2. MATRICES
DEFINICIÓN
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de
elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n
verticales (columnas) de la forma:
Dimensión de la matriz n
m
2ª columna
3ª fila
è
ç
ç
ç
ç
ç
æ
÷
÷
÷
÷
÷
ö
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij)
A= (aij)
i = 1,2…,m
j = 1,2…,n
3. ( )
n
a
a
a
a 1
13
12
11
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es
decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.
CLASIFICACIÓN DE MATRICES
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
1
31
21
11
m
a
a
a
a
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y
por tanto es de orden 1 x n.
4. Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas
que de columnas, es decir m = n.
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal
principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1
la diagonal secundaria
5. La matriz
La matriz
es una matriz nula de orden 3
es una matriz nula de orden 2 x 4
Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0 y se
representa por 0
Matriz escalonada: una matriz A no necesariamente cuadrada, es
una matriz escalonada cuando: una fila tiene a la izquierda una
secuencia de ceros más larga que la fila anterior, o bien la fila es
toda ceros.
3 0 5
0 4 -1
0 0 5
3 0 0
2 0 -0
-4 1 0
6 4 3
Escalonada por filas Escalonada por columnas
6. Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los
elementos por debajo de la diagonal son ceros.
Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los
elementos por encima de la diagonal son ceros.
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
4
0
0
3
2
0
6
3
1
T
A
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
4
5
3
0
2
3
0
0
1
T
A
7. Matriz diagonal: matriz cuadrada en la que todos los elementos
que no están en la diagonal, son cero.
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
=
1
0
0
0
3
0
0
0
2
D
A
Matriz escalar: todos los elementos de la diagonal principal son
iguales
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
2
0
0
0
2
0
0
0
2
A
8. Matriz identidad o unidad: matriz cuadrada escalar en la que todos
los elementos de la diagonal principal son 1
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I3
A
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A,
y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas
por columnas. De la definición se deduce que si A es de orden m x
n, entonces At es de orden n x m.
A At
9. Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que coincide con su
traspuesta, es decir, las columnas de A son también las filas de At
Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que coincide con la
opuesta de su traspuesta
A = At ⇒ aij = aji ⇒ i, j
A= ⇒At ⇒ aij = ⇒aji ⇒ i,j
1 2 4
2 3 5
4 5 -1
÷
÷
÷
ö
ç
ç
ç
è
æ 0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
10. SUMA: La suma de matrices C = A + B se define como cij =aij + bij.
Esto es, la suma de matrices es igual a la suma de los elementos
correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden.
OPERACIONES CON MATRICES
La operación suma cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa:
Propiedad conmutativa:
11. Diferencia: La diferencia o resta de matrices C = A − B se define
como cij = aij − bij . Esto es, la diferencia de matrices es igual a la
resta de los elementos correspondientes de ambas matrices que
tienen el mismo orden.
OPERACIONES CON MATRICES
12. Multiplicación de una matriz por un escalar.
El producto de una matriz A por un escalar k se define como:
k ∙ A = k ∙ aij
Esto es, se multiplica cada uno de los elementos de la matriz por el
escalar.
13. Multiplicación de matrices. Para efectuar el producto de dos
matrices, se requiere que el número de columnas de la primera
matriz sea igual que el número de renglones de la segunda.
Cuando esto sucede, se dice que las matrices son conformables para
la multiplicación. Esto es, si A es de orden p x n y B es de orden n x q
el orden de la matriz producto es p x q
14. Multiplicación de matrices. Para efectuar el producto de dos
matrices, se requiere que el número de columnas de la primera
matriz sea igual que el número de renglones de la segunda.
Cuando esto sucede, se dice que las matrices son conformables para
la multiplicación. Esto es, si A es de orden p x n y B es de orden n x q
el orden de la matriz producto es p x q
15. Transformaciones elementales por renglón.
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos números pueden ser
los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones, con lo que la
matriz se llamará matriz de coeficientes del sistema. Una matriz
con m renglones y n columnas se llama una matriz de m x n. Si en una matriz
se vacía, además de los coeficientes de las ecuaciones, el lado derecho de
éstas, entonces la matriz se denomina matriz aumentada.
Operaciones elementales con renglones.
1.Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
2.Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, .
3.Intercambiar renglones.
Con estas operaciones se obtiene un nuevo renglón que resulta ser una
combinación lineal del primero o bien, lo que se traduciría en una nueva
ecuación equivalente.
16. Escalonamiento de una matriz.
Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones si se cumplen
las siguientes condiciones:
1.Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en
la parte inferior de la matriz.
2.En el primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en
cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1.
3.Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el
primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el
renglón de arriba.
Rango de una matriz.
Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente
independientes. Si el rango fila y la columna son iguales, éste número es
llamado simplemente rango de A.
El número de columnas independientes de una matriz A de m x n es igual a la
dimensión del espacio columna de dicha matriz A. También la dimensión del
espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual
que uno o menor o igual que el mínimo entre m y n.
17. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
Si A y B son 2 matrices de orden nxn y el producto de A ∙ B es igual a la matriz
identidad, entonces AB se le conoce como inversa de la matriz A y se representa
como:
A-1
A ∙ B = I
Formas para calcular la inversa de la matriz:
1. Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.
2. Por el método de Gauss.
3. Por determinantes y adjuntos
A I ∼ I A-1
18. Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo
la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.
Y de aquí se deduce que:
Ejemplo: Dada A = è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
2 –1
1 1 para obtener A-1
= è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
x y
z t se ha de cumplir
è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
2 –1
1 1
.
è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
x y
z t =
è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
1 0
0 1
è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
2x– z 2y– t
x + z y + t =
è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
1 0
0 1
Û
2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1
Û
x = 1/3
y = 1/3
z = –1/3
t = 2/3
Por tanto A
-1
=
è
ç
ç
æ
÷
÷
ö
1
3
1
3
– 1
3
2
3
Inversa de una matriz (directamente)
19. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
Las transformaciones elementales son las siguientes:
❖ Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
❖ Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
❖ Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una
triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa
Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In)
mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será la
inversa de A. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de
ceros, la matriz no tiene inversa.
3 2 -1
1 6 3
-2 -4 0
A =
Ejemplo
20. DETERMINANTES
La función determinante se define como la suma de todos los
productos elementales (con su signo), tomados de la matriz y se
denota como detA
Un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una
matriz cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .
21. Cálculo de determinantes de 2do y 3er Orden.
Regla de Sarrus
Para calcular determinantes de segundo y tercer grado, el método más
simple es el de multiplicación diagonal, conocido como Regla de
Sarrus.
El determinante de segundo orden es el producto de los elementos de
la diagonal principal MENOS el producto de los elementos de la
diagonal secundaria
23. Matriz de tercer orden
La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden, establece que
su determinante se calcula como:
Esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los
productos de los elementos de la diagonal principal y sus dos
paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la
diagonal secundaria y sus dos paralelas
25. 1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el
determinante es cero.
Propiedades de los Determinantes
2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz AT
26. 3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar k , el
determinante es también multiplicado por k .
4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia.
Intercambiando renglones Intercambiando columnas
27. 5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el
determinante obtenido es igual a:
28. 6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es
cero.
