Presentación proyecto - Física

1. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS E
INTEGRALES
PROYECTO MATEMATICA I
Escuela de Ingeniería de Sistemas
PROGRAMA DE EXPERIENCIA LABORAL

2. INTRODUCCIÓN
Existe una aplicación muy importante y común del concepto de derivada en distintas
disciplinas, la optimización de funciones.
En diferentes áreas o empresas son innumerables los problemas de estos tipos que se dan
en la realidad, es importante saber y conocer como maximizar costo, minimizar tiempos,
optimizar producciones, por ejemplo, a un fabricante de determinado artículo le interesará
que el costo de fabricación por unidad sea el más bajo posible o un vendedor se interesa
en cuál debe ser el precio de venta de su producto para obtener el mayor beneficio
posible.

3. Estos problemas llamados de optimización, desde el punto de vista matemático se
reducen a problemas de determinación de máximos y mínimos absolutos de funciones
de una variable real en determinados intervalos. Para resolver estos ejercicios se deberá
buscar los extremos de una función.
En ocasiones se tiene la función definida, pero en otros, en cambio, debemos definir la
función, utilizando los datos dados en el enunciado. Se debe dejar el problema en
función de una variable.
Debemos tener presente que las funciones que se van a estudiar, son funciones
continuas en los intervalos de estudio que se determinan.
INTRODUCCIÓN

4. Extremos absolutos.
1) f(x0) es máximo absoluto de f →
2) 2) f(x0) es mínimo absoluto de f →
Punto crítico.
x0 es punto crítico de la función f si
Un punto crítico de una función es un punto del dominio donde siendo continua la
función, su derivada es nula o no existe.
DEFINICIONES
)()()( 0 fDxxfxf 
)()()( 0 fDxxfxf 
0 0( ) 0 ( )
df df
x x
dx dx
  

5. Para decidir cual es la situación que se presenta se hace necesario clasificar el
punto crítico.
1) Criterio de la derivada 1ra.
DEFINICIONES
2) Criterio de la derivada 2da.

6. Teorema del valor medio para Integrales.
Para la resolución del problema planteado, vamos a tener que recurrir al teorema
del valor medio para integrales.
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un
intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal
que:
DEFINICIONES

7. La empresa industrias TRIVECA SAC que utiliza tubería PVC 4”, compra 1,000 tubos al año a
un precio de 50 US$/tubo. Los gastos de envío son de 40 US$/pedido y los gastos de
almacenamiento de 2 US$ por tubo y por año. Suponiendo que la tubería se utiliza a
ritmo constante y que cada pedido llega justo cuando el anterior se ha agotado, se nos
pide:
A.- ¿Cuánta tubería debe solicitar TRIVECA SAC en cada pedido para que su costo anual sea
mínimo? (todos los pedidos tienen igual número de tubos)
B.- ¿Cuántos pedidos debe efectuar al año y cuál es el costo total?
PROYECTO – INDUSTRIAS TRIVECA
S.A.C.

8. Pretendemos en este ejercicio minimizar el costo total anual de inventario de la empresa
que utiliza 1,000 tubos PVC, los cuales compra a la fabrica a razón de 50 US$ /tubo.
A su vez el costo de envío de la fabrica a la empresa es de 40 US$ por pedido (costo envio
por pedido).
La empresa que ha estimado en 2 US$ el costo anual de almacenamiento por tubería, se
enfrenta con el problema de decidir cuántos pedidos debe realizar al año.
El costo total puede expresarse como:
Costo total = Costo de compra + costo de envío + costo de almacenamiento
Llamaremos n al número de tubería por envío y estudiamos cada uno de los costos
anteriores separadamente.
DESARROLLO Y RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMA

9. Costo de compra Cc (anual)
Como se necesitan 1,000 tubos al año y cada uno cuesta 50 US$ tendremos:
Cc = 1,000 . 50 = 50,000 US$
Como se puede observar este costo es independiente de la variable del problema por lo
que a este costo se le denomina costo fijo.
Costo de envío Ce (anual)
Como se compra 1,000 tuberías al año y cada pedido contiene n tubos el número de
pedidos al año será = por lo que Ce = (costo envío por pedido).(Nro pedidos
año)
En consecuencia Ce =
DESARROLLO Y RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMA
n
000,1
nn
000,40000,1
.40 

10. Costo de almacenamiento Ca (anual)
Tratemos de ver con algún detalle este costo que no resulta tan sencillo de calcular como
los anteriores.
Cuando un pedido llega a la empresa, las tuberías se almacenan y se van retirando a
medida que se utilizan hasta agotar stock, momento exacto en que suponemos llega el
segundo pedido y así sucesivamente.
Hemos admitido en el enunciado que la tubería se utiliza a ritmo constante, es decir , que
el número de tubos va disminuyendo linealmente hasta agostarse.
DESARROLLO Y RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMA

11. La figura siguiente ilustra la situación:
DESARROLLO Y RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMA
Como se puede observar en cada pedido hay tubos que permanecen almacenados menos
tiempo que otros, es decir hay tubería que, por decirlo de alguna manera, pagan menos
almacenamiento. Para poder determinar el tiempo promedio que la tubería está
almacenada, debemos determinar la función que define el consumo de tubería y
mediante el “teorema del valor medio para integrales” determinar el promedio de tubería
almacenada.

12. DESARROLLO Y RESOLUCIÓN DEL
PROBLEMA
Luego de aplicar el teorema del valor medio podemos decir, que:
Los dos últimos costos calculados, a diferencia del primero, dependen de la variable n;
son los que en economía se denominan costos variables.
En definitiva, el costo total de inventario será:
, sabiendo que
$
2
.2 USn
n
Ca 
  n
n
nCt 
000,40
000,50 000,10  n
Luego hallamos el punto crítico, derivando la función e igualando el resultado a “0”:
El punto crítico sería: n = 200
Por el criterio de la segunda derivada en el punto hallado podemos clasificarlo como
mínimo o máximo absoluto.
En nuestro caso corresponde a un mínimo absoluto.

13. Se puede observar que para la determinación del punto crítico la componente
correspondiente al costo fijo no ha intervenido, pues al ser independiente de la variable
su derivada es nula, por lo que para optimizar un costo, basta entonces optimizar
solamente los costos variables.
Como se necesitan 1,000 tubos al año, deberán realizarse entonces 5 pedidos
El costo de cada pedido ascenderá a: 200 . 50 + 40 = 10,040 U$S
El costo anual total asciende a: 10,040.(5)+ 200 = 50,400 U$S

14. Gracias por su atención !!!