Προτασιακή Λογική Προτασιακοί Τύποι Κανονική Διαζευκτική Μορφή

1. Γνωστες Ταυτολογίες είναι οι μορφές τύπων:
1. ∨ όπου φ οποιοσδήποτε προτασιακός τύπος
2. → όπου φ=Αντίφαση (Μορφή → ⋯ ) ή ψ=Ταυτολογία
(Μορφή … → )
3. → όπου φ οποιοσδήποτε προτασιακός τύπος
4. ↔ όπου φ οποιοσδήποτε προτασιακός τύπος
5. Όλες οι μορφές τύπων νόμων της προτασιακής λογικής
6. Όλες οι μορφές τύπων συντακτικών αντικατάσεων στα
αξιωματικά σχήματα του προτασιακού λογισμού
Πίνακας Αλήθειας Λογικών Συνδέσμων:
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΙ ΤΥΠΟΙ
Ταυτολογία: είναι τύπος που είναι Α για όλες τις αποτιμήσεις
Παράδειγμα: Ο τύπος ∧ → είναι ταυτολογία
Λύση: Γνωστές Αντιφάσεις είναι οι μορφές τύπων
• ∧ όπου φ οποιοσδήποτε προτασιακός τύπος
• → όπου φ=Ταυτολογία και ψ=Αντίφαση (Μορφή → )
• όπου φ=Ταυτολογία
• ↔ όπου φ οποιοσδήποτε προτασιακός τύπος
Αντίφαση: είναι τύπος που είναι Ψ για όλες τις αποτιμήσεις
Παράδειγμα: Ο τύπος ∧ → είναι αντίφαση
Λύση:
Ικανοποιήσιμος: είναι τύπος που είναι Α σε τουλάχιστον
μία αποτίμηση
Παράδειγμα: Ο τύπος ∧ → είναι ικανοποιήσιμος
Λύση:
Προτεραιότητα λογικών συνδέσμων:
(1) (2) ∨, ∧ (3) →, ↔

2. Κανονική Διαζευκτική Μορφή:
Ένας τύπος είναι σε κανονική διαζευκτική μορφή (ΚΔΜ), αν
είναι της μορφής:
όπου κάθε ψi είναι της μορφής:
Και τα xij είναι μεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών
μεταβλητών
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗΚΑΝΟΝΙΚΗ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
Βήματα κατασκευής κανονικής διαζευκτικής μορφής
1. Κατασκευάζουμε τον πίνακα αλήθειας του τύπου.
2. Εκφράζουμε σαν σύζευξη (and) κάθε γραμμή που
αληθεύει. Στην σύζευξη θέτουμε αν α Α και
αν α Ψ.
3. O τύπος είναι η διάζευξη (or) όλων των συζεύξεων.
Παράδειγμα: Να βρεθεί η Κ.Δ.Μ. του τύπου: → →
Λύση:
Κατασκευάζουμε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Άρα η Κανονική Διαζευκτική Μορφή του τύπου είναι:
• Η 2η γραμμή:
• Η 5η γραμμή:
• Η 6η γραμμή:
• Η 7η γραμμή:
• Η 8η γραμμή:
rqp ¬∧∧
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧¬∧¬
rqp ¬∧¬∧¬
rqp ∧∧¬
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧