Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 8 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
Ορισµοί Θεωρίας Γράφων
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Θεωρία Γράφων/1 – Μάθηµα 4.1: Βασικοί Ορισµοί Γράφων
• Θεωρία Γράφων/1 – Μάθηµα 4.2: Βαθµοί Κορυφών
• Θεωρία Γράφων/1 – Μάθηµα 4.3: ∆ιαµερίσεις και Χρωµατισµοί
• Θεωρία Γράφων/1 – Μάθηµα 4.4: Κύκλος Euler
• Θεωρία Γράφων/1 – Μάθηµα 4.5: Κύκλος Hamilton
• Θεωρία Γράφων/2 – Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
• Θεωρία Γράφων/2 – Μάθηµα 5.2: Ισοµορφισµοί Γραφηµάτων
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Το πακέτο αυτών των µαθηµάτων είναι απαραίτητο για τα Σ/Λ (όπου πέφτουν 2-3 οµάδες που είναι
από τις πιο εύκολες). Θα πρέπει να επαναλάβετε από τα µαθήµατα, εκτός από την θεωρία και τα Σ/Λ
των αντίστοιχων παρουσιάσεων οπωσδήποτε. Οι ασκήσεις Β’µέρους που πέφτουν σε αυτήν την ύλη
είναι αρκετά δύσκολες.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7’ και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 42’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.30’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.30’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 8 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Αν ένα συνδεόµενο γράφηµα έχει σηµείο κοπής, τότε δεν έχει κύκλο Hamilton.
2. Αν ένα συνδεόµενο γράφηµα έχει σηµείο κοπής, τότε δεν έχει κύκλο Euler
3. Για κάθε φυσικό n≥4 µπορεί να κατασκευαστεί απλό γράφηµα µε n κορυφές, που τόσο αυτό όσο και το
συµπλήρωµα του είναι συνδεόµενα.
4. Για κάθε φυσικό n≥5 µπορεί να κατασκευαστεί απλό γράφηµα µε n κορυφές, που τόσο αυτό όσο και το
συµπλήρωµα του είναι κανονικά.
Ερωτήσεις 2
1. Υπάρχει γράφηµα µε 10 κορυφές που 1 κορυφή έχει βαθµό 9, 2 κορυφές έχουν βαθµό 8, 3 κορυφές έχουν βαθµό
7, 3 κορυφές έχουν βαθµό 5 και 1 κορυφή έχει βαθµό 1.
2. Το Κ6 περιέχει ως υπογράφηµα το Κ3,3 και ως επαγόµενο υπογράφηµα το Κ3
3. Αν ένα γράφηµα είναι 2-χρωµατίσιµο και συνδεόµενο, τότε περιέχει κύκλο Euler
4. Τα γραφήµατα Κ6 και Κ3,3 είναι 6-χρωµατίσιµα.
Ερωτήσεις 3
Έστω ‫ܩ‬ = (ܸ, ‫)ܧ‬ και ‫ܩ‬̅ = (ܸത, ‫ܧ‬ത) το συµπλήρωµά του.
1. Αν το ‫ܩ‬ είναι συνδεόµενο και |ܸ| ≥ 2 τότε το συµπλήρωµά του δεν µπορεί να είναι πλήρες γράφηµα.
2. Αν το ‫ܩ‬ έχει κύκλο Euler, τότε και το συµπλήρωµά του έχει κύκλο Euler.
3. Αν το γράφηµα είναι 4-κανονικό και έχει 16 κορυφές, τότε το συµπλήρωµά του έχει κύκλο Euler
4. Αν το γράφηµα έχει 15 ακµές και 6 κορυφές, τότε το συµπλήρωµά του έχει 5 ακµές.
Ερωτήσεις 4
Για οποιαδήποτε ισόµορφα γραφήµατα G και H ισχύει:
1. Οι πίνακες γειτνίασης των G και H είναι πάντοτε ίσοι
2. Το G έχει σύνολο ανεξαρτησίας µε περισσότερες από k κορυφές αν και µόνο αν και το H έχει.
3. Κάποιο συνδετικό δένδρο του G έχει τον ίδιο αριθµό φύλλων µε οποιοδήποτε συνδετικό δένδρο του H.
4. O αριθµός των κύκλων Hamilton του G ισούται µε τον αριθµό των κύκλων Hamilton του H
Ερωτήσεις 5
Έστω Kn το πλήρες γράφηµα µε n≥3. Α o πίνακας γειτνίασης του Kn και Μ ο πίνακας πρόσπτωσης του Kn. Ποιες από τις
παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ο πίνακας γειτνίασης Α περιέχει µόνο 1
2. Το πλήθος των θέσεων του πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε ݊ଶ
(݊ − 1)/2
3. Ο αριθµός των 0 στον πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε 3൫௡
ଷ
൯
4. ∑ ‫ܣ‬ଶሾ݅, ݅ሿ = ݊(݊ − 1)௡
ఐୀଵ
Ερωτήσεις 6
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης απλού µη κατευθυνόµενου γραφήµατος G µε n≥2 κορυφές
1. Αν ο G περιέχει τουλάχιστον 2n άσσους, τότε το G περιέχει κύκλο.
2. Αν H είναι ο πίνακας γειτνίασης άλλου γραφήµατος G’ ισόµορφου µε το G, τότε A=H
3. O A περιέχει πάντα άρτιο αριθµό 1.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη του Α µε n άσσους.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 8 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Κάκτος ονοµάζεται ένα απλό συνδεόµενο γράφηµα, αν κάθε ακµή του δεν ανήκει σε περισσότερους από έναν απλούς
κύκλους.
1. Σχεδιάστε όλους τους µη ισόµορφους κάκτους µε n=1 εώς n=4 κορυφές
2. Σχεδιάστε δύο µη ισόµορφους κάκτους 8 κορυφών που κάθε ακµή να περιέχεται σε έναν απλό κύκλο
3. Αποδείξτε µε µαθηµατική επαγωγή ότι ο κάκτος n κορυφών έχει το πολύ 2n ακµές
Άσκηση 2
∆είξτε ότι δεν υπάρχει απλό γράφηµα µε 15 κορυφές και 103 ακµές που να έχει κύκλο Euler.
Άσκηση 3
Θεωρείστε την οικογένεια απλών γραφηµάτων Rn (n≥3) που ορίζεται αναδροµικά ως εξής:
• R3=K3
• Το γράφηµα Rn προκύπτει από το γράφηµα Rn-1 αν συνδέσουµε την νέα κορυφή vn µε ακριβώς 2 κορυφές του
γραφήµατος.
∆είξτε µε επαγωγή ότι το γράφηµα Rn έχει χρωµατικό αριθµό 3
Άσκηση 4
Έστω απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα ‫ܩ‬ = (ܸ, ‫.)ܧ‬ Το γράφηµα ακµών του G: ‫)ܩ(ܮ‬ = (ܸ௅, ‫ܧ‬௅) ορίζεται ως εξής:
• Έχει µία κορυφή για κάθε ακµή του αρχικού γραφήµατος ‫.ܩ‬ Υπάρχει µια 1-1 αντιστοιχία µεταξύ των ακµών του ‫ܩ‬
και των κορυφών του ‫.)ܩ(ܮ‬
• ∆υο κορυφές του ‫)ܩ(ܮ‬ ενώνονται µε ακµή ανν οι αντίστοιχες ακµές του G προσπίπτουν στην ίδια κορυφή (στο
αρχικό γράφηµα ‫)ܩ‬
∆είξτε ότι:
1. Βρείτε γράφηµα που είναι ισόµορφο µε το γράφηµα ακµών του µε τουλάχιστον 4 κορυφές.
2. Υπολογίστε το πλήθος κορυφών και το πλήθος ακµών του ‫)ܩ(ܮ‬ αν ‫ܩ‬ = ߈௡
Άσκηση 5
α) Έστω G(X, Y, E) απλό, µη κατευθυνόµενο, διµερές γράφηµα, όπου X και Y τα δύο σύνολα ανεξαρτησίας. Να δείξετε ότι
το άθροισµα του βαθµού των κορυφών στο σύνολο X ισούται µε το άθροισµα του βαθµού των κορυφών στο σύνολο Υ.
β) Να δείξετε ότι αν το G είναι ένα k-κανονικό διµερές γράφηµα, τότε για κάθε διαµέριση των κορυφών του G σε δύο
σύνολα ανεξαρτησίας X και Y, ισχύει ότι | X | = | Y |. Υπενθύµιση: Ένα γράφηµα είναι k-κανονικό αν όλες οι κορυφές του
έχουν βαθµό ίσο µε k.
Άσκηση 6
∆είξτε ότι κάθε απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα 6 κορυφών περιέχει µία κλίκα 3 κορυφών ή ένα ανεξάρτητο σύνολο 3
κορυφών.