1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων Πολυπλοκότητας 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 3.1) ΚΕ σε ΜΠΑε 3.2) "αρχίζει" και "περιέχει" και "τελειώνει": ΚΕ - ΜΠΑ - ΝΠΑ

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 12 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ12
ΘΕΜΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
nn
nf
n
nn
nf
n
nn
nf
n
loglog
log4
)(
log
)(
log
log
)(
3
2
25
2
1
+
=
+
=
+
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 12 2
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
2
85
4
)()1( n
n
T
n
TnT +





+





=
2
4
23)()2( n
n
TnT +





=
n
n
TnT +





=
9
3)()3(
( ) 10
41)()4( nnTnT +−=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    
Υπόδειξη: Θεωρείστε γνωστό ότι: )( 11
1
10
ni
n
i
Θ=∑=

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 12 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)*11
L2 = (0+10+100+1000)*
L3 = 11(0+1)* + (0+1)*001
L4 = 0*1*1*
L5 = (00(0+1)*11)*

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 12 4
Άσκηση 2: ∆ίδεται η γλώσσα του αλφαβήτου {0,1}
L={w|w αρχίζει µε 010, περιέχει το 110 και τελειώνει µε 111}
(Α) ∆ώστε Κανονική Έκφραση που παράγει τις συµβολοσειρές της L
(B) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Γ) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) για το συµπλήρωµα της L