Problemas de Geometria Elemental

Ejercicios resueltos y comentados.
I.E.S. La Asunción. © Mario Ortega González

Geometría Plana.Geometría Plana. E.S.O.E.S.O.
Esta presentación muestra las
soluciones de los ejercicios que hay
presentar obligatoriamente. Los
ejercicios se han de trazar
correctamente y atendiendo a las
normas; no se borrarán las líneas de
construcción y las soluciones se
pasarán a tinta en negro o color rojo.
Si algún ejercicio os sale mal y hay
que repetirlo se hará en hoja aparte
indicando su número
correspondiente.

Trazado y rotulaciónTrazado y rotulación
Los lápices que se han de usar son de
tres tipos:
A: Duro (3H o 2H) que con la punta
afilada nos hace una línea fina y gris.
Se utiliza para hacer toda la
construcción del dibujo.
B: Medio (HB) lo usamos para
dibujos a mano, croquis, escritura y
para destacar elementos.
C: Blando (2B) hace una línea negra
y gruesa y se usa para aristas,
soluciones, sombras, etc.
Los rotuladores se utilizan para
soluciones y se clasifican por sus
grosores, los básicos son:
A. 0,2mm. para acotaciones,
rayados, ejes …
B. 0,4mm. para representar
aristas ocultas.
C. 0,8mm. para aristas visibles y
soluciones en general.
La presentación básica será:
Líneas de construcción, letras,
números y demás en lápiz 2H.
Soluciones en rotulador negro o
rojo de grosor mínimo 0,5 mm.

Mediatriz de un segmento.Mediatriz de un segmento.
Es el lugar geométrico equidistante a
los extremos de un segmento. Como
consecuencia de esto podemos hacer
tres cosas:
1.Dividir un segmento en dos partes
iguales.
2.Dibujar infinitos arcos que pasen por
los extremos.
3.Trazar ángulos de 90º .
1.1. Trazar la mediatriz del segmento.

Mediatriz de un segmento.Mediatriz de un segmento.
1.1. Trazar la mediatriz del segmento.
Procedimiento:
1. Haciendo centro en los extremos A y B
trazamos dos parejas de arcos que se
crucen, la medida del radio es
indiferente, lo importante es que sean
iguales.
2. Trazamos una recta que pase por los
dos cruces y tenemos la mediatriz.

Perpendicularidad entrePerpendicularidad entre
segmentos.segmentos.Se dice que dos rectas son
perpendiculares cuando el ángulo
que forman entre si es de 90º.
La geometría que utilizaremos es
la de compás y el fundamento del
trazado esta está basado en lo
aprendido en el tema mediatriz de
un segmento.
1.2. Trazar la perpendicular que pasa por el
punto.

segmentos.segmentos.Procedimiento:
1. Haciendo centro en P trazamos
un arco cualquiera y localizamos
dos puntos equidistantes A y B.
2. Dibujamos dos arcos de radios
iguales que se corten, uno con
centro en A y el otro en B.
3. Unimos el cruce de arcos y el
punto P y tenemos la recta
perpendicular.
punto.

segmentos.segmentos.Vamos a pensar que C
está en la mediatriz de un
segmento imaginario, de
esta manera con dos
puntos equidistantes de C
podremos obtener un
tercero equidistante que
unido a C nos dará la
solución.
1.3. Trazar la perpendicular que pasa por C

1.Con un radio cualquiera y con
centro en C, trazamos el arco
que pasa por A y B, que son dos
puntos equidistantes.
2. Ahora se trazan dos arcos
iguales que se crucen, con
centros en A y B.
3.Unimos C con el cruce de arcos
y tenemos la recta.
1.3. Trazar la perpendicular que pasa por C

segmentos.segmentos.La semirecta es una línea
infinita pero de origen
conocido.
Para trazar la perpendicular
vamos a utilizar un
procedimiento basado en la
división de la circunferencia,
en cuyo fundamento se
profundizará más adelante.
extremo de la semirecta.

1.Con centro en O trazamos
un arco cualquiera.
2.Con el mismo radio
utilizado trazamos los tres
arcos con centros en 1,2 y 3.
3.La recta perpendicular
pasa por 4 y O
extremo de la semirecta.

Paralelismo entre segmentos.Paralelismo entre segmentos.
Un recta paralela es el lugar
geométrico de los puntos
equidistantes de otra. Para
dibujarla existen varios métodos
yo he escogido el del semicírculo.
1.5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por
P.

Paralelismo entre segmentos.Paralelismo entre segmentos.
Procedimiento:
1.Hacemos centro en un punto
cualquiera y con radio hasta P
trazamos un semicírculo.
2.Con centro en un extremo y
radio hasta P trazamos un arco,
luego trazamos su contrario y
tendremos P’.
3.Unimos los dos puntos P y P’ y ya
tenemos la solución.
1.5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por
P.

Proporcionalidad. Teorema de Thales.Proporcionalidad. Teorema de Thales.
La proporcionalidad consiste en que
los quebrados formados por los
segmentos a, b y c con sus
respectivas partes de m son iguales
entre si, es decir, a:a’=b:b’=c:c’=x.
Si trazamos una línea desde un
extremo del m con un ángulo
cualquiera y las seccionamos con
rectas paralelas, las divisiones que se
forman son proporcionales.
1.6. Dividir el segmento m en partes
proporcionales a los tres segmentos:

Procedimiento:
1.Con cualquier ángulo trazamos una
línea recta desde el punto 0.
2.Colocamos consecutivamente los
segmentos a, b y c.
3.Unimos el final de c con el extremo de
m y trazamos paralelas desde a y b y ya
tenemos los segmentos proporcionales
a’, b’ y c’.
1.6. Dividir el segmento m en partes
proporcionales a los tres segmentos:

Para dividir un segmento en x
partes iguales aplicaremos el
teorema de Thales.
Utilizaremos segmentos iguales
entre si que nos darán en el
segmento A,B sus proporcionales
que también lo serán.
1.7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.

Procedimiento:
1.Trazamos una recta desde A de ángulo
indiferente.
•Dibujamos consecutivamente siete
unidades iguales.
•El final 7 lo unimos con el extremo B y
trazamos rectas paralelas desde todas las
partes quedando A,B dividido en siete
partes.
•Solo nos queda numerar las partes de 0 a
7.
1.7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.

Ángulos. Igualdad.Ángulos. Igualdad.
Un ángulo es la apertura entre dos
rectas que cortan, se representa con un
arco de circunferencia, se identifica,
por norma, con una letra griega, y se
mide en grados.
Los ángulos se dividen en tres
categorías:
1. Agudos, tienen menos de 90º.
2. Rectos, tienen 90º.
3. Obtusos, con más de 90º.
Para repetir un ángulo basta con
repetir el mismo arco y la misma
cuerda.
2.1. Dibujar un ángulo igual al dado.

Ángulos. Igualdad.Ángulos. Igualdad.
Procedimiento:
1.Dibujamos la cuerda A,B en el arco
dado.
2.Trazamos sobre una línea un arco con el
mismo radio (V,B) y tenemos V’,B’.
3.Repetimos la cuerda (B,A) y localizamos
el punto A’.
4.Con inicio en V’ y pasando por A’
trazamos la línea que completa el ángulo.
2.1. Dibujar un ángulo igual al dado.

Ángulos. Suma.Ángulos. Suma.
Se trata de unir consecutivamente
los dos ángulos de tal manera que
coincidan los vértices.
La clave de las operaciones con
ángulos es operar siempre con el
mismo radio.
2.2. Sumar los ángulos.

Ángulos. Suma.Ángulos. Suma.
Procedimiento:
1.Dibujamos dos arcos de radios iguales
con sus cuerdas en los ángulos dados.
2.Trazamos una semirecta y desde su
origen V’ dibujamos un arco amplio con
el mismo radio que los dos anteriores.
3.Sobre el arco trazamos
consecutivamente las cuerdas D’,C’ y
B’,A’.
4.Hacemos pasar por A’ una semirecta
que sale de V’ y ya tenemos el ángulo
resultante.
2.2. Sumar los ángulos.

Ángulos. Resta.Ángulos. Resta.
Para restar ángulos dibujamos el
ángulo mayor y después colamos el
pequeño encima haciendo coincidir
los vértices y un lado. Lo que
sobresalga del pequeño será la
diferencia.
2.3. Restar los ángulos.

Ángulos. Resta.Ángulos. Resta.
Procedimiento:
1.Con el mismo radio trazamos un arco y
sus cuerdas en cada ángulo dado
2.Dibujamos una semirecta y con centro
en V’ trazamos un arco con el radio
anterior
3.En el arco colocamos la cuerda igual a
A,B y tenemos A’,B’, ahora desde B’ y con
dirección A’ colocamos la cuerda D,C y
tenemos D’,C’.
4.Tenemos como resultado el ángulo
C’,V’,A’.
2.3. Restar los ángulos.

Ángulos. Bisectriz.Ángulos. Bisectriz.
Bisectriz es el lugar geométrico de
todos los puntos equidistantes a los dos
lados de un ángulo. Como consecuencia
de esto la bisectriz es el lugar medio y
con ella podemos dividir un ángulo en
dos partes iguales.
2.4. Hallar la bisectriz del ángulo.

Ángulos. Bisectriz.Ángulos. Bisectriz.
Procedimiento:
1.Como el vértice del ángulo es
parte de la bisectriz, dibujamos un
arco con centro en V y localizamos
A y B que son dos puntos
equidistantes.
2.Ahora con centro en A y B
dibujamos dos arcos de radios
iguales que se corten en C.
3.Por último, naciendo en V y
pasando por C trazamos la
bisectriz.
2.4. Hallar la bisectriz del ángulo.

Ángulos. Bisectriz de dos rectasÁngulos. Bisectriz de dos rectas
concurrentes.concurrentes.
Si seccionamos las dos
rectas concurrentes con
una tercera, se originan
cuatro ángulos; el cruce de
las cuatro bisectrices
tomadas de dos en dos,
localizarán dos puntos de la
bisectriz que buscamos.
2.5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.

Ángulos. Bisectriz de dos rectasÁngulos. Bisectriz de dos rectas
concurrentes.concurrentes.
Procedimiento:
1.Trazamos una línea que corte a
s y t y tenemos dos parejas de
ángulos con vértice en A y A’
respectivamente.
2.Las bisectrices de los cuatro
ángulos se cortan dan dos puntos
B y C.
3.Trazamos una recta que pase
por B y por C y ya tenemos la
bisectriz.
2.5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.

Circunferencia. Hallar su centro.Circunferencia. Hallar su centro.
Sabemos que para que un
arco pase por dos puntos su
centro tiene que estar en la
mediatriz.por lo tanto para
que un arco pase por tres
puntos su centro estará en el
cruce de las mediatrices de
las cuerdas que forman los
tres puntos.
3.1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.

Procedimiento:
1.Trazamos dos cuerdas A,B y
A,C.
2.Hallamos sus mediatrices.
3.Con el cruce de las
mediatrices tenemos el centro.
4.Con centro en O y radio hasta
cualquiera de los puntos
trazamos la circunferencia.
3.1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.

Trazamos dos cuerdas y con
sus mediatrices obtenemos el
centro.
3.2. Hallar el centro de la circunferencia.

Procedimiento:
1.Trazamos dos cuerdas A,B y
A,C.
2.Hallamos sus mediatrices.
3.Con el cruce de las
mediatrices tenemos el centro
O.
3.2. Hallar el centro de la circunferencia.

Circunferencia. División en partes igualesCircunferencia. División en partes iguales
Para dividir la
circunferencia en partes
iguales lo vamos a hacer por
un método general de
geometría proyectiva que
relaciona la división del
diámetro en x partes iguales
con dos focos exteriores
que están alejados a su vez
un diámetro de los
extremos.
3.7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.

Circunferencia. División en partes igualesCircunferencia. División en partes iguales
Procedimiento:
1.Usando el teorema de
Thales dividimos el diámetro
en 9 partes.
2.Con centro en los extremos
y con radio el mismo
diámetro, trazamos dos arcos
que nos hallan los dos focos F’
y F’’.
3.Desde los focos trazamos
rectas que pasan por las
partes del diámetro tomadas
de dos en dos y se crean las
divisiones 1, 2 y 3…
3.7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.

Polígonos. Definición y clases.Polígonos. Definición y clases.
•8 Octógono
•9 Eneágono
•10 Decágono
•11 Undecágono
•12 Dodecágono

Triángulos. Definición y clasificación.Triángulos. Definición y clasificación.
Un Triángulo es un polígono formado con tres lados.
Definición:
Los tres lados iguales
Dos lados iguales
Tres lados desiguales
Los tres ángulos agudos
Un ángulo recto
Un ángulo obtuso

Triángulos. Puntos notables.Triángulos. Puntos notables.
Circuncentro.Circuncentro.
Procedimiento:
1.Dibujamos las mediatrices de los
lados y en el cruce está la solución C
2.Trazamos la circunferencia
circunscrita.
4.1. Hallar el circuncentro.
El Circuncentro es el lugar
geométrico equidistante a los
vértices de un triángulo.
Se obtiene con el cruce de las
mediatrices.

Triángulos. Puntos notables. Incentro.Triángulos. Puntos notables. Incentro.
Procedimiento:
1.Dibujamos las bisectrices de
los ángulos y en el cruce está la
solución I.
2.Trazamos la circunferencia
inscrita.
4.2. Hallar el incentro.
El Incentro es el lugar
geométrico equidistante de los
lados de un triángulo.
Se obtiene con las bisectrices
de los ángulos.

Triángulos. Puntos notables. Ortocentro.Triángulos. Puntos notables. Ortocentro.
Procedimiento:
1.Dibujamos las perpendiculares desde
los vértices a sus lados opuestos y el
cruce es el ortocentro.
2.Unimos los puntos de las alturas
situados en los lados y tenemos el
triángulo órtico.
4.3. Hallar el ortocentro y trazar el triángulo órtico.
El Ortocentro es el cruce de las
alturas del triángulo.
El triángulo órtico se obtiene
uniendo los puntos de cruce de las
alturas con los lados.
Las bisectrices del triángulo órtico
coinciden con las alturas.

Triángulos. Puntos notables. Baricentro.Triángulos. Puntos notables. Baricentro.
Procedimiento:
1.Hallamos las mitades de los
lados M, M’ y M’’.
2.Dibujamos las medianas desde
los vértices a las mitades de sus
lados opuestos y el cruce es el
Baricentro.
4.4. Hallar el baricentro.
Las medianas son las líneas que
van de la mitad de un lado al vértice
opuesto y dividen el triángulo en
superficies iguales.
El Baricentro es el cruce de las
medianas y es el centro de equilibrio
del triángulo.

Triángulos. Triángulo escaleno.Triángulos. Triángulo escaleno.
Procedimiento:
1.Dibujamos uno de los
lados como base. Por
ejemplo a.
2.Haciendo centro en los
extremos trazamos dos
arcos uno con radio b y otro
con c , y el cruce tenemos el
tercer vértice.
4.5.1. Dibujar un triángulo escaleno conociendo sus
tres lados: a= 70; b= 60 y c= 45mm.

Triángulos. Triángulo escaleno.Triángulos. Triángulo escaleno.
Procedimiento:
1.El ángulo comprendido
es el que está entre a y b.
2.Dibujamos a como base y
desde un extremo
levantamos el lado del
ángulo de 45º.
3.Con centro en el vértice del
ángulo trazamos un arco de
radio b y ejercicio resuelto.
4.5.2. Dibujar un triángulo escaleno conociendo, dos
lados y el ángulo comprendido:
a=65; b=75mm. y =45º

Triángulos. Triángulo isósceles.Triángulos. Triángulo isósceles.
Procedimiento:
1.El triángulo isósceles tiene un
lado que se repite. Yo voy a
considerar b como base y a como
lado que se repite.
2.Dibujamos la base y haciendo
centro en sus extremos trazamos
dos arcos de radio a que se cruzan
en el vértice que cierra el triángulo.
4.6.1. Dibujar un triángulo isósceles conociendo dos
lados: a= 35 y b= 50mm.

Triángulos. Triángulo isósceles.Triángulos. Triángulo isósceles.
Procedimiento:
1.El triángulo isósceles es simétrico y
su altura coincide con el diámetro de
la circunferencia.
2.Dibujamos la circunferencia y su
diámetro vertical.
3.Colocamos con un arco la altura
desde el extremo superior del
diámetro.
4.Trazamos una perpendicular a la
altura que corte la circunferencia y
tenemos los dos vértices de la base
que faltaban.
4.6.2. Dibujar un triángulo isósceles conociendo, la
altura y el radio de la circunferencia circunscrita:
h= 50 y r= 30mm.

Triángulos. Triángulo rectángulo.Triángulos. Triángulo rectángulo.
Procedimiento:
1.Dibujamos el cateto c como
base y desde un extremo
levantamos un ángulo de 90º.
2.Desde el otro extremo de c
hacemos centro de un arco de
radio la hipotenusa que se
cortará con la perpendicular
anterior y ya tenemos el vértice
que faltaba.
4.7.1. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la
hipotenusa y un cateto: hip= 80 y c=60.

Triángulos. Triángulo rectángulo.Triángulos. Triángulo rectángulo.
Procedimiento:
1.Dibujamos un ángulo de 30º.
En un lado ira un cateto como
base y en el otro la hipotenusa.
2.En el vértice del ángulo hacemos
centro y con un arco colocamos la
hipotenusa.
3.En el otro lado del ángulo
trazamos una perpendicular que
pase por el extremo de la
hipotenusa y a rotular.
4.7.2. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la
hipotenusa y uno de los ángulos:
hip= 75 y = 30º.

Triángulos. Triángulo equilátero.Triángulos. Triángulo equilátero.
Procedimiento:
1.Como en el triángulo
equilátero todos los lados miden
igual, hacemos dos arcos con
radio el propio lado y centro en
los extremos y en el cruce
tendremos el vértice que falta.
4.8.1. Dibujar un triángulo equilátero.

Cuadriláteros. Definición y clases.Cuadriláteros. Definición y clases.

Cuadriláteros. Paralelogramos. Cuadrado.Cuadriláteros. Paralelogramos. Cuadrado.
Procedimiento:
Como la diagonal del
cuadrad es igual al diámetro de
la circunferencia circunscrita.
1.Dibujamos una circunferencia
con radio la semidiagonal.
2.Trazamos dos diámetros
perpendiculares.
3.Por último unimos los cuatro
extremos de los diámetros.
5.1.1. Dibujar un cuadrado conociendo su
diagonal: d= 65mm..

Cuadriláteros. Paralelogramos.Cuadriláteros. Paralelogramos.
Rectángulo.Rectángulo.
Procedimiento:
1.Dibujamos el ángulo de
30º y trazamos una
perpendicular a la base
desde su vértice.
2.Colocamos la diagonal y
desde su extremo superior
trazamos una perpendicular
y una paralela al otro lado.
3.En los cruces tenemos los
vértices del rectángulo.
5.2.1. Dibujar un rectángulo conociendo la
diagonal y uno de los ángulos que determina con
un lado: d= 80mm. y =30º.

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rombo.Cuadriláteros. Paralelogramos. Rombo.
Procedimiento:
1.Como las diagonal son
mediatrices la una de la otra,
dibujamos una de ellas por
ejemplo d’ y hallamos su
mediatriz.
2.Ahora con un arco de radio
la semidiagonal de d’’
localizamos los dos vértices
que faltan para dibujar el
rombo.
5.3.1. Dibujar un rombo conociendo las dos
diagonales: d'= 40 y d"= 55mm..

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.
Procedimiento:
1.Dibujamos la base b, tramos
una perpendicular desde un
extremo y medimos la altura h.
2.A esa altura trazamos una
paralela a la base.
3.Por último desde el vértice
del ángulo recto dibujamos un
arco de radio la diagonal que se
cortará con la citada paralela
para localizar el vértice que
falta.
5.4.1. Dibujar un trapecio rectángulo conociendo;
la base mayor, una diagonal y la altura: b= 75;
d=65 y h=50mm..

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio.
Procedimiento:
1.Para localizar la altura
dibujamos un triángulo
formado base, lado y diagonal.
2.Ahora dibujamos otro al
revés y ya tenemos los cuatro
vértices del trapecio isósceles.
5.5.1. Dibujar un trapecio isósceles conociendo la
base mayor, el lado y la diagonal: b= 70; l= 45 y
d= 65mm..

Polígonos convexos. Triágono.Polígonos convexos. Triágono.
Procedimiento:
1.Se traza un diámetro y con
centro en un extremo y con el
mismo radio trazamos un arco
que corta en los vértices 2 y 3.
2.El tercer vértice es el otro
extremo del diámetro 1.
6.1.1. Inscribir un triágono en la circunferencia.

Polígonos convexos. Tetrágono.Polígonos convexos. Tetrágono.
Procedimiento:
1.Se trazan dos diámetros
perpendiculares y ya está
dividida la circunferencia en
cuatro partes iguales.
6.1.2. Inscribir un tetrágono en la circunferencia.

Polígonos convexos. Pentágono.Polígonos convexos. Pentágono.
Procedimiento:
1.Dibujamos dos diámetros
perpendiculares.
2.Se halla el punto medio del radio
M.
3.Con radio M,1 trazamos el arco
1,N cuya cuerda es lo que mide
cada lado.
4.Tomamos la medida del lado con
el compás y vamos obteniendo las
cinco divisiones consecutivamente
en la circunferencia.
6.1.3. Inscribir un tetrágono en la circunferencia.

Polígonos cóncavos. Pentágono estrellado.Polígonos cóncavos. Pentágono estrellado.
Procedimiento:
1.Los polígonos estrellados son polígonos
cóncavos en los que su trazado tiene que
terminar donde comienza. Cuando la
figura está formada por dos o mas
polígonos decimos que es una falsa
estrella. A la manera de unir las divisiones
de la circunferencia de dos en dos, de tres
en tres, etc, se denomina número de
orden.
2.Para hacer la estrella dividimos la
circunferencia en cinco partes y las
unimos de dos en dos y tenemos un
pentágono estrellado de segundo orden.
6.1.4. Trazar un pentágono regular estrellado
inscrito en la circunferencia.

Polígonos convexo. Hexágono.Polígonos convexo. Hexágono.
Procedimiento:
1.El lado del hexágono es igual al radio de
la circunferencia.
2.Con el radio hallamos las seis divisiones
y las unimos consecutivamente.
6.1.5. Inscribir un hexágono regular en la
circunferencia.

Polígonos cóncavos. Estrella hexagonal.Polígonos cóncavos. Estrella hexagonal.
Procedimiento:
1.Dividimos en seis partes la
circunferencia.
2.Dibujamos los lados de dos en dos, es
decir, de segundo orden.
3.Como hemos necesitado dos
triágonos para hacerla, decimos que es
una falsa estrella.
6.1.6. Trazar una estrella regular de seis puntas
inscrita en la circunferencia.

Polígonos convexos. Heptágono.Polígonos convexos. Heptágono.
Procedimiento:
1.El lado del heptágono es igual a la
distancia desde la mitad del radio M
hasta la circunferencia.
2.Hacemos las divisiones y las unimos
consecutivamente.
6.1.7. Inscribir un heptágono regular en la
circunferencia.

Polígonos cóncavos. Heptágono estrellado.Polígonos cóncavos. Heptágono estrellado.
Procedimiento:
1.Dividimos en siete partes la
circunferencia igual que en el polígono
convexo.
2.Como es de tercer orden unimos las
divisiones de tres en tres.
6.1.8. Inscribir en la circunferencia, un heptágono
regular estrellado de tercer orden.

Polígonos convexo. Octógono.Polígonos convexo. Octógono.
Procedimiento:
1.Para dividir en ocho partes la
circunferencia trazamos dos diámetros
perpendiculares y sus bisectrices.
2.Numeramos los vértices y dibujamos
los lados .
6.1.9. Dibujar un octágono regular inscrito en la
circunferencia.

Polígonos cóncavo. Octógono estrellado.Polígonos cóncavo. Octógono estrellado.
Procedimiento:
1.Dividimos en ocho partes la
circunferencia y unimos los vértices de
tres en tres.
6.1.10. Trazar un octágono regular estrellado de
tercer orden, inscrito en la circunferencia.

Polígonos convexo. Decágono.Polígonos convexo. Decágono.
Procedimiento:
1.Con radio M,1 trazamos el arco 1,N.
2.La distancia desde el centro a N es la
medida del lado.
3.Ahora transportamos
consecutivamente el lado por la
circunferencia.
6.1.13. Inscribir un decágono regular en la
circunferencia.

Polígonos cóncavo. Decágono estrellado.Polígonos cóncavo. Decágono estrellado.
Procedimiento:
1.Dividimos en diez partes la
circunferencia y unimos de tres en tres.
6.1.14. Dibujar un decágono regular estrellado, de
tercer orden, inscrito en la circunferencia.

Simetría axial.Simetría axial.
7.2.1. Dibujar la figura simétrica a la dada.
La simetría es la igualdad inversa.
En la simetría axial los puntos
están relacionados entre si
perpendicularmente con un eje.

Simetría axial.Simetría axial.
Procedimiento:
1.Desde los vértices de la figura
trazamos perpendiculares al eje,
2.Repetimos a la inversa las
distancias de los puntos al eje y
hallamos los puntos simétricos
A’, B’… que después unimos.
7.2.1. Dibujar la figura simétrica a la dada.

Simetría central.Simetría central.
7.2.2. Trazar la figura simétrica a la dada.
La simetría central es la
igualdad inversa donde los
puntos simétricos están
relacionados entre si con un
punto, centro de simetría.

Simetría central.Simetría central.
Procedimiento:
1.Desde los vértices de la
figura trazamos rectas que
pasen por el centro de
simetría.
2.Repetimos a la inversa las
medidas de los puntos al
centro y hallamos los puntos
simétricos A’, B’… que
después unimos.
7.2.2. Trazar la figura simétrica a la dada.

Espiral, Óvalo y Ovoide y Curvas Cónicas

Curvas planas. Espiral.Curvas planas. Espiral.
Procedimiento:
1.Dibujamos una línea recta y situamos los
dos centros. El espacio queda dividido en
dos, en uno haremos los arcos con un centro
y biceversa con el otro.
2.El primer radio que usaremos es de 5mm.
y el centro será O2, después iremos al otro
centro y dibujaremos el siguiente arco con
radio hasta el final del anterior, y así iremos
alternando uno y otro sucesivamente.
12.7. Trazar un espiral de dos centros. La
distancia entre centros es de 5mm.
La espirales son curvas planas que se
van abriendo continuamente. Las que
vamos a dibujar nosotros realmente
son falsas espirales, por que su
crecimiento es por facetas, son arcos
hechos con dos o más centros

Curvas planas. Espiral.Curvas planas. Espiral.
Procedimiento:
1.Dibujamos un hexágono de 5mm. de
lado y en cada vértice situamos un centro.
2.Prolongando los lados trazamos seis
ángulos que delimitan los espacios para
cada arco y centro.
3.Con centro en 2 y radio hasta 1
trazamos el primer arco y luego
sucesivamente vamos cambiando de
centro y aumentando el radio hasta el
final del arco anterior.
12.8. Trazar una espiral cuyos 6 centros
equidistan 5mm.

Curvas planas. Óvalo.Curvas planas. Óvalo.
Procedimiento:
1.Dibujamos la mediatriz del eje menor.
2.En los extremos del eje menor tenemos dos de
los cuatro centros que vamos a usar.
3.Trazamos una circunferencia con diámetro el eje
menor y su cruce con la mediatriz determina los
dos centros que faltaban.
4.Unimos los centros y ponemos los límites de los
cuatro arcos.
5.Por último, con centro en O1 radio A,B
dibujamos el primer arco, con O2 hacemos lo
mismo y con O3 y O4 cerramos la curva.
12.1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor.El Óvalo es una curva plana cerrada
formada por cuatro o más arcos y es
simétrica respecto de sus dos ejes.

Curvas planas. Óvalo.Curvas planas. Óvalo.
Procedimiento:
1.Dividimos en tres partes el eje mayor y tenemos
dos centros, O3 y O4.
2.Trazamos dos circunferencias de radio un
tercio del eje mayor y sus cortes nos dan los
dos centros que faltaban O1 y O2 .
3.Con rectas que pasan por los centros
dibujamos los límites de los cuatro arcos
4.Los arcos de O3 y O4 ya los tenemos, solo
nos falta cerrar los otros dos.
12.2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor.

Curvas planas.Curvas planas. OvoideOvoide..
Procedimiento:
1.Dibujamos la mediatriz de C,D y tenemos el
lugar geométrico del eje simétrico.
2.En los extremos del eje tenemos dos centros,
O3 y O2 y en la mitad del eje otro O1.
3.Trazamos la circunferencia de diámetro C,D
y tenemos por un parte la semicircunferencia
y por otra el centro O4 en su cruce con la
mediatriz.
4.Con los centros dibujamos las líneas límites
de los arcos y luego los trazamos.
12.4. Trazar un ovoide conociendo el eje
asimétrico.
El Ovoide es una curva plana
cerrada. Es simétrica respecto de
su eje mayor y está dividida en en
semicírculo y semióvalo por su eje
menor o asimétrico.

Curvas planas.Curvas planas. OvoideOvoide..
Procedimiento:
1.Dividimos el eje en 6 partes, en la quinta
hay un centro, O4 y en la segunda trazamos
el lugar geométrico del eje asimétrico y
también tenemos el centro O1 de la
semicircunferencia.
2.Con dos unidades como radio localizamos
en el exterior del eje asimétrico los centros
O2 y O3.
3.Ahora dibujamos los límites de los arcos
uniendo los centros y los trazamos.
12.5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico.

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