1. CONCURSOS .
1. Números Inteiros - Problemas
2. Números Racionais - Problemas
3. Equação de 1º grau - Problemas
4. Sistemas de equação de 1º grau - Problemas
5. Razão e proporção - Problemas
6. Regra de três simples e composta - Problemas
7. Porcentagem - Problemas
8. Juros Simples - Problemas
9. Médias Aritmética e ponderada - Problemas
10. Equações do 2º grau - Problemas
11. Conjuntos – Problemas
1. Números Naturais
2. Múltiplos e Divisores
3. Números Inteiros
4. Números Racionais
5. Geratriz de Uma Dízima Periódica
6. Sistema Geral de Medidas
7. Equações do 1º Grau
8. Razão e Proporção
9. Proporções
10. Divisão Proporcional
11. Regra de Três
12. Porcentagem

2. CONCURSOS .
CONJUTO DOS NÚMEROS INTEIROS
(ℤ)
ℤ = {… , −2, −1, 0, +1, +2, … }
RETA NUMÉRICA
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
É o valor do número inteiro sem o seu
sinal.
Exemplo: 33  e 33 
O módulo (ou valor absoluto) também
pode ser interpretado geometricamente como a
distância do número inteiro à origem da reta
numérica.
Ex.: 33  e 33 
OBSERVAÇÃO: Números inteiros que tem o
mesmo módulo são opostos ou simétricos.
Exemplo: Os números 12 e 12 são simétricos,
pois possuem módulos iguais.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Dados dois números inteiros diferentes, na
reta numérica o menor é o que está à esquerda do
outro.
Exemplos:
712 
27 
326 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
1. ADIÇÃO
a) Adição de inteiros de mesmo sinal
Adicionam-se os módulos das parcelas e repete-
se o sinal comum a elas.
Exemplos:
    532 
    532 
b) Adição de inteiros de sinais diferentes
Conserva-se o sinal do número de maior valor
absoluto e subtrai-se os respectivos valores
absolutos.
Exemplos:
    132 
    132 
Observação: A soma de dois números opostos é
igual a zero.
2. SUBTRAÇÃO
A subtração de dois números inteiros é calculada
somando-se o primeiro número ao oposto do
segundo.
Exemplos:
        15520520 
        15520520 
        25520520 
        25520520 
4. MULTIPLICAÇÃO
a) Multiplicação de inteiros de mesmo sinal
Multiplicam-se os valores absolutos e atribui-se ao
produto obtido SEMPRE o sinal positivo.
Exemplos:
    1025 
    1025 
b) Multiplicação de inteiros de sinais de
diferentes
Multiplicam-se os valores absolutos e atribui-se ao
produto obtido SEMPRE o sinal negativo.
- 2 - 1 0 +1 +2 +3 ...- 3...
- 2 - 1 0 +1 +2 +3 ...- 3...
3 unidades 3 unidades

3. CONCURSOS .
Exemplos:
    1025 
    1025 
5.DIVISÃO
Valem as mesmas regras feitas na multiplicação,
mas é claro que agora se deve dividir.
Exemplo:
    34:12 
    34:12 
    34:12 
    34:12 
Observação: As operações de adição, subtração
e multiplicação são fechadas, em relação aos
inteiros. Já a operação de divisão não é fechada
em relação aos inteiros.
6. POTENCIAÇÃO
É um produto de fatores iguais (base), onde a
quantidade é dada por um número denominado
expoente.
𝑎 𝑛
= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟
𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑎
Onde:
 𝑎 é a base da potência.
 𝑛 é o expoente.
 𝑎 𝑛
é a potência (ou resultado da potenciação).
Exemplos:
a) 255552

b)       25555
2

c) 822223

d)         2166666
3

Consequências da definição:
i) 𝑎0
= 1,para 𝑎 ≠ 0
ii) 𝑎1
= 𝑎
DICA DO SÁBIO
a) Base negativa elevada a expoente par, o
resultado é positivo.
   
par
b) Base negativa elevada a expoente ímpar, o
resultado é negativo.
   
ímpar
Exemplo:
 22
44  pois   16414 22
 e
      16444
2
 .
Propriedades Operacionais da Potenciação
P1) Multiplicação de potência de mesma base.
𝑎 𝑚
∙ 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
Exemplos.
a) 23
∙ 27
= 23+7
= 210
b) 315
∙ 318
= 315+8
= 3113
c) 510
∙ 5−8
= 510+(−8)
= 510−8
= 52
P2) Quociente de potência de mesma base.
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛
; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
ou
𝑎 𝑚
÷ 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛
; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
Exemplos.
a) (−3)10
÷ (−3)2
= (−3)10−2
= (−3)8
b) 27
÷ 2−3
= 27−(−3)
= 27+3
= 210
c)
812
83
= 812−3
= 89
P3) Potência de potência.
Não esqueça!!!!

4. CONCURSOS .
(𝑎 𝑚) 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
Exemplos.
a) (42)3
= 42∙3
= 46
b) (25)8
= 25∙8
= 240
c) (104)7
= 104∙7
= 1028
P4) Potência de um produto.
(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑛
= 𝑎 𝑛
∙ 𝑏 𝑛
Exemplos.
a) (2 ∙ 3)5
= 25
∙ 35
b) (4 ∙ 10)8
= 48
∙ 108
c) (22
∙ 36)3
= 22∙3
∙ 36∙3
= 26
∙ 318
Potências de base 10 - Parte 1
Em uma potência de base 10, a quantidade de
zeros, após o algarismo 1, é numericamente igual
ao valor do expoente.
100
= 1
101
= 10
102
= 100
103
= 1000
⋮
10 𝑛
= 1 00 ⋯ 00⏟
𝑛 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠
ADIÇÃO ALGÉBRICA
É uma expressão numérica formada apenas por
adições e subtrações de números inteiros.
Para facilitar os cálculos destas adições, pode-se
eliminar os parentes seguindo-se algumas regras.
a) Conservar os sinais dos números que estão no
interior dos parênteses quando o sinal que
precede os parênteses for positivo.
Exemplos:
6)6( 
  55 
b) Trocar os sinais dos números que estão no
interior dos parênteses quando o sinal que
precede os parênteses for negativo.
Exemplos:
  66 
  55 
Outros exemplos:
a)     16412412 
b)     38585 
c)    125757 
d) 136715310 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Calcule.
a)    205 
b)    122 
c)    915 
d)   06 
e)    108 
f)    99 
g)    1515 
h)  200 
i)    915 
j)    812 
l)    2114 
m)    2418 
n)    5048 
o)    32106 
p)      1053 
q)        2562 
r)          39785 
s)          122742 
t) 144686 
u) 291294 
v) 1071765 
x) 12655612 
02. Resolva as expressões.
a)  625 
b)  122315 
c)    3012159 
d)    48659 
e)        5121232 
03. Determine os produtos a seguir.
a)    65 
b)    12 
c)  04 

5. CONCURSOS .
d)    65 
e)    73 
f)    234 
g)    86 
h)    29 
i)    8115 
04. Calcule os quocientes.
a)    9:9 
g)    27:108 
b)    8:8  h)    7:35 
c)  7:0  i)    36:72 
d)    12:48  j)    10:90 
e)    5:50  l)    29:29 
f)    56:112  m)    31:31 
05. (OBM - 1998) Qual dos números a seguir é o
maior?
A) 345
B) 920
C) 2714
D) 2439
E) 8112
06. (OBM - 1998) Renata digitou um número em
sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12,
dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O
número digitado foi:
A) 31
B) 7
C) 39
D) 279
E) 27
07. (OBM - 1998) Numa competição de ciclismo,
Carlinhos dá uma volta completa na pista em 30
segundos, enquanto que Paulinho leva 32
segundos para completar uma volta. Quando
Carlinhos completar a volta número 80, Paulinho
estará completando a volta número:
A) 79
B) 78
C) 76
D) 77
E) 75
08. (OBM - 1998) Num código secreto, as 10
primeiras letras do nosso alfabeto representam os
algarismos de 0 a 9, sendo que a cada letra
corresponde um único algarismo e vice-versa.
Sabe-se que d + d = f, d . d = f, c + c = d, c + d = a
e a – a = b. Podemos concluir que a + b + c + d é
igual a:
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
09.
DE OLHO NOS CONCURSOS.
(OBM - 1998) Escreva um número em cada círculo
da fila abaixo, de modo que a soma de três
números quaisquer vizinhos (consecutivos) seja
12.
3 5
No último círculo à direita deve estar escrito o
número:
A) 3
B) 2
C) 1
D) 4
E) 7
(OBM - 1998) Hoje é sábado. Que dia da semana
será daqui a 99 dias?
A) segunda-feira
B) sábado
C) domingo
D) sexta-feira
E) quinta feira
(OBM - 1998) Qual é o dígito das unidades do
número 31998?
A) 1

6. CONCURSOS .
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
(OBM - 1998) No quadrado mágico abaixo, a soma
dos números em cada linha, coluna e diagonal é
sempre a mesma. Por isso, no lugar do X devemos
colocar o número:
A) 30
B) 20
C) 35
D) 45
E) 40
TÓPICOS DE ARITMÉTICA
1. Número Primo – Um número inteiro positivo,
maior que 1, é denominado primo quando for
divisível por si e pela a unidade.
Exemplo. Lista de números primos até 100.
2 3 5 7 11
13 17 19 23 29
31 37 41 43 47
53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
2. Número Composto – Um número inteiro
positivo, maior que 1, é denominado composto
quando ele não for primo.
Exemplos. 6, 15, 20 e 1340
3. Múltiplo de um número inteiro – Denomina-se
múltiplo de um número, o produto desse número
por um número inteiro qualquer.
Exemplo: Vamos efetuar a multiplicação do
número 5 pela sequência dos números naturais.
1535
1025
515
005




Os resultados obtidos 0, 5, 10, 15, ... são os
múltiplos do número 5.
Observe que:
 O menor múltiplo de um número é sempre zero;
 Todo número inteiro multiplicado por 1 dá o
próprio número;
 Todo número natural é sempre múltiplo de si
mesmo  aa 1 ;
 Os múltiplos de um número formam um conjunto
infinito.
4. Divisor de um número inteiro – Dados dois
números inteiros 𝒂 e 𝒃, com 𝒃 ≠ 𝟎, afirma-se que
𝒃 é divisor de 𝒂 se a divisão 𝒂 ÷ 𝒃 for exata.
Exemplo. Considere a divisão a seguir:

7. CONCURSOS .
36 4
(0) 9
Esta divisão é exata. Então dizemos: 36 é divisível
por 4 ou 4 é divisor de 36.
Veja outros exemplos:
 Se 12 é divisível por 3, então 3 é divisor de 12.
 Se 15 é divisível por 5, então 5 é divisor de 15.
Observação:
 O menor divisor natural de um número é sempre
o número 1;
 O maior divisor de um número é o próprio
número;
Os divisores de um número formam um conjunto
finito.
5. Critérios de divisibilidade.
São regras básicas, utilizadas para decidir se um
número inteiro é divisível ou não por outro, sem
que seja necessário efetuar a divisão.
Divisibilidade por 2:
Todo número par é divisível por 2.
Exemplos:
 26 é divisível por 2, pois 26 é par;
 108 é divisível por 2, pois 108 é par;
 115 não é divisível por 2, pois 115 não é par.
Divisibilidade por 3:
Um número é divisível por 3 quando a soma dos
valores absolutos de seus algarismos é divisível
por 3.
Exemplos:
72 é divisível por 3, pois 7 + 2 = 9 (9 é divisível
por 3).
 138 é divisível por 3, pois 1 + 3 + 8 = 12 (12 é
divisível por 3).
125 não é divisível por 3, pois 1 + 2 + 5 = 8 (8 não
é divisível por 3).
Divisibilidade por 4:
Um número é divisível por 4 quando termina em 00
ou seus dois últimos algarismos formam um
número divisível por 4.
Exemplos:
1500 é divisível por 4, pois termina em 00;
 1624 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4;
 4130 não é divisível por 4, pois 30 não é divisível
por 4.
Divisibilidade por 5:
Um número é divisível por 5 quando o algarismo
das unidades é zero ou 5.
Exemplos:
125 é divisível por 5, pois termina em 5;
 230 é divisível por 5, pois termina em 0;
 314 não é divisível por 5, pois não termina nem
em 0 e nem em 5.
Divisibilidade por 6:
Um número é divisível por 6 quando é divisível
simultaneamente por 2 e por 3.
Exemplos:
 420 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
 642 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
 734 não é divisível por 6, pois é divisível por 2,
mas não por 3.
Divisibilidade por 7:
Há um procedimento prático, que ajuda a
determinar se um dado inteiro é divisível por 7:
 Separa-se, do número dado, o dígito das
unidades simples.
 Do número restante, à esquerda, subtrai-se o
dobro do dígito separado, anteriormente.
 Em seguida, repete-se este procedimento até a
obtenção de um número suficientemente
pequeno, que possa ser reconhecido como
divisível por 7.
Exemplo: Considere o número 5922.
1. Separa-se o dígito das unidades simples: 2
592.2
2. Do número restante à esquerda, 592, subtrai-
se o dobro de 2, que é 4.
592 – 4 = 588
3. Novamente, separa-se o dígito das unidades
simples: 8
58.8
4. Subtrai-se o dobro de 8 de 58.
58 – 16 = 42
O número 42 é divisível por 7, então 5922 também
é divisível por 7.

8. CONCURSOS .
Divisibilidade por 8:
Um número é divisível por 8 quando termina em
000 ou seus três últimos algarismos formam um
número divisível por 8.
Exemplos:
 2000 é divisível por 8, pois termina em 000;
 3184 é divisível por 8, pois 184 : 8 = 23;
 5302 não é divisível por 8, pois 302 não é
divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos
valores absolutos de seus algarismos é divisível
por 9.
Exemplos:
423 é divisível por 9, pois 4 + 2 + 3 = 9 (9 é
divisível por 9);
 756 é divisível por 9, pois 7 + 5 + 6 = 18 (18 é
divisível por 9);
 852 não é divisível por 9, pois 8 + 5 + 2 = 15 ( 15
não é divisível por 9).
Divisibilidade por 10
Todo número terminado em zero é divisível por 10.
Exemplos:
250 é divisível por 10, pois termina em zero;
3000 é divisível por 10, pois termina em zero;
 135 não é divisível por 10, pois não termina em 0
(zero).
Divisibilidade por 11:
Um número é divisível por 11 quando as somas
dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par,
começando da direita para a esquerda, forem
iguais, ou quando a diferença entre essas somas
for 11 ou múltiplo de 11.
Atenção: A regra nos fala sobre a ordem ímpar e
a ordem par, isto é, primeiro, segundo e não que o
algarismo seja um número ímpar ou par.
Exemplo:
868659, a soma dos algarismos de ordem ímpar
é 9+6+6 = 21 e a soma dos algarismos de ordem
par é 5+8+8 = 21. Como as somas são iguais, o
número é divisível por 11.
Divisibilidade por 12:
Um número é divisível por 12, quando ele for
divisível por 3 e por 4 simultaneamente.
Exemplo:
 48 é divisível por 12, pois é 3 divide 48 e 4,
também.
6. Fatoração Única.
Todo número composto – com exceção do zero –
sempre pode ser decomposto ou escrito na forma
de um produto de fatores primos. Essa forma é
denominada decomposição em fatores primos ou
fatoração completa do número.
Exemplos.
4 é composto 224  e 2 é primo
6 é composto 326  e 2 e 3 são primos
8 é composto 2228  e 2 é primo
9 é composto 339  e 3 é primo
Podemos encontrar os fatores primos de um
número por meio de um processo prático.
Exemplo (a ser resolvido em aula). Decompor 36
em fatores primos.
Observação. Quadrados perfeitos são inteiros,
cuja forma fatorada, apresenta todos os fatores
primos com expoentes pares.
Exemplos. Quadrados perfeitos até 400.
1 4 9 16 25
36 49 64 81 100
121 144 169 196 225
256 289 324 361 400
7. Quantidade de divisores de um inteiro
positivo.

9. CONCURSOS .
Para saber-se a quantidade de divisores de um
número qualquer basta seguir-se os passos a
seguir:
 Decompõe-se o número dado em fatores
primos;
 Adiciona-se uma unidade, a cada um dos
expoentes dos fatores primos;
 Multiplica-se os resultados obtidos.
Exemplos.
a) Quantos são os divisores positivos de 54?
Solução:
54 = 21
∙ 33
. Logo são (1 + 1)(1 + 3) = 8
divisores positivos.
b) Calcular a quantidade de divisores positivos de
900:
Solução:
900 = 22
∙ 32
∙ 52
.Logo há
(1 + 2)(1 + 2)(1 + 2) = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27
divisores inteiros.
8. Máximo Divisor Comum (M.D.C.)
Dados dois ou mais números inteiros, denomina-
se máximo divisor comum desses números o maior
inteiro que é divisor ao mesmo tempo dos números
considerados.
Há dois processos para se determinar o M.D.C. de
dois ou mais números, que são:
a) Processo das divisões sucessivas
(ou Algoritmo de Euclides).
Consiste em dividir o número maior pelo menor, no
caso de dois números, depois o segundo maior
pelo restante e assim sucessivamente, até
encontrar o valor que torne o resto nulo. Neste
caso, o menor número encontrado será o MDC.
Exemplo (a ser resolvido em aula): Determinar o
M.D.C. entre 125 e 75.
Solução:
Quociente
125 75
Resto
Então, o 𝑚. 𝑑. 𝑐(75,125) = ________.
b) Cálculo do M.D.C. por decomposição em
fatores primos.
Este processo consiste de duas etapas:
Decompor os números em seus fatores primos;
Calcular o produto dos fatores primos comuns,
cada um elevado ao menor de seus expoentes.
Exemplo 1 (a ser resolvido em aula): Determinar
o M.D.C. entre 30 e 42.
Exemplo 2: Determinar o M.D.C. entre 14 e 27.
Solução:
14 = 2 ∙ 7
27 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33
Note que 14 e 27 não possuem fatores primos
comuns. Admite apenas 1 como fator comum.
Logo, o 𝑚𝑑𝑐 (14, 27) = 1. Dizemos também
que 14 e 27 são números primos entre si.
Dois ou mais números, diferentes de zero, são
denominados primos entre si quando o MDC
entre eles é igual a 1.
Algumas propriedades do MDC
a) O m.d.c. de dois números primos é a unidade.
Exemplos.
(3,5) 1mdc   2,7 1mdc 
b) O m.d.c. de dois números, onde o maior é
múltiplo do menor, é o menor desses números.
Exemplo.
(150,50) 50mdc  (4,2) 2mdc 
c) Dados dois números diferentes de zero, o
produto deles é igual ao produto do MMC pelo
MDC desses mesmos números.
   ba,M.M.C.ba,M.D.C.ba 

10. CONCURSOS .
9. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)
Dados dois ou mais números inteiros, denomina-
se mínimo múltiplo comum desses números o
menor número (diferente de zero) que é múltiplo
ao mesmo tempo dos números considerados.
Há dois processos para se determinar o M.M.C. de
dois ou mais números, que são:
a) Cálculo do M.M.C. por decomposição em
fatores primos (separadamente).
Este processo consiste em obter o MMC entre
vários números, pela decomposição em fatores
primos. Para isto pode-se seguir as etapas
seguintes:
Decompor os números em seus fatores primos;
Calcular o produto de todos os fatores primos,
cada um deles elevado ao maior de seus
expoentes.
Exemplo (a ser resolvido em aula). Determinar o
M.M.C. entre 4 e 15.
b) Cálculo do M.M.C. por decomposição
simultânea em fatores primos.
Consiste em decompor simultaneamente os
números dados em fatores primos.
Exemplo 1 (a ser resolvido em aula): Determinar
o M.M.C. entre 30, 42 e 60.
Exemplo 2 (a ser resolvido em aula): Determine o
m.m.c. dos números:
a) m.m.c. (3, 4, 6)
b) m.m.c. (2, 4, 8)
c) m.m.c. (3, 6, 9)
d) m.m.c. (4, 8, 10)
e) m.m.c. (6, 12, 15)
f) m.m.c. (12, 16, 24)
g) m.m.c. (12, 15, 21)
h) m.m.c. (20, 25, 40)
i) m.m.c. (6, 12, 18, 30)
j) m.m.c. (35, 50, 70, 100)
l) m.m.c. (20, 80, 110, 240)
Algumas propriedades do M.M.C.
a) O m.m.c. de dois números primos entre si é o
produto desses números.
Exemplos.
(4,7) 28mmc  (5,8) 40mmc 
b) O m.m.c. de dois números em que o número
maior é divisível pelo menor, é o maior desses
números.
Exemplos.
(4,16) 16mmc  (2,10) 10mmc 
c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais
números inteiros por um outro inteiro, diferente de
zero, o m.m.c. desses dois números ficará
multiplicado ou dividido por esse outro número.
Exemplo.
O m.m.c.(12, 18) = 36, multiplicando-se 12 e 18
por 2, temos, respectivamente: 24 e 36, e o
m.m.c.(24,36) = 72.
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO.
01. Não é correto afirmar que:
a) 2 é o único par primo.
b) O conjunto dos números primos é infinito.
c) O número 1 é primo.
d) O número 7 é primo.
e) 232
 é primo.
02. Julgue as sentenças a seguir, marcando V para
as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Qualquer número é divisor de si mesmo.

11. CONCURSOS .
( ) Qualquer número é múltiplo de si mesmo.
( ) Todo número primo é ímpar.
( ) O número zero não é divisor de nenhum
número natural.
( ) Qualquer número diferente de zero tem infinitos
divisores.
( ) O maior divisor de um número natural é o
próprio número.
03. Decomponha os números, a seguir, em fatores
primos:
a) 76 e)152 i) 120
b) 95 f) 900 j) 254
c) 64 g) 130 l) 32
d) 81 h) 420 m) 72
04. Determine quantos são os divisores naturais
de:
a) 152 d) 81 g) 130
b) 95 e)76 h) 420
c) 64 f) 900 i) 32
05. Calcule o número de divisores de k, sendo
2 3 2
24 15 9 .k   
06. Determinar o algarismo x de modo que:
a) 135x seja divisível por 2.
b) 26x seja divisível por 3.
c) 513x seja divisível por 4.
d) 2894x seja divisível por 5.
e) 427x seja divisível por 5.
f) 680x seja divisível por 9.
g) 2344x seja divisível por 2 e 5.
h) 2435x seja divisível por 5 e 10.
i) 1155x seja divisível por 2 e 3.
j) 648x seja divisível por 3 e 4.
07. Determine o menor algarismo X de modo que
o número 6X23X seja divisível por 6.
08. Determine os menores valores X e Y de modo
que o inteiro 231XY seja divisível por 5 e 9 ao
mesmo tempo.
09. Determine o algarismo Y de modo que o inteiro
7Y6 seja divisível por 3 e 4, simultaneamente.
10. Um número é formado por 3 algarismos. O
algarismo das unidades é 2 e o das centenas é 5.
Determine os possíveis valores do algarismo das
dezenas para que esse número seja divisível por
3.
11. Se hoje é segunda-feira, daqui a 198 dias será
qual dia da semana?
12. Uma pessoa tocou a campainha da casa 36 da
rua das Abóboras. Dona Bia, uma vizinha que
gostava das coisas bem explicadinhas, estava na
janela de sua casa e disse: Eles mudaram para
esta mesma rua. O número de sua casa é maior
que 220 e menor que 300, termina em 6 e é
divisível por 2, 3, 4 e 6. Qual o número da casa que
a pessoa deve procurar?
13. Determinar o M.M.C. de 15, 16, 48 e 150.
14. Determinar o M.M.C. de 144 e 90.
15. No alto de dois edifícios existem duas
lâmpadas vermelhas A e B. A lâmpada A pisca 15
vezes por minuto e a lâmpada B pisca 10 vezes
por minuto. Calcule de quantos e quantos minutos
elas piscaram simultaneamente.
16. Dois carros dão voltas em uma pista de
corridas. Um deles dá uma volta completa a cada
3 minutos e o outro faz o mesmo a cada 4 minutos.
Se partirem ao mesmo tempo, depois de quantos
minutos passarão juntos novamente pelo ponto de
partida?
17. De um aeroporto partem, simultaneamente, Às
8 horas três aviões. O primeiro faz uma viagem de
2 em 2 horas; o segundo, de 3 em 3 horas e o
terceiro de 4 em 4 horas. Calcule a que horas os
três aviões partirão juntos novamente.
18. Numa casa existem três goteiras. A primeira
pinga 12 vezes por minuto, a segunda pinga 20
vezes por minuto e a terceira 15 vezes por minuto.
Calcule de quantos em quantos segundos as três
goteiras pingarão simultaneamente.
19. Três navios partem, de um porto, para o
mesmo destino; o primeiro, a cada 8 dias; o
segundo, a cada 10 dias e o terceiro a cada 5 dias.
Calcule quantos dias transcorrem para que partam
juntos novamente.
20. Numa competição, partem juntos dois ciclistas.
O primeiro leva 20 segundos para dar uma volta
completa na pista e o segundo, 18. Eles estarão
juntos novamente na largada depois de quantos
minutos?
21. Calcule o M.D.C. dos seguintes números:
a) 120 e 84 c) 240, 180 e 72
b) 36 e 12 d) 220, 510, 685
22. Em uma mercearia o proprietário deseja
estocar 84 garrafas de água, 56 de suco e 42 de

12. CONCURSOS .
mel em caixas com o maior número possível de
garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte
garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas
por caixa?
23. Sempre que determinada pessoa anda 650
centímetros, 800 centímetros e 1000 centímetros,
ela dá um número exato de passos. Qual é o maior
comprimento possível de cada passo dado por
essa pessoa?
24. Pretende-se dividir 3 rolos de arame de 630,
300 e 200 metros de comprimento, em pedaços
iguais e de maior tamanho possível. Calcule o
comprimento de cada pedaço.
25. Nas quatro séries de um ginásio há,
respectivamente, 60, 48, 36 e 24 alunos. Em
quantas equipes poderemos agrupar esses
alunos, sem misturar as séries, de modo que cada
equipe tenha o mesmo e o maior número possível
de alunos?
26. Desejo dividir peças de fazenda que medem,
respectivamente, 144, 108 e 90 metros, em partes
iguais e de maior tamanho possível. Calcule o
comprimento de cada parte e o número de partes
de cada peça.
27. O M.M.C. de dois números é 11352 e o M.D.C.
é 6. Se um dos números é 264, calcule o outro
número.
28. Calcular o M.M.C. de 9 e 12, sabendo que o
seu M.D.C. é 3.
29. O produto de dois números é 5760 e o MDC é
8. Calcular o MMC desses dois números.
30. O MMC de dois números é 360 e o MDC é 30.
Calcule o produto desses dois números.
31. Sabendo que o MDC (x, 20) = 5 e que o
MMC (x, 20) = 60, determine x.
32. Dois depósitos, tem respectivamente, 1350 e
4356 litros de capacidade. Para encher cada um
desses depósitos usou-se uma mesma vasilha, um
número exato de vezes. Qual a maior capacidade
que pode ter a vasilha?
33. Duas pessoas, fazendo exercícios diários,
partem simultaneamente de um mesmo ponto e,
andado, contornam uma pista oval que circunda
um jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta
completa em 12 minutos. A outra, andando mais
devagar, leva 20 minutos para completar a volta.
Depois de quantos minutos essas duas pessoas
voltarão a se encontrar no mesmo ponto de
partida?
34. Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro
relógio B bate a cada 25 minutos, e um terceiro
relógio C a cada 40 minutos. Qual é, em horas, o
menor intervalo de tempo decorrido entre duas
batidas simultâneas dos três relógios?
35. Três luminosos acendem em intervalos
regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o
segundo a cada 24 segundos e o terceiro a cada
30 segundos. Se, em um dado instante, os três
acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos
segundos os luminosos voltarão a acender
simultaneamente?
36. A estação rodoviária de uma cidade é o ponto
de partida das viagens intermunicipais. De uma
plataforma da estação, a cada 15 minutos partem
um ônibus da viação Sol, com destino a cidade
Paraíso. Os ônibus da viação Lua partem da
plataforma vizinha a cada 18 minutos, com destino
a cidade Porta do Céu. Se, às 8 horas os dois
ônibus partirem simultaneamente, a que horas os
dois ônibus partirão juntos novamente?
37. De um aeroporto partem, todos os dias, três
aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro
avião faz a rota em 9 dias, o segundo em 12 dias
e o terceiro, em 18 dias. Se, certo dia, os três
aviões partirem simultaneamente, depois de
quantos dias esses aviões esses aviões partirão
novamente no mesmo dia?
38. Numa classe há 28 meninos e 21 meninas. A
professora quer formar grupos só de meninos ou
só de meninas, com a mesma quantidade de
alunos e usando ao maior quando possível.
Quantos grupos de meninas pedem ser formados?
39. Em um certo país as eleições para presidente
ocorrem de 5 em 5 anos e para senador de 3 em 3
anos. Em 2014 essas eleições coincidiram.
Quando essas eleições voltarão coincidirem a
novamente?
40. Em uma turma do 6º ano do ensino
fundamental, com mais de 30 alunos, foi
distribuído um total de 126 borrachas, 168 lápis,
210 livros e 252 cadernos. Essa distribuição foi
feita de modo que cada aluno recebesse o mesmo
número de borrachas, de lápis, de livros e de
caderno, e esta quantidade fosse a maior possível.

13. CONCURSOS .
Nesse caso, qual é o número de alunos dessa
turma?
41. Três funcionários, de uma empresa
multinacional, sairão a serviço no mesmo dia.
Sabe-se que o primeiro faz viagens de 12 em 12
dias; o segundo faz viagens de 20 em 20 dias; o
terceiro faz viagens de 25 em 25 dias. Depois de
quantos dias sairão juntos novamente?
42. Uma editora recebeu pedidos de três livrarias,
como mostra o quadro abaixo.
Como a editora deseja remeter os três pedidos
com a mesma quantidade de livros e com o maior
número de livros possível por pacote, quantos
pacotes serão ao todo?
43. O Sr. Antônio tem uma banca de frutas na feira.
Nela há um saco com 180 laranjas e outro com 270
laranjas. Ele quer dividir as quantidades de
laranjas, em sacolas, com quantidades iguais da
fruta. Qual deve ser o maior número possível de
laranjas em cada sacola?
44. Regina possui 3 pedaços de fita, com os
tamanhos, respectivamente, 120 cm, 186 cm e 240
cm; que serão utilizados na confecção de alguns
enfeites. Ela pretende cortá-los em pedaços do
maior tamanho possível, de forma que não haja
sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo
tamanho. Qual será o tamanho de cada pedaço de
fita após o corte; e quantos pedaços de fita serão
obtidos ao todo?
TESTES DE CONCURSOS
01. (COVEST) Indique o número de inteiros
divisíveis simultaneamente por 7 e por 11,
entre 1 e 7000.
A) 70 D) 90
B) 96 E) 87
C) 85
02. (COVEST) Qual das afirmativas abaixo não é
verdadeira, a respeito do número natural:
12345678
1213141516171819


?
A) é par.
B) é múltiplo inteiro de 3.
C) é múltiplo inteiro de 7.
D) é múltiplo inteiro de 13.
E) é múltiplo inteiro de 19.
03. (COVEST) Qual o dígito das unidades do
produto 01x103x3x5x...x11 , cujos fatores são
os números naturais ímpares, de 1 até 103?
A) 1 D) 7
B) 5 E) 9
C) 3
04. (COVEST) Se hoje é domingo, qual será o dia
da semana, passados 100 dias a partir de
hoje?
A) segunda-feira D) quinta-feira
B) terça-feira E) sexta-feira
C) quarta-feira
05. (COVEST) O produto das idades de três
amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos)
corresponde a 4080 anos. Qual a soma de
suas idades em anos?
A) 48 D) 51
B) 49 E) 52
C) 50
06. (IFPE) Ao dar entrada em sua licença
maternidade, numa quarta-feira, Lourdes toma
conhecimento de que deve se afastar do trabalho
por 180 dias (não contando com o dia da
solicitação). Lourdes pretende deixar para o último
dia da licença uma consulta com o pediatra de seu
filho. Em qual dia da semana isso ocorrerá?
A) Segunda-feira D) Quinta-feira
B) Terça-feira E) Sexta-feira
C) Quarta-feira
07. (IFPE) Indo para Boa Viagem, vê-se um
“relógio” que marca quantos dias faltam para
a Copa do Mundo de 2014. Se o “relógio”
estiver marcando 900 dias, quantas semanas
completas faltarão para o início da Copa de
2014?
A) 125 D) 128
B) 126 E) 129

14. CONCURSOS .
C) 127
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
QUESTÕES DE VESTIBULARES
01. Três estudantes estão almoçando juntos num
restaurante. O primeiro almoça nesse
restaurante a cada 10 dias, o segundo a cada
15 dias e o terceiro a cada 6 dias. Depois de
quantos dias dar-se-á novamente esse
encontro?
A) 30 B) 40 C) 20 D) 10 E) 15
02. (EPCAR MG) Um relógio bate a cada 15
minutos, outro relógio a cada 25 minutos e um
terceiro a cada 40 minutos. O menor intervalo
de tempo decorrido entre duas batidas
simultâneas dos três relógios é:
A) 1 hora D) 30 horas
B) 10 horas E) 40 horas
C) 20 horas
03. (COVEST) Um ônibus chega a um terminal a
cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao
terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7
dias. Numa ocasião, os três ônibus chegaram
ao terminal no mesmo dia. A próxima vez que
chegarão juntos novamente, ao terminal,
ocorrerá depois de:
A) 60 dias C) 35 dias E) 124 dias
B) 84 dias D) 168 dias
04. (ESSA MG) Três rolos de fio medem,
respectivamente, 24m, 84m e 90m. Eles foram
cortados em pedaços iguais e de maior
tamanho possível. Então, o comprimento de
cada pedaço é:
A) 8m B) 3m C) 6m D) 2m E) 4m
05. (CESESP PE) Sabendo que a soma de dois
números inteiros e positivos é igual a 1012 e o
MDC e o MMC destes dois números são,
respectivamente, 4 e 7840, tem-se que estes
dois números são:
A) 200 e 812 C) 72 e 940 E) 8 e 1004
B) 32 e 980 D) 196 e 816
06. (EEAR CFS SP) Sendo
3 2
2 3 5,A   
4 3
2 3B   e
5 4
2 3 ,C   então o quociente
da divisão do mmc pelo mdc dos números A,
B e C é:
A) 36 B) 90 C) 180 D) 450 E)
500
07. (EPCAR MG) Seja o número 488 9 ,m a b
onde “b” é o algarismo das unidades e “a” o
algarismo das centenas. Sabendo-se que m é
divisível por 45, então a b é igual a:
A) 1 B) 9 C) 7 D) 16 E) 25
08. (ESSA MG) Sabendo que
2
2 .3 .5,x
A 
2 2
2 .3.5x
B  e que o MMC de A e B tem 45
divisores naturais, o valor de x será:
A) 1 D) 5
B) 2 E) 8
C) 3
09. (CDF 2005) As medidas tomadas sobre as
divisas de um campo de formato triangular
são: 504m, 392m e 378m. O proprietário
deseja plantar coqueiros nas divisas do
campo de tal modo que as distâncias entre
eles, tomadas sobre as divisas, sejam iguais e
maiores possíveis. Calcule quantos coqueiros
são necessários ao plantio, se há um coqueiro
em cada canto do campo.
A) 91 B) 95 C) 94 D) 93 E) 92
10. (CDF 2005) Dona Bia tem um enfeite “pisca-
pisca” para árvores de Natal que tem
lâmpadas amarelas, vermelhas e azuis. As
lâmpadas amarelas acendem de 4 em 4
minutos; as vermelhas, de 3 em 3 minutos e
as azuis de 6 em 6 minutos. Se às 20 horas e
15 minutos acenderem todas as lâmpadas, a
que horas elas voltarão a acender novamente
ao mesmo tempo?
A) 20h e 27min D) 21h e 20min
B) 20h e 17min E) 21h
C) Nunca acenderão juntas
11. (CDF 2005) Numa competição, dois nadadores
partem juntos e prosseguem atravessando a
piscina de uma margem à outra, repetidas
vezes. O primeiro leva 26s para ir de um lado
a outro, e o segundo gasta 24s, para fazer o
mesmo percurso. Quanto tempo decorrerá,
até que eles cheguem simultaneamente, a
mesma margem de onde partiram?
A) 12min 30s D) 8min 12s
B) 14min E) 11min 10s
C) 10min 24s
12. (CDF 2007) Dois carros partem juntos, a fim de
dar voltas em torno de uma pista de corrida. O
carro mais rápido demora 3 minutos para
completar uma volta e o outro carro demora 5

15. CONCURSOS .
minutos. Após quanto tempo os carros irão se
encontrar novamente?
A) 35 D) 20
B) 30 E) 15
C) 25
13. Três tubos de plásticos medem
respectivamente 15m, 18m e 24m. Queremos
dividi-los em partes iguais e de maior tamanho
possível. Quantas partes serão obtidas?
A) 21 B) 25 C) 26 D) 19 E) 17
14. O produto de dois números inteiros positivos é
1728 e o MMC entre os dois é 144. Assim, o
MDC entre os dois é:
A) 21 B) 30 C) 12 D) 8 E) 14
15. (CEFET – PI) Dona Luiza recebe
periodicamente a visita de seus três filhos:
João a visita a cada 15 dias; Maria a visita a
cada 20 dias; e Antônio, a cada 24 dias. Como
hoje é dia de seu aniversário, os três foram vê-
la. Daqui a quantos dias os três se
encontrarão novamente com dona Luiza?
A) 70 dias D) 130 dias
B) 90 dias E) 140 dias
C) 120 dias
16. (COVEST) João atualiza o antivírus do seu
computador a cada 22 dias e Maria atualiza o
antivírus a cada 25 dias. Em certa segunda-
feira, os dois atualizaram o antivírus no
mesmo dia. Na próxima vez em que os dois
atualizarem o antivírus no mesmo dia, qual
será o dia da semana?
A) Segunda-feira D) Quinta-feira
B) Terça-feira E) Sexta-feira
C) Quarta-feira
17. (COVEST) Indique a afirmativa falsa.
Um número natural é divisível por:
A) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
B) 3 se a soma dos seus dígitos é divisível por 3.
C) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por 5.
D) 6 se é divisível por 2 e 3.
E) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9.
18. (FUVEST) O número de divisores naturais do
número 40 é:
A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 20
19. (CEFET-MG) Para que o número 2
2 14x
n  
tenha 15 divisores, o valor de x deverá ser
igual a:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
20. (FATEC) Um certo planeta possui dois satélites
naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em
torno do sol e os satélites em torno do planeta,
de forma que os alinhamentos:
Sol - planeta - Lua A ocorre a cada 18 anos e
Sol - planeta - Lua B ocorre a cada 48 anos.
Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta -
Lua A - Lua B, então o fenômeno se repetirá
daqui a:
A) 48 anos D) 144 anos
B) 66 anos E) 860 anos
C) 96 anos
21. (PSAEAM) Sabendo que o número 3045X8 é
divisível por 3, a soma de todos os valores que
X pode assumir é:
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
(OBM – 1997) O número N tem três algarismos. O
produto dos algarismos de N é 126 e a soma dos
dois últimos algarismos de N é 11. O algarismo das
centenas de N é:
A) 2
B) 3
C) 6
D) 7
E) 9

16. CONCURSOS .
CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS (ℚ)
Este conjunto possui todos os números que podem
ser representados sob a forma
𝒂
𝒃
, em que 𝒂 e 𝒃
são números inteiros, com 𝒃 ≠ 𝟎.
ℚ = {
𝑎
𝑏
| 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}
Exemplos:
2
1
75,0
10
3
34,1
Os números racionais podem ser fracionários ou
decimais.
1. RACIONAL FRACIONÁRIO.
Toda fração representa uma parte de um valor
inteiro. Ela pode ser representada sob a forma
𝑎
𝑏
;
onde 𝒂 é denominado numerador e 𝒃
denominador.
Na fração
3
8
temos os seguintes elementos:
O numerador indica quantas partes foram tomadas
do inteiro. Enquanto, que o denominador indica em
quantas partes o inteiro foi dividido igualmente. O
traço horizontal chama-se traço de fração.
Para se lê uma fração, devem ser considerados
três casos.
a) O denominador é menor que 10.
Lê-se o numerador seguido do denominador na
forma ordinal.
FRAÇÃO LEITURA
2
1
Um meio
3
2
Dois terços
9
7
Sete nonos
b) O denominador é maior que 10.
Lê-se o numerador seguido do denominador, ao
qual se acrescenta o vocábulo avos:
FRAÇÃO LEITURA
11
3
Três onze avos
27
7 Sete vinte e sete
avos
43
8 Oito quarenta e
três avos
c) O denominador é uma potência de base 10.
Lê-se o numerador seguido do denominador na
forma ordinal.
FRAÇÃO LEITURA
10
3
Três décimos
100
21 Vinte e um
centésimos
1000
5
Cinco milésimos
000.10
2 Dois décimos de
milésimos
Tipos de frações.
As frações são classificadas de acordo com o valor
do numerador e denominador.
a) Fração Própria.
É toda fração em que o numerador é menor que o
denominador. A fração é menor que 1.
Exemplos.
6
5
e
5
3
3
8
numerador
denominador

17. CONCURSOS .
4
3
8
6
b) Fração imprópria.
É toda fração em que o numerador é maior ou igual
ao denominador. A fração é igual ou maior que 1.
Exemplos.
3
5
e
10
10
c) Fração aparente.
É toda fração em que o numerador é múltiplo do
denominador. A fração é igual a um número inteiro
de unidades.
Exemplo.
3
6
= 2 inteiros
OBSERVAÇÃO:
Qualquer número inteiro poderá ser expresso por
um número racional fracionário, onde o
denominador é a unidade.
Exemplos:
1
7
7 
1
51
51 
d) Frações equivalentes.
São frações diferentes que representam a mesma
parte do inteiro.
Observe:
Verifica-se, pelas figuras, que a fração
4
3
equivale
à fração .
8
6
4
3
é equivalente a
8
6
24
23



8
6
é equivalente a
4
3
28
26



Podemos escrever:
4
3
8
6

Assim,
Para obter frações equivalentes a uma outra,
basta multiplicar ou dividir tanto o numerador
como o denominador por um mesmo número
inteiro diferente de zero.
e) Frações decimais.
É toda fração que apresenta uma potência de
base 10 no denominador.
Exemplos.
10
2
;
100
1
;
1000
8
Número Misto
É formado por uma parte inteira e por outra
fracionária.
Exemplos.
6
1
2 (lê-se: dois inteiros e um sexto)
3
2
5 (lê-se: cinco inteiros e dois terços)
2
1
7 (lê-se: sete inteiros e um meio)
Simplificação de frações.
Simplificar uma fração significa obter uma fração
equivalente a ela, com numerador e o
denominador menores.
Para simplificar uma fração, divide-se o numerador
e o denominador por um mesmo número natural
maior que 1 (um).
Se o numerador e o denominador não têm
divisores comuns, a fração não pode ser
simplificada e recebe o nome de fração irredutível
(ou forma simplificada).
Exemplos:
6
5
212
210
12
10




6
5
12
10

2
1
510
55
10
5




2
1
10
5


18. CONCURSOS .
OBSERVAÇÃO:
Pode-se também simplificar uma fração utilizando
o máximo divisor comum (M.D.C.) entre o
numerador e o denominador. Este valor
simplificará a fração dada, de uma única vez.
Comparação de frações.
Para que duas, ou mais, frações sejam
comparadas é necessário que seus
denominadores tenham o mesmo valor. E caso
isso ocorra, a que possuir maior valor no
numerador será a maior.
Exemplo.
5
8
>
3
8
Caso as frações a serem comparadas não
possuam o mesmo denominador, é necessário
obter a fração equivalente a cada uma.
Exemplo.
5
8
?
3
4
Obter as frações equivalentes.
5
8
=
5
8
3
4
=
6
8
Comparar:
5
8
<
6
8
⟺
5
8
<
3
4
Então
5
8
<
3
4
2. RACIONAL DECIMAL.
É o racional caracterizado pela presença de uma
vírgula.
Exemplos.
45,0 145,3 012,2
Partes de um número decimal.
Todo número decimal possui duas partes: inteira
(á esquerda da vírgula); e a decimal (à direita da
vírgula).
Exemplo.
21⏟
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎
, 743⏟
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
Observação. Os algarismos que compõem a parte
decimal são denominados casas decimais.
Propriedades dos números decimais.
P1) Um número decimal não se altera quando se
acrescenta ou retira-se um ou mais zeros à direita
de sua parte decimal.
Exemplo.
5,2 = 5,20 = 5,200 = 5,2000 = ⋯
P2) Para se obter o produto de um número decimal
por uma potência de base 10, desloca-se a vírgula
para a direita, tantas vezes, quantos forem os
zeros da potência de base 10.
Exemplos.
34,289 × 10 = 342,89
34,289 × 100 = 3428,9
34,289 × 1000 = 34289
34,289 × 10000 = 342890
P3) Para se obter o quociente de um número
decimal por uma potência de base 10, desloca-se
a vírgula para a esquerda, tantas vezes, quantos
forem os zeros da potência de base 10.
Exemplos.
3428,9 ÷ 10 = 342,89
3428,9 ÷ 100 = 34,289
3428,9 ÷ 1000 = 3,4289
3428,9 ÷ 10000 = 0,34289
Comparação de números decimais.

19. CONCURSOS .
Para comparar-se dois números decimais precisa-
se considerar dois casos.
a) Os números possuem as partes inteiras
diferentes.
O maior número é o que tem a maior parte inteira.
Exemplos.
 7,215,3  , pois 23  .
 7843,904,12  , pois 912  .
b) As partes inteiras são iguais.
Igualam-se as casas decimais acrescentando
zeros. O maior é aquele que tem a maior parte
decimal.
Exemplos.
 57,46,4  , pois 60,46,4  e 5760  .
 012,8612,86  , pois 120,8612,86  e
12120  .
Transformações entre racionais
a) FRAÇÃO IMPRÓPRIA EM NÚMERO MISTO.
Para transformar uma fração imprópria em número
misto, dividimos o numerador pelo denominador.
Exemplo.
Quociente ⟶ Parte inteira
Resto ⟶ Numerador da nova fração.
Divisor ⟶ Denominador da nova
fração (permanece o
mesmo)
3
2
1
3
5

b) NÚMERO MISTO EM FRAÇÃO IMPRÓPRIA.
Para transformar um número misto em fração
imprópria, multiplicamos o inteiro pelo
denominador e somamos o produto com o
numerador; o denominador permanece o mesmo.
Exemplo.
5
17
5
253
5
2
3 


 numerador: 17253 
 denominador: permanece o mesmo
c) FRAÇÃO EM NÚMERO DECIMAL.
Para transformarmos uma fração qualquer em um
número decimal basta dividir o numerador pelo
denominador.
Exemplos.
7,0
10
7

...333,2
3
7

875,1
8
15

TIPOS DE DECIMAL
a) Decimal exato – numeral que possui um
número finito de algarismos na parte decimal.
Exemplos:
7,0 e 875,1
b) Dízima periódica – numeral formado por
infinitos algarismos que se repetem
periodicamente na parte decimal.
Exemplos:
...333,2 e ...0909,5
d) NÚMERO DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO
Nesse caso o substituiremos por uma fração
equivalente conforme os exemplos abaixo.
Exemplos:
10000
2
0002,0 
1000
325
325,0 
5 3
12
1
3
2
numerador
denominador

20. CONCURSOS .
DÍZIMA PERIÓDICA
a) Dízima periódica simples – é aquela que após
a vírgula apresenta apenas o período.
Exemplos:
1,0...11111,0 
25,0...2525,0 
638,5...638638638,5 
b) Dízima periódica composta - é aquela que
após a vírgula apresenta um numeral não
periódico, seguido de um período.
Exemplos:
23,1...322,1 
5412,3...12545454,3 
10,62...011111,62 
e) DÍZIMA PERIÓDICA EM FRAÇÃO GERATRIZ
I) Dízima periódica simples – a geratriz será uma
fração cujo numerador é o período, e o
denominador será tantos 9 quanto for o número de
algarismos do período. Devemos sempre
conservar o inteiro.
Exemplo 1:
9
3
...33333,0 
Período: 3 (no numerador, o algarismo três)
Quantidade de algarismo do período: 1 (no
denominador, um nove)
Exemplo 2:
99
26
...262626,0 
Período: 26 (no numerador, o número 26)
Quantidade de algarismo do período: 2 (no
denominador, dois noves)
Exemplo 3:
999
563
1...563563,1 
Período: 563 (no numerador, o número 563)
Quantidade de algarismo do período: 3 (no
denominador, três noves)
Observação: Sempre conservando o inteiro.
II) Dízima periódica composta - sua geratriz será
uma fração cujo numerador é igual à parte não
periódica, seguida do período, menos a parte não
periódica. O denominador são tantos noves
quantos forem os algarismos do período, seguidos
por tantos zeros quantos forem os algarismos da
parte não periódica.
Exemplo 1:
90
24
90
226
...2666,0 


Período: 6
Quantidade de algarismo do período: 1 (no
denominador, um nove)
Quantidade de algarismo da parte não
periódica: 1 (no denominador, um zero)
Exemplo 2:
990
353
1
990
3356
1...3565656,1 


Período: 56
Quantidade de algarismo do período: 2
Quantidade de algarismo da parte não
periódica: 1
Exemplo 3:
900
101
12
900
11112
12...11222,12 


Período: 2
Quantidade de algarismo do período: 1
Quantidade de algarismo da parte não
periódica: 2
Operações com frações.
1. Adição
a) Frações com denominadores iguais.
Para se somar frações com denominadores iguais,
somam-se os numeradores e conserva-se o
denominador comum.
Exemplo.
9
7
9
25
9
2
9
5



b) Frações com denominadores diferentes.

21. CONCURSOS .
Para se somar frações com denominadores
diferentes, reduzimos as frações ao mesmo
denominador.
Dividimos o menor múltiplo comum dos
denominadores das duas frações pelo
denominador de cada uma delas. Multiplicamos os
quocientes obtidos pelos respectivos
numeradores.
Exemplo.
1
2
+
1
3
=
3
6
+
2
6
=
3 + 2
6
=
5
6
2. Subtração
a) Frações com denominadores iguais.
Para se subtrair frações com denominadores
iguais, subtraem-se os numeradores e conserva-
se o denominador comum.
Exemplo.
8
3
8
25
8
2
8
5



b) Frações com denominadores diferentes.
Para se subtrair frações com denominadores
diferentes, reduzimos as frações ao mesmo
denominador.
Exemplo.
8
5
−
2
3
=
24
15
−
10
15
=
24 − 10
15
=
14
15
3.Multiplicação
a) Multiplicação de um inteiro por uma fração.
Para se multiplicar um inteiro por uma fração,
multiplica-se o inteiro pelo numerador e conserva-
se o mesmo denominador.
Exemplo.
8
15
8
35
8
3
5 


b) Multiplicação de uma fração por outra.
Para se multiplicar fração por fração, multiplicam-
se os numeradores e os denominadores entre si.
Exemplos.
a)
8
1
4
1
2
1
 b)
35
12
7
3
5
4

4. Divisão
Fração inversa
Dois números são inversos quando o produto
deles é igual a 1.
Exemplo:
1
40
40
5
8
8
5
 . Então,
8
5
é o inverso de
5
8
,
pois o seu produto é igual a 1 (um).
Para dividir uma fração por qualquer outra fração,
basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da
segunda.
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Exemplos.
a)  
6
1
3
1
2
1
1
3
2
1
3
2
1





b) 20
1
20
1
5
1
4
5
1
1
4
5
1
4 
c)
18
12
2
3
9
4
3
2
9
4













5. Potenciação
É válida a mesma definição e observações feitas
nos inteiros.
Exemplos.
8
27
2
3
2
3
2
3
2
3
3

























49
16
7
4
7
4
7
4
2


















De modo geral:
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0
“Eleva-se o numerador e o denominador a essa
potência”.
Observação.
Potência do expoente negativo:

22. CONCURSOS .
𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
; 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
“Eleva-se ao expoente positivo o inverso da
fração”.
Exemplo.
(
2
3
)
−2
= (
3
2
)
2
=
32
22
=
9
4
Operações com números decimais
1. Adição E Subtração
Na adição e subtração de números decimais,
deve-se escrevê-lo um sobre o outro, de tal modo
que as vírgulas se posicionem numa mesma
coluna, após as quais igualam-se as casas
decimais, completando-as com zeros.
Exemplos (a serem resolvidos em aula):
76,21,32a)  76,21,32b) 
2. Multiplicação
Para multiplicar um número decimal por outro
número decimal, deve-se:
 Multiplicar os números como se fossem números
naturais.
 Colocar a vírgula no resultado, de modo que a
quantidade de casas decimais seja igual à soma
do número de casas decimais dos fatores.
Exemplo (a ser resolvido em aula):
6,535,2 
3. Divisão
A divisão se faz reduzindo-se tanto o dividendo
como o divisor a numerais contendo o mesmo
número de casas decimais; a seguir “cortam-se” as
vírgulas, após o que efetua-se a operação como se
eles fossem números naturais.
Exemplos.
12,06,333a)  46,333b) 
Radiciação de números racionais
Sejam 𝑎 ∈ ℚ e 𝑛 ∈ ℤ com 𝑛 ≥ 2. Deste modo,
𝒃 ∈ ℚ é a raiz enésima de 𝒂 se e somente se, 𝒃 𝒏
for igual a 𝒂.
√ 𝑎
𝑛
= 𝑏 ⟺ 𝑏 𝑛
= 𝑎
Onde:
√ ⟶ Radical
𝒃 ⟶ Raiz
𝒂 ⟶ Radicando
𝒏 ⟶ Índice do radical
Exemplos.
a) 636  porque 366662


23. CONCURSOS .
b) 2325
 porque 322222225

Algumas propriedades da radiciação de
racionais.
a) Potência de uma radiciação. A potência 𝒏 da
raiz enésima de um radical é igual ao radicando.
( √ 𝑎
𝑛
)
𝑛
= 𝑎
Exemplo. (√4
3
)
3
= √433
= 4
b) Potência com expoente fracionário.
Se 𝑎 é um número real positivo e
𝑚
𝑛
é um número
racional, com 𝑚 e 𝑛 inteiros e 𝑛 > 0 definimos:
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎 𝑚𝑛
Exemplos. 5
3
4 = √534
c) Raiz de um produto. A raiz de um produto é
igual ao produto das raízes de cada fator, deste
produto.
√𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
= √ 𝑎
𝑛
∙ √𝑏
𝑛
Exemplo. √4 ∙ 9 = √4 ∙ √9 = 2 ∙ 3 = 6
d) Raiz de um quociente. Raiz de um quociente é
igual ao quociente das raízes de cada um dos
termos, com o segundo termo não nulo.
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√ 𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0
Exemplo. √
27
8
3
=
√27
3
√8
3 =
3
2
EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO
1) Escreva em forma de potência com expoente
fracionário:
a)
7 2
3 e)
5 2
5
b)
9 8
3 f)
9 5
1
c)
6 3
3 g)
7
6
d)
11 2
10 h)
3
3
2) Escreva em forma de radical:
a) 4
1
5 d) 7
6
10
b) 2
1
6 e) 4
3
8

c) 3
2
3 f)   3
1
2


a) 126
22  b) 305 3
55 
1) Determine as raízes e justificando sua
resposta:
a) 64 i)
3
8
b) 100 j)
5
32
c) 0 l) 3
1
d)
3
8 m) 6
1
e)   



  3 3
2 n)
4
16
f) 100
1 o) 25
g)
4
81 p)
3
243
h)
4
81 q)
3
243
2) Aplique as propriedades de radicais e resolva
cada uma das questões a seguir:
a)
2
8 f)  3 32
7a l) 5
32
2

24. CONCURSOS .
b)
7 7
3 g) 7.5 m) 6
6
7
b
a
c)
5 5
x h) 3
8.2 n) 8
128
64
d)  2
7a i) 7
10ab o)
4
16
e)  6 7
8y j) 3 3
5 yw p)
9 3
3 2
a
ba
EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO
01. Transforme os seguintes números mistos em
frações impróprias. Observe o modelo:
2
3
2
121
2
1
1 


a)
5
1
2 d)
7
3
4
b)
10
7
13 e)
20
17
9
c)
20
1
9 f)
5
2
5
02. Transforme as seguintes frações impróprias
em números mistos:
a)
5
11
d)
3
20
b)
17
108
e)
4
17
c)
8
37
f)
11
32
03. Simplifique as seguintes frações até obter
frações irredutíveis:
a)
45
15
f)
225
105
l)
72
48
b)
121
11
g)
144
120
m)
68
46
c)
40
25
h)
128
16
n)
52
13
d)
49
21
i)
135
45
o)
95
19
e)
48
12
j)
45
27
p)
25
20
04.Obtenha uma fração equivalente a 53 que
tenha denominador 15.
05. Obtenha uma fração equivalente a 4921 que
tenha denominador 7.
06. Calcule:
a)
3
1
de 21 = e)
5
3
de 25 =
b)
6
4
de 12 = f)
3
2
de 150 =
c)
3
2
de 9 = g)
8
5
de 40 =
d)
9
5
de 63 = h)
3
4
de 60 =
08. Marcelo tem 45 figurinhas. Colou 53 no seu
álbum. Quantas figurinhas Marcelo não colou
no álbum?
09. Uma cozinheira fez 60 doces. Já vendeu 32
dos docinhos. Quantos docinhos ainda faltam
ser vendidos?
10. Helena tem de correr 24 metros. Já correu
43 Quantos metros Helena já correu?
11. Eduardo e Maria Eduardo recebem por mês a
mesma quantia. Eduardo gasta 43 do seu

25. CONCURSOS .
ordenado, e Maria Eduarda, 32 . Quem gasta
mais?
12. Coloque em ordem decrescente as frações:
a)
4
9
,
4
17
,
4
3
b)
7
5
,
3
5
,
9
5
c)
6
1
,
3
4
,
12
5
,
2
1
13. Procure uma fração equivalente a cada um dos
seguintes numerais decimais.
a) 0,7 g) -2,5252...
b) 0,33 h) -3,444...
c) 1,333 i) -3,12777...
d) 5,21 j) 51,89999...
e) 2,333... l) -0,7474...
f) -2,777... m) 123,454545...
14. Responda com V (verdadeiro) ou F(falso).
a)
6
1
3
1
 e)
3
3
3
2

b)
6
2
3
1
 f)
10
2
5
1

c)
6
3
3
1
 g)
6
3
3
2

d)
3
1
3
2
 h)
6
2
3
2

15. Sabendo que a hora tem 60 minutos,
represente com frações e simplifique:
a) 5 minutos em relação a uma hora.
b) 15 minutos em relação a uma hora.
c) 30 minutos em relação a uma hora.
d) 10 minutos em relação a uma hora.
e) 45 minutos em relação a uma hora.
f) 60 minutos em relação a uma hora.
16. Reduza as frações ao mesmo denominador
comum.
4
1
,
2
1
a)
6
1
,
9
2
,
18
5
,
4
3
d)
8
1
,
6
1
b)
10
11
,
14
9
,
5
2
,
7
3
e)
12
7
,
6
5
,
8
3
c)
30
11
,
10
9
,
15
14
,
20
7
f)
17. Dê a forma decimal das frações a seguir:
a)
2
1
d)
5
1
g)
5
13
b)
3
1
e)
4
3
h)
7
6
c)
4
1
f)
5
2
i)
16
6
18. Calcule e, se possível, simplifique os
resultados.
a) 
5
1
5
2
b) 
3
1
7
2
c) 
2
1
6
3
12
7
d) 
9
7
3
1
6
5
e) 
8
1
2
5
1
3
f) 
7
1
2
3
1
1
g) 
6
7
2
8
1
4
h)  3
7
2
8
3
i)  1
16
7
2
8
5
3
j) 
14
15
1
7
1
85
i)
9
2
9
5
9
1

j)
10
7
10
6

l)
8
7
8
9

m)
4
13
22
7
11
5

n)
6
5
3
1
2
1

o)
2
1
6
5
4
3

p)
3
1
2
1
6
5

q)
4
3
6
5
3
1
2
1


26. CONCURSOS .
19. Efetue as multiplicações indicadas e
simplifique quando possível.
a) 
6
4
3
2
b) 






11
5
8
3
c) 
4
1
5
4
3
8
2
d) 






8
9
3
7
9
8
e)   65
3
1
2
4
1
3
f) 
4
3
6
3
g) 
6
9
3
1
h) 


6
4
5
4
i) 
5
10
3
1
j) 
8
7
2
9
8
2
l)
7
4
3
1

m)
2
3
8
7

n)
9
5
5
3

o)
2
11
7
2

p)
45
4
8
9

q)
9
8
4
45

20. Efetue as divisões indicadas e simplifique
quando possível.
a) 
7
4
3 f)  5
9
8
b) 
8
5
2 g) 
7
5
5
14
c) 
8
5
5
4
h) 
5
1
2
5
14
d) 
3
4
5
9
i) 
5
2
7
7
e) 
2
1
1
3
1
2 j) 
3
4
5
5
4
6
21. Represente na forma de frações decimais os
seguintes números decimais:
A) 27,43 E) 28,3
B) 1,273 F) 43,0
C) 03,0 G) 272,1
D) 28,412 H) 21,32
22. Efetue as operações indicadas a seguir.
A) 4,733,24,21 
B) 27,38,12 
C) 02,142,176,273 
D) 312,81,433,0 
E) 83,24,31 
F) 27,24,7 
G) 3,121,312 
H) 3,2743,32 
I) 3,24,21 
J) 3,41,12 
L) 12,321,112 
M) 7,03,0 
N) 2,213116,454 
O) 4,0232,7 
23. Se 32 de uma mesa custam R$ 480,00, qual
é o preço da mesa toda?
24. Um automóvel percorreu 92 de uma estrada
e depois mais 31 da mesma, rodando desse
modo 300 km. Qual o comprimento da
estrada?
25. No percurso entre duas cidades, um ciclista
percorreu
4
1
e depois mais
8
3
dessa
estrada. Faltam ainda 7 200m para chegar ao
destino. Qual é a distancia entre as cidades?
26. Meu irmão tem R$ 224,00. Eu tenho
7
5
do
que ele tem. Quanto tenho?

27. CONCURSOS .
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
CONCEITOS INICIAIS.
Definição de equação.
De modo geral, uma equações é uma sentença
matemática, com incógnitas, e que exprime uma
igualdade:
Incógnita.
Letra que representa o valor desconhecido de uma
equação.
Raiz de uma equação ou solução.
A raiz de uma equação (ou solução) é o valor
atribuído à(s) incógnita(s), que torna a sentença
verdadeira. E este valor pode existir, ou não.
Conjunto solução.
Conjunto que possui todas as soluções de uma
equação.
Resolução de uma equação.
Resolver uma equação significa determinar o seu
conjunto solução.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
É toda equação que pode ser escrita sob a forma
geral 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, onde 𝑥 é a incógnita e 𝑎 e
𝑏, respectivamente, são os coeficientes números,
com 𝑎 ≠ 0.
𝑎𝑥 + 𝑏⏟
1º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
= 0⏟
2º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
O lado esquerdo da igualdade é denominado
“primeiro membro”, enquanto que o lado direito é
denominado “segundo membro”.
Exemplos a serem resolvidos em aula:
𝑥 + 3 = 7 2𝑥 + 1 = 11
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU.
De modo geral, um sistema de equações é um
conjunto de equações que possuem o mesmo
conjunto solução.
E de modo mais particular, um sistema de
equações do 1º grau é um conjunto de equações,
do 1º grau, que possuem o mesmo conjunto
solução.
Resolver um sistema de equações lineares
consiste, então, em encontrar os valores para suas
incógnitas, que verifiquem, simultaneamente,
todas as equações do sistema.
Métodos de resolução de um sistema de
equações do 1º grau.
Há dois processos para resolução de um sistema
de duas equações a duas incógnitas:
a) Método da adição:
Consiste em somar as duas equações com o
objetivo de fazer “desaparecer” uma das
incógnitas.
Exemplo (a ser resolvido em aula).
{
2𝑥 + 3𝑦 = 11
𝑥 + 2𝑦 = 8
b) Método da substituição:
Consiste em expressar uma incógnita em função
da outra, e em seguida substituir o valor na outra
equação.
Exemplo (a ser resolvido em aula).
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥 + 2𝑦 = 17
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Encontre a raiz de cada equação:
a)
2
3
2
1
x d)
2
1
5 x
b) 2
2
3
x e) 2
7

x
c)
3
4
3
1
x f) 132  x

28. CONCURSOS .
02. Resolva as equações:
a) 10
11
5

x
d) x
5
1
8
b) 6
7
3

x
e) 2
7

x
c) 711  x f) 132  x
03. Resolva as equações (isolando a incógnita):
a) 11x+7=-6
b) 3x+1=19
c) 5+2x=1
d) 5x+3=7
e) X-3=1
f) 2x-3=17
g) -2x-2=-5
h) 3x-1=0
i) 5-2x=-17
j) 1-x=-1
04. Determine a raiz de cada equação (incógnita
em mais de um termo):
a) 2x+11=x
b) 3x+1=2x
c) 1+2x=3-5x
d) 5x-1=2-x
e) 5+x=-7+8x
f) 7x+1=5x-7
g) 5x-91=4x-77
h) 5+3y=-1+4y
i) -15-11x=-9-3x
j) 1-2y=7y+8
k) 1045-x=729-3x
l) 1-3x=17-4x
m) 3-2x=17-4x
n) x-1+2x=1-3x
05.Encontre a raiz de cada equação (eliminando
parênteses)
a) 3(x+3)-1=2
b) 3(x+2)=2(x-7)
c) 3(x+2)-1=2(x+3)-7
d) 3(x+1)+2=5+2(x-1)
e) 5(2x+7)-1=4(x-5)+9
f) 2(x-1)+3(x+1)=4(x+2)
g) 2(x+1)+5(x-1)=7
h) 2(2x+3)+5(x+1)=8-3(x-1)
i) 13(2x-3)-5(2-x)=5(-3+6x)
j) 2(2x+7)+3(3x-5)=3(4x+5)-1
k) 3-7(1-2x)=5-(x+9)
l) (1+3x)-(1-2x)+(-11-7x)=5
m) 2(1-5y)+3(-1-y)-4(-7+2y)=-y
n) X-3(4-x)=7x-(1-x)
06.Resolva as seguintes equações: (eliminando
denominadores)
a)
2
5
2

x
b)
2
1
3
2

x
c)
5
1
2
3

x
d) 2
3

x
e) 0)4(
3
1
)2(
2
1
 xx
f) 1
4
3
7
1



 xx
g)
5
32
3
1
2
1 



 xxx
h) 12
75

xx
i)
632
xxx

j)
53
1
7
2 xx

k) 12
3
2
2
3



 xx
l)
5
13
2
1
3
1
4
12 





 xxxx
m)
4
7
12
17
3
1
2




x
x
xx
n) x
xx




2
1
2
1
o)
3
2
1
15
1
96


mmm
p)
3
52
5
14
2
2
13
13 





 yyyy
q)
9
2
)71(
4
79 x
x
x 


r) )72(
5
1
)3(
3
1
)6(
2
1
 bbb
s) aa 31,09,128,342,171,0 
t)
2
12
2
2
2
4
365
1






zzz
u)
105
12
4
31
2
31 xxxx






07. A terça parte de um número, mais cinco, é igual
a quatro nonos desse número. Determine o
número.
08. A soma de dois números pares consecutivos é
58. Determine-os.

29. CONCURSOS .
09. A soma de três números ímpares e
consecutivos é 63. Determine-os.
10. Jade e Brênia têm juntas R$ 250,00. Jade
possui R$ 70,00 a mais que o dobro da quantia de
Brênia. Quanto possui cada uma?
11. Pedro e Ernesto colheram juntos 55 maçãs.
Pedro colheu 4/7 da quantidade de maçãs colhidas
por Ernesto. Quantas maçãs colheu Pedro?
12. Num quintal há galinhas e coelhos, ao todo 35
cabeças e 106 pés. Quantos animais há de cada
espécie?
13. Igor e Adriana têm, respectivamente, 8 e 40
anos. Daqui a quantos anos a idade de Adriana
será o triplo da idade de Igor?
14. Júlio pediu que seu primo Luís pensasse em
um número e, a seguir, fizesse as seguintes
operações: adicionasse 25 ao número pensado;
multiplicasse o resultado obtido por 3; subtraísse
10 ao novo resultado. Ao término dessas
operações, Luís encontrou 80 como resultado. Em
que número pensou?
15. Um terreno retangular tem 144 m de perímetro.
O comprimento é o triplo da largura. Determine a
área desse terreno.
16. Um número somado com seu dobro é igual a
72. Qual é esse número?
17. O triplo de um número, aumentado de 15, é
igual a 39. Qual é esse número?
18. Um número somado com sua quarta parte é
igual a 60. Qual é esse número?
19. A diferença entre os 2/3 de um número e sua
metade é igual a 10. Qual é esse número?
20. Ana tem 5 anos a mais que Paula. A soma de
suas idades é 35 anos. Qual é idade de Ana?
21. Lúcio e Cândido pesam juntos 124 kg. Lúcio
tem 16 kg a mais que Cândido. Qual o peso de
cada um deles?
22. A soma de dois números pares consecutivos é
138. Quais são esses números?
23. A soma de um número com seu sucessor é 73.
Qual é esse número?
24. A soma de quatro números naturais
consecutivos é 150. Determine-os.
26. A soma de dois números é 103 e a diferença é
23. Quais são esses números?
27. A soma de três números pares e consecutivos
é 90. Calcule o maior deles.
28. Reparta 460 figurinhas entre André, Breno e
Cid, de modo que Breno receba o dobro de Cid, e
André fique com 60 figurinhas a mais que Breno.
Quantas figurinhas recebe André?
29. Um campeonato de surf oferece R$ 15.000,00
aos três primeiros colocados. O 1º recebe R$
5.000,00 a mais que o 3º. O 2º recebe o dobro da
quantia do 3º. Qual o prêmio de cada um?
30. A soma das idades de Tânia e Denise é 56
anos. A idade de Tânia é 3/4 da idade de Denise.
Quantos anos tem cada uma?
31. Em uma fábrica, um terço dos empregados são
homens e 72 outros são mulheres. Quantos são os
empregados da fábrica?
32. Telma comprou uma camisa que foi paga em 3
prestações: na 1ª prestação, ela pagou a metade
do valor a camisa; na 2ª prestação, a terça parte;
e na 3ª e última, R$ 10,00. Quanto ela pagou pela
camisa?
33. Num quintal, existem galinhas e coelhos.
Sabendo que são ao todo 20 cabeças e 58 pés,
determine o número de galinhas e coelhos.
34. Num estacionamento, existem 20 veículos,
entre motos e carros. Determine o número de
motos, sabendo que existem 56 rodas.
35. As idades de Germana e Cristina somam 45
anos. Há 6 anos, a idade de Germana era o dobro
da idade de Cristina. Qual a idade atual de
Germana?
36. Aníbal afirmou: “Daqui a 4 anos, minha idade
será o triplo da idade que tinha há 26 anos”. Qual
a sua idade?
37. Pensei em um número. Multipliquei por 5. Dividi
por 4 e subtraí 8, obtendo 12. Em que número
pensei?
38. Em uma balança, foram colocadas duas peras
de mesma massa e três laranjas de mesma

30. CONCURSOS .
massa. A balança marcou 920 gramas. Chamando
de x a massa da pera e de y a massa da laranja,
expresse essa situação por meio de uma equação.
39. Em uma papelaria, um caderno custa x reais e
uma agenda custa y reais. Escreva uma equação
que represente cada situação.
a) A agenda e o caderno custam juntos 45 reais.
b) O caderno custa 45 reais a mais que a agenda.
c) A agenda custa quatro vezes o preço do
caderno.
d) Se eu comprar três agendas e 7 cadernos vou
gastar 82 reais.
40. Resolva os sistemas a seguir:
a)





143
10
yx
yx
b)





5423
6
yx
xy
c)





2
6
yx
yx
d)





823
32
yx
yx
e)





952
2
yx
yx
f)





42
23
yx
xy
g)





1
5
yx
yx
h)





58
52
yx
yx
i)





123
20
yx
yx j)





352
2
yx
yx
k)





1735
1423
yx
yx
l)





142
102
yx
yx
41. Em um estacionamento há carros e motos. No
total há 8 veículos e 16 rodas. Determine quantos
carros e quantas motos há nesse estacionamento.
42. No sítio da vovó Helena há coelhos e galinhas.
Um dia Denis, o neto dela, começou a contar
quantos animais há no sítio. Ele chegou à
conclusão de que há 88 animais e 226 pés.
Quantas galinhas há neste sítio?
43. Numa partida de futebol estavam presentes
35.000 espectadores pagantes. O valor da
arquibancada coberta e da não coberta eram,
respectivamente, R$ 50 e R$ 15. Foram
arrecadados na bilheteria R$ 1.050.000. Quantos
foram os ingressos vendidos para a arquibancada
coberta?
44. A diferença entre o preço de um sorvete e o
preço de um doce é 4 reais. Raquel tomou um
sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo
13 reais. Qual é o preço do sorvete?
45. Em uma revendedora há carros e motos,
totalizando 22 veículos e 74 rodas. Determine
quantos carros e quantas motos há nessa
revendedora.
46. Uma lapiseira custa o triplo de uma caneta. Se
as duas juntas custam 24 reais, qual é o preço de
cada uma?
47. Uma tábua com 2,85 m de comprimento foi
dividida em duas partes. O comprimento da
primeira parte tem 0,93 m a mais que o
comprimento da segunda. Qual é o comprimento
de cada parte?
48. Um livro tem 160 páginas, e eu já li uma parte
dele. O número de páginas que já li corresponde a
35 do número de páginas que faltam para eu
terminar de ler esse livro. Quantas páginas eu já
li?
49. Um colégio tem 50 professores. O número de
professores que ensinam outras matérias é 73
do número de professores que ensinam
Matemática. Quantos professores não ensinam
Matemática neste colégio?
50. Davidson e Denilson são irmãos. A soma e a
diferença entre suas idades são, respectivamente,
46 e 2 anos. Determine as idades dos irmãos.
51. Calcular o valor de m para que o número
3 2
2 3 5m
  admita 60 divisores.
52. Calcular o valor de n para que o número
3
5 3n
 admita 12 divisores.
53. Calcule o número 9 10 ,n
N   sabendo que
ele admite 27 divisores.
54. Sendo 2
72  x
M um número que admite 15
divisores, determine x.
55. O número N de três algarismos quando
decomposto em fatores primos é da forma
.32 ma
 Sabe-se que N é divisível pelo menor
número composto, compreendido entre 2
10 e
.103
Calcule o maio valor possível para a.

31. CONCURSOS .
56. O inteiro da forma n
34 admite 9 divisores.
Calcule a soma dos seus três primeiros múltiplos.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO II
01. Toda a produção mensal de latas de
refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três
lojas. Para a loja A, foi vendida metade da
produção; para a loja B, foram vendidos 2/5 da
produção e para a loja C, foram vendidas 2500
unidades. Qual foi a produção mensal dessa
fábrica?
A) 4166 latas
B) 10000 latas
C) 20000 latas
D) 25000 latas
E) 30000 latas
02. Há 18 anos Hélio tinha precisamente três
vezes a idade de seu filho. Agora tem o dobro da
idade desse filho. Quantos anos têm Hélio e seu
filho, respectivamente?
A) 72 anos e 36 anos.
B) 36 anos e 18 anos.
C) 40 anos e 20 anos.
D) 50 anos e 25 anos.
E) 38 anos e 19 anos.
03. Dentre as pessoas na sala de espera de um
consultório médico, em um determinado momento,
uma falou: “Se juntarmos a nós a metade de nós e
o médico, seríamos 16 pessoas”. Nesse momento,
o número de pessoas aguardando atendimento é:
A) 5
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
04. Um antigo problema hindu afirma: “De uma
quantidade de puras flores de lótus, uma terça
parte, um quinto e um sexto foram oferecidas aos
deuses Siva, Vishnu e Sol. Um quarto da
quantidade original foi ofertada a Bhavani. Os seis
lótus restantes foram dados ao venerável
preceptor”. Resolvendo esse problema, conclui-se
que a quantidade original de flores é
A) 60.
B) 120
C) 240.
D) 320.
E) 360.
05. Paula fez um teste que continha 36 questões.
Nesse teste, ela respondeu todas as questões,
obtendo um número de acertos igual ao triplo do
número de erros.
Quantas questões desse teste Paula errou?
A) 4
B) 9
C) 12
D) 18
E) 27
06. Uma tora de madeira mais meia tora de
madeira com as mesmas dimensões, tem massa
igual a 27 kg. Qual a massa de cada tora dessas
madeiras?
A) 14 kg
B) 15 kg
C) 16 kg
D) 17 kg
E) 18 kg
07. No orçamento de um bancário, 1/5 do salário é
gasto com moradia, e 1/10 com transporte e 3/5
com alimentação. Sabendo que sobram R$
2.000,00 para outras despesas, qual o seu salário?
A) R$ 15.000,00
B) R$ 18.000,00
C) R$ 13.000,00
D) R$ 20.000,00
E) R$ 17.000,00
08. Um Diretor tentou distribuir com seus
funcionários alguns brindes que lhe foram
enviados. Notou, porém, que se desse 3 a cada um
restariam 24; mas se desse 7 a cada, não restaria
brinde algum. Quantos eram os funcionários
A)10
B)9
C)6
D)5
E)3
09. Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo.
Quanto pesa um tijolo e meio?
A)2 quilos
B)2 quilos e meio
C)3 quilos
D)3 quilos e meio
E)1 quilo e meio

32. CONCURSOS .
10. Paula fez um teste que continha 36 questões.
Nesse teste, ela respondeu todas as questões,
obtendo um número de acertos igual ao triplo do
número de erros.
Quantas questões desse teste Paula errou?
A) 4
B) 9
C) 12
D) 18
E) 27
TESTES DE CONCURSOS
01. (PSAEAM) Dentre as pessoas na sala de
espera de um consultório médico, em um
determinado momento, uma falou: “Se juntarmos a
nós a metade de nós e o médico, seríamos 16
pessoas”. Nesse momento, o número de pessoas
aguardando atendimento é:
A) 5 D) 10
B) 8 E) 12
C) 9
02. (PSAEAM) Uma tora de madeira mais meia
tora de madeira com as mesmas dimensões, tem
massa igual a 27 kg. Qual a massa de cada tora
dessas madeiras?
A) 14 kg D) 17 kg
B) 15 kg E) 18 kg
C) 16 kg
03. (UPE) Maria Eduarda aprendeu, nas aulas de
matemática, que a soma de três números inteiros
pares consecutivos é igual a 18. Partindo dessa
afirmativa, Maria Eduarda indaga a sua tia, que é
professora de matemática do ensino fundamental:
qual é o valor da soma de seus quadrados?
A) 110 D) 80
B) 116 E) 120
C) 136
04. (UPE) Uma torneira enche um reservatório em
3 horas, e outra enche o mesmo reservatório em 2
horas. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas
enchem o reservatório?
A) 1 hora e 10 minutos.
B) 1 hora e 20 minutos.
C) 1 hora e 15 minutos.
D) 1 hora e 12 minutos.
E) 1 hora e 18 minutos.
05. (OBM) 2 melancias custam o mesmo que 9
laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia
de bananas custa a metade de uma melancia.
Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas
e uma dúzia de bananas é igual ao preço de:
A) 3 melancias D) 5 melancias
B) 4 melancias E) 2 melancias
C) 6 melancias
06. (CMR) Comprei 12 metros de tecido. Depois,
comprei mais 20 metros do mesmo tecido.
Sabendo que, na segunda compra, paguei R$
104,00 a mais do que na primeira, o valor da
primeira compra foi de
A) R$ 62,40 D) R$ 132,00
B) R$ 87,00 E) R$ 156,00
C) R$ 105,00
07. (UPE) Uma certa quantia será repartida entre
Júnior, Daniela e Eduarda. Sabendo-se que Júnior
e Daniela receberão juntos R$ 5.000,00, Júnior e
Eduarda dividirão R$ 4.500,00 e Daniela e
Eduarda juntas receberão R$ 3.500,00, podemos
afirmar que Eduarda receberá:
A) R$ 3.000,00 D) R$ 2.500,00
B) R$ 2.000,00 E) R$ 3.500,00
C) R$ 1.500,00
08. (UPE) Os filhos do Sr. Júnior, Neto e Maria
Eduarda, nasceram em 20/12. Em 20/12/2000, dia
do aniversário deles, Daniela, amiga de Júnior,
perguntou as idades das crianças. Júnior
respondeu: “Suas idades são tais que cinco vezes
a idade de Maria Eduarda somada a treze vezes a
idade de Neto é igual a 38 anos”. No dia
20/12/2000, a soma das idades de Maria Eduarda
e Neto é
A) 5 anos. D) 8 anos.
B) 6 anos. E) 9 anos.
C) 7 anos.
09. (UPE) Um certo produto é vendido nas lojas A
e B. Na loja B, o produto é R$ 60,00 mais caro que
na loja A. Se a loja B oferecer um desconto de 20%
no produto, o preço seria o mesmo nas duas lojas.
O preço do produto na loja A é
A) R$ 260,00. D) R$ 250,00.
B) R$ 270,00. E) R$ 240,00.
C) R$ 280,00.

33. CONCURSOS .
10. (UPE) Um laboratório utiliza, na fabricação de
um determinado remédio, as substâncias A e B.
Sabendo que m1 da substância A custa R$ 0,03
(3 centavos), m1 da substância B custa R$ 0,05
(5 centavos) e que um frasco de m100 do
remédio custa R$ 3,60 (três reais e sessenta
centavos), quantos m da substância A têm no
frasco?
A) 70 D) 50
B) 65 E) 30
C) 60
11. (UPE) Júnior e Daniela têm algum dinheiro.
Júnior dá a Daniela R$ 5,00 e, em seguida, Daniela
dá a Júnior 31 do que possui. Assim, ambos ficam
com R$ 18,00. A diferença entre as quantias que
cada um tinha inicialmente é
A) R$ 7,00
B) R$ 8,00 D) R$ 10,00
C) R$ 9,00 E) R$ 11,00
12. (UPE) Maria Eduarda comprou um terreno na
praia de Pitimbu e, outro na praia de Itamaracá, por
um total de R$ 45 000,00. Dois meses depois da
compra, vendeu os dois terrenos e obteve um lucro
de 3.000,00R$ , vendendo o de Pitimbu com um
lucro de 20% e, o de Itamaracá com um prejuízo
de 10% sobre o preço de compra.
Por quanto Maria Eduarda vendeu o terreno de
Pitimbu?
A) R$ 30 000,00 D) R$ 20 000,00
B) R$ 27 500,00 E) R$ 22 500,00
C) R$ 25 000,00
13. (UPE) Há três anos, a população de Pitimbu
era igual à população de Caapora de hoje. Nos três
últimos anos, a população de Pitimbu não mudou,
mas a população de Caaporã cresceu 50%.
Atualmente, as duas cidades somam 90.000
habitantes. Há três anos, qual era a soma das duas
populações?
A) 36 000 D) 60 000
B) 45 000 E) 75 000
C) 50 000
14. (COVEST) O presidente de um clube pagou
48.000,00Cr$ por doze camisas e igual número de
calções, para o time de vôlei. Sabendo-se que uma
camisa custou três vezes mais que um calção,
quanto custou cada um?
A) Cr$ 1.000,00 D) Cr$ 2.300,00
B) Cr$ 1.500,00 E) Cr$ 3.000,00
C) Cr$ 2.000,00
15. (EsPCEX) Numa partida de basquetebol, uma
equipe, entre cestas de 2 (dois) pontos e 3 (três)
pontos, fez 40 cestas, totalizando 98 pontos. Pode-
se dizer que o número de cestas de 3 (três) pontos
dessa equipe foi de:
A) 20 D) 24
B) 18 E) 22
C) 26
16. (COLÉGIO NAVAL) Num gibi, um ser de outro
planeta capturou em uma de suas viagens três
tipos de animais. O primeiro tinha 4 patas e 2
chifres, o segundo 2 patas e nenhum cifre e o
terceiro 4 patas e 1 chifre. Quantos animais do
terceiro tipo ele capturou, sabendo que existiam
227 cabeças, 782 patas e 303 chifres?
A) 24 D) 27
B) 25 E) 30
C) 26
17. (COLÉGIO NAVAL) Observe o sistema de
equações lineares abaixo.





472
1232
:S1
yx
yx
Sendo  11, yx solução de 1S , o resultado de
    11 32126 yx  é igual a
A) 18 D) 28
B) 21 E) 32
C) 24
18. (UPE) Um pequeno criador tem em sua criação
150 animais, entre porcos e galinhas. Sabendo-se
que o número de pés dos animais é igual a 400, é
CORRETO afirmar que o criador tem
A) 25 porcos. D) 42 porcos.
B) 50 porcos. E) 55 porcos.
C) 35 porcos.
19. (UPE) A soma da idade de Paulo com a de seu
filho é 34 anos. Sabendo-se que há 7 anos, a idade
de Paulo era o dobro da idade que seu filho tem
atualmente, é CORRETO afirmar que a idade do
filho de Paulo é um
A) quadrado perfeito.
B) número par.
C) número primo.
D) divisor de 15.
E) múltiplo de 5.
20. (UPE) Um pequeno agricultor, além de sua
roça, cria porcos e galinhas. Sabendo-se que o

34. CONCURSOS .
número de pés dos animais criados é 56 e o
número de cabeças é 20, é CORRETO afirmar que
o número de porcos é igual a
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
D) 7
21. (UPE) Dan pesou certa quantidade de arroz,
feijão e milho e verificou que o arroz e o feijão
juntos pesaram 40 kg; o feijão e o milho, 55kg e o
arroz e o milho, 45 kg. O arroz, o milho e o feijão
juntos pesaram
A) 50 kg D) 80 kg
B) 60 kg E) 90 kg
C) 70 kg
22. (UPE) Uma certa quantia de dinheiro será
dividida entre os irmãos Júlio, Danilo e Evandro.
Se Júlio e Danilo receberão juntos R$ 10.000,00,
Júlio e Evandro dividirão R$ 9.000,00 e Danilo e
Evandro receberão juntos R$ 7.000,00, é possível
afirmar que Evandro receberá
A) R$ 6.000 D) R$ 5.000
B) R$ 4.00 E) R$ 7.000
C) R$ 3.000
23. (UPE) Dan e Rebeca possuem juntos 20 bolas
de gude. Rebeca e Eduarda possuem 24 bolas de
gude. Dan e Eduarda possuem 22 bolas de gude.
Qual o número de bolas de gude?
A) 28 D) 27
B) 35 E) 33
C) 30
24. (UPE) Um clube promoveu um show de Música
Popular Brasil ao qual compareceram 200
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o
valor arrecadado foi 1.400,00R$ , e todas as
pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que o
preço do ingresso foi 10,00R$ e que cada sócio
pagou a metade desse valor, o número de sócios
presentes ao show é de:
A) 100 D) 160
B) 80 E) 120
C) 140
25. (COVEST) No orçamento de um bancário, 1/5
do salário é gasto com moradia, e 1/10 com
transporte e 3/5 com alimentação. Sabendo que
sobram R$ 2.000,00 para outras despesas, qual o
seu salário?
A)R$ 15.000,00 D)R$ 20.000,00
B)R$ 18.000,00 E)R$ 17.000,00
C)R$ 13.000,00
26. (COVEST) Numa corrida de Fórmula 1, os três
primeiros colocados consomem um total de 640
litros de gasolina. O segundo colocado gasta 7/8
do que consome o primeiro, e o terceiro utiliza 5/8
da quantidade de combustível usada pelo primeiro.
Assinale a alternativa certa para o consumo do
segundo colocado:
A)256 litros D)250 litros
B)160 litros E)400 litros
C)224 litros
27. (COVEST) Certo comerciante de verduras na
CEASA, num dia vendeu 22 caixas de tomate e 15
de repolho, recebendo um total de Cz$ 3.100,00.
No dia seguinte, vendeu pelos mesmos preços da
véspera, 15 caixas de tomate e 30 de repolho,
obtendo um total de Cz$ 3.300,00. Assinale o
preço de cada caixa de repolho:
A)Cz$ 48,00 D)Cz$ 50,00
B)Cz$ 60,00 E)Cz$ 45,00
C)Cz$ 30,00
28. (COVEST) Perguntado sobre a idade de seu
filho Júnior, José respondeu o seguinte: “Minha
idade quando somada à idade de Júnior é igual a
47 anos; e quando somada à idade de Maria é
igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior
somam 39 anos”. Qual a idade de Júnior?
A)2 anos D)5 anos
B)3 anos E)10 anos
C)4 anos
29.(COVEST) Um motorista gastou Cr$ 14.000,00
para abastecer seu automóvel. Sabendo-se que
fez uma mistura colocando 1 parte de gasolina
para cada 8 partes de álcool, e que o preço do
álcool é 75% do preço da gasolina, quantos
cruzeiros gastou com gasolina ?

35. CONCURSOS .
A)Cr$ 2.000,00 D)Cr$ 3.000,00
B)Cr$ 2.500,00 E)Cr$ 1.800,00
C)Cr$ 2.300,00
30. Um Diretor tentou distribuir com seus
funcionários alguns brindes que lhe foram
enviados. Notou, porém, que se desse 3 a cada um
restariam 24; mas se desse 7 a cada, não restaria
brinde algum. Quantos eram os funcionários ?
A)10 D)5
B)9 E)3
C)6
31. Ao tentar dividir alguns chocolates entre seus
filhos, um pai verificou que se desse 2 a cada um
sobrariam 9, e se desse 4, faltariam 3 para
completar a divisão. Quantos filhos ele tinha ?
A)7 D)3
B)5 E)6
C)2
32. Um grupo de alunos resolveu fazer uma
excursão. O tesoureiro do grupo observou que, se
cada aluno pagasse R$ 20,00 , havia um déficit de
R$ 60,00; se pagasse R$ 25,00 , haveria um
excesso de R$ 100,00. De quantos alunos era
constituído o grupo ?
A)25 D)32
B)28 E)40
C)30
33. Se um pai der R$ 250,00 a cada filho, ainda lhe
restará a importância de R$ 300,00. Entretanto,
para dar R$ 400,00 a cada um, lhe faltariam R$
750,00. Qual o valor da quantia que esse pai
possui?
A)R$ 1.900,00 D)R$ 2.460,00
B)R$ 2.050,00 E)R$ 3.000,00
C)R$ 2.280,00
34.Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto
pesa um tijolo e meio ?
A)2 quilos D)3 quilos e meio
B)2 quilos e meio E)1 quilo e meio
C)3 quilos

36. CONCURSOS .
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda equação que pode ser escrita sob a forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, onde 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são números
reais e 𝒂 ≠ 𝟎.
Exemplos.
a) 𝑥2
− 2𝑥 = 0
b) 𝑥2
− 144 = 0
c) 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
Determinando os valores das soluções
De modo geral, os valores das soluções de uma
equação do 2º grau são determinados a partir da
expressão seguinte, que é mais conhecida por
Fórmula de Bhaskara:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Onde Δ = 𝑏2
− 4𝑎𝑐.
O  (letra grega delta) é denominado
discriminante. E a partir dele pode-se julgar como
são as raízes (ou soluções) de uma equação do 2º
grau, e até mesmo se existem.
OBSERVAÇÃO:
Toda equação do 2º grau apresenta sempre,
duas raízes que serão ou não reais.
 Caso Δ > 0, a equação terá duas raízes reais
e distintas. ( 𝑥1 ≠ 𝑥2)
 Caso Δ = 0, a equação terá duas raízes reais
e iguais. ( 𝑥1 = 𝑥2)
 Caso Δ < 0, a equação terá raízes não reais e
distintas.
Relações entre os coeficientes e as soluções
de uma equação do 2ºgrau.
 Soma das raízes: 𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
 Produto das raízes: 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎

37. CONCURSOS .
PROPORCIONALIDADE
RAZÃO
Dados dois números 𝒂 e 𝒃, numa certa ordem,
com 𝒃 ≠ 𝟎; a razão entre estes dois números é
definida como sendo o quociente de 𝒂
(antecedente) por 𝒃 (consequente).
𝑎: 𝑏 =
𝑎
𝑏
; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0
Exemplo. A razão entre 45 e 60 é
45: 60 =
45
60
=
3
4
Razões equivalentes.
Dadas duas razões, ambas são denominadas
equivalentes se seus respectivos quocientes forem
iguais.
Exemplo.
2
4
=
16
32
PROPORÇÃO
Dadas duas razões, elas irão formar uma
proporção se forem iguais. Ou seja, uma
proporção é uma igualdade de razões.
𝑎: 𝑏 ∷ 𝑐: 𝑑
Ou
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Observação. Os números 𝒂 e 𝒅 são denominados
extremos, enquanto que b e c são denominados
meios.
Exemplo.
5
3
=
25
15
Propriedades da proporção.
P1) Propriedade fundamental da proporção. O
produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⟺ 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐
P2) Em qualquer proporção, a soma dos
antecedentes está para os consequentes, assim
como, cada antecedente está para seus
consequentes.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
SEQUÊNCIAS PROPORCIONAIS.
Duas sequências proporcionais podem ser
diretamente ou inversamente proporcionais.
a) Sequências diretamente proporcionais. Duas
sequências numéricas, com a mesma quantidade
de termos, são diretamente proporcionais quando
a razão entre os termos correspondentes é
constante.
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎 𝑛) e (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … , 𝑏 𝑛)
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
= ⋯ =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
= 𝑘
Observação. A razão constante, dessas
sequências, é denominada fator de
proporcionalidade.
Exemplo. As sequências (36, 45, 6) e
(12, 15, 2), nessa ordem, são diretamente
proporcionais, com fator de proporcionalidade 3.
36
12
=
45
15
=
6
2
= 3
Observação. Duas grandezas são denominadas
diretamente proporcionais quando a primeira
aumenta (ou diminui) a segunda aumenta (ou
diminui) proporcionalmente.
b) Sequências inversamente proporcionais.
Duas sequências numéricas, com a mesma

38. CONCURSOS .
quantidade de termos, são inversamente
proporcionais quando o produto entre os termos
correspondentes é constante.
(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛) e (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏 𝑛)
𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = ⋯ = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑘
ou
𝑎1
1
𝑏1
=
𝑎2
1
𝑏2
= ⋯ =
𝑎 𝑛
1
𝑏 𝑛
= 𝑘
Exemplo. (3, 2, 6, 8) e (8, 12, 4,3) são
inversamente proporcionais e com fator de
proporcionalidade 24.
3 ∙ 8 = 2 ∙ 12 = 6 ∙ 4 = 8 ∙ 3 = 24
ou
3
1
8
=
2
1
12
=
6
1
4
=
8
1
3
= 24
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
Dividir (ou repartir) um número (ou quantidade) em
partes proporcionais, a vários outros números
dados, significa decompô-lo em parcelas
proporcionais a esses números dados.
Exemplo. Dividir o número 150 em três partes
diretamente proporcionais a 12, 7 e 11.
Solução.
Isso significa dividir o número 150 em três
parcelas, tais que a razão da primeira parcela para
o número 12 seja igual à razão da segunda para o
número 7 e igual à da terceira para o número 11.
Assim chamamos de x, y e z, respectivamente,
cada uma das parcelas. Ou seja:
𝑥
12
=
𝑦
7
=
𝑧
11
Além disso, como x, y e z são as parcelas em que
dividimos o número 180, devemos ter:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180
Utilizando a propriedade da proporção que diz “Em
qualquer proporção, a soma dos antecedentes
está para os consequentes, assim como, cada
antecedente está para seus consequentes”, então:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
12 + 7 + 11
=
𝑥
12
=
𝑦
7
=
𝑧
11
ou,
𝑥
12
=
𝑦
7
=
𝑧
11
=
150
30
Como
150
30
= 5
Então
𝑥
12
= 5 ⟹ 𝑥 = 12 ∙ 5 = 60
𝑦
7
= 5 ⟹ 𝑦 = 7 ∙ 5 = 35
𝑧
11
= 5 ⟹ 𝑧 = 11 ∙ 5 = 55
Sendo 60 + 35 + 55 = 150, concluímos
que as partes procuradas são : 60, 35 e 55.
REGRA DE TRÊS
Regra de três simples.
A regra de três simples é uma técnica, através da
qual se resolve problema que envolve duas
grandezas: diretamente proporcionais (quando
as grandezas variam no mesmo sentido) ou
inversamente proporcionais (quando as
grandezas variam em sentido contrário), no qual é
conhecido o par de valores de uma grandeza,
enquanto que, na outra, é conhecido apenas um
valor e deseja-se saber o segundo.
Este método faz uso de proporções, que são
obtidas a partir dos valores de cada grandeza.
Exemplo 1:
Na construção de um muro de 12m foram
utilizados 2.160 tijolos. Para se construir um muro
de 30m será necessário:
A) 864 tijolos
B) 5.400 tijolos
C) 2.700 tijolos
D) 2.592 tijolos
E) 3.000 tijolos
Exemplo 2:
Se 5 torneiras enchem um tanque em 450 minutos,
então 9 torneiras encheriam o mesmo tanque em:
A) 900 min

39. CONCURSOS .
B) 810 min
C) 500 min
D) 250 min
E) 600 min
Exemplo 3:
Um avião faz certo percurso em 1h e 30min, à
velocidade de 360km/h. À velocidade de 400km/h,
faria o mesmo percurso em:
A) 81 min
B) 100 min
C) 135 min
D) 90 min
E) 75 min
Regra de três composta.
Esta técnica é uma variação da regra de três
simples. É aplicada quando o problema envolve
mais de duas grandezas.
Exemplo 1:
4 máquinas produzem 600 peças em 3 dias. Para
produzir 750 peças em 5 dias serão necessários:
A) 8 máquinas
B) 2 máquinas
C) 5 máquinas
D) 3 máquinas
E) 7 máquinas
Exemplo 2:
Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários e
produzem em 8 horas de serviço 120 peças de
calçados. Desejando ampliar as instalações para
produzir 300 peças por dia, a quantia de operários
necessários para assegurar essa produção de 10
horas de trabalho diário é:
A) 18
B) 32
C) 24
D) 15
E) 40
Exemplo 3:
Um motociclista, mantendo velocidade constante,
percorre a distância de 1.080 km em 2 dias,
viajando 8 horas por dia. Nas mesmas condições,
quantos quilômetros ele poderá percorrer se viajar
6 horas por dia, durante 3 dias.
A) 1.215
B) 1.420
C) 915
D) 540
E) 1.315

40. CONCURSOS .
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
E PONDERADA
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
A média aritmética de 𝒏 números reais é o número
que se obtém somando os 𝒏 números e dividindo
o resultado por 𝒏.
𝑀𝐴 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑛
Observação. A média aritmética pode ser
considerada como valor de cada elemento do
grupo.
Exemplo:
Dado um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e
20 anos, determinar a média aritmética das idades
nesse grupo.
𝑀𝐴 =
22 + 20 + 21 + 24 + 20
5
=
107
5
= 21,4
Dizemos, então, que a média aritmética ou
simplesmente a média de idade do grupo é de 21,4
anos.
Exemplo:
Em determinada região, ao medir de hora em hora
a temperatura obteve-se: 14ºC às 6h, 15ºC às 7h,
15ºC às 8h, 18ºC às 9h, 20ºC às 10h e 23ºC às
11h. Qual foi a temperatura média das 6h às 11h?
𝑀𝐴 =
14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23
6
=
105
6
= 17,5
Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a
temperatura média foi de 17,5ºC.
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A média aritmética ponderada de n números reais
é o número que se obtém multiplicando cada
número pelo seu peso, somando esses produtos e
dividindo o resultado pela soma dos pesos.
𝑴𝑷 =
𝑷 𝟏 ∙ 𝒙 𝟏 + 𝑷 𝟐 ∙ 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝑷 𝒏 ∙ 𝒙 𝒏
𝑷 𝟏 + 𝑷 𝟐 + ⋯ + 𝑷 𝒏
Exemplo:
Num grupo de 10 crianças, três tem 7 anos, cinco
tem 6 anos e duas tem 5 anos. Qual é a média de
idade deste grupo?
𝑴𝑷 =
𝟑∙𝟕+𝟓∙𝟔+𝟐∙𝟓
𝟑+𝟓+𝟐
=
𝟐𝟏+𝟑𝟎+𝟏𝟎
𝟏𝟎
=
𝟔𝟏
𝟏𝟎
= 𝟔, 𝟏
Observação. Como no exemplo acima, em
algumas situações o peso pode ser considerado
como a frequência dos valores dentro do grupo
considerado.
Exemplo:
Um aluno que realiza vários trabalhos com pesos
diferentes, isto é com graus de importância
diferentes. Se no decorrer do bimestre ele obteve
6,5 na prova de peso 2, 7,0 na pesquisa de peso
3, 6,0 no debate com peso 1 e 7,0 no trabalho em
equipe com peso 2 qual é a sua média que neste
bimestre?
𝑀𝑃 =
2 ∙ 6,5 + 3 ∙ 7 + 1 ∙ 6 + 2 ∙ 7
2 + 3 + 1 + 2
= 6,75
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. A Média Aritmética de 11 números é 45. Se o
número 8 for retirado do conjunto, a Média
Aritmética dos números restantes será:
a) 48,7 d) 42
b) 48 e) 41,5
c) 47,5
02. O salário médio, por hora de trabalho, numa
fábrica de 110 trabalhadores é de R$ 5.000,00.
Calculando-se,no entanto, apenas com 100
trabalhadores homens a média passa a ser R$
5.300,00. Qual o salário médio das mulheres, por
hora de trabalho, em reais?
a) 3100 d) 2000
b) 2400 e) 2500
c) 4000
03. Um extrato bancário de um cliente, de um
determinado mês era de R$ 20.000 em 2 dias, R$
15.000 em 5 dias, R$ 4.000 em 8 dias e R$ 600,00
em 15 dias. Qual foi seu saldo médio?
a) 5200 d) 4500
b) 3500 e) 3800
c) 5000
04. Um aluno obteve em Português a média
mensal 4,5. Na primeira parcial tirou 5,5. Quanto
deve tirar na prova final para ficar com a média 7,0,
sendo que os pesos das respectivas provas são 3,
3 e 4?

41. CONCURSOS .
a) 8,0 d) 10,0
b) 9,0 e) 6,0
c) 7,0
05. Qual a Média aritmética entre os números 8, 12
e 16?
a) 13 d) 16
b) 12 e) 15
c) 33
06. As minhas notas bimestrais em Matemática, no
ano passado, foram: 6, peso 2; 5, peso 2; 8, peso
3 e 7, peso 3. Que média obtive no bimestre?
a) 6,0 d) 6,5
b) 6,1 e) 6,7
c) 6,2
07. Numa pesquisa envolvendo 100 pessoas para
verificar a renda mensal média num determinado
bairro de uma certa cidade, foram obtidos os
seguintes dados:
Pessoas 15 25 30 15 10 5
Salário 1 3 5 6 12 20
A renda mensal por média, por pessoa, é:
a) 5,5 d) 6,5
b) 5 e) 8
c) 6
08. Qual a média ponderada dos números 7, 6 10
e 8 cujos pesos são iguais a 3, 3, 2 e 2,
respectivamente?
a)6,8 d)3,6
b)7,5 e)8,2
c)9,1
09. Entre sessenta números, vinte são iguais a 5,
dez são iguais a 6, quinze são iguais a 8, dez são
iguais a 12, e cinco são iguais a 16. Qual a média
aritmética desses números?
a) 7 d) 8,2
b) 7,4 e) 8,6
c) 8
10. (UFF-RJ) Cada um dos 60 alunos da turma A
obteve, na avaliação de um trabalho, nota 5 ou
nota 10. A média aritmética dessas notas foi 6.
Determine quantos alunos obtiveram nota 5 e
quantos obtiveram nota 10.
TESTES DE CONCURSOS
01. (VUNESP) Suponhamos que nos vestibulares
desse ano uma universidade tivesse tido, para os
seus diversos cursos, uma média de 3,60
candidatos por vaga oferecida. Se para os
vestibulares do ano que vem o número de vagas
foi aumentado de 20% e o número de candidatos
em 10%, qual a média de candidatos por vaga que
essa universidade terá no próximo ano?
A) 3,24 D) 3,40
B) 3,30 E) 3,46
C) 3,36
02. (VUNESP) Uma classe de 30 alunos obteve
média 52 em um exame. Outra classe de 25 alunos
obteve média 30 no mesmo exame. A média dos
55 alunos nesse exame foi
A) 40. D) 46.
B) 42. E) 48.
C) 44.
03. (VUNESP) A média de idade, em anos, de
quatro agentes vale M. Um novo agente de 31
anos foi integrado ao grupo e a nova média de
idade desses cinco agentes passou a ser de 33
anos. Conclui-se que M, em anos, vale
A) 30,5. D) 36,5.
B) 33,5. E) 37,5.
C) 35,5.
04. (CESGRANRIO) Uma fábrica de tecidos
produziu 2.020m de tecido em janeiro, 1.950 m em
fevereiro e 2.060m em março. Em média, quantos
metros de tecido essa fábrica produziu, por mês,
nesse trimestre?
A) 1.970 D) 2.080
B) 1.990 E) 2.100
C) 2.010
05. (COVEST) Aplicou-se um teste aos alunos de
uma disciplina ao qual compareceram 180 alunos.
Sabendo que estes alunos foram distribuídos em
turmas com 55, 60 e 65 estudantes, e que as
médias aritméticas das notas obtidas, em cada
uma das turmas, foram 5,2; 6,6 e 6,8;
respectivamente. Indique qual foi a média
aritmética aproximada das notas do referido teste.
A) 6,12 D) 6,24
B) 6,16 E) 6,28
C) 6,20
06. (CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta a
quantidade de arroz, em kg, consumida durante
uma semana na Escola Central.

42. CONCURSOS .
Qual foi o consumo médio diário de arroz, em kg,
nessa semana?
A) 10,48 D) 12,88
B) 11,60 E) 13,20
C) 12,64
07. (COVEST) Aplicou-se um teste aos alunos de
uma disciplina ao qual compareceram 180 alunos.
Sabendo que estes alunos foram distribuídos em
turmas com 55, 60 e 65 estudantes, e que as
médias aritméticas das notas obtidas, em cada
uma das turmas, foram 5,2; 6,6 e 6,8;
respectivamente. Indique qual foi a média
aritmética aproximada das notas do referido teste.
A) 6,12 D) 6,24
B) 6,16 E) 6,28
C) 6,20
08. (COVEST) Suponha que um país A tem uma
renda per capita anual de 20.000 dólares e uma
população de 50 milhões de habitantes. Um outro
país B tem uma renda per capita de 10.000 dólares
e uma população de 20 milhões. Se os dois países
se fundirem para formar um novo país, a renda per
capita resultante estará mais próxima de qual valor
abaixo?
A) 30.000 dólares D) 17.000 dólares
B) 20.000 dólares E) 15.000 dólares
C) 18.000 dólares
09. (COVEST) Numa turma, com igual número de
moças e rapazes, foi aplicada uma prova de
matemática. A média aritmética das notas das
moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a média
aritmética das notas de toda a turma nesta prova?
A) 7 D) 9,1
B) 8,9 E) 9,2
C) 9
10. (COVEST) A média aritmética dos 62 alunos
de uma turma foi 5,4. Excluindo a menor nota, que
foi 3,2, e a maior, que foi 8,8, qual a média
aritmética dos 60 alunos restantes?
A) 5,38 D) 5,32
B) 5,36 E) 5,30
C) 5,34
11. (COVEST) Em uma repartição, trabalham seis
mulheres e quatro homens. A média das idades
das mulheres é de 45 anos, e a média das idades
dos homens é de 40 anos. Qual a média das
idades dos trabalhadores da repartição?
A) 42 anos D) 45 anos
B) 43 anos E) 46 anos
C) 44 anos

43. CONCURSOS .
PORCENTAGEM
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número
100 denomina-se razão centesimal. Alguns
exemplos:
100
110
;
100
5,12
;
100
10
;
100
2
Podemos representar uma razão centesimal de
outras formas:
%202,0
100
2

%1010,0
100
10

%5,12125,0
100
5,12

%11010,1
100
110

As expressões 2%, 10% e 110% são chamadas
taxas centesimais ou taxas percentuais.
É frequente o uso dessas expressões percentuas
para indicar acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades.
Exemplos:
 A gasolina teve um aumento de 15%.
Significa que em cada R$ 100,00 houve um
acréscimo de R$ 15,00.
 O cliente recebeu um desconto de 10% em
todas as mercadorias.
Significa que em cada R$ 100,00 foi dado um
desconto de R$ 10,00.
 Dos candidatos que se inscreveram para um
concurso público, 60% eram alunos de
cursinhos preparatório.
Significa que em cada 100 candidatos inscritos,
60 se prepararam em cursinhos.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos
cavalos ele vendeu?
Solução: Para solucionar esse problema devemos
aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de
cavalos.
cavalosde 25
100
2500
50
100
50
50%50 
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a
porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos
uma taxa percentual a um determinado valor.
EXERCÍCIOS DE ASSIMILIÇÃO
1) Calcule:
a) 50% de 36 f) 3,2% de 250
b) 25% de 256 g) 0,5% de 224
c) 75% de 9 h) 100% de 48
d) 120% de 360 i) 3% de 25
e) 270% de 960 j) 45% de 450
2) Quarenta por cento da terça parte de 2.400 é
igual a:
a) 320 b) 960 c) 800 d) 420
3) Se 1,5% de uma produção sai com defeito,
quantas das 5 400 facas que produz uma fabrica
saem defeituosas?
a) 80 facas c) 85 facas
b) 81 facas d) 91 facas
4) Numa classe de 45 alunos, 40% são meninas.
Quantos são os meninos?
a) 27 b) 25 c) 23 d) 21
5) Um jogador de futebol, ao longo de um
campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em
gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse
jogador fez?
a) 6 b) 10 c) 12 d) 15

44. CONCURSOS .
6) Arthur ganha R$ 320,00 por mês. Ele contribui
com o sindicato com uma taxa de 2%. Qual o valor
que Arthur paga ao sindicato?
a) R$ 6,00 c) R$ 6,20
b) R$ 6,40 d) R$ 7,00
7) Roseane quer comprar um fogão. O preço a
prazo é R$ 250,00. Se ela pagar à vista, terá 20%
de desconto. Qual o preço do fogão à vista?
a) R$ 180,00 c) R$ 220,00
b) R$ 200,00 d) R$ 50,00
8) Em um colégio, 25% dos alunos são rapazes e
35% são moças. Sabendo-se que existem 600
crianças, calcule o número de alunos do colégio.
a) 1500 c) 1200
b) 1400 d) 1000
9) Num quintal, 25% dos animais são galinhas;
35% são patos. Sabendo-se que há 80 perus,
calcule quantos animais existem no quintal.
a) 100 c) 200
b) 150 d) 250
10) Em um Banco, 10% dos funcionários são
chefes, 30% são escriturários, havendo 12000
auxiliares. Calcule o numero de funcionários do
Banco.
a) 18000 c) 25000
b) 20000 d) 30000
AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS
Quando falamos em aumentos ou diminuições em
porcentagem precisamos de uma maneira prática
para resolver os problemas. Sendo assim,
oferecemos a fórmula:
 iVV IF  1
Onde:
FV → Valor Final
IV → Valor Inicial
i → porcentagem em decimal
ATENÇÃO:
→ Usa-se o sinal de mais se o problema se referir
a aumento percentual.
→ Usa-se o sinal de menos se o problema se
referir a diminuição percentual.
Exemplo 1:
Uma mercadoria custa R$ 520,00, mas sofrerá um
aumento de 15%. Qual o novo valor da mercadoria
após o reajuste?
Exemplo 2:
Uma geladeira custa R$ 1.240,00, mas sofrerá um
aumento de R$ 220,00. Qual a taxa percentual de
aumento?
Exemplo 3:
Paguei uma duplicata de R$ 12.000,00 com 20%
de abatimento. Calcule o valor liquido pago.
Exemplo 4:
Um comerciante recebeu um desconto de R$
300,00 numa compra cujo valor era de R$
2.400,00. Calcule a taxa de desconto.
CALCULO DE VARIAÇÃO DE
TAXAS PERCENTUAIS