Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
Plano Numérico .docx
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Números Reales y Planos
Numéricos
Febrero, 2023
Integrantes:
Diego Alvarado / V30.019.348
2. Plano Cartesiano
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos
rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como
la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la
geometría analítica.
Elementos: Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes
coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. Ejemplo:
Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un
punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.
1.) Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica
con la letra “x”.
2.) Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con
la letra “y”
3. Origen o punto 0: Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”, punto
al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero
(punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo
a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras
que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje “y” es
positivo, mientras que el segmento descendente es negativo.
Cuadrantes del Plano Cartesiano: Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman
por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de
estos cuadrantes.
4. Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
1.) Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
2.) Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
3.) Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
4.) Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
Coordenadas del Plano Cartesiano: Las coordenadas son los números que nos dan la
ubicación del punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un determinado
valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se representa de la siguiente manera:
P (x, y), donde:
1.) P = punto en el plano;
2.) x = eje de la abscisa (horizontal);
3.) y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea
perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección
(ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una
proyección del punto P sobre el eje “y”.
Ejemplos:
4
(-1,3) 3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2 (4,-2)
-3
-4
Y
-X
-Y
X
5. X Y COORDENADAS
4 -2 (4,-2)
-1 3 (-1,3)
Ejemplo #2:
X Y COORDENADAS
-4 4 (-4,4)
3 -2 (3,-2)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
Y
X
-X
-y
6. Distancia Entre Dos Puntos: Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en
una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje,
la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Punto Medio de un Segmento: El punto medio es un punto que se ubica exactamente en
la mitad de un segmento de línea que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos
dos puntos y los unimos con un segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad
de ese segmento y será equidistante a ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un
segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del
segmento. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la
longitud del segmento y dividir por 2.
La fórmula del punto medio es: M =
𝒙𝟏+𝒙𝟐
𝟐
+
𝒚𝟏+𝒚𝟐
𝟐
7. Ecuaciones de la Parábola: Dados un punto F (foco) y una recta R (directriz), se denomina
parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
P = {P (x,y) | d (P,r) = d (P,F)}
La ecuación de una parábola depende de si esta está orientada horizontalmente o
verticalmente. La parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de
elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
1.) Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también
eje de simetría)
2.) Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola
en dos brazos y pasa por el vértice.
3.) Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en
el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
4.) Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p
del vértice y fuera de los brazos de la parábola
5.) Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y
foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
8. Ecuaciones Elipse: Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la
suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos
denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
d (P, F) + d (P,F1) = 2 . a
Ecuación de la Hipérbola: Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina
hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a los focos es constante.
H= { P(x,y) | | d (P;F1) – d (P;F2) | = 2ª = cte }
Sus elementos son:
1.) Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y
cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
2.) Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
3.) Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos
4.) Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
5.) Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor
es c.
6.) Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su
longitud es 2c.
9. 7.) Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
8.) Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los
vértices A o A'. Su longitud es a
Ecuaciones en Circunferencia: La circunferencia es un lugar geométrico en el cual
todos los puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. De forma matemática la
circunferencia se representa por una ecuación de segundo grado: x2+y2=r2
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
1.) Tres puntos de la misma, equidistante del centro.
2.) El centro y en radio
3.) El centro y un punto en ella.
4.) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
10. Números Racionales
En las matemáticas se conoce el concepto de números racionales para hacer referencia a
aquellos indicadores que permiten conocer el cociente entre dos números enteros. La
noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están
formados por los números enteros.
Se pueden clasificar de varias maneras.
1.) Números enteros: 3.) Decimales Periódicos Puros:
2 =
2
1
=
4
2
=
8
4
0.888888 =
8
9
2.) Decimal Exacto: 4.) Decimales Periódicos Mixtos:
-0.75 =
−3
4
0.83333 =
5
6
0.10 =
1
10
Ejemplo #1:
9
4
+
5
4
=
9+5
4
=
14
4
=
7
2
Ejemplo #2:
8
2
+
2
9
=
8.9+7.2
7.9
=
72+14
63
=
86
63
11. Inecuaciones
Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas, conectadas a través de los
signos: mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, en
la que figuran uno o varios valores desconocidos llamadas incógnitas, además de ciertos
datos conocidos.
Ejemplo #1
1.) 7x+5 < 2x-10
7x-2x < -10-5
5x < -15
x <
−15
5
x < -3
= (∞, -3)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2.) 3x ≥ 5x+8
3x-5x ≥ 8
-2x ≥ 8
2x ≤ -8
x ≤ -4
= (∞, -4)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
12. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el
signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de
x:
|x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Valor Absoluto en una Gráfica: En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y
observamos que el valor de y siempre será positivo, independientemente del valor de x.
Cada gráfico de valor absoluto tendrá forma de “V” Consiste de dos partes: una con
pendiente negativa y otra con pendiente positiva. El punto de intersección es denominado el
vértice. Un gráfico de valor absoluto es simétrico, lo que significa que se puede doblar por
la mitad por su línea de simetría
13. Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o
igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su
naturaleza.
Signos de Desigualdad numérica:
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles
en los cinco siguientes:
1.) Desigual a ≠
2.) Menor que <
3.) Menor o igual que
Desigualdad de valor absoluto: Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que
tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Cuando se resuelven
desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de
los símbolos de valor absoluto es positiva.
