1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές ΣΧέσεις (Μέθοδος Επανάληψης, Θεώρημα Κυριαρχίας, Εμπειρικοί Κανόνες) 3.1) Κανονικές Εκφράσεις 3.2) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑε 3.3) Αλγόριθμος Κλειστότητας Τομής - Απλοποίηση ΝΠΑ 4.1)

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 14 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ14
ΘΕΜΑ 1: ANAΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
nn
nnnf
nf
n
nnn
nf
3loglog)(
)50log()01,1()(
loglog
log
)(
22
3
2
1
+=
+=
+
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 14 2
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
2
158
7
)()1( n
n
T
n
TnT +





+





=
7 4
128
16)()2( n
n
TnT +





=
3
5
33)()3( n
n
TnT +





=
( ) nnnTnT 321)()4( 2
++−=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    
Υπόδειξη: Θεωρείστε γνωστό ότι: )( 3
1
2
ni
n
i
Θ=∑=
και )( 2
1
ni
n
i
Θ=∑=

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 14 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1:
Κατασκευάστε Κανονικές Εκφράσεις για τις Γλώσσες του αλφαβήτου {0,1}:
L1={ w | w τελειώνει µε 101 }
L2={ w | w αρχίζει µε 001 }
L3={ w | w περιέχει το 0101 }
L4={ w | w έχει µήκος 2 }
L5={ w | w έχει µήκος το πολύ 2 }
L6={ w | w έχει µήκος που είναι πολλαπλάσιο του 3 }
L7={ w | w έχει περιττό µήκος ή τελειώνει µε 01}
L8={ w | w δεν τελειώνει µε 10}
L9={ w | w δεν περιέχει το 1}

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 14 4
Άσκηση 2: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 1*110*110*111*
L2 = (0101+111+0)*
L3 = 0(0+1)*+ (0+1)*11
L4 = 1*0*1*0*
L5 = (0*1*01)*

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 14 5
Άσκηση 3:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {0,1}: L1={w|w τελειώνει µε 11} και L2={w|w περιέχει το 0}
(Α) ∆ώστε κανονικές εκφράσεις των L1 και L2
(B) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) των L1 και L2
(Γ) ∆ώστε τα ισοδύναµα ΝΠΑ των L1 και L2
(∆) ∆ώστε το ΝΠΑ της τοµής των δύο γλωσσών (Εφαρµόζοντας τον αλγόριθµο κλειστότητας της τοµής)
(Ε) Απλοποιήστε το ΝΠΑ του ερωτήµατος (∆)

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 14 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Να δείξετε ότι η γλώσσα: {wcwR
: w ∈∈∈∈ {a,b}*} δεν είναι κανονική.