Συνδυαστική

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 1 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Συνδυαστική (Συνδυασµοί – ∆ιατάξεις)
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Συνδυαστική – Μάθηµα 1: Βασικές Αρχές Απαρίθµησης
• Συνδυαστική – Μάθηµα 2: Συνδυασµοί
• Συνδυαστική – Μάθηµα 3: ∆ιατάξεις
• Συνδυαστική – Μάθηµα 7: Πιθανότητες
Ιδιαίτερα προσπαθήστε να κάνετε καλή επανάληψη στις µεθοδολογίες για την επίλυση των ασκήσεων
των µαθηµάτων 2 και 3.
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει
απαντηθεί εντός 7 και όλες οι ασκήσεις εντός του συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις
αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Επανάληψης: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων: 28’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.00’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 1 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Πόσοι τετραγωνικοί πίνακες διαστάσεων 5x5 υπάρχουν στους οποίους κάθε στοιχείο του πίνακα είναι
0 ή 1;
1. Όσα τα κατευθυνόµενα γραφήµατα µε σύνολο κορυφών {u1, u2, u3, u4, u5} (δεν επιτρέπεται η
αλλαγή του ονόµατος των κορυφών) στα οποία µπορεί να υπάρχουν ανακυκλώσεις και
αντιπαράλληλες ακµές (π.χ. (u, v), (v, u)), αλλά δεν µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία
παράλληλες ακµές µε την ίδια διεύθυνση (π.χ. (u, v), (u, v)).
2. Όσοι ο συντελεστής του x5
στο πολυώνυµο (1 + x)25
3. 225
.
4. Όσοι ο συντελεστής του x25
/25! στο πολυώνυµο (1+x)25
.
Ερωτήσεις 2
Κατασκευάζουµε λέξεις µήκους 36 µε τα γράµµατα Α και Β. Οι δυνατές λέξεις είναι
1. 236
αν δεν υπάρχει άλλος περιορισµός.
2. Όσα τα κατευθυνόµενα γραφήµατα µε σύνολο κορυφών 6 κορυφών (θεωρούµε κάθε κορυφή
ότι είναι διακεκεκριµένη) στα οποία µπορεί να υπάρχουν ανακυκλώσεις και αντιπαράλληλες
ακµές (π.χ. (u, v), (v, u)), αλλά δεν µπορεί να υπάρχουν περισσότερες από µία παράλληλες
ακµές µε την ίδια διεύθυνση (π.χ. (u, v), (u, v)).
3. Όσα και τα 6x6 σταυρόλεξα µε ακριβώς 15 µαύρα τετράγωνα.
4. Όσες και οι δυαδικές συµβολοσειρές µήκους 36.
Ερωτήσεις 3
Στις παρακάτω προτάσεις συµβολίζουµε µε V ένα σύνολο n διακεκριµένων κορυφών και µε M την
ποσότητα ( )2
n
και θεωρούµε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα.
1. Τα διαφορετικά γραφήµατα µε σύνολο κορυφών το V είναι 2M
.
2. Τα διαφορετικά γραφήµατα χωρίς ακµές µε σύνολο κορυφών το V είναι n.
3. Τα διαφορετικά γραφήµατα µε σύνολο κορυφών το V και k ακµές είναι k
M .
4. Τα διαφορετικά γραφήµατα µε σύνολο κορυφών το V και k ακµές είναι όσα ο συντελεστής
του k
x στην παράσταση (1 )M
x+ .
Ερωτήσεις 4
∆ίνεται το πλήρες διµερές γράφηµα Κn,n µε ετικέτες στις κορυφές του (δηλαδή θεωρούµε ότι όλες οι
κορυφές του είναι διακεκριµένες):
1. Σε αυτό υπάρχουν (2 )!n απλά µονοπάτια µήκους 2 1n −
2. Σε αυτό υπάρχουν 2
( !)n απλά µονοπάτια µήκους 2 1n −
3. Το συµπληρωµατικό γράφηµα του Κn,n έχει ( 1)n n − ακµές
4. Ο αριθµός των κύκλων µήκους 3 στο Κn,n είναι
2
3
n 
 
 

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 1 3
(x,y)
(0,0)
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Ένα κωδικοποιηµένο µήνυµα σχηµατίζεται από 5A, 5B, 5C και 5D.
1. Πόσες λέξεις µήκους 20 µπορούν να σχηµατιστούν που να περιέχουν οπωσδήποτε την φράση
BΒΒΒΒ;
2. Πόσες λέξεις µήκους 20 µπορούν να σχηµατιστούν µε τον κώδικα αυτό αν η λέξη δεν πρέπει να
αρχίζει ΚΑΙ να τελείωνει µε C (αλλά µπορεί π.χ. να αρχίζει µε C και να τελειώνει µε άλλο
γράµµα, ή να τελειώνει µε C και να αρχίζει µε άλλο γράµµα)?
Άσκηση 2
Με πόσους τρόπους µπορούν 5 άνθρωποι (ο Γιάννης, ο Πέτρος, η Μαρία, ο Άρης και η ∆ήµητρα) να
δειπνήσουν σε ένα κυκλικό τραπέζι 5 (διακεκριµένων) θέσεων έτσι ώστε ο Γιάννης και η Μαρία να µην
είναι ποτέ σε διπλανές θέσεις; (Σηµείωση: Θεωρούνται όµοιοι δύο τρόποι αν κινούµενοι δεξιόστροφα
γύρω από το τραπέζι συναντήσουµε µε την ίδια σειρά τα ίδια άτοµα)
Άσκηση 3
Σε µια µοντέρνα πόλη όπου όλοι οι δρόµοι τέµνονται κάθετα µεταξύ τους ώστε να σχηµατίζεται ένα
πλέγµα, βρίσκεται ένας διαβάτης σε ένα σταυροδρόµι που αυθαίρετα θεωρούµε αρχή των αξόνων και
ονοµάζουµε θέση (0,0). Ο διαβάτης θέλει να πάει στη θέση ( , )x y µε , 0x y > που
βρίσκεται x τετράγωνα δεξιά και y τετράγωνα πάνω κινούµενος µόνο προς τα
δεξιά (∆) και προς τα πάνω (Π). Για παράδειγµα, στο σχήµα έχουµε 4x = και 3y =
και µια πιθανή διαδροµή είναι η ∆Π∆ΠΠ∆∆ µε µήκος 7 τετραγώνων.
• Πόσες διαφορετικές διαδροµές µπορεί να ακολουθήσει ο διαβάτης για να πάει
στο ( , )x y ;
Άσκηση 4
1. Σε ένα τουρνουά ποδοσφαίρου λαµβάνουν µέρος 16 διακεκριµένες οµάδες. Με πόσους τρόπους
µπορούν να χωριστούν οι οµάδες σε 4 οµίλους των 4 οµάδων ο καθένας, αν δεν παίζει ρόλο η
σειρά τοποθέτησης των οµάδων στους οµίλους, και (α) οι 4 όµιλοι θεωρούνται διακεκριµένοι, και
(β) οι 4 όµιλοι θεωρούνται µη διακεκριµένοι;
2. Μετά από την κλήρωση προέκυψε ένα πρόγραµµα 32 αγώνων που θα διεξαχθούν µε
συγκεκριµένη χρονική σειρά σε τρία γήπεδα (έστω Α, Β, Γ). Από αυτούς, 16 αγώνες θα διεξαχθούν
στο γήπεδο Α, 8 αγώνες στο γήπεδο Β, και 8 αγώνες στο γήπεδο Γ. Με πόσους τρόπους µπορεί
να γίνει ο προγραµµατισµός των γηπέδων για την διεξαγωγή όλων των αγώνων, αν µετά από κάθε
αγώνα στο γήπεδο Β και επίσης µετά από κάθε αγώνα στο γήπεδο Γ, πρέπει να οριστεί ένας
αγώνας στο γήπεδο Α;
Άσκηση 5
Βρείτε µε πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε να τοποθετήσουµε 10 Α και 50 Β σε µια γραµµή
έτσι ώστε να µην εµφανίζονται πουθενά διπλανά Α χωρίς να χωρίζονται από Β (ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ...
κ.λ.π.) και να µην εµφανίζονται Α σε κανένα από τα δύο άκρα της γραµµής?

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 1 4
Άσκηση 6
Υπάρχουν εννέα υποψήφιοι για πρόσληψη σε µια υπηρεσία (µεταξύ των οποίων και ο κύριος
Παπαδόπουλος) και τρεις κριτές για την επιλογή τους, κάθε ένας από τους οποίους διατάσσει σε µια
σειρά (πρώτος έως ένατος) τους υποψηφίους. Ένας υποψήφιος προσλαµβάνεται αν βρεθεί στις τρεις
πρώτες θέσεις και των τριών κριτών.
α) Βρείτε πόσες είναι οι διαφορετικές διατάξεις που µπορούν να δώσουν και οι τρεις κριτές µαζί.
β) Σε πόσες από αυτές ο κος Παπαδόπουλος προσλαµβάνεται;
γ) Σε πόσες από αυτές ο κος Παπαδόπουλος ∆ΕΝ προσλαµβάνεται;
δ) Ποια η πιθανότητα να προσληφθεί ο κ.Παπαδόπουλος;
ε) Ποια η πιθανότητα να µην προσληφθεί ο κ.Παπαδόπουλος;