Pascual pascual miguel_2009

División de Ciencias Forestales
Departamento en Estadística
Matemática y Cómputo
Modelos Probabilísticos de Inventarios
T e s i s p r o f e s i o n a l
Que como requisito parcial para obtener el título de:
L I C E N C I A D O EN E S T A D Í S T I C A
P R E S E N T A:
Pascual Pascual Miguel
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Diciembre del 2009

ii
Esta tesis fue realizada por C. Pascual Pascual Miguel, bajo la dirección del Doctor Eduardo
Gutiérrez González. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comité Revisor y Jurado
Examinador, para obtener el título de Licenciado en Estadística.
PRESIDENTE.
Dr. Eduardo Gutiérrez González
_______________________________
SECRETARIO.
Dr. Antonio Villanueva Morales
______________________________
VOCAL.
Lic. Margarito Soriano Montero
______________________________
SUPLENTE.
M. C. Alejandro Corona Ambriz
______________________________
SUPLENTE.
M. C. Ángel Leyva Ovalle
______________________________
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Diciembre del 2009

iii
Agradecimientos
A dios que me dio el ser.
A la Universidad Autónoma Chapingo por darme la valiosa oportunidad de formarme
profesionalmente y por ser mi hogar durante siete maravillosos años.
Al Dr. Eduardo Gutiérrez González, por su paciencia y su valioso tiempo brindado para la
elaboración del presente trabajo. Y a los profesores que conforman mi comité asesor.
A todos mis profesores de la licenciatura en Estadística que se esforzaron en mi formación
profesional.
Especialmente a mi familia por todo el desgaste físico y económico que brindaron, y por su
gran muestra de cariño y amor.

iv
Dedicatoria
A mis padres: Teresa y Alejandro, por enseñarme
a luchar hacia delante, por su gran corazón
y capacidad de entrega, pero sobre todo por
enseñarme a ser responsable, gracias a
ustedes he llegado a esta meta. Los AMO.
A mis hermanas (os): Miguel, Mariola, Juanita,
Alejandro y Ashley, que son parte importen
en mi vida y que siempre me compartieron
su apoyo y cariño, los AMO.
A mis abuelos: Pascual y Felipe,
por sus sabios consejos durante
esta etapa de mi vida.
A la memoria de mis abuelas: María †
y Juana †
,
que Dios los tenga en su gloria.
A Gladis, una mujer extraordinaria
que siempre me ha brindado su cariño y amor.
A mis amigos (as), que con quienes
compartí momentos gratos e inolvidables,
desde mi infancia hasta mi formación profesional.
A todas las amistades que de alguna
forma aportaron su granito de arena
en mi formación profesional.
Con cariño
Pascual

v
Contenido
Introducción..........................................................................................................................1
Planteamiento .......................................................................................................................3
0bjetivos................................................................................................................................4
CAPÍTULO 1 ..........................................................................................................................5
MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILÍSTICOS ...............................................................................5
1.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................5
1.2 ANÁLISIS MARGINAL..........................................................................................................................5
1.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR DE
PERIÓDICOS DEMANDA DISCRETA .......................................................................................................6
ANÁLISIS DEL MÉTODO..................................................................................................................7
1.4 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR DE
PERIÓDICOS DEMANDA CONTINUA....................................................................................................11
1.5 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA....................................................................14
1.6 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS...................16
1.7 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS.................................................................................................22
1.8 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE VENTAS
PENDIENTES Y PÉRDIDAS......................................................................................................................27
1.9 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DEMANDA INCIERTA: MÉTODO DE NIVEL DE
SERVICIO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE LA RESERVA DE SEGURIDAD.............................29
1.10 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE SEGURIDAD
PARA 1SLM ..............................................................................................................................................31
1.11 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE SEGURIDAD
PARA 2SLM .............................................................................................................................................33
1.12 MODELO DE INVENTARIOS DE DOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN................35
1.13 MODELO DE VARIOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN...........................................37
CAPÍTULO 2 ........................................................................................................................38
MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA DE DISTRIBUCIÓN CONOCIDA........................38
2.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................38
2.2 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA DISCRETA .........38
2.2.1 DEMANDA CON DISTRIBUCION BINOMIAL .........................................................................38
2.2.2 DEMANDA CON DISTRIBUCION POISSON ............................................................................38
2.2.3 DEMANDA CON DISTRIBUCION GEOMÉTRICA...................................................................41
2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA CONTINUA ........42
2.3.1 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME ...............................................42
2.3.2 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL...................................................43
2.3.3 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN GAMMA ....................................................44
2.3.4 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ........................................45
2.3.5 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL ..................................................45
2.4 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA...................................................................47
1) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME .........48

vi
2) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL .............48
3) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA...............48
4) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL ..49
5) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL ............49
2.5 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS...................50
2.5.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME.....51
2.5.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ........51
2.5.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA..........52
2.5.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
.................................................................................................................................................................53
2.5.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL........53
2.6 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS................................................................................................56
.................................................................................................................................................................59
2.7 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE VENTAS
PENDIENTES Y PÉRDIDAS......................................................................................................................62
.................................................................................................................................................................64
CAPÍTULO 3 ........................................................................................................................68
MODELOS DE INVENTARIOS DINÁMICOS Y CON CADENAS DE MARKOV...............................68
3.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................68
3.2 MODELO ESTOCÁSTICO DINÁMICO .............................................................................................68
3.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS ..............................................................................................................78
3.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS CADENAS DE MARKOV ....................................................79
3.3 .2 MODELO CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO POISSON.........82
CAPÍTULO 4 ........................................................................................................................88
APLICACIÓN ................................................................................................................................................. 88
4.1 CASO DE ESTUDIO ............................................................................................................................. 88
4.2 METODOLOGÍA................................................................................................................................... 89
4.3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA............................................................................................................ 96
Conclusiones ....................................................................................................................106
Bibliografía........................................................................................................................107
Anexo………………………………………….…………………………………………………… 109

vii
Índice de tablas
Tabla 4.1. Muestra de la demanda y devoluciones…...……………..……………………….96
Tabla 4.2. Clases y frecuencias de la demanda…..…………………………………………..96
Tabla 4.3. Clases y frecuencias de las devoluciones………………………………………..97
Tabla 4.4. Análisis de ventas semanales…………………...………………………………...101
Tabla 4.5. Muestra de la demanda…………………………...………………………………...102
Tabla 4. 6. Clases y frecuencias de la demanda…..………………………………………..102
Tabla 4.7. Análisis de la demanda semanal…………………………………………….……105
Índice de figuras
Figura 1.1. Muestra el costo esperado y su valor mínimo…………………..……….…….…6
Figura 4.1. Histograma de la demanda….………………………………………………………97
Figura 4.2. Histograma de las devoluciones…………………………………………………..97
Figura 4.3. Prueba de bondad y ajuste, prueba de normalidad en R…..……………….…99
Figura 4.4. Histograma de la demanda…………………………….………………………….103

viii
RESUMEN
En la presente investigación se revisan los modelos probabilísticos de inventarios partiendo
del análisis marginal como la base teórica de los modelos probabilísticos existentes. Se
generalizan los modelos probabilísticos a partir de familias de distribuciones conocidas
obteniendo resultados importantes y algoritmos de solución que son fáciles de aplicar para la
estimación del lote económico.
De forma introductoria se ilustra la solución de ejemplos de inventarios con demanda
dinámica probabilística e inventarios generados por cadenas de Markov.
Se desarrolla una metodología para la estimación del lote económico ( q ) fundamentada
en la teoría de la inferencia estadística y se ilustra la solución de inventarios de dos productos
de forma independiente.
Palabras clave
Estadística, cadena, inventario, modelo y probabilidad.

ix
SUMMARY
In this research we review probabilistic inventory models based on the marginal analysis as
the theoretical basis of the existing probabilistic models.It generalizes the probabilistic models
from known distributions to obtain significant results and solution algorithms that are easy to
apply to estimate the efficient lot.
In an introductory we illustrate the solution of examples of probabilistic dynamic demand
inventories and inventories generated by Markov chains.
We develop a methodology for estimating the efficient lot ( q ) based on the theory of
statistical inference, and illustrate of inventories solution of two products independently.
Keywords
Statistics, chain, inventory, and probability model.

1
Introducción
Un inventario constituye la cantidad de existencias de un bien o recurso cualesquiera, un
Sistema de Inventarios es el conjunto de políticas y controles que regulan los niveles de
inventario y determinan que niveles de inventario se deben mantener [Nahmias (2007)].
Por otra parte Ballou (2004) considera a los inventarios como acumulaciones de
materias primas, provisiones, componentes, trabajo en proceso, y productos terminados que
aparecen en numerosos puntos a lo largo del canal de producción y de logística en una
empresa.
El objetivo básico de los inventarios es especificar cuando se deben ordenar los artículos
y cuál debe ser el volumen de la orden [Winston(2004)].
Mantener un nivel de inventario genera costos que se deben de tener en cuenta cuando se
toma alguna decisión [Ballou (2004)]. A continuación se mencionan:
1. Costos de ordenar o fabricar,
2. Costos de mantener o almacenar,
3. Costos de penalización por faltantes o demanda insatisfecha,
Otros costos relevantes:
4. Los ingresos,
5. Los costos de recuperación o salvamento y
6. Las tasas de descuento.
Los inventarios en general tienen una demanda probabilística. Luego, en esta
investigación se generalizan los modelos probabilísticos ya existentes de inventarios de un
solo periodo que tienen como fundamento teórico el análisis marginal. Las funciones de
distribuciones que se generalizan partiendo de la teoría son: la binomial, Poisson, geométrica,
uniforme, normal, gamma, exponencial y la weibull.
Los resultados generalizados con las funciones de distribución son tan importantes y
fáciles de aplicar para la estimación del lote económico ( q ) que está en función del costo y el
punto de reorden óptimo.
Estos resultados son aplicables a ciertos inventarios probabilísticos que presenten una
tendencia o comportamiento de cualquiera de las distribuciones mencionadas anteriormente.
La aplicación se lleva a cabo mediante la elaboración de algoritmos de solución, es decir,

2
pasos para resolver un problema de aplicación; y el algoritmo se aplica de forma iterativa para
llegar a una solución óptima.
Los inventarios probabilísticos se complementan con una introducción a inventarios
dinámicos probabilísticos y los inventarios con procesos estocásticos, en particular con
cadenas de Markov que dan solución a ciertos inventarios que presentan un comportamiento
discreto y que siguen cierto proceso, como por ejemplo el proceso Poisson.
Se propone una metodología que da solución a los inventarios que presentan una
tendencia de las distribuciones generalizadas. Esta metodología se fundamenta en la teoría de
la inferencia estadística, por lo mismo que se requiere la determinación de la distribución, la
estimación de los parámetros y pruebas de bondad de ajuste.
La metodología propuesta se ilustra mediante la solución de dos inventarios
probabilísticos de forma independiente siguiendo de forma detallada los pasos propuestos en
la metodología y utilizando los datos que provienen de la demanda en una tienda de
conveniencia.
De esta forma el trabajo se desarrolla en cuatro capítulos los cuales son los siguientes:
En el capítulo uno se revisará las bases teóricas de los modelos probabilísticos, iniciando
con el análisis marginal, como fundamento teórico para la creación de los modelos de
inventarios probabilísticos.
En el capítulo dos se desarrollarán los modelos probabilísticos de inventarios,
clasificándolos por el tipo de distribución de su demanda, se verán inventarios con funciones
de distribución conocidas.
En el capítulo tres se hace una introducción a modelos dinámicos probabilísticos
mediante la ilustración de ejemplos y la teoría de procesos estocásticos, en particular las
cadenas de Markov aplicadas a inventarios probabilísticos.
Finalmente en el capitulo cuatro se desarrolla una metodología para la solución de
problemas de inventario probabilístico para tiendas de conveniencia o a empresas similares, es
decir, que maneje este tipo de inventarios.

3
Planteamiento
La demanda siempre es incierta, es por ello que se desarrolla modelos probabilísticos para
mitigar esta incertidumbre y que conlleva a la de decisión adecuada u optima en la cantidad
del lote económico a pedir.
La obtención de los modelos probabilísticos de inventarios parte de la teoría
fundamental que es el análisis marginal. El análisis marginal se fundamenta en la
minimización del costo total del lote económico.
La generalización de los modelos probabilísticos de inventarios con funciones de
distribución más conocidas es muy importante, puesto que por medio de ellos se generan
resultados y algoritmos de solución a ciertos inventarios probabilísticos. En este caso a
inventarios de tiendas de conveniencia.
De forma introductoria se ilustra ejemplos de inventario dinámicos probabilísticos y
procesos estocásticos.
Finalmente de se desarrolla una metodología para la estimación del lote económico para
estos tipos de inventarios, misma que se ilustra con dos problemas, es decir, con dos productos
de una tienda de conveniencia.

4
0bjetivos
En el presente trabajo se siguen los siguientes objetivos:
 Revisar las bases teóricas de los modelos probabilísticos.
 Construir modelos de inventarios probabilísticos con funciones de distribución
desconocidas.
 Construir modelos de inventarios probabilísticas con funciones de distribución
conocidas.
 Revisar la teoría de modelos de inventarios estocásticos.
 Desarrollar una metodología para la aplicación de los modelos de inventarios
probabilísticos.

5
Capítulo 1
MODELOS DE INVENTARIOS PROBABILÍSTICOS
1.1 INTRODUCCIÓN
En los modelos deterministas de inventarios se requiere que se conozca con certeza la
demanda durante cualquier periodo, o que se pueda aplicar la aproximación a los modelos que
cumplen con un coeficiente de variación pequeño. Pero en general las demandas son de tipo
probabilístico y dependen de cierta distribución, de esta forma el trabajo que se presenta
resume los modelos de inventarios probabilísticos más usados, llevando en cada caso una
metodología de pasos para poder generalizar a diferentes tipos de distribuciones.
Por su parte en este capítulo se revisarán las bases de los modelos probabilísticos,
iniciando con el análisis marginal, como fundamento teórico para la creación de los modelos
de inventarios probabilísticos. En los modelos probabilísticos de inventarios, se revisarán
inventarios de periodo único en los que se termina un problema una vez que se ha hecho una
decisión única de pedido.
El capítulo finaliza resumiendo los modelos de inventarios en varios periodos, estos se
desarrollan bajo la teoría para la estimación de los valores críticos
**
2
*
1 ,...,, nqqq que describen
la política óptima de inventario.
1.2 ANÁLISIS MARGINAL
Supóngase que la variable aleatoria D, descrita en el modelo de periodo único, es discreta de
valor entero, donde )()( dpdDP  . Sea el costo esperado )(qE tal que

d
qdcdpqE ),()()( . (1)
En la mayoría de las aplicaciones prácticas )(qE es una función convexa de q.

Modelos de Inventarios probabilísticos. 6
6
Fig. 1.1 Muestra el costo esperado y su valor mínimo.
Fuente: Elaboración propia
Sea
*
q el valor de q que hace mínimo a )(qE . Si )(qE es una función convexa, note
que
*
q es el valor mínimo de q para el cual
0)()1( **
 qEqE . (2)
Esta ecuación representa el cambio de costo esperado cuando se aumenta en una unidad
el lote q.
El análisis se realiza aumentando q, a partir de cero, en una unidad y observando el signo
de la diferencia que se mantendrá negativa hasta llegar a *
q , para que la diferencia se
convierta en positiva. Este método para determinar a
*
q al calcular en forma repetida el valor
esperado al sumar una unidad marginal el valor de q, se denomina método de análisis
marginal. El método es útil cuando es fácil determinar una expresión sencilla para
)()1( qEqE  .
1.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR
DE PERIÓDICOS DEMANDA DISCRETA
Supóngase que la empresa tiene la sucesión de eventos:
 La empresa decide cuántas unidades pedir o producir,
*
q .
 La demanda es estocástica, pero se conoce su distribución de probabilidad )(dp .
 Dependiendo de d y q, se incurre en el costo ),( qdc .
Los problemas que siguen la secuencia anterior se suelen llamar problemas del
vendedor de periódicos. Los cuales se caracterizan por la situación de que el vendedor de
periódicos puede pedir una mayor cantidad de la que venderá (perdiendo porque el periódico
sobrante se lo aceptan a un precio menor del que se lo vendieron, o en el caso de comprar
menos periódico gana menos de lo que pudo haber ganado, pérdida de oportunidad).
*
q1*
q 1*
q
● ●
)(qE
q

Capítulo 1. 7
7
ANÁLISIS DEL MÉTODO
Empleando el análisis marginal para el problema del vendedor de periódico cuando la
demanda es una variable aleatoria discreta y ),( qdc tiene la forma:
 qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd 
 qcqdc u),( (términos sin q) )1(  qd
(3)
En donde, 0c es el costo unitario de comprar o producir demasiado, sobreabastecimiento.
Por lo tanto, 0c es el costo debido a tener una unidad de excedente, de tal manera que a 0c se le
suele llamar costo de sobreabastecimiento. Similarmente uc es el costo unitario de tener
faltantes y se le llama costo de subabastecimiento.
Para encontrar
*
q que minimiza el costo esperado, esto es, el valor mínimo de q para el
que
0)()1(  qEqE ,
se tiene lo siguiente:
    
 
   0sintérminos)(
sintérminos)(
)(1sintérminos)(sintérminos)()1(
0
0
0



qqcqDPcc
qqcqDqPcc
qDPqqcqDPqqcqEqE
uu
uu
u
Por lo tanto, resulta que )(qE será reducida al mínimo por el valor mínimo de q
(denotado
*
q ) que satisface   0)(0  uu cqDPcc . Es decir,
u
u
cc
c
qDP


0
*
)( o
ucc
c
qDP


0
0*
)( (4)
Además, en promedio pedir 1q unidades costará
 )(1)(0 qDPcqDPc u  o   uu cqDPcc  )(0 ,
más las q unidades que se piden.
EJEMPLO 1
Supóngase que en agosto se tiene que decidir cuántos calendarios encargar para vender a
principios del próximo año. Cada calendario cuesta $4 y se vende a $9. Después del primero
de enero cualquier calendario no vendido se remata en $2. Se estima la demanda a partir de la
distribución, mostrada a continuación

8
Demanda Probabilidad
100 0.30
150 0.20
200 0.30
250 0.15
300 0.05
Si se desea maximizar la ganancia neta esperada debido a ventas de calendarios. ¿Cuántos
calendarios se deben pedir en agosto?
Solución
Primeramente se determinarán los costos 0c y uc , para esto se analizan los dos casos posibles:
  qcqdc 0),( (términos sin q) )( qd 
  qcqdc u),( (términos sin q) )1(  qd
En donde, q es el número de calendarios que se piden en agosto y d el número de calendarios
necesitados hasta el primero de enero.
De esta forma,
 Si qd  se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q calendarios a $4 cada uno ( q4 ), venta de calendarios a
$9 cada uno ( d9 ) y devolución de dq  calendarios ( )(2 dq  ). Obteniendo
un costo total de dqdqdq 72)(294  . Luego, 20 c .
 Si qd  se incurre en los costos siguientes (la ganancia se denota por el signo
negativo): Compra de q calendarios a $4 cada uno ( q4 ) y venta de calendarios a
$9 cada uno ( q9 ). Obteniendo un costo total de qqq 594  . Luego, 5uc .
Finalmente el valor de
*
q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario
71.0
7
5
52
5
)(
0
*





u
u
cc
c
qDP .
Así, de la tabla de probabilidades

Capítulo 1. 9
9
Demanda Probabilidad Acumulada
100 0.30 0.30
150 0.20 0.50
200 0.30 0.80
250 0.15 0.95
300 0.05 1.00
De aquí se concluye que en agosto debe pedirse 200*
q calendarios.
En términos del análisis marginal, la probabilidad de vender el 200vo. calendario que se
pide es 50.0)200( DP , lo cual significa que el 200vo. calendario vendido tiene
probabilidad 5.05.01  de no ser vendido. De tal forma que el 200vo. calendario aumentará
los costos esperados en
  5.15.0*55.0*2)(1)(0  qDPcqDPc u (ganancia)
Por lo tanto, se deberá pedir el 200vo. calendario.
Similarmente, la probabilidad de vender el 201vo. calendario que se pide es
20.0)201( DP , lo cual significa que el 201vo. calendario vendido tiene probabilidad
8.02.01  de no ser vendido. De tal forma que el 201vo. calendario aumentará los costos
esperados en
  6.02.0*58.0*2)(1)(0  qDPcqDPc u (pérdida).
Por lo tanto, no se deberá pedir el 201vo. calendario.
Costo total












200,1000
200,7400
,5
,72
d
dd
qdq
qddq
EJEMPLO 2
Supóngase que la energía en la estación de León se suministra mediante celdas solares. Una
vez al año vuela un avión y les vende celdas a $200 cada una. Se estima la demanda a partir
de la distribución de probabilidad mostrada en la tabla de abajo. Debido a la incertidumbre de
las necesidades futuras, en la planta sólo se puede adivinar el número de celdas que se
necesitarán durante el año venidero. Si se acaban las celdas, se debe hacer un pedido especial
pagando $300 por cada una.
a) Suponiendo que es relevante en este caso el problema del vendedor de periódicos,
¿cuántas celdas debe pedir al avión?
b) En el inciso (a), ¿cuál costo se está ignorando?

10
Demanda celdas Probabilidad
50 0.20
60 0.15
70 0.30
80 0.10
90 0.15
100 0.10
Solución
  qcqdc u),( (términos sin q) )1(  qd
En donde, q es el número de celdas que se piden cuando el avión vuela y d el número de
celdas necesitadas durante el año. De esta forma,
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ), utilización de celdas
$200 cada una ( d200 ) y no se usan las celdas dq  no se tienen costo.
Obteniendo un costo total de dq 200200  . Luego, 2000 c .
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ) y cuando la demanda
rebase la cantidad pedida a $300 cada una ( )(300 qd  ). Obteniendo un costo
total de dqqdq 300100)(300200  . Luego, 100uc .
*
q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario
33.0
100200
100
)(
0
*





u
u
cc
c
qDP .
Así, de la tabla de probabilidades se tiene que 60*
q celdas.
El costo total
  565.0*10035.0*200)(1)(0  qDPcqDPc u .

Capítulo 1. 11
11
1.4 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS O DEL VENDEDOR
DE PERIÓDICOS DEMANDA CONTINUA
Se revisará el modelo de inventarios del vendedor de periódicos pero con demanda D variable
aleatoria continua y función de densidad )(df . De forma similar que en el caso discreto, se
obtiene una expresión con la que se puede calcular el valor óptimo de *
q , pero a diferencia
del caso discreto en el continuo se obtiene mediante una igualdad. Es decir, )(qE será
reducido al mínimo por el valor mínimo de q (denotado *
q ) que satisface a (4)
u
u
cc
c
qDP


0
*
)( o
ucc
c
qDP


0
0*
)( .
De tal forma que lo óptimo es pedir unidades hasta el punto en el que la última que se
pida tenga una probabilidad
ucc
c
qDP


0
0*
)( de venderse.
EJEMPLO 3
Suponga que la asociación de Ingeniería Industrial efectúa un congreso anual y el año próximo
será en Baja California Sur. Para tal efecto seis meses antes de la fecha señalada para su inicio
es necesario reservar las habitaciones en el hotel sede. En este momento se puede hacer la
reservación pagando $500 por cada habitación, pero no se sabe con certeza cuánta gente
asistirá. Sin embargo, se estima que el número de habitaciones necesarias sigue una
distribución normal con una media de 500 y una desviación de 200. Si el número necesario de
habitaciones es mayor que el reservado se tendrán que alquilar habitaciones en hoteles
cercanos a un costo de $800. Para los participantes será incómodo alojarse en otros hoteles y
la distancia aumenta el costo en $100, ¿Cuántas habitaciones se recomienda reservar?
Solución
  qcqdc u),( (términos sin q) )( qd 
Se tiene la densidad de la demanda dada para el número de habitaciones, de donde, q es
el número de reservaciones que se piden seis meses antes y d el número de habitaciones
necesitados hasta el primero de enero.
De esta forma,

12
 Si qd  , entonces el costo en que se incurre es el costo de las habitaciones
reservadas con anterioridad y por lo tanto, el costo total es de q500 . Luego,
5000 c .
 Si qd  se incurre en los siguientes costos (la ganancia se denota por el signo
negativo): Costos de reservación de q habitaciones a $500 cada una ( q500 ),
costos de renta qd  habitaciones en hoteles vecinos $800 cada uno
( )(800 qd  ) y finalmente costos de incomodidad a los participantes adicionales
$100 cada uno ( )(100 qd  ). Obteniendo un costo total de
dqqdqdq 900400)(100)(800500  .
Luego, 400uc .
Finalmente el valor de *
q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario,
tal que
444.0
400500
400
)(
0
*





u
u
cc
c
qDP .
En donde, )200,500(~ 2
ND si estandarizamos
444.0
200
500*





 

q
ZP .
Con el uso de tablas de la distribución normal 14.0
200
500*

q
, despejando
*
q se
tiene
472*
q reservaciones.
EJEMPLO 4
El precio de un boleto de avión es de $2,000. Cada aeronave tiene capacidad para transportar
hasta 100 pasajeros. Por experiencias se sabe que algunos de los pasajeros que ya han
comprado el boleto no se presentan (faltan). Por esta razón la aerolínea intenta vender más de
100 boletos para cada vuelo. Pero la ley establece que cualquier pasajero con boleto que no
puede abordar el avión debe recibir una compensación de $1,000. Los datos indican que el
número de faltas puede estimarse a partir de una distribución normal con media 20 y
desviación estándar 5. Para maximizar los ingresos esperados menos costos de
compensaciones. ¿Cuántos boletos es aconsejable vender? A quién no use boleto se le
reembolsa $1,750?

Capítulo 1. 13
13
Solución
  qcqdc u),( (términos sin q) )( qd 
Debido a que se da la distribución del número de faltantes, se tiene, q el número de
boletos vendidos por la aerolínea y d el número de faltas.
De esta forma, dq  es el número de clientes que se presentan realmente en el vuelo.
 Si 100 dq (o 100 qqd ), entonces abordarán 100 pasajeros el avión,
pagando 000,200)100(2000  a la aerolínea, y no se recibirán dq  clientes.
Los cuales recibirán una compensación de )(1000 dq  . Por lo tanto, si dq  el
costo total para la aerolínea será de
20000075010001750200000)(1000  dqddq .
Luego, 10000 c .
 Si 100 dq (o 100 qqd ), entonces todos los pasajeros que se
presenten abordarán el avión y el costo para la aerolínea será
dq 17502000002000  . Luego, 2000uc .
*
q , se obtiene de la distribución de probabilidad del inventario,
tal que
667.0
20001000
2000
)(
0
*





u
u
cc
c
qDP .
En donde, )5,20(~ 2
ND estandarizando
667.0
5
20*





 

q
ZP .
Con el uso de tablas de la distribución normal 43.0
5
20*

q
, despejando
*
q se tiene
10015.22 **
 qq .
Se concluye que la aerolínea debe vender hasta 122 o 123 boletos y no más.

14
1.5 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA
Estos modelos se caracterizan por lo siguiente:
 La demanda no se conoce con certeza, se estima una distribución de probabilidad que
describe su comportamiento.
 El tiempo de entrega L es distinto de cero.
 Los mayores problemas se presentan durante el tiempo de entrega, por lo que se trabaja
con la distribución de probabilidad que describe la demanda durante el tiempo de
entrega )(ufL .
Por otro lado, la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de entrega L esté
entre a y b es 
b
a
L duuf )( y la probabilidad de que la demanda durante el tiempo de entrega no
exceda a la cantidad  es la distribución acumulada 


0
)()( duufF LL , para 0u , estas
distribuciones de probabilidad se suponen independientes del tiempo en el que se ordena y el
nivel de inventario. La demanda promedio por unidad de tiempo d , entonces la demanda
promedio durante el tiempo de entrega es 


0
)( duuufdLd L
. Si s es el punto de reorden,
entonces el nivel de inventario cuando se recibe la orden es de Lds  , tomando en cuenta la
aleatoriedad de la demanda el nivel esperado de inventario al recibir la orden es de:
 
s
L duufussy
0
)()()( (5)



s
Ld duufsusy )()()( (déficit) (6)
)()(
)()()()()()()()(
0000
sysy
duufusduufusduufusduuufduufsLds
d
s
L
s
LLLL

 

Por lo tanto, resulta
)()( syLdssy d . (7)
Si se usa la política de inventario que consiste en llevar el inventario hasta s cada vez que
se presenta una demanda. El valor de s que minimiza el costo de inventario, sin reconocer el
costo por ordenar, se obtiene a partir de:

Capítulo 1. 15
15



s
L
s
Ld duufsu
q
d
pduufush
q
d
sypsyhsCT )()()()()()()(
0
Para obtener un mínimo, se deriva el costo total
 
q
d
pduuf
q
d
ph
duuf
q
d
pduufh
duuf
q
d
pduufh
duuf
q
d
psfss
q
d
pduufhsfssh
duufsu
q
d
pduufush
ds
d
ds
sCTd
s
L
s
L
s
L
s
L
s
L
s
LL
s
LL
s
L
s
L






































0
00
0
0
0
)(
)(1)(
)()(
)()()()()()(
)()()()(
)(
Se iguala a cero la primera derivada y se obtiene
q
d
ph
q
d
p
duufsF
s
LL

 
0
)()( . (8)
EJEMPLO 5
Las órdenes para un artículo se reciben después de una semana que se solicitaron. La
demanda durante el tiempo de entrega es )3,8( 2
N . El tamaño promedio de la orden es de una
unidad. El costo por inventario es de $10 por unidad por semana, el costo por déficit es de
$100 por unidad demanda no satisfecha. Encontrar el tamaño adecuado de s.
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario
10h costo por inventario por unidad
100p costo por déficit por unidad
8d demanda media
1q tamaño de la orden
Sustituyendo los valores en

16
9877.0
810
800
1
8
10010
1
8
100
)( 
















q
d
ph
q
d
p
sFL
Estandarizando la demanda
9877.0
3
8
)( 




 

s
ZPsFL
De tablas porcentuales de la distribución normal
25.2
3
8

s
.
Despejando el punto de reorden
1575.14 s artículos.
1.6 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS
Si el costo por ordenar K es significativo se usa la política ),( qs , esto es, se pide una orden de
tamaño q, cada vez que el nivel de inventario es s. Cuando la demanda no se satisface se
convierten en ventas pendientes, el nivel de inventario, ),( sqy , depende de q y s, y se estima
a partir del inventario residual )(sy más la mitad de la cantidad promedio añadida al almacén
cuando se recibe la orden )(syq d , esto es
 )(
2
1
)(),( syqsysqy d . (9)
De las expresiones anteriores
)()( syLdssy d o Ldssysyd  )()( (10)
Luego,
     2222
)(
)(
2
1
)()(
2
1
)(),(
Ldsqsy
Ldssyqsysyqsysqy d 
El costo total

Capítulo 1. 17
17
 
22
)(
22
)(
)(
22
)(
22
)(
2222
)(
)(),(),(
2
Ldhhs
sy
hq
h
q
LdpdpssydpdK
Ld
q
d
p
q
d
pssy
q
d
p
Ldhhs
sy
hq
h
q
d
K
Ldssy
q
d
p
Ldsqsy
h
q
d
K
sy
q
d
psqyh
q
d
KsqCT d















Derivando parcialmente con respecto a q y s, e igualando a cero se obtiene el sistema de
ecuaciones
2
)(
),( 2
2
h
q
LdpdpssydpdK
sqCT
q





Igualando a cero y factorizando dp se obtiene Ldssysyd  )()(
  0
2
)(
2



h
q
LdssydpdK
Sustituyendo Ldssysyd  )()( , resulta
0
2
)(
2



h
q
sydpdK d
Despejando a q
 
h
sypKd
q d )(2 
 . (11)
Similarmente para s, se deriva el costo total parcialmente con respecto a s
2
)(
2
)(
),(
h
sy
s
h
q
dpsy
s
dp
sqCT
s










.
Igualando a cero y resolviendo con respecto a la derivada parcial

18
0
2
)(
2
0
2
)(
2
)(



















q
dph
sy
sq
dph
h
sy
s
h
q
dpsy
s
dp
2
2
)(
h
q
dp
h
q
dp
sy
s





Por otro lado, se vio que  
s
L duufussy
0
)()()( , luego
)()()()01()()()()()(
000
sFduufduufsfssduufus
s
sy
s
L
s
L
s
LL
s
L 






Obteniendo finalmente, al sustituir )()( sFsy
s
L


, en la penúltima expresión
2
2
)(
h
q
dp
h
q
dp
sFL


 . (12)
Algoritmo de solución
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con (11),
 
h
sypKd
q d )(2 
 .
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (12), con su
distribución correspondiente.
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando (6), 


s
Ld duufsusy )()()(
con su distribución correspondiente.

Capítulo 1. 19
19
NOTA
 En el caso de la distribución normal estándar se tienen tablas, llamadas pérdida
de la normal unitaria (ver anexo A), denotada por )(I e igual a
)(
2
exp
2
1
)()(
2




dydu
u
uI 






 

.
 En el caso de la distribución normal no estándar, primeramente se estandariza







 

s
d du
u
susy 2
2
2
)(
exp
2
1
)()(



con el cambio



u
z , se estandariza, resultando







 














 
 

 L
L
L
s LL
L
d
s
Idu
zs
zsy
L
L






 2
exp
2
1
)( .
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (11), regresar al paso 1 y calcular q.
Repetir hasta que dos valores sucesivos de q estén suficientemente cercanos de
modo que una iteración más no proporcione una mejora apreciable.
EJEMPLO 6
Las órdenes para un artículo se reciben después de una semana que se solicitaron. La
demanda durante el tiempo de entrega es )3,8(~ 2
NdL . El tamaño promedio de la orden es
de una unidad. El costo por inventario es de $10 por unidad por semana, el costo por déficit es
de $100 por unidad demandada no satisfecha. Agréguese un costo por ordenar de $8.
Encontrar el tamaño adecuado de s.
Solución
Datos del problema
1L semana, tiempo en recibir el inventario, 8)3,8(~ 2
 dNLdd L
8d demanda media
8K costo por ordenar

20
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q correspondiente.
  57.3
10
)8)(8(2
10
))100(08)(8(2)(2





h
sypKd
q d
.
Paso 2. Con el valor más reciente de q se encuentra s.
95634.0
2
10
57.3
)8(100
2
10
57.3
)8(100
2
2
)( 






h
q
dp
h
q
dp
sFL .
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar
 
956.0
3
8
956.0





 


s
ZP
sDP
Resulta 71.1
3
8

s
, de donde 13.13s .
Paso 3. Con el último valor de s encontrar 


s
Ld duufsusy )()()( con su distribución
correspondiente.





 






 
 







s
Idu
u
susy
s
d 2
2
2
)(
exp
2
1
)()( .
Luego, el valor de )13.13()( dd ysy  se encuentra del punto 2 de la nota anterior y las tablas
de las integrales de pérdida normales
  0534.0)0178.0(371.13
3
813.13
3)13.13( 




 
 IIyd
Paso 4. Con 0534.0)13.13( dy se encuentra el correspondiente valor de q.
  62.4
10
)34.13)(8(2
10
))0534.0(1008)(8(2)(2





h
sypKd
q d

Capítulo 1. 21
21
944.0
2
10
62.4
)8(100
2
10
62.4
)8(100
2
2
)( 






h
q
dp
h
q
dp
sFL
.
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, y después de estandarizar resulta
589.1
3
8

s
, de donde 767.12s .
Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6)
 59.13
3
8767.12
3)767.12( IIyd 




 
 .
  0714.0)0238.0(359.13
3
8767.12
3)767.12( 




 
 IIyd
Paso 7. Con 0714.0)767.12( dy y encontrar el valor de q correspondiente.
 
92.4
10
)14.15)(8(2
10
))0714.0(1008)(8(2)(2





h
sypKd
q d
94.0
2
10
92.4
)8(100
2
10
92.4
)8(100
2
2
)( 






h
q
dp
h
q
dp
sFL .
Con las tablas porcentuales de la distribución normal, después de estandarizar, resulta
555.1
3
8

s
, de donde 665.12s .
Paso 9. Con el último valor de s encontrar su correspondiente q, empleando la expresión (6)
 555.13
3
8665.12
3)665.12( IIyd 




 
 .

22
    0765.0)0255.0(356.1356.13)767.12(  IIyd .
Paso 10. Con 0765.0)767.12( dy se encuentra el valor correspondiente de q
 
00.5
10
)65.15)(8(2
10
))0765.0(1008)(8(2)(2





h
sypKd
q d
Este es el valor de 5q ya que varía muy poco con respecto al anterior.
1.7 MODELO CON VENTAS PÉRDIDAS
En este caso el nivel esperado de existencias se estima mediante
2
)(),(
q
sysqy  (13)
Por consiguiente, el costo total se calcula con
q
d
sycrpsqyh
q
d
KsqCT d )()(),(),(  (14)
donde el costo por déficit )( crp  incluye la ganancia pérdida, r precio de venta y c su
costo.
Se obtendrá el lote económico q y la probabilidad de tener un nivel de inventario s.
Derivando se obtiene:













22
)()(),(),(
)()(),(),(
q
d
sycrpsqyh
q
d
KsqCT
q
q
d
sycrpsqyhsqCT
s
dq
ds
Pero de (13),







)(),(
2
1
),(
sysqy
sqy
ss
q
Sustituyendo en la expresión anterior e igualando a cero









0)()(
2
0)()()(
22
q
d
sycrp
h
q
d
K
q
d
sycrpsyh
d
ds

Capítulo 1. 23
23
En la segunda ecuación se despeja a q, para esto se multiplica por 2
q
0)()(
2
2
 dsycrpq
h
dK d .
Luego,
 dsycrpKq
h
d )()(
2
2
 .
Finalmente el lote económico, se calculará como:
 
h
dsycrpK
q d )()(2 
 (15)
Ahora se calcula la probabilidad del nivel de inventario s. En la ecuación
0)()()( 
q
d
sycrpsyh ds ,
se despeja a q. Se sustituye )()( sFsy
s
L


,
0)()()( 
q
d
sycrpshF dL
Por otro lado, se tenía







 

s
d du
u
susy 2
2
2
)(
exp
2
1
)()(



Derivando con respecto a s,
 )(1
2
)(
exp
2
1
2
)(
exp
2
1
)10(
2
)(
exp
2
1
)()(
2
2
2
2
2
2
sFdu
u
du
uu
sssy
ds
d
L
s
s
d






 






 






 













De tal forma que

24
 
0)()()(
0)(1)()(











q
d
crpsFh
q
d
crp
q
d
sFcrpshF
L
LL
Finalmente, la probabilidad de un nivel de inventarios s
h
q
d
crp
q
d
crp
sFL



)(
)(
)( . (16)
Así, la solución al modelo con ventas pérdidas está dada por (15) y (16)
EJEMPLO 7
Resolver el ejemplo anterior en el que 1000r y 630c . Las órdenes para un artículo se
reciben después de una semana que se solicitaron. La demanda durante el tiempo de entrega
es )3,8( 2
N . El tamaño promedio de la orden es de una unidad. El costo por inventario es de
$10 por unidad por semana, el costo por déficit es de $100 por unidad demandada no
satisfecha. Agréguese un costo por ordenar de $8. Encontrar el tamaño adecuado de s.
Solución
Datos del problema
8d demanda media
1000r precio de venta y
630c costo por unidad.
 
58.3
10
)8)(8(2
10
)0)6301000100(8)(8(2)()(2





h
sycrpKd
q d

Capítulo 1. 25
25
997.0
10
1
8
)6301000100(
1
8
)6301000100(
)(
)(
)( 






h
q
d
crp
q
d
crp
sFL
.
 
997.0
3
8
997.0





 


s
ZP
sDP
Resulta 75.2
3
8

s


s
Ld duufsusy )()()( .





 






 
 







s
Idu
u
susy
s
d 2
2
2
)(
exp
2
1
)()( .
Luego, el valor de )25.16()( dd ysy  se encuentra de las tablas de integrales de pérdida
normales
  0027.0)0009.0(375.23
3
825.16
3)25.16( 




 
 IIyd
 
85.3
10
)0027.0)6301000100(8)(8(2)()(2





h
sycrpKd
q d
.
9899.0
10
85.3
8
)6301000100(
85.3
8
)6301000100(
)(
)(
)( 






h
q
d
crp
q
d
crp
sFL .

26
 
9899.0
3
8
9899.0





 


s
ZP
sDP
Resulta 323.2
3
8

s
, de donde 969.14s .


s
Ld duufsusy )()()( . Luego, el valor de
 969.14)( dd ysy  se encuentra de las tablas de integrales de pérdida normales
  0105.0)0035.0(3323.23)969.14(  Iyd .
 
5493.4
10
)0105.0)6301000100(8)(8(2)()(2





h
sycrpKd
q d
.
9880.0
10
55.4
8
)6301000100(
55.4
8
)6301000100(
)(
)(
)( 






h
q
d
crp
q
d
crp
sFL .
 
988.0
3
8
988.0





 


s
ZP
sDP
Resulta 26.2
3
8

s


s
Ld duufsusy )()()( . Luego, el valor de
)78.14()( dd ysy  se encuentra de las tablas de integrales de pérdida normales
  0123.0)0041.0(326.23)78.14(  Iyd .

Capítulo 1. 27
27
 
70.4
10
)0123.0)6301000100(8)(8(2)()(2





h
sycrpKd
q d
.
Así, como el valor de q ya no cambia significativamente, se tiene 5*
q artículos.
1.8 MODELO ESTOCÁSTICO CON DÉFICIT CONVERTIDO EN COMBINACIÓN DE
VENTAS PENDIENTES Y PÉRDIDAS
En la práctica, es frecuente que una fracción  de los clientes, que aparecen cuando se ha
agotado la existencia, acepte esperar a que se surta su pedido y el resto 1 de estos clientes
prefieren buscar la satisfacción de la demanda con otro proveedor.
Usando, en este caso, el mismo razonamiento que en los anteriores se obtiene que los
parámetros correspondientes al costo mínimo sean:
  
h
dsycrpK
q d )())(1(2 


 
  

2
))(1(
2
))(1(
)(
h
h
q
d
crp
h
q
d
crp
sFL


 .
(17)
El algoritmo de solución es el mismo que de los casos que se están combinando
EJEMPLO 8
Las órdenes de un artículo se reciben una semana después de que son puestas. )3,8( 2
NDL  ,
8$K , 1$h por semana, 10$p , 70$r , 63$c , %80
Solución
Datos del problema
8d demanda media
70r precio de venta y
63c costo por unidad.

28
80.0 fracción de clientes que están dispuestos a esperar a que se surta el material.
     
28
1
)0()6370)(80.01(108)8(2)())(1(2





h
sycrpKd
q d
.
 
 
8845.0
)80.0(
2
1
1
28
8
)6370)(80.01(10
)80.0(
2
1
28
8
)6370)(80.01(10
)( 


sFL .
 
8845.0
3
8
8845.0





 


s
ZP
sDP
Resulta 198.1
3
8

s
, de donde 594.11s .


s





 






 
 







s
Idu
u
susy
s
d 2
2
2
)(
exp
2
1
)()( .
Luego, el valor de )594.11()( dd ysy  se encuentra de las tablas de integrales de pérdida
normales
  1683.0)05610.0(3198.13)594.11(  Iyd .
     
60.12
1
)1683.0()6370)(80.01(108)8(2)())(1(2





h
sycrpKd
q d
.

Capítulo 1. 29
29
 
 
872.0
)80.0(
2
1
1
60.12
8
)6370)(80.01(10
)80.0(
2
1
60.12
8
)6370)(80.01(10
)( 


sFL .
872.0
3
8





 

s
ZP
Resulta 136.1
3
8

s
, de donde 408.11s .


s
  19.0)14.1(3136.13)41.11(  IIyd .
  
   75.12)19.0(4.11816
)())(1(2



h
sycrpKd
q d
.
Así, como el valor de q ya no cambia significativamente, se tiene 13*
q artículos.
1.9 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO CON DEMANDA INCIERTA: MÉTODO DE
NIVEL DE SERVICIO PARA DETERMINAR EL NIVEL DE LA RESERVA DE
SEGURIDAD
En la práctica, generalmente resulta que es difícil determinar con exactitud el costo de acrecer
de una unidad (costo de oportunidad). Por tal motivo, los gerentes frecuentemente deciden
controlar la escasez al cumplir con un nivel de servicio especificado. Por tal razón resulta tener
una importancia relativa la medición del nivel de servicio especificado. Sean dos medidas:
Medida 1 del nivel de servicio 1SLM . Fracción esperada (expresada
generalmente como porcentaje) de toda la demanda que se satisface a tiempo.
1SLM .el porcentaje de demanda que se satisface oportunamente.
Medida 2 del nivel de servicio 2SLM . Número esperado de ciclos por año
durante el cual hay escasez.
2SLM número esperado de ciclos por año con déficit.
En esta parte se supondrá que la escasez se acumula.

30
EJEMPLO 9
Considérese un sistema de inventario en el que la demanda anual promedio es de 1000
artículos, la cantidad económica de pedido es 100. La demanda durante el tiempo de entrega
es aleatoria y se describe mediante la distribución de probabilidad discreta uniforme para las
demandas 20, 30, 40, 50 y 60. Para un punto de reorden de 30 unidades, determine 1SLM y
2SLM .
Solución
100*
 qEOQ artículos
30r punto de reorden
1000D demanda anual de artículos
Demanda esperada en un tiempo de entrega L es
40)6050403020(
5
1
Ld .
Como el punto de reorden es 30, el tamaño del déficit es 0, 0, 10, 20 y 30,
respectivamente para cada una de las demandas. De tal forma que el número esperado por
faltantes por ciclo está dado por:
12))3060()3050()3040(00(
5
1
 .
Por otro lado, el número promedio de pedidos es
10
100
1000)(

q
DE
.
Luego, el número promedio de carencias que se presentan durante un año, está dado por:
Número promedio de pedidos  número esperado de faltantes por ciclo
12012*10  carencias durante el año.
De tal modo que la demanda satisfecha oportunamente es de 8801201000  .
Finalmente,
%8888.0
1000
880
1 SLM .
Con esto se puede apreciar que aún si el punto de reorden es menor que la demanda
promedio durante el tiempo de entrega, se puede tener un 1SLM relativamente alto, porque
las carencias sólo se pueden presentar durante el tiempo de entrega, que con frecuencia es una
parte pequeña de cada ciclo.
Se puede establecer la fórmula para el 1SLM

Capítulo 1. 31
31
q
y
q
yE
DE
qDEyEDE
SLM ddd


 1
)(
1
)(
)()()(
1 (18)
Así, se tiene por fórmula
88.0
100
12
1
)(
11 
q
yE
SLM d
Ahora se calcula el 2SLM para un punto de reorden de 30. Primeramente recuérdese
que con ese punto de reorden había escasez para las demandas de 40, 50 y 60. Es decir,
durante cualquier ciclo en el que la demanda en el tiempo de entrega, LD , sea mayor a 30.
Así, la probabilidad de escasez durante un ciclo está dada por:
5
3
5
1
5
1
5
1
)60()50()40()(  LLLd DPDPDPyP .
Luego, como se tiene un número promedio de 10 ciclos por año, el número esperado de
ciclos por año que representan carencias es de 66.0*10  . Es decir, 62 SLM .
Puede establecerse la fórmula para el 2SLM
q
yE
yPSLM d
d
)(
)(2  . (19)
1.10 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE
SEGURIDAD PARA 1SLM
Dado un valor deseado de 1SLM , ¿cómo determinar el punto de reorden que dé el nivel de
servicio deseado? Supóngase que se pide la cantidad económica de pedido q y y que se usa un
punto de reorden r, de (18)
q
yE
SLM
q
yE
SLM dd )(
11
)(
11  .
En el ejemplo anterior para calcular dd yyE )( se utilizó el hecho de que la
distribución era discreta uniforme. Cuando se trata de la distribución normal ),( 2
N anual,
para el caso de un tiempo de entrega L sería 







LL
N
2
,

y se usa







 














 
 



L
L
L
r LL
L
r
Ld
r
Idu
zr
zduufrury
LL
L






 2
exp
2
1
)()()( .
En donde el subíndice L indica la media y desviación estándar en el tiempo de entrega.

32
Así, sustituyendo esta expresión de dd yyE )( en
q
yE
SLM d )(
11  , se obtiene la
fórmula para el punto de reorden r.
LL
L SLMqr
I

 )11( 







 
(20)
Luego de las tablas de la función de pérdida normal se puede conocer r , con
L
L
L
SLMq
Ir 

 




 
  )11(1
(20a)
EJEMPLO 10
Se venden en promedio 1000 procesadores de alimentos al año. Cada pedido cuesta $500. El
tiempo de entrega es un mes. Cuesta $100 almacenar un procesador durante un año. La
demanda anual de procesadores se distribuye normalmente con desviación estándar 69.28.
Para cada uno de los siguientes valores de 1SLM determine el punto de reorden: 80%, 90%,
95%, 99% y 99.9%.
Solución
1000)(  DDE artículos
500K
100h
)240,(~ 2
ND
Se requieren los valores de q, L y L , Primeramente se calcula el valor de q, con lote
económico
100
100
)1000)(500(22

h
DK
q .
Para L y L , se tiene que el tiempo de entrega es un mes, como los valores de la
demanda están dados en años, se tiene que dividir entre 12.
33.83
12
1000
L y 20
12
240
L .
Ahora empleando la fórmula 20 o 20a para cada uno de los 1SLM
1. 80.01SLM

Capítulo 1. 33
33
   
6533.65
33.8390.02033.83120
33.83
20
)80.01(100
20
)11(
1
11







 





 



I
I
SLMq
Ir L
L
L 


2. 90.01SLM
   
8063.79
33.83185.02033.835.020
33.83
20
)90.01(100
20
)11(
1
11







 





 



I
I
SLMq
Ir L
L
L 


3. 95.01SLM
   
9023.90
33.83345.02033.8325.020
33.83
20
)95.01(100
20
)11(
1
11







 





 



I
I
SLMq
Ir L
L
L 


4. 99.01SLM
    10843.10833.83255.12033.8305.020
33.83
20
)99.01(100
20
)11(
1
11






 





 



I
I
SLMq
Ir L
L
L 


5. 999.01SLM
    12723.12733.83195.22033.83005.020
33.83
20
)999.01(100
20
)11(
1
11






 





 



I
I
SLMq
Ir L
L
L 


1.11 DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE REORDEN Y DE NIVEL DE RESERVA DE
SEGURIDAD PARA 2SLM
Suponga que un gerente desea tener suficiente reserva de seguridad como para asegurar que 0s
ciclos por año en promedio se tenga escasez. Sea LD la demanda durante el tiempo de reorden
y y r un punto de reorden, una fracción )( rDP L  de todos los ciclos conducirá a escasez.
Como se tendrá un promedio de qDE )( ciclos por año (recuérdese que se supone
acumulación de pedidos), un promedio de
0
)()(
s
q
DErDP L


o bien
)(
)( 0
DE
qs
rDP L  .

34
Así, se obtiene el punto de reorden r de 2SLM , para la demanda durante el tiempo de
entrega. Sólo falta determinar la distribución de la demanda,
Discreta
)(
)( 0
DE
qs
rDP L  .
Continua
)(
)( 0
DE
qs
rDP L  .
(21)
EJEMPLO 11
En ejemplo anterior determine 2SLM , cuando se desea asegurar que la escasez ocurra durante
un promedio de dos tiempos de entrega por año.
Solución
1000)(  DDE artículos,
500K ,
100h ,
20 s
Se cálculo 100q , 33.83
12
1000
L y 20
12
240
L . Luego, si
)240,(~ 2
ND , entonces )20,33.83(~ 2
NDL . Por la fórmula (21)
20.0
1000
)100(2
)(
)( 0

DE
qs
rDP L .
De las tablas porcentuales de la normal estándar, resultará
8416.0
20
33.83
80.0)
20
33.83
( 




rr
ZP .
Finalmente, 10016.100)8416.0(2033.83 r . Así, el nivel de reserva de
seguridad que produce un promedio de dos agotamientos por año sería:
1783.1633.8316.100)(  LDEr .
1.12 MODELO DE INVENTARIOS DE DOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN
Los supuestos del modelo son los siguientes:
1. La planeación se hace para dos periodos, en donde la demanda insatisfecha en el
periodo 1 se acarrea para satisfacerla en el periodo 2, pero no se permite acarrear
faltantes del periodo 2.

Capítulo 1. 35
35
2. Las demandad 1D y 2D para los periodos 1 y 2 son variables aleatorias independientes
e idénticamente distribuidas. Su distribución de probabilidad común tiene la función de
densidad de probabilidad )(D y la función de distribución )(D .
3. El nivel de inventario inicial al principio del periodo 1 es 01 x .
4. El objetivo es minimizar el costo total esperado para ambos periodos, en donde los
componentes del costo para cada periodo son:
c = costo unitario de comprar o producir cada unidad.
h = costo de mantener inventario por unidad que queda al final del periodo.
p = costo por faltantes por unidad de demanda no satisfecha al final del cada
periodo.
Para comenzar el análisis, sea
 *
iq valor óptimo de 2,1iparaqi .
 )( 11 xC costo total esperado para ambos periodos cuando se sigue la política optima
dado que 1x es el nivel de inventario (antes de reabastecer) al principio del periodo 1.
 )( 22 xC costo total esperado solo para el periodo 2 cuando se sigue la política optima
dado que 2x es el nivel de inventario (antes de reabastecer) al principio del periodo 2.
Para usar el enfoque de programación dinámica, primero se obtiene *
222 )( qyxC , donde
se tiene solo un periodo por analizar. Después se utilizan estos resultados para encontrar
*
111 )( qyxC . De los resultados del modelo de un solo periodo,
*
2q se encuentra resolviendo
  hp
cp
q


 *
2
Dado 2x , entonces la política óptima resultante es






ordenasenoq
qhastainventariodenivelelelevarparaxqordenaseq
xSi *
2
*
22
*
2
*
2
2
)(
(22)
El costo óptimo se puede expresar como






 *
22
*
22
*
2
*
222
22
),()(
),(
)(
qxsiqLxqc
qxsixL
xC (23)
En donde )(zL es el costo esperado de almacenaje y faltantes para un solo periodo cuando
existe z unidades en inventario (después de reabastecer). Ahora )(zL se puede expresar como

36
 dzpdzhzL D
z
D
q
)(()()()(
0



Cuando se consideran ambos periodos, los costos consisten en el costo de compra
)( 11 xqc  , el costo esperado de almacenaje y faltantes )( 1qL y los costos asociados a seguir
una política durante el segundo periodo. Así, el costo esperado si se sigue una política optima
en los dos periodos está dado por
  )()()(min)( 2211111
11
xCEqLxqcxC
xq


.
En donde  )( 22 xCE se obtiene de la siguiente manera. Observe que 112 Dqx  de manera
que 2x es una variable aleatoria al principio del periodo 1. Entonces






 *
211
*
211
*
2
*
21111
11222
),()(
),(
)()(
qDqsiqLDqqc
qDqsiDqL
DqCxC
Así, )( 22 xC es una variable aleatoria y su valor esperado está dada por
     dqLqqcdqLdqCxCE D
qq
D
qq
D )()()()()()()()(
*
21
*
21
*
21
*
2
0
1
0
1222 




Entonces
  
























dqLqqc
dqLqLxqc
xC
D
qq
D
qq
xq
)()()(
)()()()(
min)(
*
21
*
21
11
*
21
*
2
0
1111
11 (24)
Se puede demostrar que )( 11 xC tiene un valor mínimo único y que el valor optimo de
1q , denotado por
*
1q , satisface la ecuación
    0)()()()()(
*
21
0
*
1
*
2
*
1
*
1  

 dqhpqqpcqhpp D
qq
Entonces, la política óptima que resulta para el periodo 1 es la siguiente






ordenasenoq
xSi *
1
*
11
*
1
*
1
1
)(
(25)

Capítulo 1. 37
37
1.13 MODELO DE VARIOS PERIODOS SIN COSTO DE PREPARACIÓN
Ahora, se considera la extensión del problema anterior de dos periodos a n periodos, donde
2n , con suposiciones idénticas. La única diferencia es que se usa un factor de descuento
)1,0( , para calcular el costo total esperado para n periodos. El problema sigue siendo
encontrar números críticos
**
2
*
1 ,...,, nqqq que describan la política óptima de inventario. Al igual
que el modelo de dos periodos, es difícil obtener estos valores numéricos, pero se puede
demostrar que la política óptima tiene la siguiente forma.
Para cada periodo i, (i=1, 2,…, n) con ix como nivel de inventario al iniciar este periodo
(antes de reabastecer) se hace lo siguiente:






iperiodoelenordenarnoq
xSi
i
iiii
i *
***
)(
(26)
Lo que es más
*
1
*
2
*
1
* ... qqqq nn  
Para el caso de un número finito de periodos, todos estos números críticos ,..., *
2
*
1 qq son
iguales. Sea
*
q este valor constante. Se puede demostrar que
*
q satisface la ecuación
  hp
cp
q



)1(* 
(27)

38
Capítulo 2
MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA DE DISTRIBUCIÓN
CONOCIDA
2.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se desarrollarán los modelos de inventarios revisados en el capítulo previo,
pero con base a funciones de distribución probabilísticas más comunes, como son la binomial,
geométrica, poisson, exponencial, gama y beta. Además se desarrollarán algunos ejemplos con
dichos modelos.
Es muy importante el desarrollo teórico de los inventarios con función de distribución
conocida para facilitar la aplicación de los resultados que se obtendrán en el cálculo del costo
mínimo y el punto de reorden óptimo a ciertos inventarios que muestren un comportamiento
como los mencionados en el párrafo anterior.
2.2 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTICULOS PERECEDEROS DEMANDA DISCRETA
En esta sección se desarrollarán los modelos de inventarios de artículos perecederos con
distribución de la demanda conocida, cuando la distribución de la demanda es discreta. Para
esto se tomará como base de estudio el análisis marginal desarrollado en el capítulo anterior.
El problema es el siguiente, supóngase que en el departamento de compras, el encargado
de tomar las decisiones de la empresa tiene que decidir cuántas unidades pedir o producir, es
decir encontrar el lote económico *
q . Para esto se analizarán diferentes casos de la demanda
y su costo.
 La demanda es estocástica, pero se conoce su distribución de probabilidad )(dp .
 El costo incurrido, ),( qdc , es una función de d y q.
Empleando el análisis marginal para el modelo de inventarios discretos, se obtuvo en el
capítulo anterior el resultado general:

Capítulo 2. 39
39
u
u
cc
c
qDP


0
*
)( . (1)
En donde,
0c : El costo de sobreabastecimiento, es decir, el costo unitario de comprar o producir
demasiado.
uc : El costo de subabastecimiento, es decir, el costo unitario de tener faltantes.
Ahora se analizarán los diferentes tipos de demanda discreta más conocidas para este
tipo de modelo de inventario.
2.2.1 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En el caso de artículos perecederos suponga una demanda aleatoria, D, con distribución
binomial y parámetros (n, p), entonces se tiene que el lote económico que minimiza los costos
se obtiene de la fórmula (1)
 
u
u
q
i
ini
cc
c
pp
i
n
qDP







 

00
*
*
1)( , (2)
para estimar la *
q que minimiza los costos, se obtiene por tablas de la distribución binomial,
donde *
1,2,...,q n .
EJEMPLO 12
Una agencia de autos en un área metropolitana está intentando cuantos autos comprar cada
semana. Es posible aproximar la demanda de auto mediante una distribución geométrica con
parámetros n=10 p=0.4. El auto cuesta 35 mil dólares a la agencia y los vende a 50 mil
dólares el ejemplar. La agencia de autos no obtiene ningún beneficio de autos sobrantes y se
regresan al proveedor. ¿Cuántos autos debe comprar cada semana?
Solución
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ), venta de autos a 50 cada uno
( d50 ). Obteniendo un costo total de dq 5035  . Luego, 350 c .
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ) y venta de autos a 50 cada
uno ( q50 ). Obteniendo un costo total de qqq 155035  . Luego, 15uc .

Modelos de Inventarios con demanda de distribución conocida. 40
40
 
3.0
1535
15
38.3)3(
1)(
00
*
*










 

DP
cc
c
pp
i
n
qDP
u
u
q
i
ini
Por lo tanto, la agencia debe hacer un pedido de 3 autos por semana.
2.2.2 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN POISSON
En el caso de artículos perecederos con demanda D y distribución de probabilidad Poisson con
parámetro 0  , se tiene que de la fórmula 1
*
*
0 0
( )
!
iq
u
i u
c
P D q e
i c c
 

  

 , (3)
para estimar la *
q que minimiza los costos, se obtiene por tablas de la distribución Poisson,
donde *
0,1,2,...q  .
EJEMPLO 13
Supóngase que la energía en la estación de León se suministra mediante celdas solares. Una
vez al año vuela un avión y les vende celdas a $200 cada una. Se estima la demanda a partir
de una distribución de probabilidad poisson con parámetro 30 . Debido a la incertidumbre
de las necesidades futuras, en la planta sólo se puede adivinar el número de celdas que se
necesitarán durante el año venidero. Si se acaban las celdas, se debe hacer un pedido especial
pagando $300 por cada una.
Solución
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ), utilización de celdas
$200 cada una ( d200 ) y no se usan las celdas dq  no se tienen costo.
Obteniendo un costo total de dq 200200  . Luego, 2000 c .
negativo): Compra de q celdas a $200 cada una ( q200 ) y cuando la demanda
rebase la cantidad pedida a $300 cada una ( )(300 qd  ). Obteniendo un costo
total de dqqdq 300100)(300200  . Luego, 100uc .
Finalmente el valor de *
q se obtiene con la fórmula (3)

Capítulo 2. 41
41
33.033.0)27(
!
)(
0
00
*
*




 
u
u
u
u
q
i
i
cc
c
DP
cc
c
i
eqDP

Así, de la tabla de probabilidades se tiene que 27*
q celdas.
2.2.3 DEMANDA CON DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
En el caso de artículos perecederos con demanda D y distribución de probabilidad geométrica
con parámetro p, se tiene de la fórmula 1
     
 
 
*
***
11
11
11
11)(
1
1
1
1* q
qq
i
i
q
i
i
p
p
p
pppppqDP 


  



Ahora, sea
0
u
u
c
k
c c


, entonces despejando a *
q de la expresión anterior se obtiene el
siguiente resultado:
 
 
 
 
 p
k
q
kpq
kp
kp
kpqDP
q
q
q







1ln
)1ln(
)1ln(1ln
)1ln(1ln
11
11)(
*
*
*
*
*
*
Por lo tanto, sustituyendo el valor de k para determinar el tamaño de lote económico que
minimice los costos en un inventario con distribución de probabilidades geométrica con
parámetro p la siguiente expresión:
 p
cc
c
q u









1ln
ln
0
0
*
. (4)
EJEMPLO 14
Una agencia de autos en un área metropolitana está intentando calcular cuantos autos comprar
cada semana. Es posible aproximar la demanda de auto mediante una distribución geométrica
con parámetro p=0.1 El auto cuesta 35 mil dólares a la agencia y los vende a 50 mil dólares el
ejemplar. La agencia de autos no obtiene ningún beneficio de autos sobrantes y se regresan al
proveedor. ¿Cuántos autos debe comprar cada semana la agencia?
Solución

42
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ), venta de autos a 50 cada uno
( d50 ). Obteniendo un costo total de dqdq 50355035  . Luego, 350 c .
negativo): Compra de q autos a 35 cada uno ( q35 ) y venta de autos a 50 cada
uno ( q50 ). Obteniendo un costo total de qqq 155035  . Luego, 15uc .
Ahora, aplicando el resultado (3) se obtiene *
q .
 
38.3
1.01ln
1535
35
ln
*









q
Por lo tanto, se debe hacer un pedido de 3 autos a la semana.
2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE ARTÍCULOS PERECEDEROS DEMANDA
CONTINUA
Se revisará el modelo de inventarios del vendedor de periódicos pero con demanda D variable
aleatoria continua y función de densidad )(df . De forma similar que en el caso discreto, se
obtiene una expresión con la que se puede calcular el valor óptimo de *
q , pero a diferencia del
caso discreto en el continuo se obtiene mediante una igualdad. Es decir, )(qE será reducido
al mínimo por el valor mínimo de q (denotado *
q ) que satisface a
u
u
cc
c
qDP


0
*
)( .
Luego, el pedido óptimo será solicitar *
q unidades hasta el punto en el que la última que se
pida tenga probabilidad
u
u
cc
c
qDP


0
*
)( de venderse. (5)
A continuación se desarrollarán los modelos de inventarios con función de densidad
conocida.
2.3.1 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida uniforme sobre el intervalo ),( ba y la
función de densidad de probabilidades está dada por








d.o.f,0
,
1
)(
bxa
abxf

Capítulo 2. 43
43
Entonces
 















bq
aq
bqa
ab
aq
qDP
*
*
*
*
*
si,1
si,0
si,
Ahora, se procede a despejar a *
q de la expresión anterior igualando a (5), por lo que se
tiene:
u
u
cc
c
ab
aq
qDP





0
*
*
)( .
Finalmente, el valor de *
q que minimiza los costos es:
  aab
cc
c
q
u
u



0
*
. (6)
En donde, a se refiere a la demanda mínima posible y b a la demanda máxima posible, según
la distribución de la demanda.
2.3.2 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sea D una variable aleatoria continua distribuida normalmente con parámetros 2
y  , y
función de densidad
   
 
xexf x 22
2
2
1 

.
Entonces,
   
dxeqDP x
q
22
*
2*
2
1 



 .
Para calcular *
q se debe estandarizar la expresión anterior. Como
D
Z



 una
variable aleatoria normal estándar cuando D es normalmente distribuido con parámetros
2
y  , implica que la función de distribución de D puede ser expresada como
  






 







 




 **
* qq
ZPqDP .
Ahora, se despeja *
q de la expresión anterior igualando a (5)

44
 
.
0
1
*
0
*
*



















 


u
u
u
u
cc
cq
cc
cq
qDP




Por lo tanto, la cantidad de lote económico en el caso de una demanda con distribución
normal estará dada por:
 









 
u
u
cc
c
q
0
1*
. (7)
2.3.3 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN GAMMA
Sea D una variable aleatoria continua que tiene una distribución tipo gamma con parámetros
 , , >0 >0y    . Para determinar el tamaño del lote económico, se tiene de la expresión (5)
que     kqFqDP D  **
, despejando en forma general a la cantidad de lote económico









 
u
u
D
cc
c
Fq
0
1*
. (8)
Ahora si se cuenta con tablas estadísticas de cuantiles para la distribución gamma o se
dispone de algún paquete matemático, por medio de los métodos numéricos se puede
encontrar el valor del lote económico *
q .
En el caso de que 
 Zm , entonces si se denota xy 
     
dyey
m
xdex
m
qDP
q
ym
q
xm






**
0
1
0
)(1*
!1
1
)()(
!1
1


 ,
denotando dyeyqI
q
ym
m 

 
*
0
1*
1 )(

 e integrando por partes, 1
 m
yu , dyymdu m 2
)1( 
 y
dyedv y
 , y
ev 
 , se tendrá
     
 
 .)()1()(
!1
1
)()1(
!1
1
)(
!1
1
*
2
)(1*
*
20
1*
1
*
*
*
qImeq
m
qImey
m
qI
m
qDP
m
qm
m
qy
y
ym
m























Se obtuvo una fórmula recursiva, que se aplica hasta llegar a )( *
0 qI 

Capítulo 2. 45
45
   
 
 
   
)1(1
)!0(
)(
)!1(
)(
)!2(
)(
)!1(
)(
1
1)!1())(1()(
!1
)()!1())(1()(
!1
0*1*2*1*
)(
)(*2*1*
)(
*
0
*2*1*
)(
*
*
*
*
*
























mF
qq
m
q
m
q
e
eqmqmq
m
e
qIqmqmq
m
e
qDP
mm
q
qmm
q
mm
q











Donde  *
Poisson~ qv  . Por otro lado, para despejar a *
q de la expresión anterior, se tiene
      kmFkmFqDP VV  1111*
.
En donde,
0
u
u
c
k
c c


, luego de las tablas de la distribución de poisson se encuentra el valor
de  que hace que se cumpla la desigualdad
 
u
m
i
i
cc
c
i
e





0
0
1
0 !


y *
q . (9)
2.3.4 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Cuando la demanda tiene una distribución exponencial, como se sabe se trata de un caso
especial de la distribución gamma con 1 , luego utilizando cualquiera de las expresiones
(8) o (9) , por ejemplo esta última
 







 




 



0
0
0
0
0
0
0
0
ln
! c
cc
cc
c
e
cc
c
i
e u
uui
i

 

.
Finalmente, el lote económico, *
q , para esta distribución







 

0
0*
ln
1
c
cc
q u

. (10)
2.3.5 DEMANDA CON FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Sea D una variable aleatoria continua con función de densidad Weibull con parámetros
, ,v y  , es decir su función de densidad estará dada por:






















 





 


vx
vx
vxvx
xf
si,0
si,exp
)(
1 


Entonces, para determinar el lote económico se tiene que resolver

46













 














 














 














 














 





 
 










vq
vqvv
vx
dx
vxvx
qDP
q
v
q
v
*
*
1
*
exp1
expexp
exp
exp)(
*
*
Ahora, se sabe que debe cumplirse  *
P D q k  , de donde se despeja *
q , luego
 
 
































 







 

























 

















 

k
vq
k
vq
k
vq
k
vq
k
vq
1
1
ln
1
1
ln
1ln
1lnexpln
exp1
*
*
*
*
*
Por lo tanto, para
0
u
u
c
k
c c


la expresión que minimiza los costos para el lote
económico en una distribución Weibull, estará dada por
 








0
*
1ln
c
c
vq u
(11)
EJEMPLO 15
Un puesto de periódicos en un área metropolitana está intentando determinar cuántos
ejemplares de un periódico dominical debe comprar cada semana. Es posible aproximar la
demanda del periódico mediante una distribución gamma con parámetros 29   y .
El periódico cuesta 0.35 dólares al puesto y los vende a 0.50 dólares el ejemplar. El puesto de

Capítulo 2. 47
47
periódico no obtiene ningún beneficio de los periódicos sobrantes y, por ello, absorbe el 100%
de la pérdida de los que no se venden. ¿Cuántos ejemplares debe comprar cada semana del
periódico dominical?
Solución
 7.00 c
 15.0uc .
Como  es entero entonces se aplica la ecuación (9). Utilizando la tabla de función de
distribución Poisson:
  8235.0
15.07.0
7.0
! 0
0
1
0








u
m
i
i
cc
c
i
e 

Para que se cumpla la desigualdad anterior 5.29 y 25.14
2
5.29*



q . Por lo tanto, al
empleado del puesto de periódico se le aconseja hacer un pedido de 14 o 15 periódicos.
2.4 MODELO ESTOCÁSTICO DE REVISIÓN CONTINÚA
Estos modelos se desarrollaron y se explicaron en el capítulo 1, obteniendo la fórmula para el
punto de reorden cuando se utiliza la política de inventario que consiste en llevar el inventario
hasta s cada vez que se presenta una demanda. El valor de s que minimiza el costo de
inventario, sin reconocer el costo por ordenar, se obtiene a partir de:
dpqh
dp
q
d
ph
q
d
p
duufsF
s
LL



 0
)()( . (12)
En donde,
 El tiempo de entrega L es distinto de cero.
 )(ufL la demanda durante el tiempo de entrega.
 


0
)( duuufdLd L la demanda promedio por unidad de tiempo durante el tiempo de
entrega.
 s es el punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin el costo por ordenar.

48
A partir de la fórmula (12) se pueden obtener expresiones similares al caso de artículos
perecederos con demanda continua, para el lote económico, si se realiza
dpqh
dp
k

 en lugar
de
0
u
u
c
k
c c


ahorrando los desarrollos.
1) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida uniforme sobre el intervalo ),( ba que
representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto de reorden que
minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará dado por
  aab
dpqh
dp
s 

 . (13)
2) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida normal con parámetros 2
y  , que
representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto de reorden con el que
se minimiza el costo de inventario, sin costo por ordenar, estará dado por



 















 
dpqh
dp
s 1
. (14)
3) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA
Sea D una variable aleatoria continúa distribuida tipo gamma con parámetros
 , , >0 >0y    que representa la demanda durante el tiempo de entrega, entonces su punto
de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará dado por









 
dpqh
dp
Fs T
1
. (15)
Para la distribución gamma con parámetros  , , >0 >0y    .
En el caso de que 
 Zm , se obtuvo       kmFkmFqDP VV  1111*
.
En donde,
dpqh
dp
k

 , luego de las tablas de la distribución de poisson se encuentra el valor
de  que hace que se cumpla la desigualdad
 
dpqh
qh
i
em
i
i




1
0 !


y s . (16)

Capítulo 2. 49
49
4) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Cuando D tiene una distribución exponencial, como se sabe trata de un caso especial de la
distribución gamma con 1 , luego utilizando (16), para la demanda durante el tiempo de
entrega, su punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por ordenar, estará
dado por





 

qh
dpqh
s ln
1

. (17)
5) DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Cuando D tiene una distribución Weibull con parámetros , ,v y  , para la demanda durante
el tiempo de entrega, su punto de reorden que minimiza el costo de inventario sin costo por
ordenar, estará dado por
 






qh
dp
vs 1ln . (18)
EJEMPLOS 16
Un impresor que en la actualidad está haciendo una compra mensual, estudió el
comportamiento del papel libro de 70 gr. en los últimos doce meses. Encontró que su demanda
fue de: 10, 11, 10, 9, 10, 11, 9, 10.5, 10, 9, 9 y 11.5 toneladas por mes. Esta obedece a una
función de distribución uniforme en el intervalo  12,5.8 , y la orden se recibe después de una
semana que se solicitaron. El tamaño promedio de la orden es 10 unidades. El costo por
inventario es de $345.00 por unidad por semana y el costo por déficit es $200.00 por unidad.
¿Calcule el punto de reorden?
Solución
25.10d demanda media
Utilizando la ecuación (13)
  69.95.85.812
)25.10(200)400(10
)25.10(200


s .
Por lo tanto, el punto de reorden es de 9 ó 10 toneladas.

50
2.5 MODELO DE VENTAS PENDIENTES O COSTO DE ORDENAR SIGNIFICATIVOS
La parte teórica de estos modelos se desarrolló a detalle en el capítulo anterior obteniendo los
siguientes resultados y algoritmos de solución:
a)
 )(2
h
sypKd
q d
 .
b)
qhdp
qhdp
sFL



2
2
)( .
En donde,
 K costo por ordenar,
 q tamaño de la orden,
 s nivel de inventario,
 


s
Ld duufsusy )()()( ,
 d demanda media durante el tiempo de entrega,
 p costo por déficit por unidad y
 h costo por inventario por unidad
Paso 1. Suponer 0)( syd y encontrar el valor de q con la expresión (a).
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (b).


s
Paso 4. Con el último valor de s y )(syd , y empleando (a), regresar al paso 2 y calcular q.
Repetir hasta que dos valores sucesivos de q estén suficientemente cercanos de modo
que una iteración más no proporcione una mejora apreciable.
Ahora se desarrollarán las fórmulas para aplicar el algoritmo de solución en cada una de
las distribuciones vistas. Para esto nótese que en realidad sólo interesan las fórmulas para los
pasos 2 y 3, ya que 1 y 4 son los mismos para cualquier distribución. El paso dos se puede

Capítulo 2. 51
51
hacer simplificando cálculos si se emplea la sección anterior con
qhdp
qhdp
k



2
2
en lugar de
dpqh
dp
k

 . De esta forma se iniciarán siempre con los cálculos del paso 3.
2.5.1 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución uniforme entre
a y b.
Para encontrar el valor de s se utiliza el desarrollo de la sección anterior.
 ab
qhdp
qhdp
s 



2
2
(19a)
Para el paso 3 se requiere calcular
)(2
)(
2
)(11
)()()()(
22
ab
sbsu
ab
du
ab
suduufsusy
b
s
b
ss
Ld







 

.
En caso de que bs  vale cero. Es decir,
0)(,
)(2
)(
)(
2



 sy
ab
sb
sy dd cuando bs  (19b)
Ahora se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de
una distribución uniforme de la demanda.
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (19a).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (19b).
2.5.2 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal con
parámetros ),( 2
 .



 














 
qhdp
qhdp
s
2
21
(20a)
Para el paso 3 se requiere calcular )(syd .

52
 sDPdxxfsF
s
LL   0)()(
0
 Para el caso de de la normal estándar el valor de  sIsyd )( se obtiene de la tabla de
la pérdida normal unitaria.
 Para la normal no estándar se tiene el siguiente resultado





 












 
 

 L
L
L
s LL
L
d
s
Idu
zs
zsy
L
L






 2
exp
2
1
)(
I se obtiene de la tabla de la pérdida normal unitaria. Es decir,
0)(,)( 




 
 sy
s
Isy d
L
L
Ld


 cuando bs  (20b)
Finalmente se tiene el siguiente algoritmo de solución para la distribución normal.
2.5.3 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN GAMMA
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución gamma con
parámetros  , , >0 >0y    .
Para encontrar el valor de s utilizamos el desarrollo de la sección anterior.
)2(
2
qhdp
qh
s



(21a)
   









s
u
s
u
s
Ld due
u
sdue
u
uduufsusy 






 11
)()()( .
Aplicando el resultado de 3.3.3 se tiene el siguiente resultado
 
 
   21
!1
)( 

 


 

VV
s
d FFe
s
sy (21b)
El valor de la función  VF se obtiene de la tabla de distribución poisson.

Capítulo 2. 53
53
una distribución gamma de la demanda.
2.5.4 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución exponencial,
para alguna 0  .







 

qh
qhdp
s
2
2
ln
1

(22a)
s
b
s
u
s
Ld eduesuduufsusy 

 

 
1
)()()()( .
En caso de que 0 vale cero. Es decir,
0)(,
1
)(  
syesy d
s
d


cuando 0 (22b)
una distribución exponencial de la demanda.
2.5.5 DEMANDA DURANTE EL TIEMPO DE ENTREGA CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL
Supóngase que la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución weibull con
parámetros  yv, .

54
 






qh
dp
vs
2
1
ln (23a)

 













 














 





 

sss
Ld du
vu
du
vuvu
suduufsusy



expexp)()()()(
1















 

s
d du
vu
sy


exp)( (23b)
Para encontrar el valor de )(syd se obtiene mediante aproximaciones numéricas. Ahora
se puede resumir el algoritmo de solución de la siguiente manera en el caso de una
distribución weibull de la demanda.
Paso 2. Con el valor más reciente de q encontrar s, empleando la expresión (23b).
Paso 3. Con el último valor de s encontrar )(syd empleando la expresión (23a).
EJEMPLOS 17
Una empresa determinada, vende a turistas diversos artículos de calidad hechos a mano. La
entrega se hace en promedio en una semana. Esta empresa vende miniaturas talladas a mano
de un soldado colonial, cada año, pero el patrón de demanda anual es incierto, el tiempo de
entrega obedece a una distribución gamma con parámetros 315   y . Las réplicas se
venden a $40.00 cada una, el costo anual de mantenimiento de inventario representa el 25 %
del precio de venta por unidad, el costo por pedido es de $2.00. Y el costo por déficit es de
$15.00 por unidad. ¿Calcular el tamaño de la orden?
Solución
Datos del problema
5d demanda media

Capítulo 2. 55
55
  41.1
10
))15(02)(5(2)(2





h
sypKd
q d
Paso 2. Con el valor más reciente de q y con las tablas porcentuales de la distribución normal
se encuentra s.
   
06.0
)10)(41.1()5)(15(23
)10)(41.1(2
2
2





qhdp
qh
s



s
Ld duufsusy )()()( con su distribución
correspondiente.
 
 
     
 
   
84.1615184.0
131514
!1153
09.0(3
21
!1
)06.0( )09.0(3
15





 
VVVV
s
d FFeFFe
s
y 

 

  95.15
10
))15(84.162)(5(2)(2





h
sypKd
q d
   
34.0
)10)(95.15()5)(15(23
)10)(95.15(2
2
2





qhdp
qh
s

Paso 6. Con el último valor de s encontrar )(syd , empleando la expresión (6)
 
 
     
 
   
36.1615136.0
131514
!1153
34.0(3
21
!1
)34.0( )34.0(3
15





 
VVVV
s
d FFeFFe
s
y 

 

Paso 7. Con 36.16)34.0( dy y encontrar el valor de q correspondiente.
  73.15
10
))15(36.162)(5(2)(2





h
sypKd
q d
   
34.0
)10)(73.15()5)(15(23
)10)(73.15(2
2
2





qhdp
qh
s

Paso 9. Con el último valor de s encontrar su correspondiente q, empleando la expresión (6)

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