Cuederno de Fisica I.T.S.Bolívar ( Ambato - Ecuador )

FÍSICA DEL BOLÍVAR

Diego Fher
Valarezo Castillo
III de Bachillerato

Quinto paralelo

2012-2013
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Temas:

1. Geometría Vectorial (3-D)
1.1. Sistemas de Referencia
1.1.1. Unidimensional
1.1.2. Bidimensional
1.1.3. Tridimensional
1.2. Vector
1.2.1. Definición
1.3. Expresión Vectorial
1.3.1. Coordenada cartesianas rectangulares perpendiculares
1.3.2. Coordenadas vector base o unitario normalizados
trirectangular
1.3.3. Coordenadas polares en R3
a) Cilíndricas
b) Esféricas
1.3.4. Coordenadas geográficas
1.4. Operaciones vectoriales (gráficas y analíticas)
1.4.1. Suma y resta
a) Método del Paralelogramo
b) Método del polígono
c) Método vectorial
d) Ley seno R3
e) Ley coseno R3
1.4.2. Producto
a) Escalar por vector = vector
b) Punto o escalar (vector · vector = escalar)
c) Cruz o vectorial ( vector x vector = vector)
1.5. Aplicaciones
1.5.1. Vector unitario
a) Cosenos directores
b) Ángulos directores
1.5.2. Geometría R3
1.5.3. Física

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2. Dinámica de rotación
2.1. Vector posición y el centro de masas
2.2. Inercia de rotación
2.3. II ley de Newton para la rotación
2.4. Poleas (máquinas simples)

3. Movimiento Armónico Simple (M.A.S)
3.1. Cinemática del MAS
3.1.1. Ecuación del movimiento
a) Posición
b) Velocidad
c) Aceleración
d) Gráficos
3.2. Dinámica del MAS
3.3. Energía del MAS
3.4. Estudio de los péndulos
3.4.1. Simple
3.4.2. Físico o compuesto
3.4.3. Elástico
3.4.4. Tensión
3.4.5.
4. Cantidad de movimiento y choques
5. Fluidos
5.1. Hidrostática
5.1.1. Presión
a) Atmosférica
b) Hidrostática
5.1.1.b.1. Principio de Pascal
5.1.1.b.2. Principio de Arquímedes
5.2. Hidrodinámica
5.2.1. Teorema de Bernoulli
5.2.2. teorema de Torricelli
5.2.3. Tubo de Venturi
5.2.4. Tubo de Pilot
5.2.5. Aplicaciones a la aerodinámica

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6. Termodinámica
6.1. Temperatura
6.1.1. Escalas de temperatura
a) Celsius
b) Fahrenheit
c) Kelvin
d) Ronkine
e) Reamur
f) Arbitraria
6.2. Dilataciones
6.2.1. Sólidos
6.2.2. Líquidos
6.2.3. Gases
6.3. Cambios de estado
6.4. Leyes de la temperatura
6.4.1. Ley cero
6.4.2. Primera ley
6.4.3. Segunda ley
6.5. Entropía

7. Elasticidad
7.1. Módulos
7.2. Young
7.3. Comprensibilidad
7.4. Rigidez

8. Campos fundamentales de la naturaleza
8.1. Gravitatorio
8.2. Eléctrico
8.3. Magnético

9. Electricidad
9.1. Electroestática R3
9.1.1. Ley de Coulomb
9.1.2. Campo eléctrico: Teorema de Gauss
9.1.3. Potencial eléctrico: trabajo

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9.2. Electrodinámica C.C. (corriente continua)
9.2.1. Intensidad de la corriente
a) Densidad y flujo
9.2.2. Resistencia eléctrica
a) Resistividad
b) Códigos de colores
9.2.3. Ley de Ohm
9.2.4. Uso del multímetro
a) Amperímetro
b) Voltímetro
c) Óhmetro
9.2.5. Circuitos eléctricos
a) Serie
b) Paralelo
c) F.e.m.
d) Leyes de Kirchholf

10. Electromagnetismo
10.1. Leyes de Faraday
10.2. Ley de Lenz
10.3. Ecuación de Maxwell

11. Óptica geométrica
11.1. Reflexión
11.1.1. Leyes de la reflexión
a) Espejos planos
b) Espejos curvos
11.2. Refracción
11.2.1. Leyes de la refracción
a) lentes

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1. Geometría Vectorial R3

1.1. Sistemas de referencia

1.1.1. Unidimensional R1

Es una recta numérica R1 que tiene el punto de origen en el cero.

En la física es utilizada para escalas de temperatura, graficas de cierto tipo de
problemas que no implican 2 ejes, etc

100O

0O
Escala de temperatura
en grados Centígrados

-273O

1.1.2. Bidimensional R2

Es el plano cartesiano conformado por dos rectas normales (x,y) que forman pares
ordenados con los que se puede ubicar un punto en el plano.

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En la física su aplicación es para trazar vectores de dos dimensiones como Presión-
Temperatura o Velocidad-Tiempo.

1.1.3. Tridimensional R3

Es un sistema de referencia que trabaja con 3 rectas y por lo tanto 3 dimensiones
(x,y,z). Éstas a diferencia del plano cartesiano forman triadas ordenadas con los que
se puede ubicar un punto en el espacio.
z

y

x

Consta de 8 octantes que van en este orden: z

1. (xyz) 5. (-xyz)

2. (xy-z) 6. (-xy-z)

3. (x-y-z) 7. (-x-y-z)

4. (x-yz) 8. (-x-yz) y

x

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Forman ternas o triadas (x,y,z) así:

Localizar el punto: A (4,5,7)

Localizar el punto: B (-5,7,4)

COORDENADAS
O (0;0;0)
A (-5;0;0)
B (-5;7;4)
C (-5;7;0)
D (0;7;0)
E (-5;0;4)
F (0;0;4)
G (0;7;4)

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Distancia entre dos puntos (Módulo del vector)

dAB = √((xf - xo)2+(yf - yo)2+(zf - zo)2)

dCF = √((xf - xo)2+(yf - yo)2+(zf - zo)2) dED = √((xf - xo)2+(yf - yo)2+(zf - zo)2)

dCF = √((0 – (-5))2+(0 - 7)2+(0 - 4)2) dED = √((0 - 5)2+(7 - 0)2+(0 – (-4))2)

dCF = √(25+49+16) dED = √(25+49+16)

dCF = √(90) dED = √(90)

Ejercicios de Aplicación

Determinar los ángulos internos, perimetro,

Y superficie del triángulo ABC

Distancias AB, AC y BC

dAC = √((xf - xo)2+(yf - yo)2+(zf - zo)2)

dAC = √((- 2 - 4)2+(8 + 3)2+(4 - 5)2)

dAC = √(36+121+16)

dAC = √(158)

dAB = √((xf - xo)2+(yf - yo)2+(zf - zo)2) dBC = √((xf - xo)2+(yf - yo)2+(zf - zo)2)

dAB = √((4 - 3)2+(- 3 - 5)2+(5 - 2)2) dBC = √((- 2 - 3)2+(8 - 5)2+(4 - 2)2)

dAB = √(1+64+9) dBC = √(25+9+4)

dAB = √(74) dBC = √(38)

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Ángulos Ω1, Ω2 y Ω3

Ω

26,22° 31,07°

Ω1, Ω2 + Ω3 = 180°

Ω3 = 180° - 26,22° - 31,07°

Ω3 = 107,57°

Perímetro y superficie

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TRIÁNGULOS PRINCIPALES Y SECUNDARIOS EN EL ESPACIO

Graficar el punto A (2;7;6) y determinar los 6 triángulos correspondientes.

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Distancias

Ax = 2 Axy = √(x2+y2) = √(2 2+72) = √(53)

Ay = 7 Axz = √(x2+z2) = √(2 2+62) = √(40)

Az = 6 Ayz = √(y2+z2) = √(7 2+62) = √(83)

Axyz = √(x2+y2+z2) = √(2 2+72+62) = √(99)

1.2. Vector

1.2.1. Definición

El vector es un segmento de recta dirigido que tiene características geométricas
(que representan magnitudes físicas), que son:
 Módulo: distancia, tamaño, longitud, magnitud.
 Dirección: ángulo medido desde un eje de referencia
 Sentido: punta de la flecha que indica hacia donde se dirige el vector.

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1.3. Expresión vectorial

Se da en función de sus puntos, ángulos y módulos

1.3.1. En función de sus coordenadas cartesianas, perpendiculares y rectangulares

Se resta la posición inicial de la posición final
en cada uno de los ejes (x ; y ; z) y se crea una
terna ordenada.

1.3.2. En función de sus vectores base o unitarios normalizados trirectangulares

Son casi iguales a las coordenadas
rectangulares con la diferencia de que se
añaden los vectores unitarios i, j, k a cada eje
x, y, z respectivamente:. Su módulo es 1 por lo
tanto no afecta al vector.

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1.3.3. Coordenadas Polares R3

a) Coordenadas Cilíndricas

Axy es el módulo de la proyección de OA en el
plano xy: Axy = √( Ax2 + Ay2 ). Θx es el ángulo
polar que puede ir desde 00 hasta 3600. Y Az
es la altura o la componente en z de OA.

θx

a) Coordenadas Esféricas

Φz Φz Axyz es el módulo del vector OA desde el
origen al punto A Axyz = √( Ax2 + Ay2 + Az2 ).
θx
Θx es el ángulo polar que puede ir desde 00
hasta 3600. Y Φz es el ángulo director de z que
se mide desde su eje positivo y puede ir desde
00 hasta 1800.

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1.3.4. Coordenadas Geográficas

Axy es el módulo de la proyección del vector en el plano xy: Axy = √( Ax2 + Ay2 ).
EL rumbo es el ángulo medido desde el Norte o el Sur hasta el vector que puede ir
desde 00 hasta 1800. Y Az es la altura o la componente z del vector.

H
Ap H

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r
Circunferencia

H
Circulo

Esfera

Ejercicio de Aplicación

Representar la suma de los siguientes vectores en coordenadas:
cartesianas, en función de los vectores base, en coordenadas cilíndricas,
coordenadas esféricas y coordenadas geográficas.

1. Coordenadas Cartesianas, rectangulares o perpendiculares

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2. En función de los vectores base

3. En Coordenadas Cilíndricas

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4. En Coordenadas Esféricas

4. En Coordenadas Geográficas

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Propiedades de los Vectores

Vector deslizante

Es un vector que se mueve en su línea de
θ acción conservando su módulo dirección y
sentido. Es decir, solo modifica su punto
θ
inicial y final.

Vector libre

θ Es un vector que se mueve no solo en su
línea de acción sino que puede moverse a
cualquier punto del espacio conservando su
θ
módulo dirección y sentido. Es decir, solo
θ modifica su punto inicial y final.

Vector opuesto

Son vectores que tienen la misma línea de
acción pero tienen sentido opuesto es decir,
la flecha se ubica al otro extremo

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Vector fijo

Es un vector que como su nombre lo indica
no puede moverse a ningún otro punto en el
espacio, está fijo en su punto inicial.

1.4. Operaciones vectoriales

Pueden estar dados por métodos gráficos o por métodos analíticos “vectoriales”

1.4.1. Suma y resta

Pueden ser 2 tipos de suma y resta

a) Método gráfico-geométrico

a.1) Método del Paralelogramo

a.2) Método del polígono o triángulo

b) Método Analítico

b.1) Método vectorial (i; j; k)

b.2) Ley seno R3

b.3) Ley coseno R3

1.4.2. Producto


b) Punto o escalar (vector • vector = escalar)

c) Cruz o vectorial (vector x vector = vector)

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Vector Unitario

EL vector unitario es aquel que lleva la
información de la dirección del vector al que
pertenece y otros vectores que componen
su línea de accion es decir que si hay
diferentes vectores que sean colineales y
tengan la misma dirección, tendrán el mismo
Φz vector unitario, en el caso de que sean
vectores opuestos se puede concluir que
αx βy tendran el mismo unitario pero con signo
contrario.

a V F Δr

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) )

Características del Vector Unitario

 Su módulo es igual a la unidad (1):

 No tiene unidad de mediad
 Sus coeficientes numéricos se llaman cosenos directores

Los cosenos directores vienen de los cosenos de los ángulos directores:

Los ángulos directores
son los ángulos que
partiendo desde los ejes
positivos de x, y, z
Φz
localizan al vector en el
αx βy espacio y pueden medir
desde 0° hasta 180°

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1.4.2. Producto


Es aquel en el que una magnitud escalar se multiplica por un vector y se distribuye.
Como resultado da otro vector

)

b) Punto o escalar (vector • vector = escalar)

Es aquel en el que se multiplican dos vectores y da como resultado 1 escalar.

Existen dos formulas para calcular el producto punto:

1. · = (Ax · Bx) + (Ay · By) + (Az · Bz)

Esta fórmula se justifica de esta manera:

· = (Ax · Bx) · + (Ax · By) · + (Ax · Bz) · + (Ay · Bx) · + (Ay · By) ·
+ (Ay · Bz) · + (Az · Bx) · + (Az · By) · + (Az · Bz) ·

· = | | | | cosΩ · = | | | | cosΩ · = | | | | cosΩ

Ω = 0° Ω = 0° Ω = 0°

cosΩ = 1 cosΩ = 1 cosΩ = 1

· =1*1*1=1 · =1*1*1=1 · =1*1*1=1

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· = | | | | cosΩ · = | | | | cosΩ · = | | | | cosΩ

Ω = 90° Ω = 90° Ω = 90°

cosΩ = 0 cosΩ = 0 cosΩ = 0

· =1*1*0=0 · =1*1*0=0 · =1*1*0=0

De esta manera se anulan casi todos los términos excepto 3 (los que tienen i2, j2, k2) y queda:

· = (Ax · Bx) + (Ay · By) + (Az · Bz)

2. · = | | | | cosΩ

Esta fórmula se justifica de esta manera:

Ω

Aplicaciones en la física

· = Trabajo

· = Potencia

Utilizando producto escalar determinar los ángulos del triángulo situado entre los
puntos A, B y C

Ω1 Ω2

Ω3

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Para Ω1 Para Ω2 Para Ω3

- Ax) + - Ay)j + - Az)k

- (-3)) + - 5)j + - 4)k + j +7k +4j -1k

+ j -7k

- 4) + - 5)j + – (-3))k

- (-3)) + - 5) + - 4)k -4 +8k +4 -8k

-4 +1k

· = (BAx · BCx) + (BAy · BCy) + (BAz · BCz) · = (CAx · CBx) + (CAy · CBy) + (CAz · CBz)

· = ((-7) · (-1)) + (0 · (-4)) + (7 · 8)
· = (ABx · ACx) + (ABy · ACy) + (ABz · ACz) · = ((-6) · 1) + (4 · 4) + (-1 · (-8))

· = (7 · 6) + (0 · (-4)) + ((-7) · 1)

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Proyección de un vector sobre otro vector

Es el vector que se forma de la “sombra” que proyecta el vector a proyectante sobre el otro vector

La formula general para determinar el vector de la proyección es:

Demostración:

Ω

Podemos determinar 5 diferentes tipos de proyección:

1. Proyección de un vector sobre otro que formen un ángulo de 0°

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2. Proyección de un vector sobre otro que formen un ángulo mayor a 0° y menor a 90°

Ω


4. Proyección de un vector sobre otro que formen un ángulo mayor a 90° y menor a 180°

Ω Ω


Ω

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Ejercicio de Aplicación

Hallar la proyección del vector sobre
el vector ( )
A

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Aplicación al Movimiento Parabólico

; ;

Ω

Problema de Movimiento Parabólico

Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 600m/s y un ángulo de tiro de 40°
sobre la horizontal. Determinar:

a. El tiempo de vuelo
b. El tiempo de subida
c. El alcance
d. La posición a los 5 segundos
e. La velocidad del proyectil a los 5 segundos
f. La aceleración centrípeta y tangencial a los 5 segundos

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Para el tiempo de subida: Para el tiempo de vuelo: Para el alcance:

=

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Para la posición a los 5 segundos:
Para la velocidad a los 5 segundos:

Para la aceleración tangencial a los 5 segundos:

Para la aceleración centrípeta a los 5 segundos:

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c) Cruz o vectorial (vector • vector = vector)

Es aquel en el que se multiplican dos vectores y da como resultado otro vector.

Características:

 El vector resultante es perpendicular a los vectores de los factores
 No posee la propiedad conmutativa como el producto cruz:

* ≠ *

A diferencia del producto cruz solo hay una fórmula para calcular el producto cruz:

2. * = | | | | senΩ

Los vectores unitarios se multiplican de esta manera:

* = * =-

* = * =-

* = * =-

Esta multiplicación se justifica así:

En sentido horario:

· = | | | | senΩ · = | | | | senΩ · = | | | | senΩ

el resultado es un el resultado es un el resultado es un
vector que es vector que es vector que es
perpendicular perpendicular perpendicular
a los otros dos a los otros dos a los otros dos

· = · = · =

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En sentido antihorario:

· = | | | | senΩ · = | | | | senΩ · = | | | | senΩ

el resultado es un el resultado es un el resultado es un
vector que es vector que es vector que es
perpendicular perpendicular perpendicular
a los otros dos a los otros dos a los otros dos

· =- · =- · =-

El producto cruz se resuelve con determinantes así:

A = Ax + Ay + Az
Ax Ay Az
B = Bx + By + Bz Bx By Bz

A x B = (AyBz – AzBy) - (AxBz – AzBx) - (AxBy – AyBx)

Ejercicios

Determinar el vector C perpendicular a los vectores A y B

=(7 -4 +6 )
7 -4 6
= ( -13 + 1 – 9 )
-13 1 -9

x = ((-4)(-9) – 6*1) - (7(-9) – 6(-3)) - (7*1 – (-4)(-3))

x = (30 + 45 - 5 )

= (30 + 45 - 5 )

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Encontrar a para que y sean perpendiculares.

= ( 2 - -3 + a )

= ( -3 + 5 + 2 )

-6 + 15 + 2a = 0

Aplicación del Producto Cruz o Vectorial al Movimiento Circular

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Ejercicios

Una partícula animada de movimiento Circula Uniforme parte del punto (2; 7) m y gira
alrededor del origen en sentido anti horario describiendo 215° en 6 segundos. Determinar:

a) La Velocidad Angular
b) La Posición Angular Inicial
c) La Posición Angular Final
d) La Posición Final
e) El Periodo
f) La Frecuencia
g) La Velocidad Final
h) La Aceleración Centrípeta Inicial
i) La Velocidad Inicial
j) La Aceleración Centrípeta Final

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Ejercicios de deber

1. La proyección del vector sobre el plano xz es (4 – 5 ) y el módulo del vector es 10u.
escriba:
a. Las dos posibles expresiones del
b. La proyección del vector en el plano xz
c. Los valores de los ángulos directores del

2. Dados los vectores y tal que
Encuentre los valores de los vectores a, b, c.

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3. Dado el vector , encuentre un vector cuya magnitud sea de 10m y su
dirección sea paralela a la dirección del Vector

4. Calcule el ángulo que forman los vectores y , sin usar
ninguno de los productos vectoriales.

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5. La longitud del horero y del minutero de cierto reloj son 8cm y 12cm, respectivamente.
Determine la posición del extremo del horero con el extremo del minutero:
a. A las 12h 0min
b. A las 4h 0min
12

9 3

6

12

Ω
9 3

4

6

6. Dados los vectores , y determine el
vector Unitario del vector = + -

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7. Dado el vector , determine el vector proyección del vector sobre la
recta que forma un ángulo de 60° sobre el eje x positivo

8. La suma de los vectores y es , y su diferencia es . Encuentre el
ángulo formado entre los vectores y

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9. Determine el ángulo que forma los vectores y si los ángulos directores del
Vector son α = 47°, β = 60°, φ ‹ 90° y del vector son α › 90°, β = 45°, φ ‹ 60°

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Ejercicios del deber 2

10. El tirante de una torre está asegurado a A mediante un perno. La tensión en el
cable es F= 2500N. determinar gráfica y analíticamente:
a. Las componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa sobre el perno A
b. Los ángulos directores que definen la dirección de la fuerza

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11. La tensión en el cable AB es 39kN. Determinar los valores de las tensiones que
requieren para que las resultantes de las fuerzas ejercidas sobre el
punto A sean verticales. Determinar el ángulo formado por los cables ;
;

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12. Una carga esta suspendida de tres cables, como se muestra en la figura.
Determinar el valor de si la tension en el cable BD es de 975 lbf

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13. Una partícula gira con M. C. U. V. si parte del punto (-3 ; 5)m con una
y en 5 segundos alcanza una . Determinar
gráfica y analíticamente en forma vectorial:
a. La posición angular inicial y final
b. El desplazamiento angular
c. La aceleración angular
d. La aceleración centrípeta, tangencial y total inicial
e. La aceleración centrípeta, tangencial y total final

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Análisis dimensional

Es el proceso por el cual se verifica la validez de una ecuación o modelo matemático usado en la
física.

Dimensiones Básicas Dimensiones suplementarias

 Longitud  Angulo plano: radian
 Masa  Angulo sólido: stereoradián
 Tiempo

Calcular las dimensiones de:

 Fuerza  Potencia

 Trabajo

 Torque

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Ejercicios de análisis dimensional

1. Determine las dimensiones de x para que la relación sea
dimensionalmente homogénea. Se sabe que E= Energía cinética; F= Fuerza; y V=
Velocidad

2. La ley de la gravitación universal se plasma en la siguiente relación
Sabiendo que F= fuerza; = Masa y d= distancia cuales
son las dimensiones que debe tener G para que la relación sea completamente
homogénea.

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3. Determine U y x para que la ecuación sea dimensionalmente
homogénea. Sabiendo que m = Masa; g = gravedad y y = altura

4. Determine las dimensiones de x para que la fórmula de la energía cinética –
péndulo balístico sea dimensionalmente homogénea.

5. Determine las dimensiones de p para que la ecuación sea dimensionalmente
homogénea.

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2. Dinámica de rotación

2.1. Vector posición, el centro de gravedad y de masas

Centro de Gravedad es el punto geométrico del que todos los vértices de una figura
o cuerpo equidistan. y

  Centro de gravedad de una línea entre dos puntos ( unidimensional)









x

              


y



 
Centro de gravedad de una superficie ( bidimensional)








x

              



 Centro de gravedad de un cuerpo ( tridimensional)

z

y

x

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Ejercicios

1. Determine el centro de gravedad de triángulo equilátero de lado 4cm
y




2






1 3 x

        







2. Determine el centro de gravedad de los puntos:

A (-3,2)
y



B (7,5) 


2




1 



x

          





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z

y

x

Centro de Masas es el punto en el que la superficie o cuerpo se mantiene en total

equilibro es decir no se balancea a ningún lado dado que el peso de cada uno de los

vértices de la superficie o cuerpo están equitativamente distribuidos.

Se calcula con la siguiente fórmula:

y




m2






m1 m3 x

        






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1. Determine el centro de masa de un sistema disperso compuesto por las
y

siguientes masas: m1 = 3g; m2 = 5g; m3 = 3g situado en los vértices de


un triángulo equilátero de lado 5cm 











x

         





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2.2. Dinámica en el movimiento circular

Para resolver ejercicios que impliquen utilizar dinámica en el movimiento circular
se necesita el siguiente algoritmo:
1. Determino el plano de rotación
2. Localizo el eje de rotación
3. Ubico las fuerzas centrípetas sobre el eje de rotación
4. Determino las fuerzas que son perpendiculares a las radiales o centrípetas
5. Aplico la segunda ley de Newton que dice que la sumatoria de fuerzas es igual
a la masa por la aceleración

(la a. centrípeta le da la curva al cuerpo)
(la a. tangencial varía la rapidez del cuerpo)
(si la a. axial es diferente de 0 se forma un espiral)

2.3. Ángulo de Peralte

Eje
Axial
Eje
Tangencial Eje
Eje Radial Eje
Tangencial
Radial

θ Eje Axial

En las curvas se puede diferenciar tres tipos de velocidades que pueden ser
analizadas y son:
1. Velocidad máxima
2. Velocidad mínima
3. Velocidad óptima (la fuerza de rozamiento es nula)

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Velocidad máxima

Eje
Axial
r Eje r
θ
Tangencial
Eje Radial

θ
θ
r r

Página 59 de 98


Velocidad mínima

Eje
Axial
r r
θ
Eje Radial r r
θ
Eje
Tangencial
θ

Página 60 de 98


Velocidad óptima

Eje
Axial
r r
θ
Eje Radial
Eje
Tangencial
θ

Página 61 de 98


Una carretera en una curva de 50m de radio tiene un ángulo de peralte de
18°, si el coeficiente de rozamiento es de 0,3, determinar:

a) El rango de velocidades con que podría entrar en la curva para que no
derrape
b) El valor de la velocidad óptima con la que el auto debería tomar la curva

Eje
Eje
Tangencial
Radial

Eje Axial

r
θ
θ r

r

Eje
Axial
r

Eje Radial r
Eje
Tangencial
θ

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Un péndulo cónico, la longitud de la cuerda es de 0,65m, y el cuerpo de masa
0,8kg describe una trayectoria circular horizontal con una velocidad angular de
4rad/s, determinar:

a) La tensión de la cuerda
b) El ángulo entre la cuerda y la vertical

Ѳ

Ѳ

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Velocidad crítica

La velocidad crítica es la velocidad con la que se completa una vuelta. Completa, es la
velocidad mínima para que complete la vuelta, si es menos no completa la vuelta.

Péndulo simple

Un péndulo de 1,5m de longitud describe un arco de circunferencia sobre un
plano vertical. Si la tensión de la cuerda es 4 veces más que el peso del cuerpo
cuando está en la posición A en la figura, determinar:

a) La aceleración tangencial del cuerpo
b) La aceleración centrípeta
c) La rapidez del cuerpo
d) La Tensión de la cuerda en el punto B

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15°
T
A
T
mgsen15
A
mgcos15
T 15°
15°

mg
mg
B
mg

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N
f

mg

II Ley de Newton en la rotación

Torque:

Es la tendencia a rotar que tienen los cuerpos ejercidos por una fuerza
externa aplicada en un punto a un radio del eje de rotación.

Inercia:

Es la medida de la oposición que presenta un cuerpo a ser movido cuando
está en reposo o a ser acelerado en movimiento.

Ley de Inercia:

Un cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o movimiento uniforme a
menos que exista una o más fuerzas externas que lo obliguen a cambiar
dicho estado.

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r
m

Página 67 de 98


En el sistema de la figura, las varillas que forman el cuadrado tienen masas despreciables
y las masas ubicadas en los vértices se consideran puntos. Calcular:

a) El momento de inercia del sistema y su radio de giro con respecto a los ejes AB, BC,
CD, DA, AC, BD.
b) El momento de inercia con respecto a un eje perpendicular al plano del cuadrado que
pase por el punto 0

A m 2m
B

O

D C
3m 2m

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Un tablón de 3m de longitud se mantiene en equilibrio en la posición
indicada en la figura, mediante las cuerdas A y B, calcule la
aceleración angular inicial del tablón:
a) Si se rompe en A
b) Si se rompe en B

A B

30°
L/2

30°

Con que aceleración angular gira el disco A de 2kg y 25cm de radio si
el bloque B de 20kg resbala hacia abajo del plano inclinado rugoso, el
coeficiente de rozamiento es de 0,4 y la aceleración es constante

r
T

T
N f

a
mg
35°

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Un disco de 30cm de radio y 4kg está montado sobre un eje horizontal
sin fricción, calcular:
a) La aceleración lineal del cuerpo suspendido
b) La aceleración angular del disco
c) La tensión de la cuerda R

m
T

T

m

mg

R
T

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Una piedra de esmeril de 1kg de radio 15cm está rodando con una
rapidez angular de 360rpm cuando el motor se apaga ¿Qué fuerza
tangencial hay que aplicar a la rueda para que esta se detenga luego de
20 revoluciones?

Un péndulo simple tiene una amplitud de 20° y una longitud de su cuerda
de 1m. si m=0,5kg determinar:

a) La tensión en A
b) La velocidad en A
c) La tensión en B 10° 10°
1m
d) La velocidad en B A

e) La tensión en C B
hA
f) La velocidad en C C hB

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T
Tcos20°

Tsen20°
mg

T
Tcos10°

Tsen10°
mg

T

mg

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¿Qué es un giroscopio?

El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado
esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación que gira
alrededor de su eje de simetría. Cuando se somete el giroscopio o un
momento de fuerza que tienda a cambiar la orientación del eje de
rotación su comportamiento es aparentemente paradójico ya que el eje
de rotación, en lugar de cambiar una dirección como lo harían un cuerpo
que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular o la
dirección (intuitiva).

El giroscopio fue inventado en 1852 por León Foucault, quien también le
dio el nombre, montando una masa rotatoria en un soporte para un
experimento de demostración de la rotación de la tierra.

Máquinas Simples

VM: Ventaja Mecánica

Palancas

I Género

Las palancas de primer género
tienen el punto de apoyo
entre la fuerza aplicada y la
fuerza resistente.

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II Género

Las palancas de segundo
género tienen la fuerza
resistente entre la fuerza
aplicada y el punto de
aplicación

III Género

Las palancas de tercer género
tienen la fuerza aplicada
entre la fuerza resistente y
el punto de aplicación

Poleas

Fija

Las poleas fijas son poleas
que como su nombre lo indica
se mantienen estáticas e
inmóviles en un solo lugar, es
decir no se desplazan

Página 74 de 98

Móvil

Las poleas móviles son poleas
que como su nombre lo indica
se desplazan a lo largo de su
línea de acción. No tienen una
posición fija.

Plano Inclinada

Es un plano sobre el que se
desplaza un cuerpo y que se
encuentra a un ángulo de
inclinación θ sobre el plano
horizontal o eje x.

Tornillo

El tornillo como máquina
simple se considera un plano
inclinado enroscado o
enrollado en un eje
perpendicular a la horizontal.

Página 75 de 98

Cuña

La cuña es una herramienta
que se usa para reducir el
esfuerzo que se utilizaría en
caso de de necesitar abrir o
ampliar una abertura en
alguna superficie.

Página 76 de 98

Elasticidad

La elasticidad es la resistencia de materiales.

ΔL = Variación de Longitud

F = Fuerza de tracción compresión

Cada material se comporta de diferente manera a la fuerza de
tracción.

Página 77 de 98

ΔL

Lo
Lf

Fuerza

Causa diferentes tipos de efectos sobre los cuerpos

Presiones

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Lo

ΔL

Unidades

Página 79 de 98

Módulo de Elasticidad

Elasticidad

Esfuerzo

Módulo Deformación
de Young Unitaria
(Longitudinal)

8

F7
7
Límite Elástico:
F6
6 Punto donde se
deforma la materia
F5
5

F4
4 Límite Elástico:
Punto donde se deforma
F3
3 la materia
m
F2
2 Histéresis Elástica:
F1
1
Los puntos entre los
cuales al poner los pesos
0 el cuerpo recupera su
0 X1 X2
2 X3 X4
4 X5 X6
6 X7 8 posición inicial

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Y = mx + b

m Y = mx + b
θ

Máquinas Simples

Las máquinas simples son mecanismos que se usan para
transmitir fuerzas, cuyas direcciones y magnitudes pueden
cambiar, pero nunca aumentaron el trabajo producido.

Palanca

Es una barra rígida que puede girar alrededor de un punto
de apoyo y los puntos de aplicación de la potencia y
resistencia se llaman brazo de potencia y brazo de
resistencia.

Primer Género

El punto de apoyo está entre la potencia y la resistencia.
Si está en el medio de la palanca es diferente mientras
que es ventajosa si el punto de apoyo está desviado hacia
el lado de la R.

Página 81 de 98

Segundo Género

El punto de apoyo está en el extremo y la fuerza R está
entre el apoyo y la fuerza. Este tipo de palanca es simple
ventajosa.

Tercer Género

El punto de apoyo se en el extremo y la potencia está
entre el apoyo y la fuerza R.

Polea

Es una rueda que puede girar libremente alrededor de su
eje, por cuyo borde acanalado pasa una cuerda. Las poleas
son fijas y móviles.

Polea Fija

Es una palanca de primer género cuyo eje es fijo.

Polea Móvil

Es una palanca de primer género cuyo eje no está fijo y
se desplaza.

Plano Inclinado

Una de las máquinas simples más conocidas en el plano y se
utiliza para reducir la magnitud de la potencia necesaria
para mover un cuerpo a lo largo del plano inclinado, donde la
resistencia opuesta por el cuerpo es el peso del mismo.
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Torno o Tornillo

Es un cilindro unido a una manivela que gira alrededor de su
eje. Contorno al cilindro se enrolla una cuerda que levanta la
carga y sobre la manivela se aplica la fuerza matriz.

1. Una varilla de 4m de longitud y 0,6cm2 de sección se alarga 0,6 cm cuando se
suspende de un extremo de ella un cuerpo de 500 kg, estando fijo su otro
extremo. Hallar:
a. El esfuerzo
b. La deformación unitaria
c. El módulo de Young

4m

500kg

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2. ¿Qué alargamiento experimentará un alambre de cobre de 14 m de longitud y
0,4cm de radio, sometido a una tensión de 50 N?

14m

ΔL

3. ¿Qué sección mínima deberá dársele a un alambre de aluminio de 4m de longitud
destinado a experimentar una tensión de 60 N si la máxima elongación permitida
es de 0,3 cm?

4m

ΔL

Página 84 de 98


4. ¿Qué fuerza se requiere para estirar 0,5 mm un alambre de acero de 2 m de
largo y 2 mm2 de sección?

2m

ΔL

5. Una barra uniforme de 4 m de largo y 600 N de peso está sostenida
horizontalmente por sus extremos mediante dos alambres verticales, uno de
acero y otro de cobre. Cada alambre tiene 3 m de longitud y 0,80 cm2 de sección.
Calcular la elongación de cada alambre.

T T

ΔL ΔL

W

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6. Una barra de acero de 2 m de longitud y 2 cm2 de sección lleva en sus extremos
dos esferas metálicas cuyas masas son iguales a 2 kg. Se hace girar la barra
alrededor de un eje perpendicular a ella y pasando por su centro, con una
velocidad angular igual a 30 rad/s. Calcular el alargamiento de la barra

ΔL
F

7. Un péndulo está constituido por un hilo de acero de 1 m de longitud y 1 mm de
diámetro y lleva en se extremo una masa de 500 g. Si la amplitud del péndulo es
de 30˚. Que diferencia hay entre la longitud del hilo cuando pasa por la vertical
y cuando se encuentra en uno de los extremos?

30

ΔL
F2
ΔL Fy
F

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8. Un candelabro que pesa 2100 N está sostenido por un cable de 12 m compuesto
por 6 alambres de acero cada uno de 1,6 mm de radio. ¿Qué alargamiento
experimentará el cable?

T

m

9. Una columna hueca de acero tiene la longitud de 20m, radio exterior de 30cm y
radio interior de 22 cm. ¿Qué acortamiento experimentará cuando soporte una
carga de 6 * 106 N?

F

r R


10. Cierta cuerda de 0,8 cm de diámetro se rompe cuando es sometida a una
tensión de 3000 N. Calcular el esfuerzo de ruptura. ¿qué sección mínima debe
tener una cuerda del mismo material para soportar una tensión máxima de
2000 N?

F

11. ¿Cuál es la mayor carga que se puede suspender de un cable de acero de 1 mm
de radio si el máximo alargamiento permisible es de 0.2% de su longitud original?

100%

ΔL = 2%

Página 88 de 98


12. Un extremo de un alambre de acero está unido al techo de un laboratorio. El
otro extremo va unido a un alambre de aluminio, en el extremo libre del cual
está suspendido cierto cuerpo. Ambos alambres tienen la misma longitud y la
misma sección. Si el cuerpo produce una elongación de 4 mm en el alambre de
aluminio, ¿Cuál será la elongación del alambre de acero?

ΔL1

ΔL2

13. Una pelota sólida de caucho de 3 cm de radio se sumerge en un lago hasta una
profundidad tal que la presión del agua es 100 00 Pa. Calcular la disminución del
volumen experimentada. Módulo de elasticidad de volumen: 106 Pa.

ΔV

Página 89 de 98


14. En una de las modernas cámaras de alta presión se somete a una presión de
2000 atmósferas el volumen de un cubo cuya arista es 1 cm. Calcular la
disminución que experimenta el volumen de cubo. (1 atmosfera = 106 Pa).
Modulo de elasticidad de volumen: 27 * 1010 Pa.

2000 atm

2000 atm

2000 atm

15. Calcular el trabajo realizado al estirar un alambre de cobre de 2 m de largo y
3 mm2 de sección cuando se fija un extremo y se aplica una fuerza en su otro
extremo hasta estirarlo 2 mm.

L

ΔL

F

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16. Una esfera de cobre (módulo de volumen, 12 * 1010 Pa) tiene un radio igual a
1,0 cm a la presión atmosférica de 105 Pa. ¿Cómo varía su radio cuando: a) se
coloca en un recipiente donde la presión es solo 10 Pa, b) se introduce en una
cámara donde la presión es igual a 106 Pa?

ΔV

Página 91 de 98


17. Un hilo de cierto material, de 10m de largo y 3 mm2 de sección, se somete a
una tensión que va aumentando gradualmente. Las deformaciones producidas
por cada valor de la tensión aparecen en el cuadro a continuación

Fuerza (N) * 103 0,48 1,30 1,90 2,90 3,80 4,40 5,50 6,00 6,20
Deformación (mm) 0,2 0,5 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,0

Representar gráficamente en el cuadriculado la relación entre la fuerza y la
deformación. Estimar la gráfica a qué valor de la tensión deja de cumplirse la
ley de Hooke. ¿Cuál es el módulo de Young de la sustancia?

7

6

5

4

3

2

1

0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

A simple vista se nota que en el punto en el que se deforma 2 mm la ley de Hooke
pierde validez.

Página 92 de 98


Movimiento Armónico Simple

Es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en
ausencia de fricción, producido por la acción de una
fuerza recuperadora que es directamente proporcional al
desplazamiento pero en sentido opuesto.

Y que queda descrito en función del tiempo por una
función (seno o coseno). Si la descripción de un
movimiento requiriese más de una función armónica, en
general sería un movimiento armónico, pero no un M.A.S.

AMPLITUD TIEMPO

PERIODO

Página 93 de 98


Página 94 de 98


Electromagnetismo

El electromagnetismo es una rama de la física que
estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos
en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados
por Michael Faraday y formulados por primera vez de
modo completo por James Clerk Maxwell.

Punto de
Equilibrio

Punto
máximo

Página 95 de 98


Elongación

Alargamiento que sufre un cuerpo que se somete a
esfuerzo de tracción.

Periodo

Es el tiempo requerido para realizar una oscilación o
vibración completa. Se designa con la letra "T".

Frecuencia

Es el número de oscilación o vibración realizadas en la
unidad de tiempo.

Ejercicio:

Un péndulo simple está formado por una partícula de 0,2 kg y
una cuerda de masa despreciable de 1m de longitud, el periodo
del péndulo en un lugar donde la gravedad es 9,8m/s2.
Calcular:

Página 96 de 98


a) El valor del To
b) El valor de g para que el periodo de este péndulo sea 0,4 s
mayor que el anterior
c) Que longitud debe tener la cuerda para que el periodo de
la pregunta a) se duplique
d) La intensidad de la fuerza que tiende a llevarla a la
posición de equilibrio cuando la cuerda se desvía 5cm de la
vertical
e) La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de
equilibrio.

θ

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θ L
L
x
hB

Página 98 de 98

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