.
c.

3. Sabiendo que , y que . Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
4. Sabiendo que , y que Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
5. Sabiendo que , calcular las restantes razones trigonométricas.
6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:
a.
b.
c.
d.

7. Comprobar las identidades:
a.
b.
c.
d.
e.

8. Demostrar las siguientes identidades:
a)
b)
c)
d)
e)

f)
g)
h)
i)
j)

k)
l)
m)
n)
o)

p)
q)
r)
s)
t) –

u)
v)
w) –
x)

Resolución de Triángulos Rectángulos
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un
lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver el triángulo conociendo:
2. Se conocen los dos catetos

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen Resolver el triángulo
10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen . Resolver el triángulo.
13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol
en ese momento.

14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.
¿A qué distancia del pueblo se halla?
15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente
uno de 70°
16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman
entre ellos un ángulo de 70°.
17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo
de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y
circunscrita.

Ejercicios de Trigonometría
19. Sabiendo que , calcular las restantes razones trigonométricas.
20. Calcula las razones de los siguientes ángulos:
a.
b.
21. Simplificar las fracciones:
a.
b.

c.
22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49
centímetros de radio.
23. Tres pueblos están unidos por carreteras. La distancia de y la de . El
ángulo que forman estas carreteras es . ¿Cuánto distan ?
24. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se
aleja se observa bajo un ángulo de . Calcula la altura del acantilado. Solución
.

25. Resuelve el triángulo conociendo y el cateto b = 25 cm. Solución: , la hipotenusa
y el otro cateto
26. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual
es de 120º. Solución: Los lados iguales miden , y el lado desigual,
27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a de su pie se ve bajo un ángulode . Solución:
28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí
80m, se ve bajo ángulos de , respectivamente. Solución:

29. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de . En uno de ellos, a del cruce, hay una
gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino.
30. Una carretera asciende 3m por cada de recorrido. ¿Qué ángulo forma con lahorizontal? Solución:
31. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su alturamide y que el ángulo
desigual es de .
32. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de de altura. Desde un punto
A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de y el extremo superior c
bajo un ángulo de . Hallar la altura del montículo:

33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de
. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro.
34. Desde F, el punto más alto de un faro situado a sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con
ángulo de depresión igual a . Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F
bajo un ángulo de . Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria es perpendicular
a la , siendo P el pie del
35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente
Halla las medidas de sus ángulos.

36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre
lahipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.
37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B.¿Qué anchura tiene el
río?
38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7
centímetros de radio?

39. Resuelve estos triángulos.
a.
b.
c.
40. El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias
inscrita y circunscrita.

41. Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centímetros.
a) Calcula la longitud de la diagonal menor.
b) Halla el área del paralelogramo.
42. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.
43. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los
radios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de con el suelo?

44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.
45. Halla el volumen de estos cuerpos.

46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la
generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60_ con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita
47. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos
48. Resuelve los triángulos sabiendo que es un ángulo recto.
a)
b)
c)

49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.
50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medida
dela altura sobre este lado?

51. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6
centímetros.Halla la longitud de los lados.
52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetossobre
ella, 4 centímetros.Resuelve el triángulo.
53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de
26¿Cuánto mide el lado del rombo?
54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.

55. Resuelve estos triángulos
56. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso.
a)

b)
c)
d)
57. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?
58. Resuelve los siguientes triángulos.
a)

b)
59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo
60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura

61. Longitudes y áreas de figuras planasLas proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo miden 14,4 y 25,6centímetros. Calcula el área del triángulo.
62. La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de .
Halla su perímetro y su área.
63. El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del
Octógono.
64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetrosy
forman un ángulo de .

65. Halla el área de este paralelogramo.
66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos
67. Calcula el volumen del cilindro

68. Halla el área total y el volumen del ortoedro.
69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida,
¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?
70. Responde a las siguientes preguntas.
a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?

b) ¿Y de un triángulo cualquiera?
c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado.
d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.

71. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu
respuesta.
72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas.
73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar
una diagonal, dos triángulos.
74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?

75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes:
76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos
desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos,
¿cuál es el más conveniente?
79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a
dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos
determinados por las visuales?

80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de
trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas.
81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la
imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia.
Calcula el ángulo a que mide la paralaje.
82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto
pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún
ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo
que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario?
83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de
modo que formen triángulos no solapados.

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