Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ7
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Οι 6-ψηφιες συµβολοσειρές που κατασκευάζονται µε τα 10 ψηφία {0,1,2,…,9} είναι:
2. 10
6 αν δεν υπάρχουν περιορισµοί στην επιλογή των ψηφίων.
3. 6
5 αν µόνο τα άρτια ψηφία µπορούν να χρησιµοποιηθούν.
4. 6!/(3!5!) αν τα µόνα επιτρεπόµενα ψηφία είναι το 3 και το 5
5. Όσοι ο συντελεστής του 6
x στην ( )
62 10
1 ....x x x+ + + +
(2) ‘Ο αριθµός των τρόπων διανοµής n µη διακεκριµένων αντικειµένων σε m διακεκριµένες υποδοχές είναι:
1. Όσες οι διατάξεις 1n m+ − αντικειµένων από τα οποία τα n αποτελούν µια οµάδα µη διακεκριµένων µεταξύ
τους αντικειµένων και τα υπόλοιπα µια άλλη.
2. Όσες οι δυαδικές συµβολοσειρές µε 1m − µηδενικά και n άσσους.
3. Όσες οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 1 2 m
x x x n m+ + + = +L όπου κάθε µεταβλητή παίρνει τιµή
τουλάχιστον 1
4. Όσες οι επιλογές µιας διατεταγµένης n -άδας µε δυνατότητα επανάληψης από m διακεκριµένα
αντικείµενα.
(3) ∆ίδεται πίνακας Α διάστασης 3x4 που κάθε στοιχείο του είναι 0 ή 1
1. Οι διαφορετικοί πίνακες που µπορούν να κατασκευαστούν είναι 12
2
2. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους είναι όσοι ο συντελεστής του k
x στην
παράσταση 12
(1 )x+ .
3. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους είναι ίσοι µε ( )12
k
.
4. Οι διαφορετικοί πίνακες που περιέχουν ακριβώς k άσσους, αν ενδιαφέρει µόνο το πλήθος των άσσων που
έχουµε σε κάθε γραµµή, είναι όσοι ο συντελεστής του k
x στην παράσταση
2 3 4
(1 )x x x+ + + .

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 2
(4) Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2, p3 είναι προτασιακές µεταβλητές. Τότε ισχύει:
1. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( ) ( )|p p p p p p p∧ → → ∧ →=
2. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( ) ( )|p p p p p p p→ → ∨ →=∨
3. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( )|p p p p p p p∨ → ∨=∨ ∨
4. 1 2 3 1 3 2 3
( ) ( )|p p p p p p p∧ →=∧ ∧ ∧
(5) Στους παρακάτω τύπους σηµειώστε Σωστό εάν ο τύπος αληθεύει στους φυσικούς αριθµούς αν το διµελές
κατηγόρηµα ( , )P x y σηµαίνει ότι x y< και το «⋅ » είναι η πράξη του πολλαπλασιασµού.
1. ( ( , ) )x y P x y x y∃ ∀ ∨ ≈
2. ( ( , ) ( ( , ) ( , )))x y P x y z P x z P z y∀ ∀ → ∃ ∧
3. ( 2 )x y y x∀ ∃ ≈ ⋅
4. ( )x y y x y∃ ∀ ≈ ⋅
(6) Στις παρακάτω προτάσεις τα φ και ψ είναι τύποι της κατηγορηµατικής λογικής
1. Ο τύπος ∃ → ∀ είναι ταυτολογία αν η µεταβλητή x δεν υπάρχει ελεύθερη στον τύπο φ.
2. Ο τύπος ∃ → ∀ είναι ταυτολογία αν η µεταβλητή x υπάρχει ελεύθερη στον τύπο φ.
3. Για κάθε τύπο φ στον οποίο εµφανίζεται δεσµευµένη η µεταβλητή x, υπάρχει ισοδύναµος τύπος όπου η
x δεν εµφανίζεται καθόλου.
4. Στην κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου δεν παίζει ρόλο η σειρά των ποσοδεικτών.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 3
(7) ∆ίδεται απλό γράφηµα G µε 6 κορυφές και 7 ακµές
1. Το G µπορεί να είναι δένδρο.
2. Το G µπορεί να µην είναι συνδεόµενο.
3. Αν το G είναι συνδεόµενο, τότε είναι επίπεδο και έχει ακριβώς 4 όψεις
4. Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του G. Τότε ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα ⋯ θα
είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 2.
(8) Θεωρούµε ένα γράφηµα µε θετικά βάρη στις ακµές. Θεωρούµε επίσης ότι το γράφηµα G’ στο οποίο τα βάρη
όλων των ακµών έχουν πολλαπλασιαστεί µε τον ίδιο θετικό αριθµό καθώς και το γράφηµα G’’ στο οποίο όλα τα
βάρη των ακµών έχουν αυξηθεί κατά τον ίδιο θετικό αριθµό.
1. Ο αλγόριθµος του Dijkstra πάντα δίνει το ίδιο συντοµότερο µονοπάτι µεταξύ δύο συκεκριµένων κορυφών
και στα τρία γραφήµατα G, G’ και G’’
2. Ο αλγόριθµος του Prim θα κατασκευάσει το ίδιο ελάχιστο συνδετικό δένδρο και στα τρία γραφήµατα G,
G’ και G’’ αν ξεκινήσει από την ίδια κορυφή.
3. Το συντοµότερο µονοπάτι µεταξύ δύο συγκεκριµένων κορυφών πάντα περιλαµβάνει µια ακµή ελαχίστου
βάρους.
4. Το ελάχιστο συνδετικό δένδρο πάντα περιλαµβάνει µια ακµή ελαχίστου βάρους.
(9) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Ένα γράφηµα n κορυφών στο οποίο κάθε ζευγάρι κορυφών ενώνεται µε ένα και µόνο µονοπάτι έχει n-1
ακµές.
2. Ένα δένδρο είναι επίπεδο γράφηµα µε 0 όψεις.
3. Το µέγιστο µονοπάτι σε ένα δένδρο n κορυφών και n-1 φύλλων έχει µήκος 3.
4. Ένα δένδρο µε τουλάχιστον 2 κορυφές είναι διµερές γράφηµα.
(10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις διατηρούνται όταν προσθέτουµε ακµές σε ένα γράφηµα; ∆ηλαδή για
ποιες από τις παρακάτω ιδιότητες ισχύει ότι αν G(V,E) είναι ένα γράφηµα που έχει την ιδιότητα Π, και
G’(V’,E’) µε Ε⊆Ε’ είναι ένα γράφηµα που προκύπτει από το G µε την προσθήκη επιπλέον ακµών (όχι
κορυφών) τότε το G’ διατηρεί την ιδιότητα Π
1. Η ιδιότητα «Το γράφηµα έχει κύκλο Hamilton»
2. Η ιδιότητα «Το γράφηµα είναι επίπεδο»
3. Η ιδιότητα «Το γράφηµα έχει κύκλο Euler»
4. Η ιδιότητα «Το γράφηµα δεν έχει σηµείο κοπής»

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
Γράψτε γεννήτρια συνάρτηση για τον αριθµό των τρόπων ra µε τους οποίους οι ρίψεις έξι ζαριών αθροίζονται
στο r , αν
α) Τα πρώτα 3 ζάρια έφεραν περιττό αριθµό και τα υπόλοιπα 3, άρτιο.
β) Το i -οστο ζάρι δεν έφερε i .
(Ερώτηµα 2)
(α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ4 έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
Χωρίς να επικαλεστείτε ούτε το θεώρηµα Πληρότητας αλλά ούτε και γνωστά θεωρήµατα (απαγωγή,
αντιθετοαναστροφή, εις άτοπον απαγωγή κλπ) δείξτε ότι χ¬¬ |- χχχ →¬→¬ )( .
(Ερώτηµα 2)
∆είξτε ότι η πρόταση: ∃ ∃ , είναι σηµασιολογική συνέπεια του συνόλου προτάσεων
∃ ∀ , , ∀ , → ∃ ,
(Ερώτηµα 3)
α) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη
γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα (χωρίς παράλληλες ακµές) ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται
ως κορυφές των γραφηµάτων και το σύµβολο P µε την σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών
(a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην b.
1) Γράψτε µία πρόταση της Κατηγορηµατικής Λογικής που αληθεύει στα γραφήµατα τα οποία έχουν
τουλάχιστον µία κορυφή µε έξω-βαθµό 2. (Έξω-βαθµός είναι ο αριθµός των ακµών που φεύγουν από την
κορυφή.)
2) Θεωρούµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα G µε κορυφές 1,2,3 και 4 και µε ακµές (1,2), (2,3), (1,3) και (3,4).
Θεωρούµε τον τύπο ∃y∃z(P(x,y) ∧ P(x,z)). Να βρείτε για ποιες κορυφές αληθεύει ο τύπος.

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
Να δείξετε ότι ένα συνδεόµενο, απλό µη κατευθυνόµενο 3-κανονικό επίπεδο γράφηµα που περιέχει ακριβώς 2
φορές το C3 σαν επαγόµενο υπογράφηµα θα έχει τουλάχιστον 6 κορυφές.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 7 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Για ένα γράφηµα G=(V,E) µε m ακµές και n κορυφές, συµβολίζουµε µε ∆ τον µέγιστο βαθµό κορυφής του G και
δ τον ελάχιστο βαθµό των κορυφών του G. Να δειχθεί ότι δ ≤ 2m/n ≤ ∆