1. ÈÖÓÔÙ ×Ø ËÓÐÙ
ÓÒ Ö Ó
ÁÒ º Ð
ØÖ Ò
¶
Ú ËØ Ú Ò ÀÓÝÓ× ¹ Ò Ö × ÖÑ Ò Å ÐÐ
ËÙÑ × Ê Ñ ÒÒ¸ Ä ÒØ Ö Ð Ò È × ½¸ Ý
Ò ×Ø Ø ÐÐ Ö Ö ÑÓ× Ù×Ó Ð × ÔÖÓÔ × Ð × ×ÙÑ ØÓÖ ×¸ × Ò Ñ Ö Ó¸ ÑÙ
Ó×
ÒÓ × ÑÓ× ÓÒ × Ð Ó Ð ×ÙÑ ØÓÖ i¸ i Ý
2
i3 º ÈÓÖ ×Ø Ö Þ Ò ÒØ × Ö ×ÓÐÚ Ö
Ð Ø ÐÐ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× Ö
Ð ÖÓ ÕÙ × Ò
º
i ØÓÑ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × × ½ ×Ø n¸ ×
Ö¸ 1, 2, 3, 4, 5, ..., nº × ¸ Ð ×ÙÑ ØÓÖ i ÒÓ ×
Ñ × ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð ×º
ÓÖ ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÕÙ
n
n(n + 1)
i=
i=1 2
(i + 1)2 = i2 + 2i + 1
(i + 1)2 − i2 = 2i + 1
ÓÖ ÑÓ×Ð Ú ÐÓÖ × i Ý ÐÙ Ó ×ÙÑ ÑÓ× Ð ×
Ù
ÓÒ ×
22 − 12 = 2(1) + 1 Ë i=1
32 − 22 = 2(2) + 1 Ë i=2
42 − 32 = 2(3) + 1 Ë i=3
52 − 42 = 2(4) + 1 Ë i=4
º
º º º º
º − º =
º º
º + º
º
(n + 1)2 2
− n = 2(n) + 1 Ë i=n
(n + 1)2 − 1 = 2 n i +
i=1 n
n
n2 + 2n + 1 − 1 − n
i =
i=1 2
n
n(n + 1)
i =
i=1 2
È Ö i2 Ð Ú ÑÓ× Ð ÜÔÖ × Ò Ð
Ù Ó Ý Ô Ö i3 Ð Ð Ú ÑÓ× Ð
Ù ØÖÓº ÓÑÔÖ Ò Ö Ò
ÕÙ Ð Ö
Ó × Ö Ù
× ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ö º Ò¸ ÓÖ ÑÔ Þ Ö ÑÓ×
ÓÒ Ð Ø ÐÐ Ö
ÆÓº
¶ Ú ËØ Ú Ò ÀÓÝÓ× Ð¹ Ò Ö × ÖÑ Ò Å ÐÐ
½

2. È ½
½µ
f (k) = k 3 Ò ¼¸¿℄
m
f (ki )∆k
i=1
3 3
x1 = ∆k = m
m
3 3i
x2 = 2 xi = m
m
m 3
3i 3
A≈ .
i=1 m m
m
81i3
A = l´
ım 4
i=1 m
m→∞
m
81
A = 4 l´
ım i3
m m→∞ i=1
2
81 m(m + 1)
A = 4 m→∞l´
ım
m 2
81 m + 2m3 + m2
4
A= l´
ım
4 m→∞ m4
81
A=
4
½µ
n
l´
ım
n→∞
(2xi − 1)∆x Ò ½¸¿℄
i=1
3
(2x − 1) dx
1
3
(x2 − x)
1
(9 − 3) − (1 − 1) = 6
mi × Ð ÔÖÓÑ Ó ÒØÖ xi Ý xi−1 ¸ Ô ÖÓ ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ù× Ö
Ù ÐÕÙ Ö ÜØÖ ÑÓº
¿µ
n
√
l´
ım
n→∞
mi ∆x Ò ¸ ℄
i=1
9
x∗ dx
i
4
9
2 3
x2
3 4
2√ 3 2√
9 − 43
3 3
2 2
.(27) − .(8)
3 3
54 16 38
− =
3 3 3

3. µ
n
l´
ım
n→∞
(sin 2πmi )∆x Ò ½¸½»¾℄
i=1
1
2
(sin 2π)x∗ dx
i sin 2π = 0
1
1
2
0 dx = 0
1
ÓÖ
ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓ×
ÓÒ Ð Ô
½µ
t2 √
f (t) = 1 + x3 dx ÈÓÖ Ð Ìº º º
0
√
f ′ (t) = 1 + t6 (2t)
¿µ
sin t √
f (t) = 1 − x2 dx ÈÓÖ Ð Ìº º º
0
f ′ (t) = 1 − sin2 t(cos t)
f ′ (t) = cos2 t
µ Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒØ ÒÙ f Ô Ö x > 0 Ø Ð ÕÙ
x2 √ 1 √
(1 + t)f (t) dt = √ 1 + t2 dt
2 x
√
x2 √ x √
(1 + t)f (t) dt = − 1 + t2 dt ÈÓÖ Ð Ìº º º
2 1
√ 1
f (x2 )(1 + x)2x = − 1+x √
2 x
√
1+x
f (x2 ) = − √
4x x(1 + x)
1
f (x2 ) = − 3 1 Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó x2 ÔÓÖ t Ø Ò ÑÓ×
4x 2 (1 + x) 2
1
f (t) = − 3 1 1
4t 4 (1 + t 2 ) 2
1 3 1 1
f (t) = − t− 4 (1 + t 2 )− 2
4

4. ½¼µ Ë f Ð ÙÒ
Ò Ò ÔÓÖ
√
s3 9 + 2u
f (s) = du
1 u2
º Ë G(y) = y
0 f (s) ds¸ Ò
Ù ÒØÖ G′′ (2)º
G′ (y) = f (y) ÈÓÖ Ð Ìº º º
3
√
y 9 + 2u
G′ (y) = du
1
√ u2
9 + 2y 3 2
G′′ (y) = 3y ÓØÖ Ú Þ Ìº º º
y6
9 + 2(2)3 15
′′
G (2) = 3(2)2 =
(2)6 16
½¿µ Ò
ÓÒØÖ Ö ÙÒ ÙÒ
Ò
ÓÒØ ÒÙ f Ô Ö z > o Ø Ð ÕÙ
z3 √ 1 √
(5 +
3
t) f (t) dt + 1 + t3 dt = 5z 2 ÈÓÖ Ð Ìº º º
2 2z
z3 √ 2z √
1 + t3 dt = 5z 2
3
(5 + t) f (t) dt −
2 1
√
(5 + z) f (z 3 ) 3z 2 − 2 1 + 8z 3 = 10z
√
3 10z + 2 1 + 8z 3
f (z ) =
(5 + z)3z 2
√
3
√
10 t + 2 1 + 8t
f (t) = √ 2
(5 + 3 t)3t 3
Ò¸ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ö ÑÓ×
ÓÒ ÐÓ× Ö
Ó× Ð Ô Ò º
½µ
3 5
dh
1 h2
3
5 h−2 dh
1
3
1
−5
h 1
5
− − (−5)
3
15 5 10
− =
3 3 3
µ
3 10
dt
1 (2t + 3)2
2
5 dt u = 2t + 3 du = 2t dt
(2t + 3)2
1
5 du
u2

5. 5
− +c
u
5 3
−
2t + 3 1
5
− − (−1)
9
9 5 4
− =
9 9 9
½ µ ×Ø ÒØ Ö Ð¸
ÓÑÓ ÐÓ ÔÙ ÖÓÒ ÒÓØ Ö Ò
Ð ×
ÖÓ ÔÙ × Ø Ò Ð Ñ ×Ñ Ö
ÔÓÖ Ò
Ñ Ý ÔÓÖ Ó Ð xº ÄÓ Ñ ÓÖ × Ú ÖÐ Ò Ó× ÒØ Ö Ð × ÓÒ cos r ×
ÚÙ ÐÚ
ÖÓº ×ØÓ × Ò 2 º
π
π
sin2 r cos r dr
0
π
2
π
sin2 r cos r dr − π
sin2 r cos r dr
0 2
π
π
sin3 r 2
sin3 r
−
3 0
3 π
2
1 1 2
− − =
3 3 3
½ µ
π
8
sec2 2t dt
0
1
π
8
2 sec2 2t dt u = 2t du = 2 dt
2 0
1
sec2 u du
2
1
tan u + c
2
π
1 8
tan 2t
2 0
1 π 1
tan 2 − tan 0
2 8 2
1 π 1
tan =
2 4 2
¾½µ
8
y y + 1 dy u=y du = dy
0
√ 2 3
dv = y + 1 v = (y + 1) 2
3
2 3 2 3
y(y + 1) 2 − (y + 1) 2 dy w =y+1 dw = dy
3 3
2 3 2 3
y(y + 1) 2 − (w) 2 dw
3 3
2 3 2 2 5
y(y + 1) 2 − (w) 2 + c
3 3 5

6. 2 3 4 5
y(y + 1) 2 − (y + 1) 2 + c
3 15
8
2 3 4 5
y(y + 1) 2 − (y + 1) 2
3 15 0
2 3 4 5 4
(8)(9) 2 − (9) 2 − −
3 15 15
4 324
144 + −
15 5
2160 4 972 1192
+ − =
15 15 15 15
¾ µ
4
y 4 − y dy u=y du = dy
0
√ 2 3
dv = 4 − y v = − (4 − y) 2
3
2 3 2 3
− y(4 − y) 2 + (4 − y) 2 dy w =4−y −dw = dy
3 3
2 3 2 3
− y(4 − y) 2 − (w) 2 dw
3 3
2 3 2 2 5
− y(4 − y) 2 − (w) 2 + c
3 3 5
2 3 4 5
− y(4 − y) 2 − (4 − y) 2 + c
3 15
4
2 3 4 5
− y(4 − y) 2 − (4 − y) 2
3 15 0
4 5
0 − − (4) 2
15
4 128
(32) =
15 15
Ù ÐÕÙ Ö Ù Ó
ÓÑ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ ÚÓÖ Ñ Ò ÖÐÓ ÐÓ×
ÓÖÖ Ó× Ú ÓÝÓ× Ð¾¼¼ Ñ Ðº
ÓÑ
Ò Ö × Ñ ÐÐ Ñ Ðº
ÓÑ