12. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 12
Хэрэв к-р тэгшитгэлийн эхний (k-1) хувьсагчийн өмнөх бүх коэффициентүүд тэг бөгөөд
-ийн өмнөх коэффициент тэгээс ялгаатай байвалkx ( )nk .,..,1= системийг гурвалжин
хэлбэрт бичигдсэн гэнэ.
Жишээ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
=+−
2
4
052
3
22
321
x
xx
xxx
Энэ систем гурвалжин хэлбэрт бичигдсэн байна.Ийм гурвалжин хэлбэрт байгаа
Лекц№ 9 Цэгээс хатвгай дээрхи шулуун хүртэлх зай.
М0(x0,y0,z0) цэгээс Ax+By+Cz+D=0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг ольё.
(Зураг 2.9)
M0 цэгээс хавтгайд M0N перпендикуляр татья .| M0N|=d гэж тэмдэглэе.Энэ нь бидний
олох зай юм.
Хавтгайн нормаль нь 0 вектортой коллинеар байна.n
r
NM
uuuur
n 0 =
r
⋅ NM
uuuur
± | n
r
| | NM
uuuur
|=± |n
r
|d
0 0| |
| | | |
n NMn NM
d
n n
⋅⋅
= ± =
r uuuuuurr uuuur
r r
(1)нь M0 цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зай олох томъёоны вектор
хэлбэр.Координатаар нь илэрхийлье.N( x1,y1,z1) гэвэл.
0 1 0 1 0 1( ) ( ) ( ) | |n NM A x x B y y C z z n d⋅ = − + − + − = ±
r uuuur r
;
0 0 0 | |Ax By Cz D n d+ + + = ±
r
;Үүнд 1 1( )D Ax B 1y Cz= − + + ;
0 0 0 0 0 0
2 2 2
| | | |Ax By Cz D Ax By Cz D
d
n A B C
+ + + + + +
= =
+ +
r ;
(2)-нь M0 цэгээс хавтгай хүртэлх зайг координатаар нь олох томъёо Аx +By +C=0
шулуун,түүний гадна орших M(x0,y0) цэг өгөгдсөн гэж үзье .
13. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 13
(Зураг2.10)
M0 цэгээс шулуунд M0N перпендикуляр татья.|M0И|=d гэвэл энэ нь цэгээс шулуун
хүртэлх зай болно. Шулууны нормаль n
r
нь NM
uuuur
векторын колинеар байна.
0 | || | | |n NM n NM n d⋅ = ± ⋅ = ±
r uuuur r uuuur r
Эндээс 0
| |
| |
n NM
d
n
⋅
=
r uuuuur
r
Координатаар нь илэрхийлбэл
0 0
2 2
| |Ax By C
d
A B
+ +
=
+
(3)- нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олох томъёо болно .
Жишээ 1. М(2;0;8) цэгээс 2x-2y+z-6=0 хавтгай хүртэлх зайг ол
Бодолт (2) томёог хэрэглэвэл
2
| 2*2 2*0 8*1 6 | 6
2
34 4 1
d
− + −
= =
+ +
=
Жишээ 2. 3x-y-6=0;-6x+2x-4=0 параллель хоёр шулууны хоорондох зайг ол.
Бодолт {3;1}n =
r
{ 6;2}n = −
r
Энэ хоёр шулууны аль нэг дээр цэг сонгон авъя.Тухайлбал М1(2;0) цэгийг 3х-у-6=0
шулуун дээр авъя.M1(2;0) цэгээс -6x+2y-4=0 шулуун хүртэлх зайг (3)томъёогоор олъё.
| 6 2 2 0 4 | 16 8 4 10
536 4 40 10
d
− ⋅ + ⋅ −
= = =
+
= ;
1.7 Шулуун хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг
Тодорхойлолт 1.5 Шулууны хавтгай дээрх проекцтойгоо үүсгэх өнцгийг шулуун хавтгай
хоёрын хоорондох өнцөг гэнэ.
14. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 14
I: 0 0 0x x y y z z
m n p
− − −
= = ;
P: Ax+By+C=0;
IШулуун хавтгай хоёрыг авч үзье(2.8)
{ ; ; }s m n p= ; { , , }n A B C= ;
∧
s
r
n
r 0
90 φ= −
∧
0| |
cos ( ) cos(90 ) sin
| || |
s n
sn
s n
φ φ
⋅
= = − =
ur r
rr
uuruur тул.
| |
sin
| || |
s n
s n
φ
⋅
=
ur r
uuruur ;
Координатаар илэрхийлж бичвэл :
2 2 2 2 2
| |
sin
Am Bn Cp
m n p A B C
φ
+ +
=
+ + + + 2
Шулуун хавтгай хоёр параллель бол:
Am Bn Cp+ + =0;
Шулуун хавтгай хоёр перпендикуляр бол
A B C
m n p
= = ;
Жишээ 1.
2х-у+2z=0 хавтгай ба
1 2 3
0 1
x y x
1
− − +
= =
−
;
шулууны хоорондох өнцгийг ол .
16. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 16
Нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээр байх векторуудыг коллинеар векторууд
гэнэ.
Векторуудыг нэмэх,хасах,тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг вектор дээрх шугаман үйлдэл
гэж нэрлэдэг.
Векторуудыг нэмэх,хасах
Дурын ба векторыг авч үзье.0 цэг авч энэ цэг дээр эхтэйа
r
b
r
а
r
= ,В цэгт эхтэйBO
r
b
r
= CB
r
.векторуудыг байгуулж 0-г С-тэй холбоход үүсэх CO
r
векторыг энэ хоёр векторын
нийлбэр вектор гэнэ.
Энэ нийлбэр векторыг өөр аргар гаргаж авч болно.Тухайлбал,0 цэгээс =аCO
r r
вектор,
= векторыг байгуулж эдгээр векторуудаар тала хийсэн параллелограмм байгуулахад
эдгээр текторуудын нийлбэр тектор болно.
BO
r
DO
r
b
r
а
r
+b
r
=b
r
+ /Байр солих хууль/ .Векторыг нэмэх сүүлчийн дүрмийг векторыг нэмэх
параграммын дүрэм гэнэ.
а
r
а
r
,b
r
, дурын гурван вектор өгөгдсөн үед эдгээрийгс
r
а
r
+b
r
олж,дараа нь а
r
+b
r
ба с
r
нийлбэрийг олно.Төгсгөлөг тооны векторуудыг нэмэх цэгээс эхний векторыг байгуулж
түүний төгсгөлөөс дараагийн векторыг залгуулах замар бүх векторыг байгуулж анхны
векторын энэ төгсгөлийн векторын төгсгөлтэй холбоход үүсэх тектор нь тэдгээрийн
нийлбэр болно.
а
r
ба b
r
вектор өгөгдсөн байг.Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасах вектор гарах векторыг
эдгээрийн ялгавар вектор гэнэ.
Векторуудыг тоогоор үржүүлэх
а
r
дурын вектор , R∈∀λ бодит тоо байг.
1. ac
rr
λ=
2.хэрэв λ >0 бол гийн эсрэг чиглэлтэй байха
r
с
r
векторыг а
r
векторыг λ тоогоор
үржүүлсэн үржвэр гэнэ.
17. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 17
Жишээ нь Энэ тодорхойлолтоос -а
r
=(-1) а
r
гэж үзэж болно.Векторыг тоогоор үржүүлэх
үйлдлийн тодорхойлолтоос үзэхэд хоёр векторын коллинеар байх нөхцөл b
r
=λ а
r
Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
а
r
+b
r
=b
r
+ /байр солих/а
r
(а+
r
b
r
)+ = +(с
r
а
r
b
r
+ ) /хэсэглэн нэгтгэх/с
r
а
r
+ =o
r
а
r
а
r
+(- )=а
r
o
r
λ ( +а
r
b
r
)=λ b
r
+λ а
r
λ R∈
(λ 1+λ 2) а=
r
λ 1 а+
r
λ 2 а
r
λ 1 λ 2 R∈
λ 1(λ 2 а)=(
r
λ 1 λ 2) а
r
λ 1 λ 2 R∈
1а=
r
а
r
Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэгж вектор гэнэ. а
r
векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцүү
тай ижил чиглэлтэй векторыга
r
а
r
-ийн нэгж вектор буюу орт гээд а-0
гэж тэмдэглэе.
Векторыг тоогоор үржүүлэх тодорхойлолтоос а
r
=а0
а
r
болно.
Лекц№11 Векторуудын шугаман хамаарал.Сууръ вектор
Векторуудын харилцан байршилыг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн хоорондын шугаман
хамаарал гэдэг ойлголтыг оруулж ирдэг.
Тодорхойлолт 2.1
λ1ē1+λ2ē2+...+λnēn=0 (1)
тэнцэтгэл λ1=λ2=….=λn=0 байхад биелэгдэж байвал ē1, ē2ь…ēn векторуудыг шугаман
хамааралгүй векторууд гэнэ. Хэрэв λ1 λ2….λn тоонууд ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай байхад
(1) биелэгдэж байвал ē1, ē2ь…ēn векторуудыг шугаман хамааралтай векторууд гэнэ. (1)
тэнцэтгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ē1, ē2…ēn векторуудын шугаман эвлүүлэг
гэж нэрлэдэг.
Хэрэв өгөгдсөн векторууд шугаман хамааралтай байвал ядаж нэг векторыг нь нөгөө
векторуудынх нь шугаман эвлүүлэгт бичиж болно.
20. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 20
Тодорхойлолт 2.4 Огторгуй дахь шугаман хамааралгүй дурын гурван векторыг огторгуйн
суурь вектор гэнэ.
Хэрэв ē1, ē2 ē3 огторгуйн суурь векторууд бөгөөд ā дурын вектор бол 2.2 теорем ёсоор
ā = λ1ē1+λ2ē2+λ3ē3 (3) болно.
λ1,λ2 λ3 тоог ā векторын аффин координат гэнэ.
ā ={ λ1,λ2 λ3 } гэж тэмдэглэнэ.Дээр дурьдсан (2) ба (3) задаргаа нэг утгатай байна.
Лекц№12 Векторын тэнхлэг дээрх проекц,түүний чанар
ā ба хоёр вектор байг.Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё. Эдгээрийг нэг эхтэй болгоё.Нэг
векторыг нь нөгөө тектортой давхцтал нь эргүүлэхэд үүсэх хамгийн бага эргэлтийн
өнцгийг энэ хоёр векторын хоорондох өнцөг гэнэ.Уг өнцгийг φ гэвэл 0≤ φ≤
b
r
π .
Огторгуйд дурын байрлалтай байх l
r
тэнхлэг ВА
r
векторыг авч үзье.А ба В цэгийн
тэнхлэг дээрх проекцыг А1В1 гэе.е
r
Тодорхойлолт 2.5 А1В1 хэрчмийн уртыг нэмэх хасах тэмдэгтэйгээр авсныг е
r
тэнхлэг
дээрх ВА
r
-ийн проекц гэнэ.
Үүнийг npе
r
ВА
r
гэж тэмдэглэе.Хэрэв А1В1 –ийн чиглэл е
r
-ийн чиглэлтэй давхцаж байвал
проекц эерэг, А1В1 –ийн чиглэл е
r
-ийн эсрэг бол проекц сөрөг байна.Энэ тодорхойлолтоос
үзвэл npе
r
ВА
r
= ВА
r
cos φ
Энд φ нь тэнхлэге
r
ВА
r
векторын хоорондох өнцөг.Проекцын хувьд дараах чанарууд
хүчинтэй.
npе ( )= np + np
r
ba
rr
+ е
r
a
r
е
r
b
r
npе λ =λ npе
r
a
r r
a
r
R∈∀λ
Эдгээр чанарыг проекцын тодорхойлолтоос хялбархан баталж болно.Жишээ болгож I
чанарыг баталья.
Баталгаа: =b + c байг.a
r r r
ВА
r
= a
r
CB
r
=b
r
CA
r
= c
v npе
r
c
v =A1C1
npе = А1В1 npе =B1C1 A1C1= А1В1 + B1C1 тул
r
a
r r
b
r
21. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 21
npе =np +np хүчинтэй.
r
c
v
е
r
a
r
е
r
b
r
Декартын тэгш өнцөгт суурь.Векторыг координатын тэнхлэгүүд дагуух байгуулагчаар
задлах
Оxyz тэгш өнцөгт декартын координатын системд абсцисс ординат аппликат тэнхлэгүүд
дээр эерэг чиглэлийн дагуу чиглэлтэй 1=== kji ортуудыг авч үзье.Эдгээр гурван
вектор нь харилцан перпендикуляр ортууд байна.Энэ гурван вектор нь декөртын
ортогональ суурь болно..Огторгуйд дурын a
r
вектор авч үзье.
Энэ векторыг өөртэй нь параллелтараар зөөн эхлэлийг нь координатын эхтэй давхцуулж
= векторыг байгуулья.a
r
МО
r
МО
r
векторын төгсгөлийг дайруулан координатын
хавтгайнуудтай параллель хавтгайнууд татвал тэгш өнцөгт параллелопипед үүснэ. МО
r
нь түүний диогналь бална.
МО
r
= 1+МО
r
М
r
1Q+Q М
r
үүнд
МО
r
= 1= np ia
r
МО
r
е
r
a
r
МО
r
2= npе
r
a
r
j МО
r
3= npе
r
a
r
k
МО
r
2= М
r
1Q Q М
r
= 3 мөнМО
r
npе =x np =y npе
r
a
r
е
r
a
r r
a
r
=z гэж тэмдэглэвэл
a
r
=x (1)kzjyi
rrr
++
томъёог вщкторыг декартын ортогональ сууриар задалсан задаргаа гэнэ.Эсвэл векторыг
координатын тэнхлэгүүдийн дагуух байгуулагчаар задалсан томьео гэж нэрлэдэг. (1)
томьеонд байгаа x,y,z нь векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд
юм.Үүнийг ={x,y,z} гэж тэмдэглэе.x,y,z-г
a
r
a
r
a
r
a
r
-ийн декартын тэгш өнцөгт
координатууд гэнэ.Хавтгай дээрх векторуудын олонлогийг R3
гэж
тэмдэглэе.Координатаараа өгөгдсөн векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд нь тэдгээрийн
координатууд дээрх үйлдлүүдэд шилжинэ.
Тодорхойлолт 2.6 a
r
={x1 y1} b
r
={x2y2} a
r
,b
r
∈ R2
1. +b={ x1+ x2, y1+ y2}a
r r
2.λ a
r
={λ x1, λ x2}
22. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 22
3.Зөвхөн x1= x2, y1= y2 байхад =a
r
b
r
Тодорхойлолт 2.7 ={ x1 y1 z1} ba
r r
={ x2 y2 z2} a
r
,b
r
∈ R3
1. +b={ x1+ x2, y1+ y2, z1+z2}a
r r
2. .λ a
r
={λ x1, λ y2 λ z1}
3. Зөвхөн x1= x2, y1= y2 z1= z2 байхад a
r
= b
r
Тэг векторыг хавтгай дээр болон огторгуйд О
r
={0:0} О
r
={0:0:0} гэж тодорхойлно.Хавтгай
дээр болон огторгуйд өгөгдсөн векторын урт харгалзан
222 zyxа ++=
r
22 yxа +=
r
томъёогоор тодорхойлогдоно.
x= np =е
r
a
r
αcos
y= np =е
r
a
r
βcos (2)
z= npе =
r
a
r
γcos
γβα ,, нь векторын координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгүүд.a
r
cos
222
zyx
x
a
x
++
== rα
cos
222
zyx
y
a
y
++
== rβ
cos
222
zyx
z
a
z
++
== rγ (3)
cos γβα cos,cos, -аар -ийн чиглүүлэгч косинусууд гэнэ.a
r
(3)-аас cos2 12cos2cos =++ γβα болно.Иймд а0
r
гэсэн a
r
-ийн нэгж векторын координаэтын
тэнхлэгүүд дээрх проекц нь түүний чиглүүлэгч косинусуудтай давхцана.Өөрөөр хэлбэл
а0 ={ cos
r
γβα cos,cos, }
41. Аналитик геометр хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 41
Нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээр байх векторуудыг коллинеар векторууд
гэнэ.
Векторуудыг нэмэх,хасах,тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг вектор дээрх шугаман үйлдэл
гэж нэрлэдэг.
Векторуудыг нэмэх,хасах
Дурын ба векторыг авч үзье.0 цэг авч энэ цэг дээр эхтэйа
r
b
r
а
r
= ,В цэгт эхтэйBO
r
b
r
= CB
r
.векторуудыг байгуулж 0-г С-тэй холбоход үүсэх CO
r
векторыг энэ хоёр векторын
нийлбэр вектор гэнэ.
Энэ нийлбэр векторыг өөр аргар гаргаж авч болно.Тухайлбал,0 цэгээс =аCO
r r
вектор,
= векторыг байгуулж эдгээр векторуудаар тала хийсэн параллелограмм байгуулахад
эдгээр текторуудын нийлбэр тектор болно.
BO
r
DO
r
r
b
r
а+b
r
=b
r
+ /Байр солих хууль/ .Векторыг нэмэх сүүлчийн дүрмийг векторыг нэмэх
параграммын дүрэм гэнэ.
а
r
а
r
,b
r
, дурын гурван вектор өгөгдсөн үед эдгээрийгс
r
а
r
+b
r
олж,дараа нь а
r
+b
r
ба с
r
нийлбэрийг олно.Төгсгөлөг тооны векторуудыг нэмэх цэгээс эхний векторыг байгуулж
түүний төгсгөлөөс дараагийн векторыг залгуулах замар бүх векторыг байгуулж анхны
векторын энэ төгсгөлийн векторын төгсгөлтэй холбоход үүсэх тектор нь тэдгээрийн
нийлбэр болно.
а
r
ба b
r
вектор өгөгдсөн байг.Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасах вектор гарах векторыг
эдгээрийн ялгавар вектор гэнэ.
Векторуудыг тоогоор үржүүлэх
а
r
дурын вектор , R∈∀λ бодит тоо байг.
1. ac
rr
λ=
2.хэрэв λ >0 бол гийн эсрэг чиглэлтэй байха
r
с
r
векторыг а
r
векторыг λ тоогоор
үржүүлсэн үржвэр гэнэ.
Жишээ нь Энэ тодорхойлолтоос -а
r
=(-1) а
r
гэж үзэж болно.Векторыг тоогоор үржүүлэх
үйлдлийн тодорхойлолтоос үзэхэд хоёр векторын коллинеар байх нөхцөл b
r
=λ а
r
Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
а
r
+b
r
=b
r
+ /байр солих/а
r
( +а
r
b
r
)+ = +(с а
r
b
r
+ ) /хэсэглэн нэгтгэх/с
rr
а
r
r
+ =o
r
а
r
r
а+(- )=а o
r
λ ( +а
r
b
r
)=λ b
r
+λ а
r
λ R∈
(λ 1+λ 2) а=
r
λ 1 а+
r
λ 2 а
r
λ 1 λ 2 R∈
λ 1(λ 2 а)=(
r
λ 1 λ 2) а
r
λ 1 λ 2 R∈
1а=
r
а
r
Урт нь нэгтэй тэнцүү векторыг нэгж вектор гэнэ. а
r
векторын хувьд урт нь нэгтэй тэнцүү
тай ижил чиглэлтэй векторыга
r
а
r
-ийн нэгж вектор буюу орт гээд а-0
гэж тэмдэглэе.
Векторыг тоогоор үржүүлэх тодорхойлолтоос а
r
=а0
а
r
болно.