2. El análisis numérico o cálculo numérico es la
rama de las matemáticas encargada de
diseñar algoritmos para, a través de números y
reglas matemáticas simples, simular procesos
matemáticos más complejos aplicados a procesos
del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con
la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son
útiles para cálculos matemáticos extremadamente
complejos, pero en última instancia operan
con números binarios y operaciones
matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico
proporcionará todo el andamiaje necesario para
llevar a cabo todos aquellos procedimientos
matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que
permitan su simulación o cálculo en procesos más
sencillos empleando números.
3. Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos
fundamentales:
•Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son
un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas,
los determinantes, los problemas de valores propios, etc.
•Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya
solución o planteamiento intervienen elementos descritos por
una cantidad infinita de números, como integración y
derivación numéricas, cálculo de ecuaciones
diferenciales, interpolación, etc.
4. El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de
acuerdo con el problema que resolver.
Cálculo de los valores de una función
Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un
punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es
el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar.
En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que
se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.
La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora
queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que
no está comprendido entre los puntos dados.
La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son
imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función
en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar
la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una
forma popular de conseguirlo.
5. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o
sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la
ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación
es lineal mientras que la ecuación de segundo grado
Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e.,
métodos que utilizan alguna factorización de la matriz son el método
de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de
Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y
la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi,
el método de Gauss-Seidel, el método de las aproximaciones sucesivas y
el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para
grandes sistemas.
no lo es.
