2. ELEMENTOS FUNDAMENTALES
EL PUNTO
Se representa mediante una letra mayúscula. No importa el símbolo que lo acompañe.
Es el elemento geométrico mínimo: no puede descomponerse en otros más pequeños.
Se considera que no tiene dimensiones: su tamaño no es relevante.
Su principal utilidad es que permite indicar una posición concreta en el espacio,
Esa ubicación queda determinada por sus coordenadas: medidas sobre las 2 o 3 dimensiones posibles.
Estas características permiten definirlo como el inicio de una línea o como la intersección de dos.
A B 2
3. LA LÍNEA
La consideramos como un conjunto infinito de puntos, que se representa con una letra minúscula.
No obstante, enseguida vamos a ver que puede presentar diferentes características.
r
Línea Recta : sucesión infinita de puntos que siguen todos la misma dirección.
Línea Curva : sucesión infinita de puntos que cambian constantemente de dirección. s
A r
Semirrecta : recta limitada en un extremo por un punto.
s
Semicurva : curva limitada en un extremo. B
Las nombramos mediante una letra mayúscula que indica el punto de origen y otra minúscula: Ar, Bs.
A B
Segmento : porción de una recta, limitada por dos puntos.
Arco : tramo de curva limitada en sus extremos. C D
Se designan nombrando los puntos de los extremos. Para distinguir uno de otro, se puede acompañar
de una marquita recta o curva encima de las letras: AB, CD.
3
4. COPIA DE SEGMENTOS OPERACIONES CON SEGMENTOS
AB
r D
C C
Trazar una semirrecta Cr de mayor longitud que el segmento a copiar. Trazar un arco de radio AB desde el extremo de la semirrecta (C) que la corte en D.
El segmento CD es igual al AB.
SUMA DE SEGMENTOS
AB
CD
C D
Trazar una semirrecta suficientemente larga sobre la que copiar el segmento AB A continuación, copiar el segundo segmento, CD. El segmento AD es el resultado.
RESTA DE SEGMENTOS
AB
CD
Sobre una semirrecta, copiar el primer segmento, AB. A continuación copiar CD pero ahora hacia la izquierda. El segmento AD es el resultado
PRODUCTO DE SEGMENTOS
AB 4
Para multiplicar un segmento basta con copiarlo sucesivamente tantas veces como se desee.
5. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es la línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio, dividiéndolo en dos partes iguales.
C
A B
Trazar dos arcos que se corten Unir los puntos de corte C y D
con centro en los extremos del
segmento (A y B) y el mismo radio.
D
TEOREMA DE TALES (O DIVISIÓN DE SEGMENTOS EN PARTES IGUALES)
Trazar una semirrecta desde un extremo del segmento, A.
Método para dividir un segmento en partes iguales Y dividirla en el mismo número de partes iguales
A
5
B
A B
Unir la última división con el otro extremo del segmento, B. Trazar paralelas por cada división.
6. POSICIONES RELATIVAS
Dos líneas rectas pueden estar relacionadas de tres formas diferentes:
SECANTES
Tienen un punto en común,
sin que exista ninguna otra condición
PARALELAS ( ) PERPENDICULARES ( )
Siguen la misma dirección. Se cortan formando un ángulo de 90º.
Sólo se cortarían en el infinito.
6
7. PERPENDICULAR POR UN PUNTO QUE PERTENECE A LA RECTA
P
A B A B
Posición de los datos Trazar un arco de radio cualquiera con Trazar la mediatriz del segmento AB.
centro en P que corta la recta en A y B.
PERPENDICULAR POR UN PUNTO QUE NO PERTENECE A LA RECTA
P
A B A B
Posición de los datos Trazar un arco de radio cualquiera con
Trazar la mediatriz del segmento AB.
centro en P que corta la recta en A y B.
PARALELA POR UN PUNTO DADO
P P
P
A B A
Posición de los datos Trazar un arco de radio cualquiera con Trazar el mismo arco con centro en A:
centro en P que corta la recta en A. pasa por P y corta la recta en B.
P Q
P Q
7
B A
Tomar la medida AP y aplicarla desde B: Q Unir P y Q
8. ÁNGULOS: DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Un ángulo es la abertura de dos líneas semirrectas que concurren en un punto que es el vértice.
La longitud de las líneas no influye en las dimensiones del ángulo que se miden en grados.
Para nombrarlos utilizamos letras griegas: α (alpha), β (beta), ∏ (pi)
Agudo Recto Obtuso Llano
< 90º 90º >90º 180º
Consecutivos Opuestos
8
9. ÁNGULOS: CONSTRUCCIÓN
CONSTRUCCIÓN DEL ÁNGULO DE 60º
P P
A B A B A
Sobre una semirrecta, trazar un arco con centro Trazar otro arco que corta al anterior en P Unir los puntos A y P
en A y radio cualquiera, que la corta en B. con el mismo radio, pero centro en B
CONSTRUCCIÓN DEL ÁNGULO DE 90º
C C
P P
A B B
A A
9
Trazar un arco con radio y centro (P) cualquiera Unir P y B hasta que corte al arco trazado en C Unir los puntos A y C
que pase por A y corte la semirrecta en B
10. CONSTRUCCIÓN DEL ÁNGULO DE 30º (BISECTRIZ DE 60º )
A A
P P
B B
Sobre un arco de 60º, trazar un arco con centro Trazar dos nuevos arcos con centros en A y B Unir el vértice y el punto P
en el vértice y radio cualquiera que se cortan en Ay B y radio cualquiera que se corten en un punto P.
CONSTRUCCIÓN DEL ÁNGULO DE 45º (BISECTRIZ DE 90º )
P P
A A
B B
Sobre un arco de 90º, trazar un arco con centro Trazar dos nuevos arcos con centros en A y B Unir el vértice y el punto P
en el vértice y radio cualquiera que se cortan en Ay B y radio cualquiera que se corten en un punto P. 10
11. COPIA DE UN ÁNGULO
ÁNGULOS: OPERACIONES
C C
C C r2 r2
C r2
A B B A B B
A
B
Obtener las medidas del ángulo. Sobre una semirrecta trazar un arco Trazar otro arco que corta al anterior Unir los puntos A y C
de radio r1 que la corta en B en C de radio r2 con centro en B.
SUMA DE ÁNGULOS
r2
B C B
B
A C
A A
Copiar el ángulo del que no A continuación, copiar el otro ángulo tomando como
hemos obtenido sus medidas. semirrecta de referencia uno de los lados del ángulo.
Obtener las medidas de uno de los ángulos.
RESTA DE ÁNGULOS
C
r2
B B
A B
C C
C A A
11
Copiar el ángulo del que no A continuación, copiar hacia adentro el otro ángulo tomando
B hemos obtenido sus medidas. como semirrecta de referencia uno de los lados del ángulo.
Obtener las medidas de los ángulos.
14. EJERCICIO 23. OPERACIONES CON SEGMENTOS
1. Traza un segmento AB de 86mm y otro CD de 28 mm. A continuación, súmalos y comprueba el resultado.
2. Traza un segmento EF de 102 mm y otro GH de 21mm. A continuación, réstalos y comprueba el resultado.
3. Traza un segmento IJ de 79 mm. Súmale 31mm y resta 18mm al resultado.
4. Traza un segmento KL de 42 mm y multiplícalo por 5. Comprueba el resultado.
5. T raza un segmento MN de 87 mm y traza su mediatriz.
6. Traza un segmento OP de 93 mm y divídelo en 5 partes iguales utilizando el Teorema de Tales.
7. Traza un segmento QR de 111 mm. Sitúa un punto S a 20 mm de su extremo derecho y traza una perpendicular
que pase por dicho punto.
8. Traza un segmento TU de 119 mm. Sitúa un punto V que no pertenezca al segmento y traza una perpendicular
que pase por dicho punto .
14
9. Traza un segmento WX de 97 mm. Sitúa un punto Z que no pertenezca al segmento y traza una paralela que
pase por dicho punto.
15. EJERCICIO 24. OPERACIONES CON ÁNGULOS
1. Dibuja un ángulo de 60º utilizando el compás y la regla.
2. Dibuja un ángulo de 90º utilizando el compás y la regla.
3. Dibuja un ángulo de 30º utilizando el compás y la regla.
4. Dibuja un ángulo de 45º utilizando el compás y la regla.
5. Dibuja un ángulo cualquiera. A continuación, cópialo utilizando sólo el compás y la regla.
6. Dibuja dos ángulos cualesquiera. A continuación, súmalos utilizando sólo el compás y la regla.
7. Dibuja dos ángulos cualesquiera. A continuación, réstalos utilizando sólo el compás y la regla.
8. Dibuja un ángulo de 75º utilizando el compás y la regla.
9. Dibuja un ángulo de 105º utilizando el compás y la regla.
10. Dibuja un ángulo de 120º utilizando el compás y la regla.
11. Dibuja un ángulo de 135º utilizando el compás y la regla. 15
12. Dibuja un ángulo de 150º utilizando el compás y la regla.
