2. ¿Que son las expresiones algebraicas?
Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y números unidos por
medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó radicación,
de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa,
representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que
pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
3. Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico es aquel que
emplea símbolos y letras para
representar números. Su función principal
es establecer y estructurar un lenguaje
que ayude a generalizar las diferentes
operaciones que tienen lugar dentro de la
aritmética donde solo ocurren los
números y sus operaciones aritméticas
elementales (+ -x%).
El idioma algebraico se caracteriza por su
precisión, ya que es mucho más concreto que el
lenguaje numérico. A través de él se pueden
expresar enunciados de manera breve. Ejemplo: el
conjunto de los múltiplos de 3 es (3, 6, 9, 12…) se
expresa 3n, en donde n = (1, 2, 3, 4…).
Ejemplo: la propiedad conmutativa se
expresa así: a x b = b x a. Al escribir
utilizando este lenguaje se puede
manipular cantidades desconocidas con
símbolos sencillos de escribir,
permitiendo la simplificación de
teoremas, formulación de ecuaciones e
inecuaciones y el estudio de cómo
resolverlas.
4. Signos y símbolos algebraicos
Entre algunas de las expresiones algebraicas en clasificación se encuentran los siguientes:
• C o K: son utilizadas en términos constantes
• A,B,C: son utilizadas para darle expresión a
las cantidades mas conocidas en la algebra.
• X,Y,Z: Son utilizadas para expresar las
incógnitas en las operaciones matemáticas
• N: Le da excreción a cualquier numero.
• <: mayor que.
• >: menor que.
• =: igualdad .
• : Si.
5. Valor numérico de expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la
expresión por números determinados y realizar las operaciones correspondiente que se indican en tal
expresión. para realizar las operaciones debes seguir un orden de jerarquía de las operaciones.
1. se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. potencias y radicales
3. multiplicaciones y divisiones
4. sumas y restas.
6. Ejemplos de valor numérico de expresiones algebraicas
Ejemplo 1:
Calcular el valor
numérico para:
cuando x=2.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la
expresión es 17
Ejemplo 2:
Calcular el valor
numérico para:
cuando x=10.
Sustituimos en la expresión:
El valor numérico de la expresión es 2.
7. Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación es una operación que tiene por
objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando
y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada
producto, que sea respecto del multiplicando, en
valor absoluto y signo lo que el multiplicador es
respecto a la unidad positiva. El multiplicando y
multiplicador son llamados factores del producto.
8. Clasificación de multiplicación algebraica
Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos monomios se aplica la
regla de los signos, se multiplican los
coeficientes y para las literales iguales se
escribe la literal y se suman los exponentes, si
las literales son diferentes se pone cada literal
con su correspondiente exponente.
Multiplicación de polinomio
Para poder multiplicar dos polinomios se utiliza la
propiedad distributiva de la multiplicación sobre la
adición aplicándolo del primero sobre el segundo y
después aplicando la misma propiedad sobre el resultado
de tal manera que: El producto de dos polinomios se
realiza multiplicando cada término del primero por cada
término del segundo, aplicando la reglas de la
multiplicación a los signos, a los coeficientes y a las
literales con sus exponentes correspondientes,
posteriormente se suman los términos semejantes.
Multiplicación de un polinomio por un
monomio
Para este caso, cada elemento del polinomio deberá
multiplicarse por el monomio, siguiendo la regla de la
multiplicación de monomios.
9. Factorización
Factorización es un término que se emplea en el terreno de
las matemáticas para aludir al acto y el resultado de factorizar. Este verbo
(factorizar), en tanto, refiere a la descomposición de un polinomio en el
producto de otros polinomios de grado inferior o a la expresión de un
número entero a partir del producto de sus divisiones.
Puede decirse que la factorización permite descomponer una expresión
algebraica en factores para presentarla de una manera más simple. Cabe
destacar que los factores son expresiones que se someten a una
multiplicación para la obtención de un producto.
10. Clasificación de la factorización
Factorización por factor común
En este método se identifican aquellos
factores que son comunes; es decir,
aquellos que están repetidos en los
términos de la expresión. Luego se aplica
la propiedad distributiva, se saca el
máximo común divisor y se completa la
factorización.
Factorización por agrupamiento
Como no en todos los casos el máximo
común divisor de un polinomio se
encuentra claramente expresado, es
necesario hacer otros pasos para poder
reescribir el polinomio y así factorizar.
Factorización por inspección
Este método se usa para factorizar polinomios
cuadráticos, también llamados trinomios; es
decir, aquellos que se estructuran como ax2 ±
bx + c, donde el valor de “a” es diferente de 1.
Este método también se usa cuando el
trinomio tiene la forma x2 ± bx + c y el valor del
“a” = 1.
Factorización con productos notables
Existen casos en los que, para
factorizar completamente los
polinomios con los métodos
anteriores, se convierte en un proceso
muy largo.
Es por eso que una expresión puede
ser desarrollada con las fórmulas de
los productos notables y así el proceso
se hace más simple.
Factorización con la regla de
Ruffini
Este método es usado cuando se
tiene un polinomio de grado
mayor a dos, para así simplificar la
expresión a varios polinomios de
menor grado.
11. Factorización por productos notables
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la expresión a
factorizar si tiene tres términos es el producto de binomios con un término en común, escrito para
identificar como x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
con a y b números enteros
Para factorizar el trinomio buscamos dos números que sumados den el coeficiente de x y
multiplicados el término independiente.
12. Productos Notables de expresiones algebraicas
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo
resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que
cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados, y recíprocamente.
13. División de expresiones algebraicas
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
División de monomios
Para dividir monomios se
resta los exponentes de las
potencias de misma base
siguiendo la ley de los
exponentes
Por ejemplo:
División de un polinomio por un
monomio
Para dividir un polinomio entre un
monomio basta con dividir cada
uno de los términos del dividendo
entre el término del divisor.
Ejemplo:
restando los exponentes de las potencias de la misma
base se obtiene el resultado:
Cuando dividimos un polinomio por un
número, el resultado es
otro polinomio que cumple las siguientes
características : El polinomio resultante es
del mismo grado que el polinomio que
fue dividido. Sus coeficientes resultan de
dividir cada uno de los coeficientes
del polinomio entre el número.
División de polinomios entre polinomios
14. Suma y resta de expresiones algebraicas
En la suma o resta de expresiones algebraicas solo se reducen los términos semejantes, es
decir, los términos con la misma base y el mismo exponente solo se suman o se restan sus
coeficientes.
También se pueden acomodar en forma de columna para ver de manera más
clara los términos semejantes que se tienen que sumar o restar:
