SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2

•
•
Dimitris Psounis
Dimitris Psounis

0) Μαθηματικά Προαπαιτούμενα 1) Συνδυασμοί 1.1) Συνδυασμοί Χωρίς Επανάληψη 1.2) Συνδυασμοί Με Επανάληψη 2) Γνωστά Προβλήματα Συνδυασμών 2.1) Λόττο 2.2) Ζάρια 2.3) Ντόμινο 2.4) Χαρτιά 2.5) Σύνολα και το Διωνυμικό Ανάπτυγμα 3) Μεθοδολογία Ασκήσεων 3.1) Επιλογή από όμοια αντικείμενα 3.2) Επιλογή από ομάδες ομοίων αντικειμένων 3.3) Επιλογή με περιορισμούς 3.4) Διαδοχικές Επιλογές Ασκήσεις

Bildung
1 von 37
Downloaden Sie, um offline zu lesen
ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝ∆ΥΑΣΤΙΚΗ Μάθηµα 1.2: ΣυνδυασµοίΣυνδυασµοί ∆ηµήτρης Ψούνης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 0. Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα 1. Συνδυασµοί 1. Συνδυασµοί Χωρίς Επανάληψη 2. Συνδυασµοί Με Επανάληψη 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 1. Λόττο 2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 1. Λόττο 2. Ζάρια 3. Ντόµινο 4. Χαρτιά 5. Υποσύνολα και το ∆ιωνυµικό Ανάπτυγµα Γ.Μεθοδολογία Ασκήσεων 1. Επιλογή από όµοια αντικείµενα 2. Επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων 3. Επιλογή µε περιορισµούς 4. ∆ιαδοχικές Επιλογές ∆.Ασκήσεις 1. Ασκήσεις Κατανόησης 2. Ερωτήσεις 3. Εφαρµογές
Α. Σκοπός του Μαθήµατος Επίπεδο Α Οι δύο τύποι συνδυασµών και οι προϋποθέσεις για την χρήση του αντίστοιχου τύπου Οι µεθοδολογίες για την διαχείριση των περιορισµών Επίπεδο Β Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών Επίπεδο Γ (-)
Β. Θεωρία Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα Παραγοντικό (του n). 4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Ορίζουµε το παραγοντικό του n, ως το γινόµενο των φυσικών από το 1 εώς το n: 12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn Και ισχύει ο εξής αναδροµικός ορισµός: Ορίζουµε επίσης ότι 0!=1 12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn 1, 1 1 ,)!1( ! = >    − = n nnn n αν αν
Β. Θεωρία Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα Η ποσότητα P(n,k) και η ποσότητα C(n,k) 5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Ορίζουµε την ποσότητα P(n,k), ως το n! δια το (n-k)! για n≥0 και 0≤k≤n: )1...()2()1( )!( ! ),( +−⋅−⋅−⋅= − = knnnn kn n knP Και ορίζουµε την ποσότητα C(n,k) ως το n! προς το k!(n-k)! για n≥0 και 0≤k≤n To C(n,k) συµβολίζεται και ως εξής: συνεπώς ισχύει: )!(! ! ),( knk n knC − =       k n )!(! ! knk n k n − =     
Β. Θεωρία Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα ∆ύο µικρά Θεωρήµατα: 6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Θεώρηµα 1: Ισχύει η σχέση:       − =      kn n k n     −    knk Θεώρηµα 2: Ισχύει η σχέση:       − − +      − =      1 11 k n k n k n
Β. Θεωρία Στόχος της Συνδυαστικής Στόχος της Συνδυαστικής είναι να µετράµε µε πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ένα (περίπλοκο) γεγονός. Για να το κάνουµε αυτό έχουµε τρεις τρόπους: Την καταµέτρηση των τρόπων «µε το χέρι» όπου καταγράφουµε όλους τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί να γίνει το γεγονός και έπειτα τους µετράµε. 7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί τους µετράµε. Τις βασικές αρχές απαρίθµησης, δηλαδή τον κανόνα του αθροίσµατος και του γινοµένου, όπου σπάµε το βασικό πρόβληµα σε υποπρο- βλήµατα και το τελικό αποτέλεσµα προκύπτει ως το άθροισµα ή το γινόµενο των επιµέρους αποτελεσµάτων. Τους µαθηµατικούς τύπους των µοντέλων της συνδυαστικής, που είναι µαθηµατικοί τύποι που εφαρµόζονται µόνο κάτω από καθορισµένες προϋποθέσεις. Πρόκειται για τους τύπους των συνδυασµών (Μάθηµα 1.2) των διατάξεων (Μάθηµα 1.3) και των διανοµών σε υποδοχές (Μάθηµα 1.4) Οι πιο δύσκολες ασκήσεις είναι αυτές που απαιτούν να συνδυάσουµε τους παραπάνω τρόπους.
Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί Στα προβληµατα συνδυαστικής συχνά στην δοµή της λύσης έχουµε k θέσεις (παύλες) και σε κάθε θέση θέλουµε να τοποθετήσουµε ένα αντικείµενο από n διαθέσιµα. Το πρώτο ερώτηµα που πρέπει να απαντάµε είναι αν εχει σηµασία η σειρά των αντικειµένων ή όχι: Αν η σειρά έχει σηµασία, µιλάµε για ένα πρόβληµα διατάξεων. Για παράδειγµα 8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Αν η σειρά έχει σηµασία, µιλάµε για ένα πρόβληµα διατάξεων. Για παράδειγµα αν πρέπει να κατασκευάσουµε µία ΛΕΞΗ µήκους 4 από το ελληνικό αλφάβητο η σειρά των αντικειµένων (γράµµατα) έχει σηµασία (αφού αν εναλλάξουµε δύο γράµµατα σε µία λέξη προκύπτει διαφορετική λέξη) Αν η σειρά ∆ΕΝ έχει σηµασία, µιλάµε για ένα πρόβληµα συνδυασµών. Για παράδειγµα στα ΖΑΡΙΑ η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (π.χ. η ζαριά 1-2 µε την ζαριά 2-1 είναι ίδια)
Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί Οι τύποι των συνδυασµών υπολογίζουν άµεσα την λύση σε ένα πρόβληµα που µπορεί να µοντελοποιηθεί ως εξής: Θεωρούµε ότι έχουµε έναν «κουβά» που περιέχει διαφορετικά αντικείµενα Βάζουµε το χέρι στον κουβά και επιλέγουµε µερικά από αυτά 9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Τέτοια προβλήµατα είναι το ΛΟΤΤΟ (ο κουβάς έχει 49 αριθµούς και επιλέγω τους 6), τα ΧΑΡΤΙΑ (ο κουβάς έχει 52 φύλλα και επιλέγω – συνήθως – τα 5), τα ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ και άλλα. Το επιλέγω είναι το ρήµα – κλειδί που θα συναντήσουµε σε πολλές εκφωνήσεις και θα καταλαβαίνουµε ότι είµαστε σε συνδυασµούς. Παρατηρήστε ότι όταν κάνουµε µια επιλογή αντικειµένων έχει σηµασία ποια αντικείµενα επιλέγουµε και όχι η σειρά µε την οποία τα επιλέγουµε.
Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί Αφού έχουµε καταλάβει ότι έχουµε έναν πρόβληµα επιλογής αντικειµένων, υπάρχουν δύο τύποι που µοντελοποιούν αντίστοιχα προβλήµατα: Οι συνδυασµοί k αντικειµένων από n χωρίς επανάληψη Όπου οι λύσεις θα δίνονται από την σχέση 10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί       k n Οι συνδυασµοί k αντικειµένων από n µε επανάληψη Όπου οι λύσεις θα δίνονται από την σχέση        −+ k kn 1 Η έννοια της επανάληψης έχει να κάνει µε πόσες φορές επιτρέπεται να έχουµε στην τελική µας λύση ένα από τα διαφορετικά αντικείµενα του κουβά: Στους συνδυασµούς χωρίς επανάληψη δεν επιτρέπεται να έχουµε ένα αντικείµενο πάνω από µία φορα (όπως π.χ. στο ΛΟΤΤΟ κάθε αριθµός δεν µπορεί να επαναληφθεί πάνω από µία φορά) Στους συνδυασµούς µε επανάληψη κάθε αντικείµενο µπορεί να επαναληφθεί στην τελική µας λύση όσεσδήποτε φορές (όπως π.χ. στα ΖΑΡΙΑ που κάθε αριθµός {1,2,..,6} µπορεί να έρθει σε όλα τα ζάρια)
Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί 1. Συνδυασµοί Χωρίς Επανάληψη 11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Έχουµε ένα πρόβληµα συνδυασµών χωρίς επανάληψη όταν: 1. Η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία 2. Έχουµε n διαφορετικά αντικείµενα (ΌΛΑ διαφορετικά µεταξύ τους). 3. Επιλέγουµε k από αυτά, χωρίς να επαναλαµβάνεται κάποιο στοιχείο (∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να επαναληφθεί το πολύ µία(∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να επαναληφθεί το πολύ µία φορά) Τότε οι δυνατοί τρόποι επιλογής δίνονται από τον τύπο:       = k n knC ),( Παραδείγµατα τέτοιων προβληµάτων είναι το ΛΟΤΤΟ, τα ΧΑΡΤΙΑ, τα ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ κ.λπ.
Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί 2. Συνδυασµοί Με Επανάληψη 12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Έχουµε ένα πρόβληµα συνδυασµών µε επανάληψη όταν: 1. Η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία 2. Έχουµε n διαφορετικά αντικείµενα (ΌΛΑ διαφορετικά µεταξύ τους). 3. Συµπληρώνουµε k θέσεις ώστε σε κάθε θέση να µπορεί να επαναληφθεί το ίδιο στοιχείο (∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να εµφανίζεταιτο ίδιο στοιχείο (∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να εµφανίζεται οσεσδήποτε φορές – από καµία εώς όλες τις θέσεις) Τότε οι δυνατοί τρόποι επιλογής δίνονται από τον τύπο:       −+ =−+ k kn kknC 1 ),1( Παραδείγµατα τέτοιων προβληµάτων είναι τα ΖΑΡΙΑ, το ΝΤΟΜΙΝΟ κ.λπ. Η επανάληψη είναι γνωστή και ως επανατοποθέτηση. ∆ηλαδή βγάζουµε ένα αντικείµενο από τον κουβά, το καταγράφουµε και έπειτα το επανατοποθετούµε στον κουβα και επιλέγουµε το επόµενο µε την ίδια διαδικασία.
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 1. ΛΟΤΤΟ 13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Στο ΛΟΤΤΟ δίνονται 49 αριθµοί και ζητείται να επιλέξουµε τους 6 για να κατασκευάσουµε µία στήλη. Πόσες στήλες υπάρχουν; ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί χωρίς επανάληψη οι τρόποι είναι: 49 816.983.13... 6 49 ==      Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (Πράγµατι η εξάδα 1, 8, 44, 12, 19, 23 είναι ίδια π.χ. µε την 1, 12, 44, 8, 19, 23) 2. Έχουµε 49 διαφορετικά αντικείµενα από τα οποία επιλέγουµε τα 6 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί το πολύ µία φορά.
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 2. ΖΑΡΙΑ 14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Ρίχνουµε δύο µη διακεκριµένα (=οµοια) ζάρια. Πόσες ζαριές υπάρχουν; ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί µε επανάληψη οι τρόποι είναι: 21 67!567!7!77126 = ⋅ = ⋅⋅ ===    =    −+ 21 2!5!2!5!2)!27(!222 == ⋅ = ⋅ = − =    =    Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (Πράγµατι η ζαριά 1,2 είναι ίδια µε την 2,1) 2. Έχουµε n=6 διαφορετικά αντικείµενα (οι αριθµοί 1,2,3,4,5,6) τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε k=2 µε επανατοποθέτηση. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί οσεσδήποτε φορές (π.χ. ο αριθµός 1 µπορεί να επαναληφθεί και στις 2 θέσεις)
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 3. ΝΤΟΜΙΝΟ 15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Πόσα ντόµινο υπάρχουν; (υπενθύµιση: ένα ντόµινο κατασκευάζεται από δύο τετράγωνα που κάθε ένα τετράγωνο µπορεί να έχει καµία,1,2,3,4,5 ή 6 τελείες) ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί µε επανάληψη οι τρόποι είναι:Ως συνδυασµοί µε επανάληψη οι τρόποι είναι: 28 2 78 !6!2 !678 !6!2 !8 )!28(!2 !8 2 8 2 127 = ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ = − =      =      −+ Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (Πράγµατι το ντόµινο 2,5 είναι ίδιο µε το 5,2) 2. Έχουµε 7 διαφορετικά αντικείµενα (οι αριθµοί 0,1,2,3,4,5,6) τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε 2 µε επανατοποθέτηση. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί οσεσδήποτε φορές (π.χ. ο αριθµός 1 µπορεί να επαναληφθεί και στις 2 θέσεις)
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 4. ΧΑΡΤΙΑ 16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Πόσες 5άδες χαρτιών µπορούµε να κατασκευάσουµε από µία πλήρη τράπουλα. ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί χωρίς επανάληψη οι τρόποι είναι: 52 960.598.2... 5 52 ==      Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία 2. Έχουµε n=52 διαφορετικά αντικείµενα τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε k=5 από αυτά. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί το πολύ µία φορά.
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 5. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ 17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Πόσα τα υποσύνολα µε 2 στοιχεία του συνόλου {1,2,3,4,5,6,7,8} ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί χωρίς επανάληψη οι τρόποι είναι: 28... 8 ==    28... 2 ==    Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (από τον ορισµό του συνόλου) 2. Έχουµε n=8 διαφορετικά αντικείµενα (τα στοιχεία του συνόλου) τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε k=2 από αυτά. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί το πολύ µία φορά.
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 5. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ (1. Το διωνυµικό ανάπτυγµα) 18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Τα υποσύνολα είναι τεράστιο SOS και πρέπει να ξέρουµε και τα εξής: Οι αριθµοί για k=0,1,2,…,n λέγονται και διωνυµικοί συντελεστές γιατί είναι οι συντελεστές του διωνυµικού αναπτύγµατος: nnniinn i n ba n n ba n ba n ba i n ba ⋅⋅      ++⋅⋅      +⋅⋅      =⋅⋅      =+ −− =∑ 0110 0 ... 10 )(       k n ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: άρα: i ba n bababa i ba ⋅⋅    ++⋅⋅    +⋅⋅    =⋅⋅    =+ =∑ 0 ... 10 )( 32233021120333 0 3 33 3 3 2 3 1 3 0 33 )( babbaabababababa i ba ii i +++=⋅⋅      +⋅⋅      +⋅⋅      +⋅⋅      =⋅⋅      =+ − =∑ niinn i n x n n x n x n x n x i n x       ++      +      +      =⋅⋅      =+ − =∑ ... 210 1)1( 210 0       ++      +      +      =⋅⋅      =+ − =∑ n nnnn i n iinn i n ... 210 11)11( 0 n n nnnn 2... 210 =      ++      +      +     
Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 5. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ (2. Σχέση ∆ιωνυµικών Συντελεστών µε ∆υναµοσύνολο) 19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Έστω Α={1,2,3,4} τότε το δυναµοσύνολό του είναι το: ------------------------------------> C(4,0)=1 στοιχείο ---------------------> C(4,1)=4 στοιχεία ---> C(4,2)=6 στοιχεία},4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{ },4{},3{},2{},1{ , {)( ∅ =AP ---> C(4,2)=6 στοιχεία --------> C(4,3)=4 στοιχεία --------------------------------> C(4,4)=1 στοιχείο Όλα τα υποσύνολα είναι: Και γενικεύοντας για το πλήθος των υποσυνόλων είναι χρήσιµη η σχέση: } }4,3,2,1{ },4,3,2{},4,3,1{},4,2,1{},3,2,1{ },4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{ 4 2 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 =      +      +      +      +      n n nnnn 2... 210 =      ++      +      +     
Γ. Μεθοδολογία 1. Επιλογή από όµοια αντικείµενα 20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Τα αντικείµενα από τα οποία επιλέγουµε µπορεί να είναι τριών κατηγοριών: Α) Οµοια (= Μη διακεκριµένα). Προσοχή ότι µε αυτήν την εκφώνηση εννοούµε ότι ΌΛΑ είναι όµοια. Β) Οµάδες Οµοίων Αντικειµένων. Π.χ. έχω 5 κόκκινους, 4 άσπρους και 6 πράσινους βόλους, άρα έχω 3 οµάδες οµοίων αντικειµένων Γ) ∆ιαφορετικά. ΌΛΑ διαφορετικά ανά δύο µεταξύ τους. Μόνο σε αυτήν την περίπτωση µπορώ να χρησιµοποιήσω τους τύπους των συνδυασµών. Παράδειγµα: Έστω 50 µη διακεκριµένοι βόλοι. Με πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 5 από αυτούς ΛΥΣΗ: Με 1 τρόπο. χρησιµοποιήσω τους τύπους των συνδυασµών. Γενικά όταν έχω να επιλέξω από όµοια αντικείµενα υπάρχει µόνο 1 τρόπος διότι κάθε άλλη λύση θα είναι ακριβώς ίδια µε την πρώτη.
Γ. Μεθοδολογία 2. Επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων 21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Αν τα αντικείµενα είναι οµάδες οµοίων αντικειµένων τότε πρέπει να µοντελοποιήσω το πρόβληµα ως εξής: Βάζω στον κουβά ένα από κάθε οµάδα οµοίων αντικειµένων και µοντελοποιώ το πρόβληµα ως συνδυασµούς µε επανάληψη. Προσοχή ότι πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισµοί του µοντέλου των συνδυασµών µε επανάληψη. Παράδειγµα: Εχω 5 πράσινους, 5 κόκκινους και 5 άσπρους βόλους. Με πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 4 από αυτούς. ΛΥΣΗ: Το πρόβληµα µοντελοποιείται ως συνδυασµοί µε επανάληψη µε n=3(1 πράσινο, 1 κόκκινο και 1 άσπρο βόλο) και k=4. Άρα οι τρόποι είναι: C(n+k-1,k)=C(3+4-1,4)=C(6,4)=15 τρόποι.
Γ. Μεθοδολογία 2. Επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων 22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Προσοχή όταν κάνω επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων και δεν τηρείται η προϋπόθεση κάθε αντικείµενο να µπορεί να επαναληφθεί σε όλες τις θέσεις. Τότε εντοπίζω το «προβληµατικό» αντικείµενο και παίρνω γι’ αυτό διαφορετικές περιπτώσεις όσον αφορά το πόσες φορές µπορεί να επιλεχθεί. Το τελικό αποτέλεσµα θα προκύψει από τον κανόνα του αθροίσµατος Παράδειγµα: Εχω 5 πράσινους, 5 κόκκινους και 2 άσπρους βόλους. Με πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 4 από αυτούς. ΛΥΣΗ: ∆ιακρίνω περιπτώσεις για τους άσπρους βόλους: Να έχω 0 άσπρους βόλους: Τότε έχω C(2+4-1,4)=C(5,4) λύσεις Να έχω 1 άσπρο βόλο. Τότε οι υπόλοιποι 3 επιλέγονται µε C(2+3-1,3)=C(4,3) τρόπους Να έχω 2 άσπρους βόλους. Τότε οι υπόλοιποι 2 επιλέγονται µε C(2+2-1,2)=C(3,2) τρόπους. Άρα από τον κανόνα του αθροίσµατος οι λύσεις είναι: C(5,4)+C(4,3)+C(3,2)=5+4+3=12
Γ. Μεθοδολογία 3. ∆ιαδοχικές Επιλογές 23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Σε κάποιες εκφωνήσεις ζητείται να επιλέξουµε διαδοχικά κάποια αντικείµενα από τον κουβά για να κατασκευάσουµε κάποιες οµάδες. Συχνά θα λέµε ότι χωρίζουµε τα αντικείµενα για να κατασκευ- άσουµε τις οµάδες. Τότε επιλέγουµε διαδοχικά τα αντικείµενα των οµάδων, αφαιρώντας στην επόµενη φάση αυτά που επιλέξαµε. Το τελικό αποτέλεσµα θα προκύψει από τον κανόνα του γινοµένου. Παράδειγµα: Εχω 20 διαφορετικά παιχνίδια που θέλω να τα µοιράσω στα 3 ανίψια µου, ώστε το 1ο να πάρει 6, το 2ο να πάρει 9 και το 3ο να πάρει 5 παιχνίδια. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να γίνει ο χωρισµός; ΛΥΣΗ: Για το 1ο ανίψι έχω C(20,6) τρόπους Για το 2ο ανίψι έχω C(14,9) τρόπους Για το 3ο ανίψι έχω C(5,5) τρόπους Άρα από τον κανόνα του γινοµένου οι συνολικοί τρόποι είναι: C(20,6)·C(14,9)·C(5,5) Προσοχή! Αν οι οµάδες που κατασκευάζω είναι όµοιες, πρέπει να διαιρέσω µε το παραγοντικό του πλήθους των οµάδων που είναι όµοιες. Αυτή η περίπτωση απαιτεί ωστόσο γνώση διατάξεων γι’ αυτό θα την κατανοήσουµε πλήρως σε επόµενο µάθηµα.
Γ. Μεθοδολογία 4. Περίπλοκοι Περιορισµοί 24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Σε αρκετές εκφωνήσεις δεν θα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απευθείας κάποιον από τους τύπους λόγω της ύπαρξης κάποιου περιορισµού. Στις περιπτώσεις αυτές σπάµε το πρόβληµα σε υποπροβλήµατα και σκεφτόµαστε µε τους τρόπους που αναλύσαµε στο προηγούµενο µάθηµα, δηλαδή: Είτε διακρίνουµε διαφορετικές περιπτώσεις και συνδυάζουµε τις λύσεις µε τον κανόνα αθροίσµατος Παράδειγµα: Έχω 5 πράσινους, 5 κόκκινους και 5 άσπρους βόλους. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να κάνω µια επιλογή 4 βόλων µε τον περιορισµό να επιλέξω τουλάχιστον 2 πράσινους βόλους ΛΥΣΗ: ∆ιακρίνω περιπτώσεις για τους πράσινους βόλους: Να έχω 2 πράσινους βόλους: Τότε έχω C(2+2-1,2)=C(3,2)=3 λύσεις Να έχω 3 πράσινους βόλους. Τότε έχω C(2+1-1,1)=C(2,1)=2 λύσεις Να έχω 4 πράσινους βόλους. Τότε έχω 1 λύση Άρα από τον κανόνα του αθροίσµατος οι τρόποι είναι 3+2+1=6 Είτε διακρίνουµε διαφορετικές περιπτώσεις και συνδυάζουµε τις λύσεις µε τον κανόνα αθροίσµατος Είτε κατασκευάζουµε την λύση σε φάσεις (στάδια) και συνδυαζουµε τις λύσεις µε τον κανόνα γινοµένου.
∆. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 1 Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες: 25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί = = = = = !4) !3) !2) !1) !0) E D C B A = = = = !7) !6) !5) !4) H G F E
∆. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 2 Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες: 26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί = = = = = )2,4() )1,4() )0,4() )2,5() )3,5() CE CD CC PB PA = = = = )3,10() )4,4() )3,4() )2,4() CH CG CF CE
∆. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 3 Αποδείξτε το θεώρηµα: 27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί       − =      kn n k n
∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 1 ∆ίδεται το σύνολο A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 1. Τα υποσύνολα του A µε 5 στοιχεία είναι 2. Τα υποσύνολα του A µε 3 στοιχεία είναι λιγότερα από τα υποσύνολα του Α µε 7 28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί       5 10 2. Τα υποσύνολα του A µε 3 στοιχεία είναι λιγότερα από τα υποσύνολα του Α µε 7 στοιχεία 3. Τα υποσύνολα του A µε 4 στοιχεία είναι περισσότερα από τα υποσύνολα του Α µε 6 στοιχεία 4. Τα υποσύνολα του Α είναι 210
∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 2 Σε µια συγκέντρωση συµµετέχουν 6 άνδρες και 3 γυναίκες. Όλοι οι άνδρες ανταλάσσουν µεταξύ τους χειραψία, όλες οι γυναίκες ανταλάσσουν µεταξύ τους χειραψία και 4 από τους ανδρες ανταλάσσουν χειραψία µε 2 από τις γυναίκες 1. Οι χειραψίες µεταξύ ανδρών είναι 15. 29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 2. Οι χειραψίες µεταξύ γυναικών είναι 9. 3. Οι χειραψίες µεταξύ ανδρών και γυναικών είναι 8. 4. Ο συνολικός αριθµός χειραψιών είναι 27.
∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 3 Σε µια τράπουλα υπάρχουν 52 φύλλα (4 χρώµατα µε 13 χαρτιά το κάθε ένα). Στην επιλογή µας δεν ενδιαφέρει η σειρά. 1. Ο αριθµός των επιλογών δύο φύλλων έτσι ώστε και τα δύο να είναι σπαθιά είναι 13×12. 30∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 2. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν και οι 4 άσσοι της τράπουλας είναι . 3. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν οι 4 άσσοι της τράπουλας και µία ντάµα είναι 4. 4. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν 3 άσσοι και 2 ντάµες είναι       4 52       ⋅      2 49 3 52
∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 4 Οι τρόποι επιλογής 2 βόλων από 7 διακεκριµένους βόλους είναι ίσοι µε: 1. Τους τρόπους επιλογής 2 βιβλίων από 6 τίτλους (επιτρέπονται επαναλήψεις) 31∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 2. Το πλήθος των υποσυνόλων µε 2 στοιχεία του συνόλου {1,2,3,4,5,6,7} 3. Τον συντελεστή του x2 στην παράσταση (1+x)7 4. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα της ρίψης 2 ζαριών.
∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 1 Έχουµε στην διάθεση µας 4 κέρµατα των 2 ευρώ, 5 κέρµατα του 1 ευρώ και 7 κέρµατα των 0.50 ευρώ. Με πόσους τρόπους µπορούµε να επιλέξουµε 3 κέρµατα; 32∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 2 Σε ένα καλάθι υπάρχουν 30 µπάλες κόκκινου χρώµατος, 30 µπάλες πράσινου χρώµατος και 30 µπάλες µπλε χρώµατος. Υπολογίστε τους τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε 10 µπάλες, αν δεν έχει σηµασία η σειρά επιλογής των µπαλών. Επαναλάβετε το ερώτηµα αν στο καλάθι υπάρχουν 30 µπάλες κόκκινου χρώµατος, 30 µπάλες πράσινου χρώµατος και 5 µπάλες µπλε χρώµατος. 33∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 3 Στα τέσσερα ράφια της βιβλιοθήκης µας θα τοποθετήσουµε 100 διαφορετικά βιβλία έτσι ώστε το 1ο ράφι να έχει 40 βιβλία, το 2ο ράφι να έχει 30 βιβλία, το 3ο ράφι να έχει 20 βιβλία και το 4ο ράφι να έχει 10 βιβλία. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλέξουµε ποια βιβλία θα µπουν σε κάθε ράφι; 34∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 4 Έστω 4 πράσινες, 4 κόκκινες και 4 µαύρες µπάλες. Να υπολογιστούν οι τρόποι για την επιλογή 4 µπαλών έτσι ώστε: 1. Να επιλεχθούν το πολύ 2 πράσινες µπάλες 2. Να επιλεχθούν ακριβώς 2 πράσινες µπάλες 3. Να επιλεχθούν τουλάχιστον 2 πράσινες µπάλες 35∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 5 Α) Ο coach της Εθνικής Ποδοσφαίρου θέλει να κατεβάσει 11άδα σε σύστηµα 3-5-2(3 αµυντικοί , 5 µέσοι και 2 επιθετικοί). Πόσοι οι τρόποι για να κάνει την επιλογή των παιχτών του, αν έχει στην διάθεσή του 7 αµυντικούς, 8 µέσους και 4 επιθετικούς. Β) Έχουµε 20 αριθµηµένες µπάλες και 4 κουτιά µε χωρητικότητες 2,5,6,7 36∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Β) Έχουµε 20 αριθµηµένες µπάλες και 4 κουτιά µε χωρητικότητες 2,5,6,7 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τους δυνατούς τρόπους τοποθέτησης των µπαλών στα κουτιά. Γ) Έχω 12 διαφορετικά βιβλία και τρεις φοιτητές. Θέλω να δώσω 5 βιβλία στον 1ο φοιτητή, 3 βιβλία στον 2ο φοιτητή και 4 βιβλία στον 3ο φοιτητή. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ο χωρισµός των βιβλίων;
∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 6 Η δασκάλα µιας τάξης 10 παιδιών θέλει να χωρίσει τα παιδιά σε πέντε οµάδες των δύο ατόµων για την εκτέλεση κάποιας δραστηριότητας Α) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν οι οµάδες έχουν ένα χαρακτηριστικό χρώµα η κάθεµία. ∆ηλαδή είναι η πράσινη, η κόκκινη, η κίτρινη, η µαύρη και η άσπρη οµάδα. Β) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν όλες οι οµάδες είναι κόκκινου χρώµατος; Γ) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν οι τρείς οµάδες είναι κόκκινου χρώµατος και οι 37∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Γ) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν οι τρείς οµάδες είναι κόκκινου χρώµατος και οι δύο οµάδες είναι άσπρου χρώµατος;

Empfohlen

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7Dimitris Psounis
 

Empfohlen

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.7Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣDimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣDimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6Dimitris Psounis
 

Was ist angesagt? (20)

ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.1
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.1
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
 

Andere mochten auch

ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
Διακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή Μπουντουρίδη
Διακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή ΜπουντουρίδηΔιακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή Μπουντουρίδη
Διακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή ΜπουντουρίδηMoses Boudourides
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥDimitris Psounis
 

Andere mochten auch (14)

ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (ΚΑΡΤΑ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1.5 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
Διακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή Μπουντουρίδη
Διακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή ΜπουντουρίδηΔιακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή Μπουντουρίδη
Διακριτά Μαθηματικά ΙI: Εισαγωγή στη Συνδυαστική. Του Μωυσή Μπουντουρίδη
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.1
 
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
ΠΛΗ20.ΚΑΡΤΑ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
 

Ähnlich wie ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2

Kef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Kef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό ΠεριβάλλονKef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Kef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό ΠεριβάλλονEleni Kokkinou
 
προβλημα 2.1.1 2.1.4
προβλημα 2.1.1 2.1.4προβλημα 2.1.1 2.1.4
προβλημα 2.1.1 2.1.4MariaProGr
 

Ähnlich wie ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (6)

ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.6
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.6ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.6
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 2.6
 
Kef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Kef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό ΠεριβάλλονKef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Kef1o Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
 
προβλημα 2.1.1 2.1.4
προβλημα 2.1.1 2.1.4προβλημα 2.1.1 2.1.4
προβλημα 2.1.1 2.1.4
 

Mehr von Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CDimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 Dimitris Psounis
 

Mehr von Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 

Kürzlich hochgeladen

Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣIliana Kouvatsou
 
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥΜάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥIliana Kouvatsou
 
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥΦλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥIliana Kouvatsou
 
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΗ απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥIliana Kouvatsou
 
ΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑ
ΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑ
ΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑIliana Kouvatsou
 
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥIliana Kouvatsou
 
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΗ Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗIliana Kouvatsou
 
Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024Tassos Karampinis
 
ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptx
ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptxΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptx
ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptxIliana Kouvatsou
 
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Tassos Karampinis
 
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςInclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης2ο Γυμνάσιο Αλεξ/πολης
 
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2οΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2οΧρύσα Παπακωνσταντίνου
 
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxεργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxEffie Lampropoulou
 
Σχέσεις στην εφηβεία_έρωτας
Σχέσεις στην εφηβεία_έρωταςΣχέσεις στην εφηβεία_έρωτας
Σχέσεις στην εφηβεία_έρωταςDimitra Mylonaki
 
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία ΜπάρδαΒενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία ΜπάρδαIliana Kouvatsou
 

Kürzlich hochgeladen (20)

Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
Η ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ,ΜΠΟΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ - ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΘΩΜΑΣ
 
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥΜάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
Μάχη του Πουατιέ,ΧΡΥΣΑΝΘΟΣ ΚΑΙ ΧΡΥΣΑ ΟΠΡΙΝΕΣΚΟΥ
 
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥΦλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
Φλωρεντία, ΔΑΝΑΗ ΠΥΡΠΥΡΗ- ΜΑΡΙΑΝΕΛΑ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΥ
 
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική ΑυτοκρατορίαΗ απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
Η απελευθέρωση της Θεσσαλονίκης από την Οθωμανική Αυτοκρατορία
 
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Driving - Εργασία για την ασφαλή οδήγηση 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
ΠΟΤΕ ΑΝΑΚΑΛΥΦΘΗΚΕ Η ΑΜΕΡΙΚΗ,ΦΙΛΩΝ-ΦΡΑΓΚΟΥ
 
ΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑ
ΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑ
ΧΑΝΟΣ ΚΡΟΥΜΟΣ-ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ,ΚΡΙΣΤΙΝΑ ΚΡΑΣΤΕΒΑ
 
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βίαΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
ΕΜΕΙΣ ΕΔΩ ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΜΠΑΛΑ, εργασία για την οπαδική βία
 
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΟΛΗ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑΣ, ΔΑΝΑΗ ΠΑΝΟΥ
 
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΗ Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
Η Αγία του Θεού Σοφία, ΣΟΦΙΑ ΡΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ
 
Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση δράσεων στην Τεχνόπολη. 2023-2024
 
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειεςΡατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
Ρατσισμός, ορισμός, είδη, αίτια , συνέπειες
 
ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptx
ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptxΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptx
ΒΥΖΑΝΤΙΝΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΚΑΙ ΜΟΔΑ, ΕΛΕΑΝΑ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ.pptx
 
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςSafe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Safe Cycling - Εργασία για την ασφαλή ποδηλασία 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
Παρουσίαση θεατρικού στην Τεχνόπολη. 2023-2024
 
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο ΑλεξανδρούποληςInclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
Inclusion - Εργασία για τη συμπερίληψη 2ο Γυμνάσιο Αλεξανδρούπολης
 
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2οΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
ΙΣΤΟΡΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
 
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptxεργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
εργασία εφημερίδας για την διατροφή.pptx
 
Σχέσεις στην εφηβεία_έρωτας
Σχέσεις στην εφηβεία_έρωταςΣχέσεις στην εφηβεία_έρωτας
Σχέσεις στην εφηβεία_έρωτας
 
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία ΜπάρδαΒενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
Βενετία, μια πόλη πάνω στο νερό, Βασιλική Μπράβου - Αποστολία Μπάρδα
 

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 1.2

  • 1. ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝ∆ΥΑΣΤΙΚΗ Μάθηµα 1.2: ΣυνδυασµοίΣυνδυασµοί ∆ηµήτρης Ψούνης
  • 2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 0. Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα 1. Συνδυασµοί 1. Συνδυασµοί Χωρίς Επανάληψη 2. Συνδυασµοί Με Επανάληψη 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 1. Λόττο 2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 1. Λόττο 2. Ζάρια 3. Ντόµινο 4. Χαρτιά 5. Υποσύνολα και το ∆ιωνυµικό Ανάπτυγµα Γ.Μεθοδολογία Ασκήσεων 1. Επιλογή από όµοια αντικείµενα 2. Επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων 3. Επιλογή µε περιορισµούς 4. ∆ιαδοχικές Επιλογές ∆.Ασκήσεις 1. Ασκήσεις Κατανόησης 2. Ερωτήσεις 3. Εφαρµογές
  • 3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος Επίπεδο Α Οι δύο τύποι συνδυασµών και οι προϋποθέσεις για την χρήση του αντίστοιχου τύπου Οι µεθοδολογίες για την διαχείριση των περιορισµών Επίπεδο Β Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών Επίπεδο Γ (-)
  • 4. Β. Θεωρία Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα Παραγοντικό (του n). 4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Ορίζουµε το παραγοντικό του n, ως το γινόµενο των φυσικών από το 1 εώς το n: 12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn Και ισχύει ο εξής αναδροµικός ορισµός: Ορίζουµε επίσης ότι 0!=1 12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn 1, 1 1 ,)!1( ! = >    − = n nnn n αν αν
  • 5. Β. Θεωρία Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα Η ποσότητα P(n,k) και η ποσότητα C(n,k) 5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Ορίζουµε την ποσότητα P(n,k), ως το n! δια το (n-k)! για n≥0 και 0≤k≤n: )1...()2()1( )!( ! ),( +−⋅−⋅−⋅= − = knnnn kn n knP Και ορίζουµε την ποσότητα C(n,k) ως το n! προς το k!(n-k)! για n≥0 και 0≤k≤n To C(n,k) συµβολίζεται και ως εξής: συνεπώς ισχύει: )!(! ! ),( knk n knC − =       k n )!(! ! knk n k n − =     
  • 6. Β. Θεωρία Μαθηµατικά Προαπαιτούµενα ∆ύο µικρά Θεωρήµατα: 6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Θεώρηµα 1: Ισχύει η σχέση:       − =      kn n k n     −    knk Θεώρηµα 2: Ισχύει η σχέση:       − − +      − =      1 11 k n k n k n
  • 7. Β. Θεωρία Στόχος της Συνδυαστικής Στόχος της Συνδυαστικής είναι να µετράµε µε πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ένα (περίπλοκο) γεγονός. Για να το κάνουµε αυτό έχουµε τρεις τρόπους: Την καταµέτρηση των τρόπων «µε το χέρι» όπου καταγράφουµε όλους τους τρόπους µε τους οποίους µπορεί να γίνει το γεγονός και έπειτα τους µετράµε. 7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί τους µετράµε. Τις βασικές αρχές απαρίθµησης, δηλαδή τον κανόνα του αθροίσµατος και του γινοµένου, όπου σπάµε το βασικό πρόβληµα σε υποπρο- βλήµατα και το τελικό αποτέλεσµα προκύπτει ως το άθροισµα ή το γινόµενο των επιµέρους αποτελεσµάτων. Τους µαθηµατικούς τύπους των µοντέλων της συνδυαστικής, που είναι µαθηµατικοί τύποι που εφαρµόζονται µόνο κάτω από καθορισµένες προϋποθέσεις. Πρόκειται για τους τύπους των συνδυασµών (Μάθηµα 1.2) των διατάξεων (Μάθηµα 1.3) και των διανοµών σε υποδοχές (Μάθηµα 1.4) Οι πιο δύσκολες ασκήσεις είναι αυτές που απαιτούν να συνδυάσουµε τους παραπάνω τρόπους.
  • 8. Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί Στα προβληµατα συνδυαστικής συχνά στην δοµή της λύσης έχουµε k θέσεις (παύλες) και σε κάθε θέση θέλουµε να τοποθετήσουµε ένα αντικείµενο από n διαθέσιµα. Το πρώτο ερώτηµα που πρέπει να απαντάµε είναι αν εχει σηµασία η σειρά των αντικειµένων ή όχι: Αν η σειρά έχει σηµασία, µιλάµε για ένα πρόβληµα διατάξεων. Για παράδειγµα 8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Αν η σειρά έχει σηµασία, µιλάµε για ένα πρόβληµα διατάξεων. Για παράδειγµα αν πρέπει να κατασκευάσουµε µία ΛΕΞΗ µήκους 4 από το ελληνικό αλφάβητο η σειρά των αντικειµένων (γράµµατα) έχει σηµασία (αφού αν εναλλάξουµε δύο γράµµατα σε µία λέξη προκύπτει διαφορετική λέξη) Αν η σειρά ∆ΕΝ έχει σηµασία, µιλάµε για ένα πρόβληµα συνδυασµών. Για παράδειγµα στα ΖΑΡΙΑ η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (π.χ. η ζαριά 1-2 µε την ζαριά 2-1 είναι ίδια)
  • 9. Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί Οι τύποι των συνδυασµών υπολογίζουν άµεσα την λύση σε ένα πρόβληµα που µπορεί να µοντελοποιηθεί ως εξής: Θεωρούµε ότι έχουµε έναν «κουβά» που περιέχει διαφορετικά αντικείµενα Βάζουµε το χέρι στον κουβά και επιλέγουµε µερικά από αυτά 9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Τέτοια προβλήµατα είναι το ΛΟΤΤΟ (ο κουβάς έχει 49 αριθµούς και επιλέγω τους 6), τα ΧΑΡΤΙΑ (ο κουβάς έχει 52 φύλλα και επιλέγω – συνήθως – τα 5), τα ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ και άλλα. Το επιλέγω είναι το ρήµα – κλειδί που θα συναντήσουµε σε πολλές εκφωνήσεις και θα καταλαβαίνουµε ότι είµαστε σε συνδυασµούς. Παρατηρήστε ότι όταν κάνουµε µια επιλογή αντικειµένων έχει σηµασία ποια αντικείµενα επιλέγουµε και όχι η σειρά µε την οποία τα επιλέγουµε.
  • 10. Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί Αφού έχουµε καταλάβει ότι έχουµε έναν πρόβληµα επιλογής αντικειµένων, υπάρχουν δύο τύποι που µοντελοποιούν αντίστοιχα προβλήµατα: Οι συνδυασµοί k αντικειµένων από n χωρίς επανάληψη Όπου οι λύσεις θα δίνονται από την σχέση 10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί       k n Οι συνδυασµοί k αντικειµένων από n µε επανάληψη Όπου οι λύσεις θα δίνονται από την σχέση        −+ k kn 1 Η έννοια της επανάληψης έχει να κάνει µε πόσες φορές επιτρέπεται να έχουµε στην τελική µας λύση ένα από τα διαφορετικά αντικείµενα του κουβά: Στους συνδυασµούς χωρίς επανάληψη δεν επιτρέπεται να έχουµε ένα αντικείµενο πάνω από µία φορα (όπως π.χ. στο ΛΟΤΤΟ κάθε αριθµός δεν µπορεί να επαναληφθεί πάνω από µία φορά) Στους συνδυασµούς µε επανάληψη κάθε αντικείµενο µπορεί να επαναληφθεί στην τελική µας λύση όσεσδήποτε φορές (όπως π.χ. στα ΖΑΡΙΑ που κάθε αριθµός {1,2,..,6} µπορεί να έρθει σε όλα τα ζάρια)
  • 11. Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί 1. Συνδυασµοί Χωρίς Επανάληψη 11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Έχουµε ένα πρόβληµα συνδυασµών χωρίς επανάληψη όταν: 1. Η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία 2. Έχουµε n διαφορετικά αντικείµενα (ΌΛΑ διαφορετικά µεταξύ τους). 3. Επιλέγουµε k από αυτά, χωρίς να επαναλαµβάνεται κάποιο στοιχείο (∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να επαναληφθεί το πολύ µία(∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να επαναληφθεί το πολύ µία φορά) Τότε οι δυνατοί τρόποι επιλογής δίνονται από τον τύπο:       = k n knC ),( Παραδείγµατα τέτοιων προβληµάτων είναι το ΛΟΤΤΟ, τα ΧΑΡΤΙΑ, τα ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ κ.λπ.
  • 12. Β. Θεωρία 1. Συνδυασµοί 2. Συνδυασµοί Με Επανάληψη 12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Έχουµε ένα πρόβληµα συνδυασµών µε επανάληψη όταν: 1. Η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία 2. Έχουµε n διαφορετικά αντικείµενα (ΌΛΑ διαφορετικά µεταξύ τους). 3. Συµπληρώνουµε k θέσεις ώστε σε κάθε θέση να µπορεί να επαναληφθεί το ίδιο στοιχείο (∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να εµφανίζεταιτο ίδιο στοιχείο (∆ηλαδή στην λύση κάθε αντικείµενο µπορεί να εµφανίζεται οσεσδήποτε φορές – από καµία εώς όλες τις θέσεις) Τότε οι δυνατοί τρόποι επιλογής δίνονται από τον τύπο:       −+ =−+ k kn kknC 1 ),1( Παραδείγµατα τέτοιων προβληµάτων είναι τα ΖΑΡΙΑ, το ΝΤΟΜΙΝΟ κ.λπ. Η επανάληψη είναι γνωστή και ως επανατοποθέτηση. ∆ηλαδή βγάζουµε ένα αντικείµενο από τον κουβά, το καταγράφουµε και έπειτα το επανατοποθετούµε στον κουβα και επιλέγουµε το επόµενο µε την ίδια διαδικασία.
  • 13. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 1. ΛΟΤΤΟ 13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Στο ΛΟΤΤΟ δίνονται 49 αριθµοί και ζητείται να επιλέξουµε τους 6 για να κατασκευάσουµε µία στήλη. Πόσες στήλες υπάρχουν; ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί χωρίς επανάληψη οι τρόποι είναι: 49 816.983.13... 6 49 ==      Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (Πράγµατι η εξάδα 1, 8, 44, 12, 19, 23 είναι ίδια π.χ. µε την 1, 12, 44, 8, 19, 23) 2. Έχουµε 49 διαφορετικά αντικείµενα από τα οποία επιλέγουµε τα 6 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί το πολύ µία φορά.
  • 14. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 2. ΖΑΡΙΑ 14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Ρίχνουµε δύο µη διακεκριµένα (=οµοια) ζάρια. Πόσες ζαριές υπάρχουν; ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί µε επανάληψη οι τρόποι είναι: 21 67!567!7!77126 = ⋅ = ⋅⋅ ===    =    −+ 21 2!5!2!5!2)!27(!222 == ⋅ = ⋅ = − =    =    Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (Πράγµατι η ζαριά 1,2 είναι ίδια µε την 2,1) 2. Έχουµε n=6 διαφορετικά αντικείµενα (οι αριθµοί 1,2,3,4,5,6) τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε k=2 µε επανατοποθέτηση. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί οσεσδήποτε φορές (π.χ. ο αριθµός 1 µπορεί να επαναληφθεί και στις 2 θέσεις)
  • 15. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 3. ΝΤΟΜΙΝΟ 15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Πόσα ντόµινο υπάρχουν; (υπενθύµιση: ένα ντόµινο κατασκευάζεται από δύο τετράγωνα που κάθε ένα τετράγωνο µπορεί να έχει καµία,1,2,3,4,5 ή 6 τελείες) ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί µε επανάληψη οι τρόποι είναι:Ως συνδυασµοί µε επανάληψη οι τρόποι είναι: 28 2 78 !6!2 !678 !6!2 !8 )!28(!2 !8 2 8 2 127 = ⋅ = ⋅ ⋅⋅ = ⋅ = − =      =      −+ Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (Πράγµατι το ντόµινο 2,5 είναι ίδιο µε το 5,2) 2. Έχουµε 7 διαφορετικά αντικείµενα (οι αριθµοί 0,1,2,3,4,5,6) τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε 2 µε επανατοποθέτηση. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί οσεσδήποτε φορές (π.χ. ο αριθµός 1 µπορεί να επαναληφθεί και στις 2 θέσεις)
  • 16. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 4. ΧΑΡΤΙΑ 16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Πόσες 5άδες χαρτιών µπορούµε να κατασκευάσουµε από µία πλήρη τράπουλα. ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί χωρίς επανάληψη οι τρόποι είναι: 52 960.598.2... 5 52 ==      Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία 2. Έχουµε n=52 διαφορετικά αντικείµενα τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε k=5 από αυτά. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί το πολύ µία φορά.
  • 17. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 5. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ 17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Πόσα τα υποσύνολα µε 2 στοιχεία του συνόλου {1,2,3,4,5,6,7,8} ΛΥΣΗ: Ως συνδυασµοί χωρίς επανάληψη οι τρόποι είναι: 28... 8 ==    28... 2 ==    Για να οδηγηθούµε σε αυτό το αποτέλεσµα έχουµε επαληθεύσει ότι: 1. Στην τελική λύση η σειρά των αντικειµένων δεν έχει σηµασία (από τον ορισµό του συνόλου) 2. Έχουµε n=8 διαφορετικά αντικείµενα (τα στοιχεία του συνόλου) τα οποία τοποθετούµε στον κουβά και επιλέγουµε k=2 από αυτά. 3. Στην τελική µας λύση κάθε άντικείµενο µπορεί να επιλεχθεί το πολύ µία φορά.
  • 18. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 5. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ (1. Το διωνυµικό ανάπτυγµα) 18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Τα υποσύνολα είναι τεράστιο SOS και πρέπει να ξέρουµε και τα εξής: Οι αριθµοί για k=0,1,2,…,n λέγονται και διωνυµικοί συντελεστές γιατί είναι οι συντελεστές του διωνυµικού αναπτύγµατος: nnniinn i n ba n n ba n ba n ba i n ba ⋅⋅      ++⋅⋅      +⋅⋅      =⋅⋅      =+ −− =∑ 0110 0 ... 10 )(       k n ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: άρα: i ba n bababa i ba ⋅⋅    ++⋅⋅    +⋅⋅    =⋅⋅    =+ =∑ 0 ... 10 )( 32233021120333 0 3 33 3 3 2 3 1 3 0 33 )( babbaabababababa i ba ii i +++=⋅⋅      +⋅⋅      +⋅⋅      +⋅⋅      =⋅⋅      =+ − =∑ niinn i n x n n x n x n x n x i n x       ++      +      +      =⋅⋅      =+ − =∑ ... 210 1)1( 210 0       ++      +      +      =⋅⋅      =+ − =∑ n nnnn i n iinn i n ... 210 11)11( 0 n n nnnn 2... 210 =      ++      +      +     
  • 19. Β. Θεωρία 2. Γνωστά Προβλήµατα Συνδυασµών 5. ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ (2. Σχέση ∆ιωνυµικών Συντελεστών µε ∆υναµοσύνολο) 19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Έστω Α={1,2,3,4} τότε το δυναµοσύνολό του είναι το: ------------------------------------> C(4,0)=1 στοιχείο ---------------------> C(4,1)=4 στοιχεία ---> C(4,2)=6 στοιχεία},4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{ },4{},3{},2{},1{ , {)( ∅ =AP ---> C(4,2)=6 στοιχεία --------> C(4,3)=4 στοιχεία --------------------------------> C(4,4)=1 στοιχείο Όλα τα υποσύνολα είναι: Και γενικεύοντας για το πλήθος των υποσυνόλων είναι χρήσιµη η σχέση: } }4,3,2,1{ },4,3,2{},4,3,1{},4,2,1{},3,2,1{ },4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{ 4 2 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 =      +      +      +      +      n n nnnn 2... 210 =      ++      +      +     
  • 20. Γ. Μεθοδολογία 1. Επιλογή από όµοια αντικείµενα 20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Τα αντικείµενα από τα οποία επιλέγουµε µπορεί να είναι τριών κατηγοριών: Α) Οµοια (= Μη διακεκριµένα). Προσοχή ότι µε αυτήν την εκφώνηση εννοούµε ότι ΌΛΑ είναι όµοια. Β) Οµάδες Οµοίων Αντικειµένων. Π.χ. έχω 5 κόκκινους, 4 άσπρους και 6 πράσινους βόλους, άρα έχω 3 οµάδες οµοίων αντικειµένων Γ) ∆ιαφορετικά. ΌΛΑ διαφορετικά ανά δύο µεταξύ τους. Μόνο σε αυτήν την περίπτωση µπορώ να χρησιµοποιήσω τους τύπους των συνδυασµών. Παράδειγµα: Έστω 50 µη διακεκριµένοι βόλοι. Με πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 5 από αυτούς ΛΥΣΗ: Με 1 τρόπο. χρησιµοποιήσω τους τύπους των συνδυασµών. Γενικά όταν έχω να επιλέξω από όµοια αντικείµενα υπάρχει µόνο 1 τρόπος διότι κάθε άλλη λύση θα είναι ακριβώς ίδια µε την πρώτη.
  • 21. Γ. Μεθοδολογία 2. Επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων 21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Αν τα αντικείµενα είναι οµάδες οµοίων αντικειµένων τότε πρέπει να µοντελοποιήσω το πρόβληµα ως εξής: Βάζω στον κουβά ένα από κάθε οµάδα οµοίων αντικειµένων και µοντελοποιώ το πρόβληµα ως συνδυασµούς µε επανάληψη. Προσοχή ότι πρέπει να ικανοποιούνται οι περιορισµοί του µοντέλου των συνδυασµών µε επανάληψη. Παράδειγµα: Εχω 5 πράσινους, 5 κόκκινους και 5 άσπρους βόλους. Με πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 4 από αυτούς. ΛΥΣΗ: Το πρόβληµα µοντελοποιείται ως συνδυασµοί µε επανάληψη µε n=3(1 πράσινο, 1 κόκκινο και 1 άσπρο βόλο) και k=4. Άρα οι τρόποι είναι: C(n+k-1,k)=C(3+4-1,4)=C(6,4)=15 τρόποι.
  • 22. Γ. Μεθοδολογία 2. Επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων 22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Προσοχή όταν κάνω επιλογή από οµάδες οµοίων αντικειµένων και δεν τηρείται η προϋπόθεση κάθε αντικείµενο να µπορεί να επαναληφθεί σε όλες τις θέσεις. Τότε εντοπίζω το «προβληµατικό» αντικείµενο και παίρνω γι’ αυτό διαφορετικές περιπτώσεις όσον αφορά το πόσες φορές µπορεί να επιλεχθεί. Το τελικό αποτέλεσµα θα προκύψει από τον κανόνα του αθροίσµατος Παράδειγµα: Εχω 5 πράσινους, 5 κόκκινους και 2 άσπρους βόλους. Με πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 4 από αυτούς. ΛΥΣΗ: ∆ιακρίνω περιπτώσεις για τους άσπρους βόλους: Να έχω 0 άσπρους βόλους: Τότε έχω C(2+4-1,4)=C(5,4) λύσεις Να έχω 1 άσπρο βόλο. Τότε οι υπόλοιποι 3 επιλέγονται µε C(2+3-1,3)=C(4,3) τρόπους Να έχω 2 άσπρους βόλους. Τότε οι υπόλοιποι 2 επιλέγονται µε C(2+2-1,2)=C(3,2) τρόπους. Άρα από τον κανόνα του αθροίσµατος οι λύσεις είναι: C(5,4)+C(4,3)+C(3,2)=5+4+3=12
  • 23. Γ. Μεθοδολογία 3. ∆ιαδοχικές Επιλογές 23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Σε κάποιες εκφωνήσεις ζητείται να επιλέξουµε διαδοχικά κάποια αντικείµενα από τον κουβά για να κατασκευάσουµε κάποιες οµάδες. Συχνά θα λέµε ότι χωρίζουµε τα αντικείµενα για να κατασκευ- άσουµε τις οµάδες. Τότε επιλέγουµε διαδοχικά τα αντικείµενα των οµάδων, αφαιρώντας στην επόµενη φάση αυτά που επιλέξαµε. Το τελικό αποτέλεσµα θα προκύψει από τον κανόνα του γινοµένου. Παράδειγµα: Εχω 20 διαφορετικά παιχνίδια που θέλω να τα µοιράσω στα 3 ανίψια µου, ώστε το 1ο να πάρει 6, το 2ο να πάρει 9 και το 3ο να πάρει 5 παιχνίδια. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να γίνει ο χωρισµός; ΛΥΣΗ: Για το 1ο ανίψι έχω C(20,6) τρόπους Για το 2ο ανίψι έχω C(14,9) τρόπους Για το 3ο ανίψι έχω C(5,5) τρόπους Άρα από τον κανόνα του γινοµένου οι συνολικοί τρόποι είναι: C(20,6)·C(14,9)·C(5,5) Προσοχή! Αν οι οµάδες που κατασκευάζω είναι όµοιες, πρέπει να διαιρέσω µε το παραγοντικό του πλήθους των οµάδων που είναι όµοιες. Αυτή η περίπτωση απαιτεί ωστόσο γνώση διατάξεων γι’ αυτό θα την κατανοήσουµε πλήρως σε επόµενο µάθηµα.
  • 24. Γ. Μεθοδολογία 4. Περίπλοκοι Περιορισµοί 24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ: Σε αρκετές εκφωνήσεις δεν θα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε απευθείας κάποιον από τους τύπους λόγω της ύπαρξης κάποιου περιορισµού. Στις περιπτώσεις αυτές σπάµε το πρόβληµα σε υποπροβλήµατα και σκεφτόµαστε µε τους τρόπους που αναλύσαµε στο προηγούµενο µάθηµα, δηλαδή: Είτε διακρίνουµε διαφορετικές περιπτώσεις και συνδυάζουµε τις λύσεις µε τον κανόνα αθροίσµατος Παράδειγµα: Έχω 5 πράσινους, 5 κόκκινους και 5 άσπρους βόλους. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να κάνω µια επιλογή 4 βόλων µε τον περιορισµό να επιλέξω τουλάχιστον 2 πράσινους βόλους ΛΥΣΗ: ∆ιακρίνω περιπτώσεις για τους πράσινους βόλους: Να έχω 2 πράσινους βόλους: Τότε έχω C(2+2-1,2)=C(3,2)=3 λύσεις Να έχω 3 πράσινους βόλους. Τότε έχω C(2+1-1,1)=C(2,1)=2 λύσεις Να έχω 4 πράσινους βόλους. Τότε έχω 1 λύση Άρα από τον κανόνα του αθροίσµατος οι τρόποι είναι 3+2+1=6 Είτε διακρίνουµε διαφορετικές περιπτώσεις και συνδυάζουµε τις λύσεις µε τον κανόνα αθροίσµατος Είτε κατασκευάζουµε την λύση σε φάσεις (στάδια) και συνδυαζουµε τις λύσεις µε τον κανόνα γινοµένου.
  • 25. ∆. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 1 Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες: 25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί = = = = = !4) !3) !2) !1) !0) E D C B A = = = = !7) !6) !5) !4) H G F E
  • 26. ∆. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 2 Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες: 26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί = = = = = )2,4() )1,4() )0,4() )2,5() )3,5() CE CD CC PB PA = = = = )3,10() )4,4() )3,4() )2,4() CH CG CF CE
  • 27. ∆. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 3 Αποδείξτε το θεώρηµα: 27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί       − =      kn n k n
  • 28. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 1 ∆ίδεται το σύνολο A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 1. Τα υποσύνολα του A µε 5 στοιχεία είναι 2. Τα υποσύνολα του A µε 3 στοιχεία είναι λιγότερα από τα υποσύνολα του Α µε 7 28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί       5 10 2. Τα υποσύνολα του A µε 3 στοιχεία είναι λιγότερα από τα υποσύνολα του Α µε 7 στοιχεία 3. Τα υποσύνολα του A µε 4 στοιχεία είναι περισσότερα από τα υποσύνολα του Α µε 6 στοιχεία 4. Τα υποσύνολα του Α είναι 210
  • 29. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 2 Σε µια συγκέντρωση συµµετέχουν 6 άνδρες και 3 γυναίκες. Όλοι οι άνδρες ανταλάσσουν µεταξύ τους χειραψία, όλες οι γυναίκες ανταλάσσουν µεταξύ τους χειραψία και 4 από τους ανδρες ανταλάσσουν χειραψία µε 2 από τις γυναίκες 1. Οι χειραψίες µεταξύ ανδρών είναι 15. 29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 2. Οι χειραψίες µεταξύ γυναικών είναι 9. 3. Οι χειραψίες µεταξύ ανδρών και γυναικών είναι 8. 4. Ο συνολικός αριθµός χειραψιών είναι 27.
  • 30. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 3 Σε µια τράπουλα υπάρχουν 52 φύλλα (4 χρώµατα µε 13 χαρτιά το κάθε ένα). Στην επιλογή µας δεν ενδιαφέρει η σειρά. 1. Ο αριθµός των επιλογών δύο φύλλων έτσι ώστε και τα δύο να είναι σπαθιά είναι 13×12. 30∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 2. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν και οι 4 άσσοι της τράπουλας είναι . 3. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν οι 4 άσσοι της τράπουλας και µία ντάµα είναι 4. 4. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν 3 άσσοι και 2 ντάµες είναι       4 52       ⋅      2 49 3 52
  • 31. ∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 4 Οι τρόποι επιλογής 2 βόλων από 7 διακεκριµένους βόλους είναι ίσοι µε: 1. Τους τρόπους επιλογής 2 βιβλίων από 6 τίτλους (επιτρέπονται επαναλήψεις) 31∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί 2. Το πλήθος των υποσυνόλων µε 2 στοιχεία του συνόλου {1,2,3,4,5,6,7} 3. Τον συντελεστή του x2 στην παράσταση (1+x)7 4. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα της ρίψης 2 ζαριών.
  • 32. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 1 Έχουµε στην διάθεση µας 4 κέρµατα των 2 ευρώ, 5 κέρµατα του 1 ευρώ και 7 κέρµατα των 0.50 ευρώ. Με πόσους τρόπους µπορούµε να επιλέξουµε 3 κέρµατα; 32∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
  • 33. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 2 Σε ένα καλάθι υπάρχουν 30 µπάλες κόκκινου χρώµατος, 30 µπάλες πράσινου χρώµατος και 30 µπάλες µπλε χρώµατος. Υπολογίστε τους τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε 10 µπάλες, αν δεν έχει σηµασία η σειρά επιλογής των µπαλών. Επαναλάβετε το ερώτηµα αν στο καλάθι υπάρχουν 30 µπάλες κόκκινου χρώµατος, 30 µπάλες πράσινου χρώµατος και 5 µπάλες µπλε χρώµατος. 33∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
  • 34. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 3 Στα τέσσερα ράφια της βιβλιοθήκης µας θα τοποθετήσουµε 100 διαφορετικά βιβλία έτσι ώστε το 1ο ράφι να έχει 40 βιβλία, το 2ο ράφι να έχει 30 βιβλία, το 3ο ράφι να έχει 20 βιβλία και το 4ο ράφι να έχει 10 βιβλία. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλέξουµε ποια βιβλία θα µπουν σε κάθε ράφι; 34∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
  • 35. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 4 Έστω 4 πράσινες, 4 κόκκινες και 4 µαύρες µπάλες. Να υπολογιστούν οι τρόποι για την επιλογή 4 µπαλών έτσι ώστε: 1. Να επιλεχθούν το πολύ 2 πράσινες µπάλες 2. Να επιλεχθούν ακριβώς 2 πράσινες µπάλες 3. Να επιλεχθούν τουλάχιστον 2 πράσινες µπάλες 35∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί
  • 36. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 5 Α) Ο coach της Εθνικής Ποδοσφαίρου θέλει να κατεβάσει 11άδα σε σύστηµα 3-5-2(3 αµυντικοί , 5 µέσοι και 2 επιθετικοί). Πόσοι οι τρόποι για να κάνει την επιλογή των παιχτών του, αν έχει στην διάθεσή του 7 αµυντικούς, 8 µέσους και 4 επιθετικούς. Β) Έχουµε 20 αριθµηµένες µπάλες και 4 κουτιά µε χωρητικότητες 2,5,6,7 36∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Β) Έχουµε 20 αριθµηµένες µπάλες και 4 κουτιά µε χωρητικότητες 2,5,6,7 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τους δυνατούς τρόπους τοποθέτησης των µπαλών στα κουτιά. Γ) Έχω 12 διαφορετικά βιβλία και τρεις φοιτητές. Θέλω να δώσω 5 βιβλία στον 1ο φοιτητή, 3 βιβλία στον 2ο φοιτητή και 4 βιβλία στον 3ο φοιτητή. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει ο χωρισµός των βιβλίων;
  • 37. ∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 6 Η δασκάλα µιας τάξης 10 παιδιών θέλει να χωρίσει τα παιδιά σε πέντε οµάδες των δύο ατόµων για την εκτέλεση κάποιας δραστηριότητας Α) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν οι οµάδες έχουν ένα χαρακτηριστικό χρώµα η κάθεµία. ∆ηλαδή είναι η πράσινη, η κόκκινη, η κίτρινη, η µαύρη και η άσπρη οµάδα. Β) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν όλες οι οµάδες είναι κόκκινου χρώµατος; Γ) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν οι τρείς οµάδες είναι κόκκινου χρώµατος και οι 37∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί Γ) Πόσοι τρόποι υπάρχουν αν οι τρείς οµάδες είναι κόκκινου χρώµατος και οι δύο οµάδες είναι άσπρου χρώµατος;