Contiene 2 problemas simples de ingeniería de control, la descripción del control de la altura de un tanque y una breve metodología sobre el uso de Simulink para la simulación de ecuaciones diferenciales (ecuaciones de Lorenz como ejemplo).

1. Problemario
Ingeniería de Control
Adalberto Cortés Ruiz
Instructor: Dr. Eliseo Hernández Martínez
Noviembre 2016

2. Problema 1: Diagramas de Bloques
Simplifique el diagrama de bloques que aparece en la Figura 1 y obtenga la función de
transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s).B-2-3 de (Ogata, 2010)
Figura 1. Diagrama de Bloques propuesto
1. Agrupación de los lazos de retroalimentación:
2. Reducción de los lazos de retroalimentación:
3. Multiplicación de bloques en serie
G1
H2
G3_++
+
+G2
H3
__+
( )R s ( )C s
G1
G3_+
H3
_+
( )R s ( )C s

3. 4. Reducción de la retroalimentación y multiplicación de la serie
Problema 2: Estimación de la constante de tiempo
Un termómetro requiere de un minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a una
entrada escalón. Suponiendo que el termómetro es un sistema de primer orden, encuentre la
constante de tiempo.
Partiendo de las ecuaciones de primer orden y del cambio en escalón:
Primer Orden Cambio escalón
( )
( )
1
ku s
y s
s


( )
u
u s
s


 
( )
1
k u
y s
s s



 
 
 
11
1 1 1
A s BsA B
s s s s s s

  
 
  
  
Determinando las constantes A y B por fracciones parciales:
1,A B   
G1 _+
H3
_+
( )R s
( )R s
_+
( )R s ( )R s

4. 1 1
1
1
t
e
s s




  
   
 
L
( ) 1
t
y s e 

 
Ahora sustituyendo ( ) 0.98y s  y 1 min 60 st  
Control de nivel de agua en un tanque
Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenes de flujo
en laminar y turbulento, de acuerdo con la magnitud del número de Reynolds. Si el número de
Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el número de
Reynolds es menor que unos 2000. En el caso laminar, tiene lugar un flujo estable en las corrientes,
sin turbulencia. Los sistemas que contienen un flujo laminar se pueden representar mediante
ecuaciones diferenciales lineales, (Ogata, 2010).
60
60
( ) 1
1 0.98 0.02
60
ln(0.02)
60
15.33 s
ln(0.02)
y s e
e






 
  



 
Altura máxima:
3m
Radio:
0.5m

5. Caso laminar
Modelo
Tomando en cuenta el balance general de materia [entradas-salidas=acumulación]
dV
Fe Fs
dt
 
El flujo de salida tiene una resistencia al caudal (la válvula) que es lineal debido a que el flujo es de
régimen laminar (constante) y es el cambio del nivel del tanque sobre el cambio del caudal (Flujo
volumétrico de salida).
dh h
R
dFs Fs
 
El volumen del líquido en el tanque está dado por:
V Ah
Donde 2
A r y es constante. Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en el balance general
de materia, se obtiene el modelo matemático del proceso:
dh Fe h
dt A AR
 
Parámetros
 Capacidad del tanque: 2.3562 m3
(altura de 3 m y radio de 0.5m)
Fe Flujo volumétrico de alimentación 4 m3
/s
r Radio del tanque 0.5 m
R Resistencia que ejerce la válvula de carga en el flujo de salida 0.6 s/m2
Condición inicial
Al inicio del proceso, el tanque está vacío, es decir:
0 0h t 

6. Lazo abierto
Figura 2. modelo del tanque en simulink (lazo abierto).
Determinación de los parámetros de control
A partir del modelo, se realiza un cambio escalón del flujo de entrada y se observa la respuesta de
y de la altura.
Inicio Final
Cambio escalón de Fe 3 m3
/s 4 m3
/s
Respuesta de h 1.8 m 2.4 m

7. Figura 3. Respuesta de y (altura) ante un cambio escalón de u (flujo de entrada)
Ganancia ( K ) 0.6
Tiempo característico del proceso ( 63.2%
 ) 0.467
Control PI
Para el control PI, las reglas de sintonizado que se emplearon están descritas por (Skogestad, 2002),
donde la estructura del controlador es:
0
1
c
I
u u K e e d

 
   
 

Donde 0u , cK , e , I y  son el valor nominal del flujo, la ganancia del controlador, la señal del
error, la constante de tiempo integral y el tiempo en el controlador, respectivamente.
El sintonizado sugiere que los parámetros del controlador sean el inverso de la ganancia del sistema
para la ganancia del controlador y el tiempo característico del proceso sea el tiempo integral, Esto
para cuando no se toma en cuenta el tiempo muerto.
63.2%
1
c IK
K
  
Figura 4. Propuesta del controlador PI

8. cK 1.6667
I 0.467
Figura 5. Modelo con la implementación del control PI
Figura 6. Lazo cerrado, control PI
En la Figura 5 la referencia comienza a partir del tiempo de control (tcontrol=4s), para ese
sintonizado se llega a la referencia en un tiempo aproximado de 6 segundos.
Parámetros de
Control

9. Figura 7. Prueba del controlador a una referencia cercana al límite de la altura del tanque, a partir de lazo abierto (línea
amarilla) y sin lazo abierto (azul)
Cuando se requiere una referencia cercana a el valor máximo permitido por la física del proceso, es
posible que el controlador exija al actuador un aumento drástico generando así un sobrepico en la
respuesta del sistema que posiblemente pueda causar resultados no deseados en el proceso. Para
este caso, un sobrepico en el nivel del líquido en el tanque puede causar que el líquido se derrame
si el tanque es abierto, o que se estropee el equipo de bombeo o alguna tubería en un punto crítico
si el tanque es cerrado, es por ello que es importante tomar en cuenta estas consideraciones en el
controlador agregando límites en la variable de control.
Figura 8. Controlador PI con límites. Para este caso el límite máximo es Fe=5, cuando se tenga este flujo, la altura será de
3m

10. Figura 9. Resultado de la corrección del controlador (cotas para el controlador en nivel máximo y mínimo)
Aun así, se observa otro problema, pero no tan grave como el primero y consiste en el tiempo que
el controlador se demora en llegar a la referencia. Aunque el sintonizado realizado hace que sea
rápido, la cota superior (sólo permitir un máximo de una altura de 3m), retrasa al controlador de tal
forma que llega a la referencia al cabo de 50 segundos.
Figura 10. Proceso con nuevos parámetros de sintonizado.

11. A diferencia de la Figura 6, la Figura 10 no presenta un sobrepico tan pronunciado y es más suave al
momento de llegar a la referencia. Pero se tiene la ventaja de ser más rápido cuando la referencia
se encuentra cerca del límite máximo.
cK 0.13826667
I 0.467
Figura 11. Acción suave del controlador cercano al límite máximo
Figura 12. Perturbación en el proceso (se retiran del tanque 0.2m3/s)

12. Al comparar con un controlador PID (Figura 13), con un tiempo diferencial de 7 (Td) y la misma
ganancia de 0.13826667, se observa mayor velocidad en el PID al comparar la simulación del
proceso (Figura 14) y sus errores acumulados (Figura 15).
Figura 13. Controlador PID

13. Figura 14. Comparación del proceso bajo un controlador PI y PID
Figura 15. Comparación del error acumulado generado por un control PI y un PID para este proceso.

14. Uso de Simulink: Definir un modelo matemático
Entorno
Simulink es un entorno de diagrama de bloques para el diseño de sistemas basados en modelos.
Al abrir Simulink, se despliega su librería de bloques (Figura 1) y en la esquina superior-derecha se
halla el botón para abrir un nuevo modelo Al seleccionar New model, se despliega una
Figura 1. Librería de Simulink, aquí se encuentran los bloques integradores para el
diseño de una simulación, Además se tiene la capacidad de instalar paqueterías para
el uso de Hardware.
Tabla 1. Bloques comunes usados en simulaciones básicas
(constant) Define una constante
(sum) operación matemática de suma
(integrator) integra la señal de entrada respecto al tiempo
(step) genera un cambio en escalón de una constante en un tiempo determinado
(To Workspace) guarda una variable en el workspace de MATLAB, aquí es utilizado
cuando se requiere analizar una variable en el SDI de gran tamaño
(Mux) combina dos o más señales en una sola
(scope) visualiza una variable como una gráfica contra el tiempo

15. La Tabla 1 muestra algunos de los bloques comunes que se requieren para la simulación de modelos
matemáticos simples, siendo de mayor uso la paquetería de Math Operations de la librería de Simulink.
Simulink, además de su uso para la simulación de modelos matemáticos, puede ser usado para el
diseño y control de procesos, para la programación de hardware (ie, tarjetas Arduino, Raspberry Pi,
National Instruments, etc), adquisición y análisis de imágenes, etc.
Tiempo de la simulación
Con la característica de que
las simulaciones pueden ir
hasta tiempo infinito (inf)
Botón de grabación
Graba los datos de la simulación y permite su posterior
análisis. No es posible utilizarlo cuando el tiempo es
inf. Además, si el tiempo de simulación es grande,
requiere el uso del bloque To Workspace conectado a
la señal que se desea analizar.Ejecutar
Corre la simulación
Solve
Indica la función empleada para la resolución de EDOs,
puede cambiarse en la parte de configuración
según sea la necesidad. Por defecto es ode45
ENTRADAS SALIDAS
Las entradas y salidas de los
bloques se identifican a
partir de la dirección de las
flechas

16. Definiendo una ecuación Diferencial (modelo matemático)
Tomando como ejemplo 1 el sistema de ecuaciones diferenciales:
( )
( )
dx
a y x
dt
dy
x b z y
dt
dz
xy cz
dt

 


  


 

Donde 10, 28, 8/ 3a b c  
Y condiciones iniciales (0) 1 (0) 5 (0) 5x y z  
Se puede comenzar definiendo las 3 constantes (a, b y c) del modelo e identificando las entradas y
salidas de los 3 integradores que se requerirán.
En los integradores, las entradas serán igual a el valor de la derivada de cada ecuación, mientras que
por salidas se tendrá el valor de la variable que le corresponde.
Las condiciones iniciales se ingresan haciendo doble click en el bloque integrador que le
corresponda. Se desplegará una pantalla en la que se puede definir la condición inicial.
La primera ecuación diferencial dice que dx será igual a ( )a y x , Para ello se requieren dos
bloques, uno que reste a y y x (Sum) y otro que multiplique a toda la resta por la constante a. (Figura
2).

17. Dando doble Click al
bloque, se despliega una
ventana especificando
sus propiedades. Ahí es
posible cambiar el valor
de la constante que por
defecto es 1.
En List of signs se puede seleccionar
el signo que se requiere utilizar sea
+ o –
La | indica un espacio vacío o punto
cerrado del bloque
Cada singo que se agrega genera
una nueva entrada en el bloque,
pueden ser desde 1 hasta los que se
requieran.
La parte Icon shape define la forma
geométrica del bloque

18. Figura 2. Primera ecuación diferencial del sistema en la estructura de Simulink
La segunda ecuación diferencial dice que dy es ( )x b z y  , se sigue el mismo procedimiento
utilizado en la primera ecuación diferencial (dos bloques: Sum y Product).
Para la tercera ecuación, dz igual a xy cz se requieren de tres bloques (dos de Product y uno de
Sum).
Se pueden hacer ramificaciones de
una señal acercándose a ella con el
puntero, dar click derecho y
arrastrarla.

19. A partir de aquí, el sistema de
ecuaciones diferenciales está
terminado. Ahora se puede
simular y visualizar los
resultados utilizando un
bloque scope para cada señal
(x, y y z).
Es posible cambiar el color de
las líneas de señal de cada
bloque dando click derecho,
seleccionar Format, después
Foreground Color y después el
color que se desee.
Ésta herramienta tiene la
finalidad de identificar las
señales de manera visual.

20. Para la visualización, se puede utilizar
un bloque Scope. Por defecto, Scope
tiene una sola entrada, se puede
modificar el no. de entradas dando
doble click en el bloque y luego en
Parameters.
Ahí se puede ajustar el no. de
entradas en la parte de Number of
Axes.
También se pueden visualizar gráficas de
X vs Y con XY Graph. La primera entrada
corresponde a X y la segunda a Y.
Para ésta simulación se utilizó un tiempo de 50

21. Simulation Data Inspector (Botón de grabación)
El botón de grabación, además de la visualización de los resultados de la simulación, sirve para
comparar los resultados cuando se hacen modificaciones en el modelo matemático.
Al abrir SDI, se despliega una ventana en la que se pueden analizar los resultados por cada corrida
del modelo (Figura 3). Por defecto, se nombran por el número de corrida realizada, en la Figura 4 se
compara la corrida 1 con la corrida 2, en la cual, se varió el valor de la constante b=20.
Para simulaciones con tiempos
mayores de 10, es necesario el uso
del bloque To Workspace. Éste
bloque tiene distintas maneras de
guardar los datos en el Workspace,
por defecto es Timeseries, pero
comúnmente se maneja en Array
(arreglos de vectores) y se puede
modificar dando doble click en el
bloque.
Al habilitar el botón de grabación se
despliega el siguiente cuadro de
diálogo y al finalizar la simulación, se
despliega una barra en la que se abre
el SDI (Simulation Data Inspector).

22. Figura 3. SDI inspector de señales
Figura 4. Comparación de corridas. En Compare Runs se pueden comparar las señales de una misma variable y visualizar
su grado de diferencia y tolerancia.

23. Subsistema
Los subsistemas son agrupaciones de bloques y señales en un solo bloque y pueden poseer las
entradas y salidas que se deseen o sean necesarias.
Crear un subsistema:
Hacer doble Click en alguna esquina y
arrastrar la flecha hasta encerrar a todo
el conjunto de bloques que se desea
agrupar en un subsistema
Después se debe hacer Click derecho sobre
cualquier bloque que se haya seleccionado.
En seguida, seleccionar Create Subsystem
from Selection.