Este documento trata sobre logaritmos y ecuaciones exponenciales. Explica las propiedades básicas de los logaritmos, incluyendo las definiciones, propiedades y cómo resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. También cubre ecuaciones exponenciales, sus propiedades y cómo resolver este tipo de ecuaciones y desigualdades. Al final, presenta algunos ejercicios de práctica relacionados con estos temas.

1. Álgebra
LOGARlTMOS
-ECUACIONEs -e INECUAC10NESL(jGA~íTMICAS - ­
ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES ~ -
1. PROPOSICiÓN
Dados b e m, b> 0, b *1, x e nt, existe un único. y e lIi, tal que bY
-=x.. ' . . ,
.. ",
2. pEFINICION'OE LOG~RITMO
Dados b > O, b,* 1, Y x >0. El logaritmo de x en base b, denotado con 10gb x
es el número y e m. tal que -bY; x. -
- Slín~u~e .IJogbx=y ~ bY =x 1 _
Elémplo t. -' 1092128 =7 '*'>- 27
=128
Observaclon.es.
1. Cuando la base del logaritmo es b = 10, denotaremos logx = 10910·)(
<.Iogllrltmodec!rnal.o _vulgar). _ _
2~ Cuá~dolá baSe d~logarltmo ~sel.número trascendente e= 2,718281...,
denotaremos por lnx =10g.xJlogaritmo riatur~1 o neperlario).
3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Dados a, -x, y e llt~ b> O; b ~ 1, se tiene:
1) 10Qbb =1.
3) 10gb (xy) == 10gb X +10gb y.
2) 10gb 1=O~
4) 109b ( ~)= I09t¡X - 10gb y.
m
6) log n xm = - 10gb x, n ~ O; m, n e lR.
b n
log.x
8) logbx=--, a*1.
1~98b
10) aX
=eX1na
•
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2. 4. ECUACiÓN LOGARrTMtcA
Elempl02.
Solución: 7x + 1 > O / X + 1 > O / X + 1 ;!! 1 / (x.j. 1)2 ='7x + 1
X>-]. / x>-1 / x:;tO / x=5vx=O
7
:::> x =5 es la solución.
5. INECUACIONES LOGARíTMICAS
Ejempio3.
Solución:
Sea b>1, 10gb X < 199bY <=> x>O l.y>O·/ x<y
Sea O< b < 1, ,I09b X < 109b Y ~ x > O 1 Y> O 1 X> Y
Resolver
x>O /
log(X:!+2Ioi X) S log102 <=> (3+2Iogx)logx S 2
1
<=* (210gx -1)(logx + 2) s: O ~ - 2 ~ logx S -. 2
·como la base es 10 resulta
6. ECUACIONES EXPONENCIALES
Proposfclón: Sea.b e m, b > O, b:f:.1, bX
= bY ::) X =Y
Elemplo4.
1 1 4"-2
Resolver - - - - - = -.,..........-
42X
+4 8 24U1
+8
Solución: Sea a= 4",
1 1 a-2
luego a2 +4 - 8' =282 +8
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3. 7. INECUACIONES EXPONENCIAl.ES
SI.·b > 1 . Y bP(lC) > bQ
(",) => P(x) > Q(x).
Si 0< b < 1 y . bP(x) > bQ(X) :::) P(x) < O(x).
Elemplo5. Resolver 21x I-, ~ ¡;r;r.. .
Solución:
, .
C • S 1:: { - 00, - 2] u {2, +00 )
EJERCICIOS DE CLASE .
-1+lo9~ 'X
1. Al resolver la ecuacIón "3 -1, hallar ¡asuma de sus Jo.luclones.
1+1091 x . .
A)· ~
9
B).!!
. 9
3
C) 28
. 9
D) 29
9
E)~
9
2. Hallar el complemento ·del conjunto solucIón de la ecuación
IOQ(X:¡'1)(X
2
- 4)={1 +1~923+ 1+1~932}
A)1R B)Ja-{a} C}IR-{a,4} D) c¡. l:)lR-{5}
3. Hallar la suma de los cuadra~os de los yalores .de .x que verlflcan.la ecuación
log(x+7)81 • . . .
log(X+7}729 =2 + ..
log(s_x)9
A) 35 B)20 G)29 · 0)25 E) 32
4. SI · a .es el menor . valorénter~ que se obtiene al resolver I.a Inecuación .
log~(7X2 +9X+4)< 109/2114,.hai1él!' 1095 l(a+sXa2
:-a+3)J. . .
.A)2 ~ B) 4 C)5 · 0)7 E) 9
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4. 5. Si .(a,b) es el . conjunto solución de la Inecuación
109 x x4
Jb-a+t.x . 3 <-, hallar
27
A)3 8)5 .C)7 0)9. E) 11
6. Al resolver' la ecuación 6lnlC
,;. 9~lnx)='2(3Inx )-18, hallar el producto de sus
soluciones.
E)2
8. SI (-....,b] u (c,d] es el conjunto solución que se obtiene al resolver la
-(
2)X 25( 8)! .. Inecuación - ~ - - x, hallar e + d - b.
. ·5 4 125 ·
A) 4 . B)5 C)6 0)7 E)8
A)[O, 3 ] B) (0,6] eH o. 9.] . D) (0,3) E) (o,e)
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