Este documento presenta el proyecto final de estudiantes de álgebra lineal de la universidad de Mariano Gálvez de Guatemala. Explica conceptos básicos de álgebra lineal como suma, resta, multiplicación y determinantes de matrices, así como métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1. Esta presentación es el proyecto final de estudiantes de
algebra lineal de la carrera de ingeniera en sistemas de
la universidad de mariano Gálvez de Guatemala con el
objetivo de dar un material de apoyo para futuros
estudiantes de este curso u otros.
Estudiantes:
Edwin Misael Ailón López
Edgar Geovanny Simón Mateo
Jerson Eduardo Calderón Alvarado
Curso: Algebra lineal
Catedrático: RAUL GABRIEL RENDON
PADILLA

2. *
*Para poder sumar o restar matrices se debe
cumplir con la siguiente regla:
éstas deben tener el mismo número de filas y de
columnas
Y el procedimiento es el siguiente: se suman o
se restan los términos que ocupan el mismo lugar
en las matrices.

3. *
A: 5 1
2 1
0 2
B: A+B=
0 3
7 2
0 5
SUMA
RESTA:
5 1
0 2
A:
2 1
B: A-B=
0 3
3 0
0 -1

4. *
*Para multiplicar dos matrices
*las siguientes propiedades son :
*Si la multiplicación es A * B debe considerarse
que la
*misma cantidad de columnas de la matriz sea
igual al número de filas
*de la matriz B.
*Si lo anterior se cumple se puede multiplicar la
matriz A por B.

5. ¿Cómo multiplicar dos matrices ?
*EJEMPLO:
A=
2 −2 6
1 6 7
0 3 2
B=
0 −1 2
1 5 3
0 3 2
A2*3 * B3*3 = C3*3
c =
Se multiplica cada
elemento de las filas por
cada elemento de las
columnas y se suman los
resultados para obtner los
elementos que van a
formar la ecuación final.
−2 6 10
6 50 34
3 21 15
C11= 0-2+0= -2
C12= -2-10+18= 6
C13= 4-6+12= 10
C21= 0+6+0= 6
C22= -1+30+21= 50
C23= 2+18+14= 34
C31= 0+3+0= 3
C32= 0+15+6= 21
C33= 0+9+6= 15

6. *
*es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e
inversas.
Veamos un ejemplo:
Dada las ecuaciones: 2x – y + z = 2
3x +y - 2z = 9
-x + 2y + 5z = -5
2 - 1+1 = 2
3 +1 - 2 = 9
-1 + 2 + 5 = -5

7. F3=2F3+f1
2– 1 + 1 = 2
3 +1 – 2 = 9
0 + 3 + 11= -8
F2=-2F2+3f1
2– 1 + 1 = 2
0 -5 +7 = -12
0 + 3 + 11= -8
F3=5f3+3f2
2– 1 + 1 = 2
0 -5 +7 = -12
0 + 0 + 76= -76
F3=F3/76
2– 1 + 1 = 2
0 -5 +7 = -12
0 + 0 + 1= -1

8. F1=F1+(-F3)
2– 1 + 0 = 3
0 -5 +7 = -12
0 + 0+ 1= -1
F2=F2-7f3
2 -1 + 0 = 3
0 -5 +0 = -5
0 +0 + 1= -1
F1=-5F1+F2
-10 +0 + 0 = -20
0 -5 +0 = -5
0 +0 + 1 = -1
F1=F1/-10
F2=F2/-5
1 +0 + 0 = 2
0 + 1 +0 = 1
0 +0 + 1 = -1
x
y
z

9. *
Para la calcular la transpuesta de una matriz todas las filas
se
convierten en columnas.
*El signo de la transpuesta es T
PROPIEDAD
Una matriz no es simetrica si no tiene la misma
dimension.
Una matriz es simétrica si AT = A, una matriz es
antisimétrica si AT = -A

10. *
*EJEMPLO 1:
A=
4 2 0
6 5 1
AT=
4 6
2 5
0 1
EJEMPLO 2:
B=
4 2 0
1 3 2
2 4 6
BT=
No es simetrica porque las
dimesiones no son iguales.
A = 2*3 no es igual a A T= 3*2
4 1 2
2 3 4
0 2 6
Si es simétrica porque
sus dimensiones son
B= 3*3 y B་ = 3*3 y
también
porque tienen los mismos
elementos.

11. *
Por método de eliminación de gauss:
Lo que tenemos que hacer con esto es que la matriz de la
izquierda quede como la derecha y lo que nos quede en la
derecha será la inversa
Primero se coloca en la izquierda los elementos de la
matriz “a” y en la parte derecha la matriz identidad
2 1 1 0
-1 2 0 1
Quedaría así:

12. F1=a/2F1 F2=F2+F1
1 1/2 1/2 0
-1 2 0 1
1 1/2 1/2 0
0 5/2 1/2 1
F2=2/5F2
1 1/2 1/2 0
0 1 1/5 2/5
F1=-1/2F2+F1
1 0 2/5 - 1/5
0 1 1/5 2/5

13. *
son valores que vienen de una matriz que servirán
más adelante para el calculo de la inversa y también para la
solución de sistemas lineales.
para su resolución que varían según la dimensión de la matriz.

14. * EJEMPLO:
l A l=
3 1
2 −1
l A l =(3)(-1)-(2)(1)
l A l =-3-2
l A l = -5
Se multiplican en diagonal:
Como se muestra en la grafica
siguiente
l A l=
푎 푏
푐 푑
l A l = a * d – c * b .

15. *
*Método de flechas:
5 2 4
-1 5 3
6 3 -2
A=
Se copia la matriz original y la derecha se copian las primeras dos
columnas asi:
5 2 4 5 2
-1 5 3 -1 5
6 3 -2 6 3

16. 5 2 4 5 2
-1 5 3 -1 5
6 3 -2 6 3
Det(a)=
Se multiplican en diagonal así
como esta señalado y los
resultados de arriba se le
cambia de signo
El resultado de las multiplicaciones se suma:
Det(a)= -50+36-12-120-45-4
Det(a)= -14-132-49= -195
Det(a)= -195

17. *
Para utilizar el método de Laplace se debe identificar la fila o
la
columna que más ceros tenga y esas se trabaja elemento por
elemento.

18. *
*EJEMPLO:
*A=
2 1 0
2 0 3
−1 4 2
*(-1)²⁺¹(2)
1 0
4 2
+ (-1)2+3 (3)
2 0
−1 2
(-1)(2+0)+(-1)(4+0)= -6

19. *
6 2 8
-3 4 1
4 -4 5
Se halla la
determinante si es
diferente de cero
tiene inversa
6 2 8 6 2
-3 4 1 -3 4
4 -4 5 4 -4
=150
detA=150 que es diferente de cero entonces
la matriz A tiene inversa

20. *
4 1
-4 5
-3 1
4 5
-3 4
4 - 4
2 8
-4 5
6 8
4 5
6 2
4 - 4
2 8
4 1
6 8
-3 1
6 2
-3 4
-12,1
-13,1
-11,2 -11,3
-12,2
-13,2
-12,3
-13,3
-11,1
Estos números se suman y si el resultado es impar se le cambia el signo al resultado
=24
=-
(42)
=-30
=-(-19)
=-2
=-
(30)
=(-4)
=-(-32)
=(30)
De aquí sale una nueva matriz y que quedaría así:

21. 24 19 -4
-42 -2 32
-30 -30 30
Hallamos la
traspuesta=
24 -42 -30
19 -2 -30
-4 32 30
La inversa seria 1 sobre
la determinante que era
150 por la adjunta de A
que seria la traspuesta
=1/150
24 -42 -30
19 -2 -30
-4 32 30
4/25 -7/25 -1/25
19/150 -1/75 -1/5
= -2/75 16/75 1/5

22. *
Se calcula el determinante principal a través de una matriz que
contiene los elementos numéricos de los coeficientes o variables,
esta
determinante principal será el denominador para cada uno de los
elementos del Sistema. Si la determinante del Sistema es cero,
esto
quiere decir que el Sistema es Trivial, ósea que tiene infinitas
soluciones.

23. *Algoritmo para resolver matriz por método de cramer
* 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto
es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes
de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen
las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que
estará constituida por las entradas de los términos independientes de las
ecuaciones.
*
* 2. Calcular el determinante de A.
*
* 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:
*
* a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos
independientes;
*
* b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el
valor de la primera incógnita;
*
* c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas
columnas para hallar el resto de las incógnitas.

24. *
*EJEMPLO:
IAI=
2 3 −1
3 −5 4
−3 16 2
2x1 +3x2 – 1x3 = 2
3x1 – 5x2 + 4x3 = 3
-2x1 + 16x2 +2x3 = - 3
D=
2 3 −1
3 −5 4
−2 16 2
IAI=(-20-36-4815-125-18)=-235
2 2 −1
3 3 4
−2 −3 2
IBI=
lDl=
2 3 −1
3 −5 4
−2 16 2
2 3
3 −5
−2 16
IBI=(12-16+9-6+24-12)=11
(-20-24-48+10-128-18)= -228

25. ICI=
2 3 2
3 −5 3
−2 16 −3
ICI=(30-18+96-20-96+27)=19
X=IAI=-235= 1.030
IDI -228
Y=IBI= 11= -0.04
IDI -228
Z=ICI= 19= -0.08
IDI -228
Solucion= 1.030, -0.04 ,-0.08

26. *
Para calcular la magnitud o longitud de un vector se eleva al cuadrado
cada una de sus componentes luego se suman y se calcula su raíz
cuadrada. De forma general se representa así:
-encuentre la magnitud de V=4i-3j
|V|= (4)2+(−3)2
|V|= 25
|V|=5

27. 12. Vector en R2 Cardinalidad
• La cardinalidad se representa con
respecto a los puntos Norte, Sur, Este,
Oeste, y sus puntos intermedios,
encontrarla implica conseguir graficando
la ecuación i y j en el plano x y y, de
un plano cartesiano.
Nuestro vector V=4i-3j esta ubicado al Sur-
Este S-E

28. *
Dado el vector V=4i-3j encuentre un vector unitario U que
vaya en la
misma dirección que V.
|V|= (4)2+(−3)2= 5
ퟒ풊
ퟓ
UV=
−
ퟑ풋
ퟓ

29. *
Para calcular la magnitud de un lR³ se hace exactamente igual que un
lR²; esto quiere decir que se eleva al cuadrado cada elemento del
vector, se suma y se extrae raíz cuadrada.
Sea V = ( 1 , 3 , -2 )
* lVl = (1)2+(3)2+(−2)2
* lVl = 1 + 9 + 4
* lVl = 14=3.74

30. *
Para encontrar la dirección se calcula el vector unitario y cada
elemento del vector unitario va a formar un coseno director de cada
Eje. Calcule la cardinalidad de V = ( 1 , 3 , -2 )
lVl = (1)2+(3)2+(−2)2 =3.74
Angulo= Cos-1 풊
= 74.50
ퟑ.ퟕퟒ
Angulo=Cos-1 ퟑ풋
ퟑ.ퟕퟒ
= 36.60
Angulo=Cos-1−
ퟐ풌
ퟑ.ퟕퟒ
= 122.30

31. *
Sea V = ( 1 , 3 , -2 ) encuentre su vector unitario
Usando la siguiente formula:
* lVl = (1)2+(3)2+(−2)2
* lVl = 1 + 9 + 4
* lVl = 14=3.74
*UV=
1
3.74
,
3
3.74
,
−2
3.74

32. *
Para calcular el producto cruz de dos vectores se
realiza a través de una determinante entre los
vectores unitarios y los
vectores a los cuales se calculará el producto cruz.
Ejemplo:
Calcular producto cruz de : U:1i+4j-3k V:-2i-1j+1k

33. Calcular producto cruz de : U:1i+4j-3k V:-2i-1j+1k
+ - +
i j k
U*V = 1 4 -3 = i + 5j + 9k
-2 -1 1
4 -3 1 -3 1 4
Este resultado nos dio -5
pero lo que nos indica el
producto cruz es que el
resultado de en medio se
le cambia de signo por
eso queda como 5
= 1 = 5 = 9
-1 1 -2 1 -2 -1
4*1-(-1*-3)= 1*1-(-2*-3)=-5 1*1-(-2*4)=
i + 5j + 9k

34. *
A=(1,0,2), B=(2,-1,0), C=(0,3,3), D=(1,2,1)
AB= B – A =(2,-1,0)-(1,0,2)=(1,-1,-2)
CD=D-C= (1,2,1)-(1,2,1)=(1-1,-2)
AC=C-A =(0,3,3)- (1,0,2)=(-1,3,1)
Luego se calcula producto cruz entre AB y AC=
+ - +
U*V = 1 -1 -2 = i5+ j + 2k
-1 3 1
-1 -2 1 -2 1 -1
= 5 = 1 = +2
3 1 -1 1 -1 3

35. Ahora procedemos a sacar la magnitud que es
igual a la raíz cuadrada de la suma de los
elementos elevados al cuadrado
52 + 12 + 22
25 + 1 + 4
30
i5+ j + 2k
30 no tiene raíz
cuadrada así que la
dejamos como nuestra
respuesta

36. Dirección en R3
El primer paso es obtener el vector unitario:
P=(4,1,3)= 42 + 12 +32
16 + 1 + 9
26
=5
Dividimos los elementos con el resultado que nos de:
4 1 3
5.09 5.09 5.09

37. *Y nos quedaría así:
0.7858546 , 0.1964636, 0.5893909
*Ahora procedemos a sacar el coseno inverso:
38.20021 , 78.66976, 53.8862
Ahora lo pasamos a grados que quedaría así:
38.2 º , 78.67 º , 53.88 º
Para sacar coseno inverso
en calculadora se
presiona:
Shift+ cos

38. *
Sea p= (1x,0y,2z) sea Q=(2x,3y,1z)
Restamos cada dato según su posición es
decir con el x de P con el x de Q quedaría
así:
(1푋 − 2푥)2+(0푦 − 3푦)2 + (2푧 − 1푧)2
(−1푥)2+(−3푦)2 + (1푧)2
1 + 9 + 1
11
3.31

39. *
*Ejemplo:
P = ( 1 , 1 , 2 ) & Q = ( 4, 2 , -1 )
PQ=(3i, j , -3k)
parametrica
X= 1+3t
Y= 1+t
Z= 2-3t
 Se saca la ecuacion
vectorial
 Para el valor final de X
,y, Z sera igual al valor
de cada elemento del
primer punto
acompañada de los
elementos de la
ecuación vectorial que
se obtuvo y se agrega a
la letra t.

40. *
*Ejemplo:
P = ( 1 , 1 , 2 ) & Q = ( 4, 2 , -1 )
PQ=(3i, j , -3k)
X-1 Y-1 Z -2
3 1 -3
 Se le saca la ecuacion
vectorial
 Se niegan cada
elemento del primer
punto con su incognita:
X,Y,Z
 Esto se divide dentro de
la ecuacion vectorial
que se obtubo

41. *
En vector PQ . n = 0 y este forma un plano en lR³.

42. Ejemplos:
Encuentre un plano que pasa por el punto ( 3, 4 , 1) y que
tiene un vector normal ( 2i -2j + 4k )
a = 2 x0 = 3
b = -2 y0 = 4
c = 4 z0 = 1 ax0 + by0 + cz0 = d
( 2 )( 3 ) + ( -2 )( 4 ) + ( 4 )( 1 ) = d
( 6 ) + ( -8 ) + ( 4 ) = d
6 – 8 + 4 = d
2 = d
 Se multiplica cada
elemento del punto por
cada elemento del
vector normal.
 Se suman los resultados
para tener el resultado
final

43. *
Para que dos planos sean paralelos el producto de sus
normales
deben de ser igual a 0.

44. Ejemplo:
Determine si los planos p1 : 3x + 4y – 2z = 3 & p2 : -
3x -4y + 2z = 8
son paralelos.
n1 : 3i + 4j – 2k
n2 : -3i – 4j + 2k
 Se le saca el producto cruz a
los dos puntos
 Si el resultado del producto
cruz es = 0 quiere decir que
son paralelos
i j k
3 4 -2 = 0 Son paralelos
-3 -4 2