Una presentación de campos gravitatorios

1. UD 2: CAMPO
GRAVITATORIO
FÍSICA
2º BACHILLERATO
Adela Zomeño Martínez

2. 1. INTERACCIONES A DISTANCIA

3. 2. LEYES DE KEPLER (Cinemática planetaria)
Kepler analizó las posiciones que
ocupaban los cuerpos celestes y
enunció las leyes que rigen su
movimiento.

4. 2. LEYES DE KEPLER
1ª LEY DE LAS ÓRBITAS
Todos los planetas giran
alrededor del Sol describiendo
órbitas elípticas, estando el Sol
en uno de sus focos.
El punto más cercano al Sol se
llama perihelio y el más alejado
afelio.

5. 2. LEYES DE KEPLER
2ª LEY DE LAS ÁREAS
Las áreas barridas por el radio vector que une el
Sol con un planeta son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en
barrerlas.
Barre áreas iguales en tiempos iguales 
Velocidad areolar constante.
𝐴1 = 𝐴2
Velocidad areolar: área barrida por
un cuerpo que gira (planetas) por
unidad de tiempo.
𝑣𝑎 =
𝜋𝑅2
𝑇
(
m2
s
)
IMPORTANTE!!
Esta ley se explica como consecuencia de que las
fuerzas de atracción entre el Sol y los planetas
son fuerzas centrales

6. 2. LEYES DE KEPLER
FUERZAS CENTRALES. COMPROBACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE KEPLER
Se denomina Fuerza central a una fuerza que es paralela al vector posición.
Por ejemplo, la fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre la Tierra en su movimiento de
traslación.

7. MOMENTO ANGULAR 𝐿
Es el producto vectorial entre el
vector posición 𝑟 y la cantidad de
movimiento (𝑝)
𝑳 = 𝒓 𝒙 𝒑 = 𝒓 𝒙 𝒎𝒗
𝑳 = 𝒓 · 𝒎 · 𝒗 · 𝒔𝒆𝒏 𝜶
El momento angular recoge las magnitudes que
caracterizan a una partícula que gira: su masa, su
velocidad y la distancia (medida en perpendicular) al centro
de giro. El sentido del vector indica el sentido en el que se
realiza el giro.

8. RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y EL MOMENTO ANGULAR.
El momento de una fuerza respecto a un punto P (o a un eje) que actúa sobre una partícula es
igual a la variación que experimenta con el tiempo el momento angular de esa partícula con
respecto a ese mismo punto o eje:
𝑀 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR.
Siempre que 𝑀 sea cero, es decir que 𝐹 sea nula o paralela a 𝑟, el momento angular
permanecerá constante
𝑀 = 0 → 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒.

9. MOMENTO ANGULAR Y MOVIMIENTO PLANETARIO. 2ª LEY DE KEPLER
En los movimientos planetarios, al ser fuerzas centrales, se cumple  𝐿 = 𝑐𝑡𝑒
1. Por ser constante la dirección del momento angular, el movimiento de la partícula tiene lugar en un plano.
2. Si se tiene en cuenta que 𝐿 , por definición, es perpendicular al plano definido por 𝑟 𝑦 𝑣, para que la dirección de 𝐿
no varíe los vectores posición y velocidad han de estar siempre en el mismo plano
3. Si 𝐿 mantiene constante su sentido, la partícula recorrerá la trayectoria siempre en el mismo sentido.
4. Si el módulo de 𝐿 permanece constante, se cumple la segunda ley de Kepler: áreas iguales en tiempos iguales
𝑣𝑎 = 𝑐𝑡𝑒
De la ley de áreas se deduce que la
velocidad lineal variará en la órbita y
será mayor cuanto más cerca este del
Sol
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑣0 =
2𝜋𝑅
𝑇
(
𝑚
𝑠
)
𝐿𝐴1
= 𝑟1 · 𝑚 · 𝑣1 · 𝑠𝑒𝑛 90
𝐿𝐴2
= 𝑟2 · 𝑚 · 𝑣2 · 𝑠𝑒𝑛 90
𝑟1𝑣1 = 𝑟2𝑣2
AFELIO Y PERIHELIO

10. 2. LEYES DE KEPLER
3ª LEY DE LOS PERÍODOS
Los cuadrados de los períodos de
revolución (T) son proporcionales a los
cubos de las distancias promedio de los
planetas al Sol
𝑇2
𝑟3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

11. EJERCICIOS
1. La distancia media del Sol a Júpiter es 5,2 veces mayor que la
distancia entre el Sol y la Tierra. ¿Cuál es el periodo de la órbita
de Júpiter alrededor del Sol?
2. Calcula la velocidad areolar del planeta Urano, sabiendo que
recorre una órbita circular de radio 𝑅 = 2,87 · 1012m en un tiempo
de 𝑇 = 2,66 · 109𝑠
3. Aplicando las leyes de Kepler, calcula el periodo orbital de Urano
si el radio orbital de la Tierra es 1,5 · 1011𝑚 y el de Urano 2,87 ·
1012
𝑚
4. Calcula la velocidad orbital y la velocidad areolar de la Tierra
sabiendo que nuestro planeta gira en torno al Sol siguiendo una
órbita circular de radio 1,5 · 1011𝑚
5. Razona a partir de la segunda ley de Kepler cómo cambia la
velocidad de un planeta a lo largo de su órbita al variar la
distancia al Sol
6. Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una
distancia 𝑅𝑝 = 4,4 · 1012
𝑚 en el perihelio y 𝑅𝑎 = 7,4 · 1012
𝑚. ¿En
cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón?
Razona tu respuesta.

12. EJERCICIOS
7. Considera una órbita elíptica alrededor de una estrella. La distancia hasta el punto
más alejado de la órbita, llamado apoastro, es 1,2 veces la distancia al punto más cercano
de la órbita, llamado periastro. Si la velocidad de un cuerpo en esta órbita es 25 km/s en
el periastro, ¿cuál es su velocidad en el apoastro? Razona tu respuesta.
8. Un satélite de la Tierra describe una órbita elíptica. Las distancias máxima y mínima a
la superficie de la Tierra son 3200 km y 400 km, respectivamente. Si la velocidad máxima
del satélite es 5250 m/s, halla la velocidad del satélite en los puntos de máximo y mínimo
acercamiento. Datos: 𝑅𝑇 = 6,4 · 106
𝑚
9. Suponiendo que la órbita de la Luna en torno a la Tierra tiene un radio de 3,84 · 105
𝑘𝑚
con un periodo de 27,3 días y que su masa es 0,012 veces la de la Tierra, calcula el
momento angular de la Luna respecto del centro de la Tierra. Datos: 𝑀𝑇 = 6 · 1024
𝑘𝑔
10. Durante el vuelo Apolo XI, el astronauta M. Collins giró en torno a la Luna, en un
módulo de mando, sobre un órbita aproximadamente circular. Suponiendo que el periodo
de este movimiento fuera 90 minutos exactos y que su órbita estuviera a 100 km por
encima de la superficie lunar, calcular:
a) La velocidad con que recorría la órbita
b) Su momento angular respecto del centro del satélite, suponiendo que la masa del
astronauta fuera de 80 kg.
Datos RL = 1,738 · 106
𝑚

13. 3. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
Newton  determinó que la atracción gravitatoria era la causante del movimiento de los
planetas alrededor del Sol y de los satélites alrededor de los planetas.
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL:
Dos cuerpos cualesquiera del universo se atraen mutuamente con una fuerza que es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que existe entre sus centros.
𝐹 = 𝐺 ·
𝑚1 · 𝑚2
𝑑2
𝐹 = −𝐺 ·
𝑚1 · 𝑚2
𝑑2
· 𝑢𝑟
**𝐺 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 → 6,67 · 10−11
𝑁𝑚2
/𝑘𝑔2

14. 3. LEY DE GRAVITACION
UNIVERSAL
𝐹 = −𝐺 ·
𝑚1 · 𝑚2
𝑑2 · 𝑢𝑟
Donde:
m  masa de los cuerpos en kg
d  distancia ente los cuerpos en m (si los
cuerpos son grandes, la distancia se toma entre
los centros)

15. 3. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS GRAVITATORIAS
- La dirección del vector fuerza es la de la recta que une las dos masas
- El signo menos que aparece en la expresión indica que los vectores de las fuerzas
tienen sentidos contrarios  SON FUERZAS ATRACTIVAS
- Siempre se presentan a pares. Ambas fuerzas tienen el mismo módulo y la misma
dirección pero sentido contrario
- El valor de la contante de gravitación (G) es tan pequeño que, a menos que
alguna de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción es inapreciable.

16. 3. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
ESTA LEY PERMITE CONOCER LA CAUSA POR LA CUAL LOS PLANETAS ORBITAN
ALREDEDOR DEL SOL CON EL MOVIMIENTO DESCRITO POR LAS LEYES DE
KEPLER
- Newton demostró que cuando un cuerpo se mueve en torno a otro en una trayectoria
cerrada describe una elipse en al que el cuerpo que atrae está situado en uno de los
focos (1ª Ley de Kepler)
- Si la fuerza mantiene a un objeto en órbita alrededor de otro es una fuerza central. La
trayectoria seguida será plana, tal y como se observa en las órbitas de los planetas.
- La constancia del momento angular lleva a la conclusión de que la velocidad areolar de
los planetas es contante (2ª ley de Kepler)
- Si la fuerza que el Sol ejerce sobre los planetas es la propuesta por Newton, y
considerando que la órbita es circular (lo cual simplifica los cálculos y, como se ha visto,
no está lejos de la realidad) se obtiene:

17. 3. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
𝐹𝑐 = 𝑚 · 𝑎𝑁 = 𝑚 · 𝜔2 · 𝑟
𝐹 = 𝐺 ·
𝑚 · 𝑀
𝑟2
𝑚 · 𝜔2 · 𝑟 = 𝐺 ·
𝑚 · 𝑀
𝑟2
𝜔2 · 𝑟3 = 𝐺 · 𝑀
RECORDATORIO
𝑎𝑁 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 =
𝑣2
𝑅
𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =
𝑣
𝑅
𝜔 =
2𝜋
𝑇
2𝜋 2
𝑇2
· 𝑟3 = 𝐺 · 𝑀
𝑇2
=
4𝜋2
𝐺𝑀
· 𝑟3
Aunque estrictamente la órbita descrita por los
planetas en su movimiento alrededor del Sol es una
elipse, realmente se aproxima mucho a un círculo
Expresión matemática de la 3ª ley
de Kepler
𝑇2
= 𝑘 · 𝑟3
𝑘 =
4𝜋2
𝐺𝑀

18. EJERCICIOS
11. La masa de la Tierra es 6,0 · 1024𝑘𝑔 y la de la Luna 7,2 · 1022𝑘𝑔. Si
la fuerza gravitatoria entre ellas es 1,9 · 1020𝑁, ¿qué distancia hay
entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna?
DATOS: G = 6,67 · 10−11 𝑁𝑚2/𝑘𝑔2
12. Si la ley de gravitación variara
a) 1/r
b) 1/𝑟3
En vez de ser 1/𝑟2. ¿Cómo afectaría esto al peso de un cuerpo sobre la
superficie de la Tierra.
13. Si la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre vale
9,81 𝑚/𝑠2
, calcula la aceleración de la gravedad a una altura sobre la
superficie terrestre igual al radio de la Tierra.

19. 4. ESTUDIO DEL CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO: es la región del espacio en la que se aprecia la perturbación
provocada por la masa de un cuerpo.
4.1 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (𝒈)
CAMPO CREADO POR UNA MASA PUNTUAL M
Intensidad de campo gravitatorio en un punto es la fuerza que una masa M ejerce sobre un
cuerpo de masa unidad colocado en ese punto. Es una magnitud vectorial cuyas unidades son
N/kg o 𝑚/𝑠2
𝑔 =
𝐹𝐺
𝑚
=
−𝐺 ·
𝑀 · 𝑚
𝑑2 · 𝑢𝑟
𝑚
𝑔 = −𝐺 ·
𝑀
𝑑2 · 𝑢𝑟

20. 4. ESTUDIO DEL CAMPO GRAVITATORIO
Variación de la intensidad del campo gravitatorio con la distancia
El vector intensidad de campo gravitatorio 𝑔 siempre está dirigido hacia l amasa que lo crea.
El campo de un cuerpo de forma esférica toma el máximo valor en los puntos de la superficie.
Es decir, cuando la distancia vale R. El campo disminuye tanto si el punto estudiado de masa
m se aleja del centro D > R, como si se acerca al centro de la esfera, D < R.

21. 4. ESTUDIO DEL CAMPO GRAVITATORIO
4.1 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (𝒈)
CAMPO CREADO POR UNA MASA PUNTUAL M
𝑔 es también la aceleración de caída libre de los cuerpo que se mueven bajo la acción de la
fuerza gravitatoria.
𝐹𝐺 = 𝑚 · 𝑔
Es un campo CENTRAL
CAMPO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES
𝑔𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 =
𝐼
𝑔𝑖 =
𝑖
−(
𝐺𝑀
𝑟𝑖
2 )𝑢𝑟𝑖
PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN

22. EJERCICIOS
14. Si la densidad de la Tierra fuese tres veces mayor, ¿cuál debería
ser el radio terrestre para que el valor de la gravedad no variara?
15. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. ¿Cuál será el peso de este
cuero en un planeta cuya masa es 10 veces inferior a la masa de la
Tierra pero con igual tamaño que esta?
16. Un astronauta, cuyo peso en la Tierra es de 700N, aterriza en el
planeta Venus, mide de nuevo su peso y observa que, después de
efectuadas las correcciones correspondientes, pesa 600N.
Considerando que le diámetro de Venus es aproximadamente el
mismo que el de la Tierra, calcula la masa del planeta Venus.
Dato 𝑀𝑇 = 6 · 1024𝑘𝑔
LIBRO  pág 22: 9 y 11

23. EJERCICIOS
LIBRO  pág 22: 9 y 11

24. 5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA
MECÁNICA
El campo gravitatorio es un campo conservativo porque el trabajo realizado por las fuerzas
del campo gravitatorio depende solo del punto inicial y final del desplazamiento y no de la
trayectoria.
𝑊𝑖→𝑓 =
𝑖
𝑓
𝐹 · 𝑑𝑟 =
𝑖
𝑓
−
𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · 𝑢𝑟
𝑟2
· 𝑑𝑟 =
𝑖
𝑓
−
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟2
· 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · (
1
𝑟𝑓
−
1
𝑟𝑖
)
- El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio a lo largo de una trayectoria cerrada es
cero
- Si 𝑟𝑓 < 𝑟𝑖 → Wi→f > 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es positivo cuando el
cuerpo se acerca a la masa que crea el campo.
- Si 𝑟𝑓 > 𝑟𝑖 → 𝑊𝑖→𝑓 < 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es negativo cuando el
cuerpo se aleja de la masa que crea el campo.
**𝑊 = 𝐹 · ∆𝑟

25. 5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA
MECÁNICA
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variación de la energía potencial
del cuerpo sobre el que actúa.
𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 = −∆𝐸𝑝
La energía potencial gravitatoria (Ep) es aquella que posee una masa por encontrarse bajo la
influencia gravitatoria de otra u otras masas:
𝐸𝑝 = −
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟
(𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠)
La energía potencial de un cuerpo en un punto coincide con el trabajo que tienen que realizar
las fuerzas del campo para llevarlo desde ese punto hasta fuera del campo con velocidad
constante.
La energía potencial gravitatoria siempre es NEGATIVA. La razón está en que la fuerza
gravitatoria es una fuerza atractiva, y hace falta una fuerza exterior para llevar el cuerpo
desde un punto del campo hasta fuera del mismo.

26. 5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA
MECÁNICA
¿De donde viene 𝐸𝑝 = 𝑚 · 𝑔 · ℎ?
∆𝐸𝑝 = 𝐸𝑝𝑓 − 𝐸𝑝𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 = −𝐺 · 𝑀 · 𝑚 ·
1
𝑅𝑇 + ℎ
− −𝐺 · 𝑀 · 𝑚 ·
1
𝑅𝑇
=
𝐺 · 𝑀 · 𝑚 ·
1
𝑅𝑇
−
1
𝑅𝑇 + ℎ
= 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 ·
ℎ
𝑅𝑇 · (𝑅𝑇 + ℎ)
∗∗ ℎ ≪ 𝑅𝑇 → 𝑅𝑇 + ℎ ~𝑅𝑇
∆𝐸𝑝 =
𝐺 · 𝑀
𝑅𝑇
2 · 𝑚 · ℎ = 𝑔 · 𝑚 · ℎ
𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = −∆𝐸𝑝 = −𝑚 · 𝑔 · ℎ
RECUERDA
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS  𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = ∆𝑬𝒄
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 + 𝑊𝑛𝑜𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Si solo actúan fuerzas conservativas  𝑊 = ∆𝐸𝑐
∗∗ 𝐸𝑐 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣2

27. 5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA
MECÁNICA
La fuerza de la gravedad, al realizar trabajo negativo, transforma
la energía cinética (movimiento) en energía potencial.
En la caída la energía potencial acumulada durante el ascenso se
transforma en energía cinética y la fuerza de gravedad realiza
trabajo positivo.
Siempre que una fuerza conservativa realiza trabajo negativo, la
energía cinética disminuirá y aumentará la potencial.
Si realiza trabajo positivo la energía potencial se transforma en
energía cinética: la potencial disminuye y aumenta la cinética

28. 5. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA
MECÁNICA
Las fuerzas conservativas realizan una transferencia de energía cinética a potencial o
viceversa. Por tanto si la única fuerza que realiza trabajo es conservativa se cumple:
𝑬𝒎 = 𝑬𝒄 + 𝑬𝒑𝒐𝒕 = 𝒄𝒕𝒆 → 𝐸𝑐1 + 𝐸𝑝1 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑝2
La suma de la energía cinética y potencial permanece constante (se conserva). A la suma de
estas energía se le llama ENERGÍA MECÁNICA
Cuando la única fuerza que realiza trabajo es conservativa, SE CONSERVA LA ENERGÍA
MECÁNICA.

29. EJERCICIOS
17. Ío, uno de los satélites de Júpiter, tiene una masa de 8,9 ·
1022
𝑘𝑔, un periodo orbital de 1,77 días y un radio medio orbital de
4,2 · 108 𝑚. Considerando que la órbita es circular, con este radio,
determina:
a) La masa de Júpiter
b) La intensidad del campo gravitatorio, debida a Júpiter en los
puntos de la órbita de Ío.
c) La energía cinética de Ío en su órbita
d) El módulo del momento angular de Ío respecto al centro de su
órbita.
Dato: 𝐺 = 6,67 · 10−11𝑁𝑚2/𝑘𝑔2

30. EJERCICIOS
18. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad
inicial de 50 m/s. Si el rozamiento con el aire es despreciable, calcula,
utilizando el principio de conservación de la energía mecánica, la
altura máxima que alcanza. ¿Qué altura alcanzará en el caso de que
haya rozamiento y se pierda para vencerlo el 20% de la energía
cinética de lanzamiento?
19. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie
de la Tierra con una velocidad de 4000 m/s. Calcula la altura máxima
que alcanzará. Se considera despreciable la fuerza de rozamiento.
Dato 𝑅𝑇 = 6,4 · 106
𝑚; 𝑀𝑇 = 6 · 1024
𝑘𝑔
LIBRO  pág 22: 12

31. EJERCICIOS
20. Un cierto planeta esférico tiene una masa 𝑀 = 1,25 · 1023𝑘𝑔 y un
radio 𝑟 = 1,5 · 106𝑚. Desde su superficie se lanza verticalmente hacia
arriba un objeto, el cual alcanza una altura máxima de r/2.
Despreciando el rozamiento, determina:
a) La velocidad con que fue lanzado el objeto
b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por
el objeto
DATOS 𝐺 = 6,67 · 10−11 𝑁𝑚2/𝑘𝑔2
21. Un asteroide está situado en una órbita circular alrededor de una
estrella y tiene una energía total de −1010
𝐽. Determina:
a) La relación que existe entre las energías potencial y cinética del
asteroide.
b) Los valores de ambas energías potencial y cinética.

32. 6. POTENCIAL GRAVITATORIO
Se denomina potencial (V) en un punto A del campo al trabajo realizado por la fuerza central
para trasladar la unidad de masa sometida a la acción del campo desde el infinito, donde se
supone que le campo es nulo, hasta dicho punto.
𝑉 =
𝐸𝑝
𝑚
= −
𝐺 · 𝑀
𝑟
(
𝐽
𝑘𝑔
)
El potencial en el infinito (fuera del campo) es cero, y en cualquier otro punto del campo es
negativo, ya que la fuerza gravitatoria es atractiva.

33. 6. POTENCIAL GRAVITATORIO
POTENCIAL GRAVITATORIO EN UN PUNTO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES
PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
𝑉𝑇 =
𝑖
𝑉𝑖 =
𝑖
−
𝐺 · 𝑀𝑖
𝑅𝑖
DIFERENCIA DE POTENCIAL
Si se consideran dos puntos de un campo gravitatorio, la diferencia de potencial es el trabajo realizado para
traslada la unidad de masa desde un punto al otro.
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = −
𝐺 · 𝑀
𝑟𝑓
− −
𝐺 · 𝑀
𝑟𝑖
𝑊𝑖→𝑓
𝑚
= −∆𝑉

34. EJERCICIOS
23. Calcula:
a) El potencial gravitatorio creado por una masa m=5000 kg en los
puntos A y B situados a 10 m y 20 m, respectivamente, de una
partícula de masa m.
b) El trabajo realizado para desplazar otra masa de 25 kg desde A
hasta B
Dato: 𝐺 = 6,67 · 10−11𝑁𝑚2/𝑘𝑔2
24. Calcula la altura a la que se debe colocar un cuerpo para que
pierda el 20% de su peso.
a) ¿Cuánto vale el potencial gravitatorio terrestre en ese punto?
b) ¿Qué diferencia de potencial existe entre ese punto y la posición
inicial del cuerpo, la superficie terrestre?
Datos: 𝑅𝑇 = 6,37 · 106
𝑚; 𝑀𝑇 = 5,98 · 1024
𝑘𝑔

35. 7. REPRESENTACIÓN DEL CAMPO
GRAVITATORIO
7.1 REPRESENTACIÓN MEDIANTE LINEAS DE CAMPO
Son líneas tangentes al vector intensidad de campo en cada punto
Líneas de campo creadas por una masa puntual
NO SE PUEDEN CRUZAR
Campo nulo

36. 7. REPRESENTACIÓN DEL CAMPO
GRAVITATORIO
7.2 REPRESENTACIÓN MEDIANTE SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Las superficies equipotenciales son regiones del espacio en las que el potencial gravitatorio tiene
el mismo valor.
El trabajo necesario para trasladar una masa de un punto a otro de la misma superficie
equipotencial es nulo. NO SE PUEDEN CORTAR

37. 8. CAMPO GRAVITATORIO DE LOS CUERPOS
CELESTES
CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA Y LOS PLANETAS
Habitualmente a la atracción que ejerce cualquier planeta sobre los cuerpo se le denomina PESO.
𝐹𝐺 = 𝑃
𝐺 · 𝑀𝑝 · 𝑚
𝑟2 = 𝑚 · 𝑔 → 𝑔 =
𝐺 · 𝑀𝑝
𝑟2
EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS
Suponiendo órbitas circulares (los resultados son muy parecidos).
𝐹𝐺 = 𝐹𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑝𝑒𝑡𝑎
𝐺 · 𝑀𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 · 𝑚𝑐𝑢𝑒𝑟𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑎
𝑟2 = 𝑚𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑎 · 𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 →
𝐺 · 𝑀𝑐𝑐
𝑟2 =
𝑣2
𝑟
→ 𝑣2 =
𝐺 · 𝑀𝑐𝑐
𝑟
𝑣 =
𝐺 · 𝑀𝑐𝑐
𝑟
→ 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠

38. 8. CAMPO GRAVITATORIO DE LOS CUERPOS
CELESTES
ENERGÍA DEL CUERPO QUE GIRA
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃
𝐸𝑀 =
1
2
· 𝑚 · 𝑣2 + −
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟
=
1
2
· 𝑚 ·
𝐺 · 𝑀
𝑟
−
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟
𝐸𝑀 = −
1
2
·
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟
VELOCIDAD DE ESCAPE
Velocidad que debe tener un cuerpo para liberarse de la atracción gravitatoria de otro cuerpo
𝐸𝑀 ≥ 0
𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 ≥ 2 ·
𝐺 · 𝑀
𝑟

39. 9. MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
SATÉLITES QUE ORBITAN A LA TIERRA
VELOCIDAD ORBITAL
𝑣𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙 =
𝐺 · 𝑀𝑇
𝑟
=
𝐺 · 𝑀𝑇
𝑅𝑇 + ℎ
PERIODO DE REVOLUCIÓN
𝐹𝐺 = 𝐹𝐶
𝑣2
=
𝐺 · 𝑀𝑇
𝑟
→ 𝑣 = 𝜔 · 𝑟 =
2𝜋
𝑇
· 𝑟
𝑣2
=
2𝜋
𝑇
2
· 𝑟2
=
𝐺 · 𝑀𝑇
𝑟
𝑇 =
4𝜋2 · 𝑟3
𝐺 · 𝑀𝑇
=
4𝜋2 · 𝑅𝑇 + ℎ 3
𝐺 · 𝑀𝑇
SATÉLITE GEOESTACIONARIO
Aquellos que orbitan en torno a la Tierra
manteniéndose siempre encima de un mismo
punto, es decir, su fuerza de gravedad es
constante y su periodo de revolución es el mismo
que el de la Tierra (aproximadamente 24h)

40. 9. MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
SATÉLITES QUE ORBITAN A LA TIERRA
ENERGÍA DE LOS SATÉLITES
𝐸𝑀 = −
1
2
·
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟
VELOCIDAD DE LANZAMIENTO PARA PONER UN SATÉLITE EN ÓRBITA
𝑣𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 2 · 𝐺 · 𝑀 · (
1
𝑅𝑇
−
1
2 · 𝑟
)
𝑟 = 𝑅𝑇 + ℎ
CALCULO DE ENERGÍA PARA PASAR DE UNA ÓRBITA A OTRA
∆𝐸 = 𝐸3 − 𝐸2 = −
1
2
·
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟3
− (−
1
2
·
𝐺 · 𝑀 · 𝑚
𝑟2
) 𝑆𝑖 𝑟3 > 𝑟2 → ∆𝐸 > 0
VELOCIDAD DE ESCAPE
𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 ≥
2 · 𝐺 · 𝑀𝑝
𝑅𝑃 + ℎ

41. EJERCICIOS
20. Calcula el trabajo necesario para trasladar un satélite terrestre de
500 kg desde una órbita circular de radio 𝑟0 = 2𝑅𝑇 hasta otra de radio
𝑟1 = 3 · 𝑅𝑇 Dato 𝑅𝑇 = 6,4 · 106𝑚; 𝑔𝑜 = 9,8 𝑚/𝑠2