2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 2
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 10+10)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους καθώς το n τείνει στο άπειρο:
n 3
4 n 2
!
3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 3
(Β) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
32
5
4
2/33
23
2
)()4(
3
3)()3(
100
1000)()2(log
3
27)()1(
n
n
T
n
TnTn
n
TnT
n
n
TnTnn
n
TnT
+
+
=+
⋅=
+
=+
=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ
4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 4
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 15+5)
Μας δίνουν µια σειρά από αντικείµενα 1, 2, 3, … , n, µε αντίστοιχες αξίες: a[1], a[2], a[3], …, a[n]. ∆ιαθέτουµε
συνολικό κεφάλαιο Κ χρηµάτων. Πρέπει να επιλέξουµε υποσύνολο αντικειµένων από το {1, 2, …, n} ξοδεύοντας
συνολικά το µεγαλύτερο δυνατό ποσό από το διαθέσιµο κεφάλαιο µας Κ, χωρίς όµως να το υπερβούµε.
(Α) Αν όλα τα αντικείµενα έχουν ίδια αξία, υπάρχει βέλτιστος άπληστος αλγόριθµος;
(Β) Αν τα αντικείµενα έχουν αξίες που διαφέρουν, σχεδιάστε αλγόριθµο ∆υναµικού Προγραµµατισµού.
5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 5
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 10+10)
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 1*(01+10)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 6
2. Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη
κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι
κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {0n
14
| n<5}
Β = {0m
1n
| m>2, n<2}
Γ = "# ∈ "0,1(∗|+ ,-./0ό1 234 0 5.4,. 056,7ύ25-+1 ,8ό 2+ 2-.87,9.+ 2+: ,-./0+: 234 ,9934(
∆ = {0n
10m
| n∈ ;, m∈ ; }
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω < µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός = (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε > ∈ < µε |?| @ = να
µπορεί να γραφεί στην µορφή > ABC όπου για τις συµβολοσειρές A, B και C ισχύει:
|AB| D =
B E F
ABG
C ∈ < για κάθε φυσικό G @ H
7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 7
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 4+4+12)
(Α) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα:
L1 = {bbam
bm+1
| m≥2}.
(B) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα:
L={am
bn
cp
dq
: m + n = p + q}
(Γ) ∆ώστε ένα ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας Μ που να αναγνωρίζει τη γλώσσα:
L3 = {a2n
cn
bm
am
| n,m ∈ }.
(1) Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
(2) ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας, αρχική
κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών καταστάσεων). Για
την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε πίνακα.
Σηµείωση: είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών
8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 10+10)
Α: Έστω αλφάβητο Σ={a,b,c} και η γλώσσα: I ", J K | @ 1(. Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε
αλφάβητο Σ0={α,b,c,#,$,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για
κάποιο # ∈ L∗
.
(1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και
σην συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ.
(2) ∆ώστε τα βήµατα της εκτέλεσης µε είσοδο #aaabbbc#
9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 9
Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M,q | η µηχανή Turing Μ δεν διέρχεται ποτέ από την κατάσταση q}. ∆είξτε ότι η L δεν
είναι επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.
10. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 4 10
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 5+15)
Α. Στο πρόβληµα της ∆ΙΠΛΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ δίνεται µια φόρµουλα φ σε κανονική συζευκτική µορφή
και ερωτάται αν υπάρχουν τουλάχιστον 2 αποτιµήσεις που την ικανοποιούν. Εξετάστε αν η ∆ΙΠΛΗ
ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ανήκει στην NP.
B. ∆ώστε πολυωνυµική αναγωγή του προβλήµατος της ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ στο πρόβληµα της ∆ΙΠΛΗΣ
ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ.
