Este documento presenta una introducción al comportamiento elástico y no elástico de las vigas de concreto armado sometidas a flexión simple. Explica las diferentes etapas de la curva carga-desplazamiento de una viga y los conceptos de redistribución de momentos y ductilidad. Además, describe los métodos para calcular los esfuerzos en el acero y el concreto basados en la teoría de la sección transformada para secciones no agrietadas y agrietadas. Finalmente, introduce los conceptos clave para el an

1. Concreto Armado 1 - 117
CAPITULO 9
Flexión Simple
Lecturas:
9.1 Rectangular Concrete Stress Distribution in Ultimate Strenght Design. Mattock, Kriz,
Hognestad. Journal ACI. February 1961.
9.2 Researches Toward a General Flexural Theory for Structural Concrete. Hubert
Rusch. Journal ACI. July 1960.
9.3 Ultimate Strength of Nonrectangular Structural Concrete Members. Mattock, Kriz.
Journal ACI. January 1961.

2. Concreto Armado 1 - 118
9.1 Introducción
Analicemos, a manera de introducción, el comportamiento de la viga doblemente
empotrada mostrada en la figura 9-1. Las cargas estáticas se incrementan desde cero
hasta el colapso o agotamiento de la viga. Se muestra la curva carga – deflexión al
centro de la viga para dos tipos de comportamiento: frágil y dúctil.
Los puntos notables de la curva carga – desplazamiento al centro de la viga si el
comportamiento es dúctil, son:
Punto1 Agrietamiento en los extremos (empotramientos A)
Punto 2 Agrietamiento al centro (zona central B)
Punto 3 Inicio fluencia del acero negativo (empotramientos A)
Punto 4 Inicio fluencia del acero positivo (zona central B)
La distancia entre los puntos 3 y 4 dependerá de las armaduras positivas y negativas
que se hayan colocado. Si los aceros colocados son “exactos” es decir si corresponden
exactamente con el diagrama de momentos elástico, se producirá la fluencia simultanea
de las secciones A y B, es decir los puntos 3 y 4 coincidirán.
Si los aceros colocados difieren de los requeridos por la distribución elástica de los
momentos flectores (mayores o menores a los asociados al diagrama de momentos) se
producirá un corrimiento de los puntos 3 y/o 4. Este corrimiento se denomina
redistribución de momentos y es posible solamente si las secciones tienen capacidad de
rotación inelástica. De manera similar, la amplitud de la zona de comportamiento
inelástico dependerá de la ductilidad disponible.
Bajo cargas de servicio la viga se encontrará probablemente entre los puntos 2 y 3 del
diagrama anterior, es decir es probable que las secciones de máximo momento positivo
y negativo se hayan agrietado, sin embargo la viga, si está bien diseñada, se encuentra
lejos del inicio de la fluencia de las armaduras.
Bajo cargas de servicio sostenidas, las deflexiones aumentan en el tiempo sin un
aumento en la carga externa, los responsables de este fenómeno son la retracción y el
flujo plástico (creep) del concreto.
Fig. 9-1 Viga doblemente empotrada. Geometría y curva carga – desplazamiento al centro.

3. Concreto Armado 1 - 119
9.2 Comportamiento Elástico en Flexión
Presentaremos el comportamiento elástico de secciones de concreto armado
únicamente como una herramienta para el análisis de secciones bajo cargas de
servicio. Con esta herramienta podremos investigar los esfuerzos en el acero de
refuerzo y en el concreto cuando el elemento se encuentra en condiciones de
servicio. No utilizaremos esta metodología para diseñar, el diseño por esfuerzos
admisibles (WSD), tal como se mencionó en las secciones 5.4 y 5.5 ya no se
utiliza.
Existen tres estados posibles bajo condiciones de servicio, estos son:
- Sección no agrietada.
- Sección parcialmente agrietada.
- Sección completamente agrietada.
Estudiaremos solo el primer y tercer estado. El segundo estado si bien es el que más se
presenta en la realidad bajo condiciones de servicio, no lo abordaremos ya que
para su estudio es necesario considerar la resistencia en tracción del concreto,
resistencia que normalmente se desprecia en los cálculos o que es difícil incluir ya
que necesitaríamos conocer las leyes constitutivas para el comportamiento del
concreto en tracción.
9.2.1 Sección Transformada no Agrietada
Permite calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero cuando la sección no se ha
agrietado por flexión. En la figura 9-2 se muestra una sección rectangular con armaduras
en tracción y compresión, así como la sección transformada correspondiente.
Los esfuerzos en el concreto y en el acero vienen dados por las fórmulas clásicas
estudiadas en Resistencia de Materiales para las vigas de dos materiales, estas son:
1)-(9
Itr
M c
Itr
sM y
cf ==
2)-(9
Itr
bM y
ft = 4)-(9
)(
Itr
c-d'n M
sf =′
3)-(9
)(
Itr
d-cn M
fs =
Fig. 9-2 Sección transformada no agrietada.

4. Concreto Armado 1 - 120
9.2.2 Sección Transformada Agrietada
Cuando el esfuerzo de tracción por flexión supera la resistencia del concreto, se supone
que la sección se agrieta completamente. La sección, bajo cargas de servicio, no llega a
agrietarse completamente. El agrietamiento “completo” sucede para momento flectores
cercanos a los que producen la primera fluencia del acero en tracción, sin embargo
asumiremos por simplicidad, tal como se mencionó en 9.2, agrietamiento completo del
concreto desde la parte inferior (para flexión positiva) hasta el eje neutro.
Para ubicar la posición del eje neutro - c – (figura 9-3) es necesario resolver una
ecuación cuadrática. Ubicado el eje neutro se calcula el momento de inercia de la
sección agrietada transformada - Icr - y los esfuerzos en el acero y concreto mediante:
Bajo cargas de servicio el esfuerzo en el concreto no debería exceder de 0.5 f′c
aproximadamente. Por encima de este valor la suposición implícita que el concreto se
comporta linealmente para el cálculo de los esfuerzos utilizando la sección transformada,
ya no es válida. Similarmente, el esfuerzo en el acero de tracción no debería superar el
60% de fy, en caso contrario es probable que se produzca un fuerte agrietamiento por
tracción en la sección, agrietamiento que sería incompatible con los estados límites de
servicio (ver 5.2.2).
Es necesario anotar, que bajo cargas sostenidas, el creep produce un aumento
importante en el esfuerzo del acero de compresión f′s. Para tomar en cuenta este efecto,
diversos autores proponen transformar el acero en compresión mediante una relación
modular modificada equivalente a (2n - 1)A’s con lo cual el esfuerzo en el acero de
compresión se duplica.
9.2.3 Deducción de la Sección Transformada Agrietada
La determinación de los esfuerzos en el concreto y en el acero presentada en 9.2.2 está
basada en el cálculo de las propiedades de la sección transformada agrietada (Icr). Este
5)-(9
Icr
cM
fc = 6)-(9
)(
Icr
cdMn
sf
−
= 7)-(9
)´(
Icr
dcMn
sf
−
=′
Fig. 9-3 Sección transformada agrietada.

5. kdcbdAsn
Ec
Es
=== ρ
Concreto Armado 1 - 121
concepto no debería ser nuevo para el lector ya que se estudia en Resistencia de
Materiales para el caso de vigas hechas de varios materiales.
A continuación se presenta la deducción de las expresiones para el cálculo de los
esfuerzos en una sección agrietada, sin utilizar la sección transformada. Para ello
haremos uso de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y relaciones constitutivas.
a) Secciones Rectangulares sin Acero en Compresión
Con referencia a la figura 9-4, que muestra una sección rectangular de concreto armado
sin acero en compresión, y suponiendo que la sección se encuentra “completamente”
agrietada, tendremos:
(1) Compatibilidad (secciones permanecen planas):
(2) Relaciones Constitutivas: fs = Es εs fc = Ec εc
(3) Equilibrio: 1/2 (fccb) = As fs
(1) y (2) en (3)
Definimos: n = Relación modular ρ = Cuantía de acero en tracción
Se obtiene:
La ecuación 9-8 permite calcular la posición del eje neutro mediante la expresión c =kd y
es completamente análoga al cálculo del centroide de la sección agrietada transformada.
Es aplicable únicamente a vigas rectangulares sin acero en compresión.
Ubicada la profundidad del eje neutro, los esfuerzos en el concreto y en el acero se
pueden calcular utilizando las ecuaciones 9-5 a 9-7 presentadas para la sección
agrietada transformada. Sin embargo, tiene más sentido físico y es más rápido analizar
el equilibrio de la sección, tal como se presenta en la figura 9-5.
cd
s
c
c
−
=
εε
sEsAsbc
cd
csEc ε
ε
=
−2
1
Fig. 9-4 Sección agrietada, deformaciones y esfuerzos
0222
=−+ nnkk ρρ
nnnk ρρρ −+= 2)( 2 (9-8)

6. Concreto Armado 1 - 122
Por conveniencia se define el brazo interno de palanca, es decir la distancia entre la
resultante de las compresiones y la resultante de las tracciones mediante jd.
Otra forma de calcular fc:
Es ilustrativo determinar el rango de variación del brazo interno de palanca jd en una
sección rectangular sin acero en compresión. La tabla a continuación muestra el rango
de variación para dos calidades del concreto y para cuantías de refuerzo bajas y altas.
Es claro que a diferencia de la cuantía del acero en tracción (ρ), la calidad del concreto
no tiene mucha influencia en el valor de j. Un valor adecuado para cálculos rápidos y
cuantías de acero normales es j = 0.9.
b) Secciones Rectangulares con Acero en Compresión
11)-(9
2
)(
2
1)(
2
dkjb
M
fc
Mjdfc b kdMjdCc
=
==
Concreto n (aprox) Cuantía Valor de j
210 9 0.2% 0.942
2.0% 0.851
280 8 0.2% 0.945
2.0% 0.857
Fig. 9-5 Fuerzas internas en la sección agrietada.
( )
jdAs
M
fs
MjdfsAsMcdfsAs
=
==− )
3
(
kdcjd
kd
d ==−
3
(9-9)
cb
fsAs
kdb
fsAs
fc
kdbfcfsAsfsAsCc
kdbfcbcfcCc
22
)(
2
1
)(
2
1
2
1
==
==
==
(9-10)

7. Concreto Armado 1 - 123
La demostración es totalmente análoga a la presentada para secciones sin acero en
compresión y se deja como ejercicio al lector. Con la relación a la figura 9-6, es posible
demostrar que la posición del eje neutro viene dada por la ecuación 9-12.
La expresión 9-12 ignora el área de concreto desplazada por el acero en compresión;
este efecto suele ser despreciable. Tampoco toma en cuenta el posible aumento en el
esfuerzo en el acero en compresión por efecto del creep (2n).
Las ecuaciones 9-8, 9-9, 9-10, 9-11 y 9-12 permiten estimar los esfuerzos en el acero y
en el concreto bajo condiciones de servicio. Estas suponen comportamiento elástico del
concreto bajo cargas de servicio y eran empleadas para el diseño por Esfuerzos
Admisibles (WSD).
9.3 Análisis y Diseño de Secciones en Flexión (Diseño por Resistencia)
El diseño que se emplea hoy en día en las estructuras de concreto armado es el
denominado Diseño por Resistencia, sus siglas en Inglés son: USD, LFRD, SDM cuyos
significados ya se han explicado en el Capítulo 5.
La ecuación básica para el diseño por resistencia es:
Resistencia ≥ Efecto de las Cargas
Ecuación que, para el caso particular de las solicitaciones de flexión simple, se convierte
en:
Cualquiera sea el método de análisis o diseño utilizado, siempre se deberán cumplir los
tres “bloques” fundamentales de condiciones:
- Equilibrio
12)-(9)'(2/1])''(2)'[(
'
22
nn
d
dnk
Ec
Es
nkdc
bd
A's
bd
As
ρρρρρρ
ρρ
+−+++=
====
Fig. 9-6 Sección agrietada con acero en compresión.
- Calculada sobre la base de: f’c, fy,
As, dimensiones.
- Para su determinación se utilizan
las ecuaciones de análisis (SDM).
- Resistencia Requerida
- Efecto de las cargas factorizadas. Su
magnitud proviene del análisis estructural
0.9=≥ φφ MuMn

8. Concreto Armado 1 - 124
- Compatibilidad
- Relaciones Constitutivas (σ - ε)
9.3.1 Relaciones Momento - Curvatura de una Sección
Para las secciones de concreto armado utilizaremos la definición clásica de curvatura.
Esta se estudia en Resistencia de Materiales y se ilustra en la figura 9-7.
Si se ensayara una viga de concreto armado, tal como la que se muestra en la página
126 (MacGregor), con la zona central sometida a flexión pura (cargas concentradas a los
tercios) y siguiéramos el comportamiento de la sección central, el Diagrama Momento –
Curvatura (M - ϕ) tendrá, por lo general, una forma similar a la que se muestra en la
figura 9-8.
Se ha aprovechado la figura 9-8 para ilustrar la definición de la ductilidad de curvatura de
una sección (µ). Esta se define a través del cociente entre la curvatura última (ϕu) y la
curvatura donde se inicia la fluencia del refuerzo (ϕy) y es una medida de la ductilidad de
la sección, es decir de la capacidad de deformarse en el rango inelástico.
Algunas observaciones relativas a la figura 9-8.
Fig. 9-8 Diagrama Momento - Curvatura
Fig. 9-7 Curvatura de una sección.
cdc
sc
−
====
εεε
ϕ
y
Curvatura

9. Concreto Armado 1 - 125
• El Punto A corresponde al agrietamiento de la sección, es decir cuando se excede la
resistencia en tracción del concreto. Los esfuerzos de tracción en el concreto se
transfieren totalmente al acero. De allí en adelante se supone que el concreto en
tracción no aporta nada a la resistencia en flexión de la sección.
La rigidez de la sección hasta el punto A se puede calcular utilizando el momento de
inercia grueso se la sección (Ec Ig).
• El Punto B corresponde a:
Comportamiento bajo cargas de servicio.
Diseño por esfuerzos admisibles.
Variación de los esfuerzos en el concreto aproximadamente lineal. Acero elástico,
por debajo del esfuerzo de fluencia fy.
Grietas de ancho pequeño de aproximadamente 0.1 mm o menos.
Deflexiones pequeñas, generalmente menores de 1/350 de la luz.
• El Punto C corresponde al inicio de la fluencia en el acero de tracción.
• El Punto D corresponde a:
Diseño por resistencia o estado limite.
Grietas anchas.
Deflexiones importantes ≈ 1/60 de la luz.
La rigidez del tramo AC se puede estimar utilizando el momento de inercia de la sección
agrietada transformada (Ec Icr). A partir del punto C la rigidez de la sección se reduce de
manera importante.
El Punto D está asociado con la resistencia última de la sección (Mu) y corresponde al
Diseño por Resistencia. Una viga o sección alcanza su máxima capacidad cuando la
pendiente del diagrama M-ϕ es horizontal (Punto D). La falla ocurre cuando la pendiente
se vuelve negativa, que corresponde a una situación en la cual la estructura se convierte
en inestable ya que las deformaciones aumentan y la carga decrece.
Es interesante anotar que si bien el concreto simple no tiene por si mismo un
comportamiento dúctil, una viga o sección de concreto armado adecuadamente diseñada
y detallada puede exhibir niveles altos de ductilidad. El nivel de ductilidad se puede medir
a través de la ductilidad de curvatura de la sección.
Veremos en el Capítulo 14 que una de las variables más importantes que condiciona la
ductilidad de curvatura disponible en una sección, es la cantidad de armadura de
refuerzo en tracción. Las Normas establecen las máximas armaduras de refuerzo para
los elementos en flexión, con la finalidad de lograr un comportamiento dúctil del
elemento.

10. Concreto Armado 1 - 126