Métodos de ecuaciones simultaneas basado en capitulo 20 de Gujarati D.

1. MÉTODOS DE ECUACIONES
SIMULTÁNEAS
ECONOMETRIA II
INTEGRANTES
IRCAÑAUPA
JURADO
AVALOS
RODRIGUEZ
AULA 44 TURNO NOCHE E

2. Los modelos multiecuacionales se caracterizan por presentar un sistema
interconectado de variables y ecuaciones, es decir, un sistema en el que la
simultaneidad entre endógenas aparece en mayor o menor medida.
Precisamente esa mayor o menor simultaneidad en las relaciones entre endógenas es
un factor decisivo para determinar las propiedades de los distintos métodos de
estimación. Esto no significa que sea la única variable a considerar, pero sí resulta el
primero de los factores analicamente claves para una primera aproximación al método
de estimación correcto.
Si se considera el modelo general de M ecuaciones con M variables endógenas dado
en la ecuación pueden adoptarse dos enfoques para estimar las ecuaciones
estructurales:
 Métodos uniecuacionales, también conocidos como métodos de
información limitada:
Cada ecuación en el sistema se estima individualmente, considerando las
restricciones impuestas sobre ella sin preocuparse de las restricciones sobre
las otras ecuaciones en el sistema de ahí el nombre de métodos de
información limitada.
 métodos de sistemas, conocidos como métodos de información
completa:
Se estiman todas las ecuaciones en el modelo de manera simultánea, teniendo
en cuenta las restricciones ocasionadas por la omisión o ausencia de algunas
variables sobre dichas ecuaciones, de aquí el nombre métodos de información
completa.
Como ejemplo, considere el siguiente modelo de cuatro ecuaciones:
En donde: las Y son las variables endógenas
y las X son las variables exógenas
Modelos recursivos y mínimos cuadrados ordinarios (MCO)
Debido a la interdependencia entre el término de perturbación estocástico y la(s)
variable(s) explicativa(s) endógena(s), el método de MCO es inapropiado para la
estimación de una ecuación en un sistema de ecuaciones simultáneas. Si se aplica
erróneamente, los estimadores no sólo resultan sesgados sino también
inconsistentes; es decir, sin importar qué tan grande sea el tamaño de la muestra, el
sesgo no desaparece. Sin embargo, hay una situación en la cual el método de MCO
puede ser aplicado apropiadamente, aun en el contexto de las ecuaciones
simultáneas. Es el caso de los modelos recursivos, triangulares o causales.

3. Para ver la naturaleza de estos modelos, considere el siguiente sistema de tres
ecuaciones:
Dónde: Y = variables endógenas
X = variables exógenas
Las perturbaciones son tales que
Es decir, las perturbaciones de diferentes ecuaciones en el mismo periodo no están
correlacionadas (técnicamente, éste es el supuesto de cero correlación
contemporánea).
La primera ecuación de (20.2.1). Contiene variables exógenas al lado derecho y como,
por los supuestos, no están correlacionadas con el término de perturbación u1t, esta
ecuación satisface el supuesto crítico del método de MCO clásico, a saber: la no
correlación entre las variables explicativas y las perturbaciones estocásticas. Por tanto,
MCO puede aplicarse directamente a esta ecuación.
La segunda ecuación de (20.2.1), la cual contiene la variable endógena Y1 como una
variable explicativa junto con las X no estocásticas.
MCO también puede ser aplicado a esta ecuación, siempre y cuando Y1t y u2t no
estén correlacionadas.
¿Es esto así? La respuesta es sí porque u1, el cual afecta a Y1, por los supuestos y
no está correlacionada con u2. Por consiguiente, para todos los efectos prácticos, Y1
es una variable predeterminada en lo que respecta a Y2. Así, se puede proceder con
la estimación de esta ecuación por MCO.
También se puede aplicar MCO a la tercera ecuación en (20.2.1) porque Y1 y Y2 no
están correlacionados con u3.
Así, en el sistema recursivo, puede aplicarse MCO a cada ecuación en forma
separada; de hecho, no se tiene el problema de las ecuaciones simultáneas en esta
situación. Por la estructura de tales sistemas, es claro que no hay interdependencia
entre las variables endógenas. Así, Y1 afecta a Y2 pero Y2 no afecta a Y1. En forma
similar, Y1 y Y2 influyen en Y3 sin que esta última las influya. En otras palabras, cada
ecuación presenta una dependencia causal unilateral, de ahí el nombre de modelos
causales.
Estimación de una ecuación exactamente identificada: el método de mínimos
cuadrados indirectos (MCI)
Para una ecuación estructural precisa o exactamente identificada, el método para
obtener las estimaciones de los coeficientes estructurales a partir de las estimaciones
por MCO de los coeficientes en forma reducida se conoce como método de mínimos
cuadrados indirectos (MCI), y las estimaciones así obtenidas se conocen como
estimaciones de mínimos cuadrados indirectos.
MCI comprende los tres pasos siguientes:
Paso 1. Se obtienen primero las ecuaciones en forma reducida. Éstas se
obtienen de las ecuaciones estructurales en forma tal que la variable

4. dependiente en cada ecuación es la única variable endógena y está en función
únicamente de las variables predeterminadas (exógenas o endógenas
rezagadas) y del (los) término(s) de error(es) estocástico(s).
Paso 2. Se aplica MCO individualmente a las ecuaciones en la forma reducida.
Esta operación es permisible puesto que las variables explicativas en estas
ecuaciones están predeterminadas y, por tanto, no están correlacionadas con
las perturbaciones estocásticas.
Paso 3. Se obtienen estimaciones de los coeficientes estructurales originales a
partir de los coeficientes en forma reducida estimados, obtenidos en el paso 2.
Como se mencionó en el capítulo 19, si una ecuación está exactamente
identificada, hay una correspondencia uno a uno entre los coeficientes
estructurales y los coeficientes en la forma reducida; es decir, pueden derivarse
estimaciones únicas de los primeros a partir de los últimos.
Como lo indica este procedimiento de tres etapas, el nombre de MCI se deriva del
hecho de que los coeficientes estructurales (objeto principal de investigación en la
mayoría de los casos) se obtienen indirectamente a partir de las estimaciones por
MCO de los coeficientes en forma reducida.
Estimación de una ecuación sobreidentificada: método de mínimos cuadrados
en dos etapas (MC2E)
En presencia de simultaneidad, una segunda estrategia para resolver los indeseables
efectos derivados de la aplicación directa de MCO (sesgo e inconsistencia) es la
utilización de la estrategia de estimación conocida como MC2E.
El procedimiento consiste en utilizar MCO sobre la forma estructural pero, antes de
ello, reemplazar los valores reales originales de las variables explicativas de cada
ecuación (es decir, las endógenas que aparecen en el lado derecho de cada ecuación)
por sus valores MCO estimados en la forma reducida (de otro modo, no podríamos
plantear la estimación de la forma reducida).
Para ilustrar el procedimiento operativo de MC2E, supongamos el siguiente modelo
simultáneo con 2 ecuaciones:
Y X X Y U
     

  
1 i 11 1 i 12 2 i 12 2 i 1
i
Y  X  X  Y 
U
i i i i i
2 21 1 23 3 21 1 2
Para la primera ecuación, antes de proceder a la estimación directa con MCO,
reemplazamoslos valores originales de la variable Y2i (un regresor estocástico
Potencialmente relacionado con U1i) por una estimación obtenida aplicando MCO
sobre su forma reducida, es decir:
Y X X X V
     
 
i i i i i
2 21 1 22 2 23 3 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
Y X X X
      

i i i i
2 21 1 22 2 23 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
Y X X X V
      

i i i i i
2 21 1 22 2 23 3 2
Así, pues, la ecuación a estimar sería ahora:
Y   X  X   Y ˆ  V ˆ  
U1 i 11 1 i 12 2 i 12 2 i 2 i 1
i

5. o lo que es igual,
Y  X  X  Y ˆ   U  Vˆ
 1 i 11 1 i 12 2 i 12 2 i 1 i 12 2
i Como puede observarse, estamos nuevamente ante una estimación con información
limitada ya que, nuevamente, no necesitamos conocer la especificación concreta de
cada ecuación pero sí la lista de regresores (X) y endógenas (Y) del modelo.
Ventajas:
1. De nuevo, como ya ocurriera con MCI, se aborda la estimación aislada de cada
ecuación lo que, operativamente, supone una ventaja y evita el contagio a todo
el modelo de los errores presentes en una ecuación.
2. La utilización de los valores estimados de las explicativas evita la presencia de
regresores estocásticos relacionados con la perturbación aleatoria; las
variables explicativas originales son aleatorias pero sus valores estimados
procedentes de la forma reducida no lo son
3. Así pues, en principio cabe pensar que la utilización de estimadores MC2E en
presencia de simultaneidad produce estimaciones consistentes (es decir, evita
el problema de los regresores estocásticos). No obstante, como ya ocurriera
con MCI, la insesgadez y la eficiencia sólo se lograrán para muestras grandes,
sin que pueda garantizarse para estimaciones con conjuntos de datos
reducidos.
4. Sin embargo, además de compartir con MCI estas buenas propiedades
asintóticas, la estimación MC2E presenta ventajas adicionales:
5. Resulta más sencillo de aplicar dado que no tenemos que resolver el sistema
de ecuaciones de la segunda etapa de MCI; el método sólo requiere dos
sencillas estimaciones sucesivas por MCO.
No requiere que la ecuación sea exactamente identificable; puede utilizarse también
por tanto para ecuaciones superidentificables.
Es más robusto que el método MCI ante problemas de especificación o
multicolinealidad en las ecuaciones.
Aunque en muestras pequeñas las ventajas de ambos estimadores se desvanecen, se
ha demostrado que, en estos casos, el comportamiento de MC2E es relativamente
mejor que el de MCI.
En contraste con MCI, la aplicación de MC2E sí permite disponer de una estimación
de las varianzas de los parámetros. Efectivamente, en la segunda etapa realizamos
una estimación de los parámetros estructurales “β” y “γ” y, por tanto, disponemos de
unos residuos derivados de esta estimación que nos permiten calcular las
desviaciones típicas de los parámetros estimados.
Limitaciones:
1. Como ya ocurriera con MCI, el procedimiento de MC2E exige la estimación de
la forma reducida de cada ecuación lo cual sólo es posible si n>k.

6. Problema sobre Métodos de ecuaciones simultáneas
EJERCICIO Nº 1
Dado el modelo:
Con información de las sumas de los productos cruzados:
Se pide:
Identificar cada una de las ecuaciones del modelo.
Explicar cuál método escogería para la estimación de los parámetros en cada una de
las ecuaciones, de entre: mínimos cuadrados ordinarios (MCO), mínimos cuadramos
indirectos (MCI) y mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) basado en las
propiedades estadísticas de las estimaciones.
Estimar la forma reducida.
Estimar los parámetros de ambas ecuaciones por los métodos anteriormente elegidos.
Solución:
Para identificar el modelo crearemos la matriz A formada por los parámetros
estructurales del modelo:
Puesto que solamente hay restricciones de nulidad podemos aplicar el método de la
forma estructural.

7. En el modelo hay 2 variables endógenas (g) y 3 variables predeterminadas (k). El
número de variables excluidas en la primera ecuación es dos ( ) y el de la segunda
ecuación es una ( )
Primera ecuación.
Método del rango:
Ecuación identificada
Método del orden:
Ecuación sobre identificada
Segunda ecuación.
Método del rango:
Ecuación identificada
Método del orden:
Ecuación exactamente identificada
Para la elección del método de estimación de los parámetros nos fijamos en lo
obtenido en el anterior apartado.
Para la primera ecuación por estar sobreidentificada no se puede emplear MCI y de
los dos métodos restantes MCO y MC2E, que son ambos sesgados, sólo MC2E es
consistente, por tanto escogemos este último como método para la estimación de los
parámetros de la ecuación.
En la segunda ecuación, por estar exactamente identificada, se puede emplear MCI,
MCO y MC2E, dado que los tres son sesgados, pero sólo son consistentes MCI y
MC2E MCO se vuelve a descartar, de entre los que quedan y sabiendo que el
resultado que se obtendrá será el mismo por ambos métodos, parece razonable
escoger MCI ya que resulta más sencillo de aplicar.
Estimación de la forma reducida.
Comenzaremos estimando por MCO los parámetros del modelo reducido.
Por tanto la estimación de la forma reducida será:
Ahora vamos a estimar el modelo por los métodos elegidos.
En primer lugar vamos a estimar la primera ecuación del modelo por MC2E.
La expresión matricial del estimador MC2E es:

8. Y donde es la estimación obtenida en el apartado anterior.
De donde:
Por tanto:
Ahora estimaremos por MCI la segunda ecuación del modelo.
Para ello basta con resolver el sistema:
De esta forma se obtiene la estimación para la segunda ecuación:
Ejercicio Nº 2
Para ilustrar el método de MC2E, considere el modelo ingreso-oferta monetaria dado
anteriormente en las ecuaciones (20.4.1) y (20.4.2). Como se mostró, la ecuación de la
oferta monetaria está sobreidentificada. Para estimar los parámetros de esta ecuación,
se acude al método de mínimos cuadrados en dos etapas. La información requerida

9. para el análisis está dada en la tabla 20.2; esta tabla también contiene la información
requerida para responder algunas de las preguntas hechas en los ejercicios.
Regresión de la etapa 1
Primero se efectúa la regresión de la variable explicativa estocástica ingreso Y1,
representada por el PIB, sobre las variables predeterminadas, inversión privada X1 y
gastos del gobierno X2, obteniendo los siguientes resultados:
TABLA PIB, M2, GASFED, BT6, Estados Unidos,

10. Regresión de la etapa 2
Se estima ahora la función de oferta monetaria remplazando la variable endógena Y1
por
Y1 estimada de la ecuación.
Los resultados son los siguientes:
Ya se señaló que los errores estándar estimados dados en (20.5.2) deben ser
corregidos en la forma sugerida en el apéndice 20.A, sección 20A.2. Una vez realizada
esta corrección (la mayoría de los programas econométricos hacen esto
rutinariamente), se obtienen los siguientes resultados:
Como se menciona en el apéndice 20A, sección 20A.2, los errores estándar dados en
(20.5.3) no difieren mucho de aquellos dados en (20.5.2), debido a que R2 en la
regresión de la primera etapa es muy alto.
Regresión por MCO
Con fi nes comparativos, se presenta la regresión de las existencias de dinero sobre el
ingreso, como se muestra en la ecuación (20.4.2), sin “depurar” la Y1t estocástica de
la influencia del término de perturbación estocástica:
Al comparar los resultados “inapropiados” de MCO con la regresión de la etapa 2, se
observa que las dos regresiones son virtualmente iguales. ¿Significa esto que el
procedimiento de MC2E no tiene ningún valor? Definitivamente no. No debe
sorprender que en la situación actual los dos resultados sean prácticamente idénticos
porque, como se mencionó anteriormente, el valor del R2 en la primera etapa es muy
alto, igualando prácticamente Yˆ 1t con Y1t observado. Por consiguiente, en este caso
las regresiones por MCO y de la segunda etapa serán más o menos similares.
Pero no hay garantía de que esto suceda en cada aplicación. Una implicación,
entonces, es que en ecuaciones sobreidentificadas no debe aceptarse el
procedimiento clásico de MCO sin verificar la(s) regresión(es) de la segunda etapa.
Simultaneidad entre el PIB y la oferta monetaria
Para averiguar si el PIB (Y1) y la oferta monetaria (Y2) son mutuamente dependientes,
se utiliza la prueba de simultaneidad de Hausman analizada en el capítulo 19.
Primero se efectúa la regresión del PIB sobre X1 (gasto de inversión) y X2 (gasto del
gobierno), las variables exógenas en el sistema (es decir, se estima la regresión en la
forma reducida). De esta regresión se obtiene el PIB estimado y los residuos ˆvt, como
lo indica la ecuación (19.4.7).

11. Luego se efectúa la regresión de la oferta monetaria sobre el PIB estimado y sobre vt
para obtener los siguientes resultados:
Puesto que el valor t de ˆvt es estadísticamente significativo (el valor p es 0.0263), no
puede rechazarse la hipótesis de simultaneidad entre la oferta monetaria y el PIB, lo
cual no debe sorprender.
Pruebas de hipótesis
Suponga que se desea probar la hipótesis de que el ingreso no tiene efecto sobre la
demanda de dinero. ¿Se puede probar esta hipótesis con la prueba t usual de la
regresión estimada (20.5.2)?
Sí, siempre y cuando la muestra sea grande y se corrijan los errores estándar, como
se muestra en la ecuación (20.5.3); se puede utilizar la prueba t para probar la
significancia de un coeficiente individual y la prueba F para probar la significancia
conjunta de dos o más coeficientes, utilizando la fórmula (8.4.7).17 ¿Qué sucede si el
término de error en una ecuación estructural está autocorrelacionado y/o
correlacionado con el término de error de otra ecuación estructural del sistema? Una
respuesta completa a esta interrogante se sale del alcance de este libro y es mejor
dejarla para las referencias. Sin embargo, existen técnicas de estimación (tales como
la técnica SURE de Zellner) para manejar estas complicaciones.
EJERCICIOS del libro de Domar Gujarati
20.8. Considere el siguiente modelo:
En donde Mt (oferta monetaria) es exógena, Rt es la tasa de interés y Yt es el PIB.
a) ¿Cómo se justificaría el modelo?
b) ¿Están identificadas las ecuaciones?
c) Con la información dada en la tabla 20.2, estime los parámetros de las ecuaciones
identificadas. Justifique el (los) método(s) que se utiliza(n).
Solución:
A. el modelo IS-LM de la macroeconomía puede ser utilizada para justificar el
modelo.
B. por la condición de la orden. la ecuación de tasa de interés no ha sido
identificado, pero la ecuación de ingresos se acaba de identificar.
C. En este ejemplo, m es la variable exógena. utilizando los datos que figuran en
la tabla 20.2, obtenemos los siguientes resultados por ILS:

12. 20.9. Suponga que en el ejercicio 20.8 se cambia el modelo de la siguiente
manera:
a) Averigüe si el sistema está identificado.
b) Con la información dada en la tabla 20.2, estime los parámetros de la(s)
ecuación(es) identificada(s).
Solución:
a) por la condición de la orden, la ecuación de la tasa de interés no es
identificada, y la ecuación de ingresos se sobreidentificado.
b) Aquí usted puede utilizar MC2E. utilizamos M y Yt-1 como instrumentos.
Los resultados de la regresión, utilizando eviws 4, son los siguientes:
Donde R es la tasa de interés de las letras del Tesoro a seis meses.
20.10. Considere el siguiente modelo:
En donde las variables están definidas como en el ejercicio 20.8. Al considerar I
(inversión doméstica) y M exógenamente, determine la identificación del sistema.
Utilizando la información de la tabla 20.2, estime los parámetros de la(s) ecuación(es)
identificada(s).
Solución:
Aquí tanto las ecuaciones se identifican con exactitud. Uno puede usar el ILS o MC2E
para estimar los parámetros, pero van a dar resultados idénticos por las razones
expuestas en el capítulo.
Aquí están las estimaciones MCO de la forma reducida (RF) ecuaciones. en cuenta
que en la RF, sólo las variables exógenas (I) y M aparecen en el lado derecho de cada
ecuación.

13. 20.11. Suponga que se cambia el modelo del ejercicio 20.10 de la siguiente
manera:
Suponga que M está determinado exógenamente.
a) Determine cuáles ecuaciones están identificadas.
b) Estime los parámetros de la(s) ecuación(es) identificada(s) utilizando la información
de la tabla 20.2. Justifique el (los) método(s).
Solución:
a) ya no se identifican las ecuaciones para R e Y, mientras que la ecuación de
inversión se identifica exactamente
b) primero, se obtuvo la RF para la función de inversión. ya que sólo hay una
variable exógena. M, hacemos una regresión Y en M, que da el siguiente
resultado:
20.13. Remítase al modelo de demanda y oferta dado en las ecuaciones (20.3.1) y
(20.3.2). Suponga que la función de oferta se altera de la siguiente manera:
En donde Pt−1 es el precio predominante en el periodo anterior.
a) Si X (gasto) y Pt−1 están predeterminadas, ¿existe un problema de simultaneidad?
b) Si existe, ¿están determinadas cada una de las funciones de demanda y de oferta?
Si lo están, obtenga las ecuaciones en forma reducida y estímelas con base en la
información dada en la tabla 20.1.
c) ¿Pueden derivarse los coeficientes estructurales a partir de los coeficientes en la
forma reducida? Muestre los cálculos necesarios.
Solución:

14. a) ya que el suministro es una función de la precisión en el período anterior, el
sistema es recursivo. Por lo tanto, no hay ningún problema simultaneidad aquí.
b) cada ecuación se puede estimar por MCO individualmente.
c) los resultados de la regresión son de la siguiente manera
Función de demanda:
Ya que los coeficientes de las dos variables explicativas no son individualmente
estadísticamente significativa, no se puede decir mucho acerca de esta función
de demanda. En cuenta que el coeficiente de precio es positivo, contrariamente
a las expectativas anteriores.
Función de oferta
Como se esperaba, el coeficiente de la variable precio diferido es positivo.
También es estadísticamente significativa.

15. CONCLUSIONES
Suponiendo que una ecuación en un modelo de ecuaciones simultáneas está
identificada (en forma exacta o sobreidentificada), se dispone de diversos métodos
para estimarla.
Estos métodos se clasifican en dos categorías generales: Métodos Uniecuacionales y
Métodos de Sistema.
Por razones de economía, los métodos uniecuacionales son los más comunes. Una
característica de estos métodos es que es posible estimar aisladamente una ecuación
que forma parte de un modelo multiecuacional sin considerar apenas las otras
ecuaciones del modelo.
Tres métodos uniecuacionales más utilizados: MCO, MCI, MC2E.
Aunque MCO en general es inapropiado en el contexto de modelos de ecuaciones
simultáneas, éste pude ser aplicado a los llamados modelos Recursivos en donde hay
una relación de causa y efecto definida pero unidireccional entre las variables
endógenas.
El método de MCI es apropiado para ecuaciones exactamente identificables. Mediante
este método, se aplica MCO a la ecuación en la forma reducida y es a partir de los
coeficientes de dicha forma que se estiman los coeficientes estructurales originales.
El método de MC2E está diseñado especialmente para ecuaciones superidentificadas,
aunque también puede ser aplicado a ecuaciones exactamente identificadas (siendo la
estimación por MCI y por MC2E la misma). La idea básica del método MC2E es
reemplazar la variable explicativa endógena (estocástica) por una combinación lineal
de variables predeterminadas en el modelo y utilizar esta combinación como variable
explicativa en lugar de la variable endógena original.El método MC2E se parece
entonces al Método de Estimación de VARIABLE INSTRUMENTAL en el que la
combinación lineal de las variables predeterminadas sirve como instrumento o variable
aproximada para el regresor endógeno.
Una característica importante a mencionar sobre MCI y MC2E es que las estimaciones
obtenidas son CONSISTENTES, es decir, a medida que el tamaño de la muestra
aumenta indefinidamente, las estimaciones convergen hacia sus verdaderos valores
poblacionales. Las estimaciones pueden no satisfacer las propiedades de muestra
pequeña tales como el insesgamiento y la varianza mínima. Por tanto, los resultados
obtenidos mediante la aplicación de estos métodos a muestras pequeñas y las
inferencias obtenidas de ellos deben ser interpretados con la debida precaución.

16. Bibliografía
 Universidad de Granada. CC. Proyecto de Innovación Docente: Guía
multimedia para la elaboración de un modelo econométrico.
 Damodar N. Gujarati Econometría “métodos de ecuaciones simultaneas”,
Quinta edición.
 Breve apunte sobre la estimación de modelos multiecuacionales, Ramón
Mahía, Abril 2006