.

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 1
ΠΛΗ30 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Ονοµατεπώνυµο:…………………………………………………………………
Ηµεροµηνία: ………………………………………………………………………
∆ιάρκεια: 180΄
Ερώτηµα Μονάδες Βαθµολογία
1 10
10
2 15
5
3 10
3+3+4
4 4+4
12
5 10
10
6 3+3
7+7
Σύνολο 120

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 2
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 10+10)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
√ 2
4 4
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 3
(Β) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
23 23
2/1
6
5
5
4
)()4(
2
2)()3(
10
100)()2(log
2
2)()1(
n
n
T
n
TnTn
n
TnT
n
n
TnTnn
n
TnT
+





+





=+





⋅=
+





=+





=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 4
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 15+5)
Έστω ότι είστε σύµβουλοι µίας εταιρίας κατασκευής ράβδων χαλκού, τους οποίους τους στέλνετε σε όλη τη
χώρα. Για κάθε µία από τις επόµενες n ≥ 4 εβδοµάδες, έχετε µία προβλεπόµενη παραγωγή si κιλών ράβδων
χαλκού (για την εβδοµάδα i) η οποία θα πρέπει να µεταφερθεί στον τελικό της προορισµό µέσω αεροπλάνων
µεταφοράς. Η παραγωγή κάθε εβδοµάδας µπορεί να µεταφερθεί µέσω δύο διαφορετικών εταιριών
αεροµεταφοράς, τις Α και Β.
• Η Α χρεώνει r ευρώ για κάθε κιλό (άρα κοστίζει r⋅si για να µεταφέρει την παραγωγή της εβδοµάδας i)
• Η Β χρεώνει ανά εβδοµάδα ένα σταθερό ποσό c ανεξαρτήτως συνολικού βάρους. Όµως, το συµβόλαιο
µε την εταιρία Β θα πρέπει να είναι διάρκειας ακριβώς τεσσάρων συνεχόµενων εβδοµάδων.
Ένα πρόγραµµα για την εταιρία χαλκού είναι η επιλογή µίας εταιρίας αεροµεταφοράς για κάθε µία από τις n
εβδοµάδες µε τον περιορισµό ότι όταν επιλέγουµε την εταιρία Β θα πρέπει το κάθε συµβόλαιο να αφορά 4
εβδοµάδες. Κατά αυτόν τον τρόπο, πληρώνοντας το ποσό c στην εταιρία Β µπορούµε για 4 εβδοµάδες να
στέλνουµε την παραγωγή χωρίς κάποιο περιορισµό στο βάρος. Το κόστος του προγράµµατος είναι ίσο µε το
συνολικό πόσο προς και τις δύο εταιρίες Α και Β για την µεταφορά του χαλκού και τις n εβδοµάδες.
Παράδειγµα: Έστω r = 1, c = 10 και η ακολουθία παραγωγής είναι η 11, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 9, 9, 11. Στο
βέλτιστο πρόγραµµα θα επιλέγατε την Α για τις τρεις πρώτες εβδοµάδες, την Β για τις επόµενες τέσσερις και την
Α για τις τελευταίες τρεις µε συνολικό κόστος 98.
(Α) ∆ώστε λύση ∆υναµικού Προγραµµατισµού (αναδροµική σχέση) η οποία µε είσοδο την παραγωγή κάθε
εβδοµάδας s1,s2,…,sn να επιστρέφει το ελάχιστο κόστος για την µεταφορά της. Ποια είναι η χρονική
πολυπλοκότητα του αλγόριθµού σας;
(Β) Να εφαρµόσετε τον συγκεκριµένο αλγόριθµο για την είσοδο του παραδείγµατος που έχει δοθεί παραπάνω
δίνοντας τον πίνακα δυναµικού προγραµµατισµού για κάθε βήµα.

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 5
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 10+3+3+4)
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: (010+10)*+01
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 6
2. Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη
κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι
κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {1m
0n
14
| n,m ≥ 0}
B = {x∈{0,1}* | o αριθµός των µηδενικών είναι µικρότερος από το διπλάσιο του αριθµού των άσσων}
Γ = {1m
0n
1k
| n ≥ 1, m ≥ 0, k ≥ 0}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ! ∈ µε |$| % να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ! &'( όπου για τις συµβολοσειρές &, ' και ( ισχύει:
|&'| *
' + ,
&'-
( ∈ για κάθε φυσικό - % .

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 7
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 4+4+12)
(Α) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα:
L1 = {an
bn+m+1
| n,m≥4}.
(B) ∆ώστε µια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τη γλώσσα:
L2 = {10n
1m+1
| n > m}.
(Γ) ∆ώστε ένα ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας Μ που να αναγνωρίζει τη γλώσσα:
L3 = {an
ccan+1
| n ∈ }.
(1) Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
(2) ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας, αρχική
κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών καταστάσεων). Για
την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε πίνακα.
Σηµείωση: είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 10+10)
(Α) Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, 2, #, $, Y, N}, που να
αποφασίζει την γλώσσα L = { w2w | w ∈ {0,1}*}.
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1,2}* ξεκινά τη λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψης της
εισόδου, αντίστοιχα. Ο χαρακτήρας $ είναι ένας ειδικός χαρακτήρας που ανήκει στο αλφάβητο της µηχανής Μ,
αλλά όχι στο αλφάβητο της γλώσσας L.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).
(3) ∆ώστε τον υπολογισµό της Μ για τους παρακάτω αρχικούς σχηµατισµούς:
(i) #121# (ii) #11#

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 9
(Β) ∆ίνεται η γλώσσα L = { <M>} | η µηχανή Turing M δεν αποδέχεται καµία είσοδο }. Αποδείξτε ότι γλώσσα L
δεν είναι Turing αποφασίσιµη. Για την απόδειξη, κάντε αναγωγή από την γλώσσα Ε = { <M> | η Μ αποδέχεται
την κενή συµβολοσειρά } για την οποία γνωρίζουµε ότι δεν είναι Turing αποφασίσιµη. Υποθέστε ότι η γλώσσα L
είναι Turing αποφασίσιµη και καταλήξτε σε άτοπο.

10. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 3 10
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 3+3+7+7)
Για τις κανονικές εκφράσεις: 0*0 και 1*1 δώστε τα ακόλουθα:
1. ΜΠΑ που αποφασίζουν τις αντίστοιχες γλώσσες,
2. ΝΠΑ που αποφασίζουν τις αντίστοιχες γλώσσες,
3. ΝΠΑ που αποφασίζει την τοµή τους (µε τον αλγόριθµο κλειστότητας της τοµής),
4. ΝΠΑ που έχει τις ελάχιστες δυνατές καταστάσεις
Ορισµός (∆ιακρινόµενες συµβολοσειρές)
.