1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Edo-Lara
Conjuntos, números reales y
desigualdades de valor absoluto
Bachiller: Diosmar Guedez
Cedula: v-30.485.151
Sección: AD0454
Barquisimeto,2023
2. Definición de conjuntos
La noción en las matemáticas en el ámbito de un conjunto señala a la totalidad de los
entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad
finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos
pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por
comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos).
Operaciones con conjuntos
Es posible realizar ciertas operaciones básicas que permiten hallar conjuntos dentro de
otros, entre los más frecuentes tenemos:
Unión: se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los
elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para
una unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante será A U B).
Intersección: Su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los
elementos que tienen en común los conjuntos dados.
Diferencia: Partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A,
formado por los elementos que solo se encuentren en A.
Complemento: Si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el
complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no
pertenecen a A.
Diferencia simétrica: Su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los
elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados.
Producto cartesiano: El conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se
consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b).
Números reales:
Se puede definir como todos aquellos números que encontramos en nuestra vida
cotidiana, dado que los números complejos no son encontrados de manera accidental,
estos deben ser buscados con fines más específicos. También se puede decir que los
números reales son cualquier número que corresponda a la recta real, y que puedan
clasificarse en números naturales, enteros racionales e irracionales comprendidos entre
menos infinito y más infinito representándose mediante la letra R.
De lo anterior podemos decir que un número es la expresión de una cantidad con
relación a su unidad., haciendo referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría
de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por
ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3).
3. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Nota: En las expresiones de desigualdad matemática son aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad.
4. Propiedades de la desigualdad matemática
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Para destacar que la desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una
inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser
incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.
Valor absoluto
El valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que
tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su
signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 9. Este es el valor absoluto tanto de +9 (9 positivo)
como de -9 (9 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número
5. positivo y en el número negativo: en este caso, 9. Cabe destacar que el valor absoluto se
escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |9|.
El valor absoluto de un número es su magnitud más allá del signo.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y
nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto
de los números opuestos es el mismo; 3 y -3, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |3|.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el
número y 0. El número 105 y el número -105 están, en una recta numérica, a la misma
distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |105|.
La distancia que existe entre dos números reales por otra parte, es el valor absoluto de
su diferencia. Entre 6 y 4, por ejemplo, hay una distancia de 2. Esta diferencia tiene un
valor absoluto de |2|.
Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
