1. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e
David Mori˜a Soler
n
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

2. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Contingut
1
Introducci´
o
2
El proc´s INAR(1)
e
3
El proc´s INAR(2)
e
4
El proc´s INMA(1)
e
5
El proc´s INMA(2)
e
6
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
7
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

3. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Introducci´
o
Les s`ries temporals de recomptes apareixen quotidianament.
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

4. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Introducci´
o
Les s`ries temporals de recomptes apareixen quotidianament.
e
Normalment, aquestes s`ries consisteixen en una successi´ de
e
o
nombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaci´
o
cont´
ınua resulten inadequats per a aquests casos.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

5. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Introducci´
o
Les s`ries temporals de recomptes apareixen quotidianament.
e
Normalment, aquestes s`ries consisteixen en una successi´ de
e
o
nombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaci´
o
cont´
ınua resulten inadequats per a aquests casos.
L’an`lisi cl`ssica de s`ries temporals resulta inadequada, perqu`
a
a
e
e
assumeix normalitat en les variacions aleat`ries de la s`rie.
o
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

6. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Comentarem alguns casos especials de models coneguts com
integer-valued autoregressive (INAR) i moving average processes
(INMA).
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

7. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Comentarem alguns casos especials de models coneguts com
integer-valued autoregressive (INAR) i moving average processes
(INMA).
Finalment, els resultats te`rics s’aplicaran a un parell de casos
o
concrets: El conjunt de dades conegut com F¨rth data i un
u
recompte dels ingressos en un centre hospitalari per causes
atribu¨
ıbles a la grip, que evidenciar` el problema de l’estacionalitat
a
en aquest context.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

8. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(1)
e
Un proc´s INAR(1) {Xt , t ∈ Z} es defineix per
e
Xt = a ◦ Xt−1 + Wt ,
amb Wt una successi´ de variables aleat`ries independents i
o
o
id`nticament distribu¨
e
ıdes, amb distribuci´ de Poisson de par`metre
o
a
λ.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

9. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(1)
e
Un proc´s INAR(1) {Xt , t ∈ Z} es defineix per
e
Xt = a ◦ Xt−1 + Wt ,
amb Wt una successi´ de variables aleat`ries independents i
o
o
id`nticament distribu¨
e
ıdes, amb distribuci´ de Poisson de par`metre
o
a
´ molt semblant al proc´s gaussi` AR(1), definit per
e
a
λ. Es
Xt = a · Xt−1 + Wt
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

10. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(1)
e
L’operador binomial thinning es pot definir per
Xt−1
a ◦ Xt−1 ≡ Y1,t−1 + Y2,t−1 + . . . + YXt−1 ,t−1 =
Yi,t−1 ,
i=1
amb els Yi,t−1 variables aleat`ries i.i.d. amb distribuci´ de
o
o
Bernoulli amb P(Yi,t−1 = 1) = a i P(Yi,t−1 = 0) = 1 − a.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e
(1)

11. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(1)
e
Els processos INAR(1) es poden englobar en una classe m´s `mplia
e a
de processos autorregressius lineals de primer ordre (CLAR(1)),
que inclouen molts models no gaussians AR(1) de gran utilitat.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

12. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(1)
e
Els processos INAR(1) es poden englobar en una classe m´s `mplia
e a
de processos autorregressius lineals de primer ordre (CLAR(1)),
que inclouen molts models no gaussians AR(1) de gran utilitat.
Un model INAR(1) es pot interpretar com un proc´s de naixement
e
i mort o b´ com una cua infinita.
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

13. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Estimaci´ dels par`metres
o
a
M`tode dels moments:
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

14. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Estimaci´ dels par`metres
o
a
M`tode dels moments: Pel model INAR(1), suposant que
e
segueix una llei Poisson (λ), l’estimador de Yule-Walker de a
´s l’autocorrelaci´ mostral de primer ordre, i l’estimador de λ
e
o
¯
´s (1 − ˆYW )X .
e
a
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

15. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
M`xima versemblan¸a:
a
c
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

16. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
M`xima versemblan¸a: Els estimadors anomenats conditional
a
c
least square (CLS) van ser introdu¨ per Klimko i Nelson al
ıts
1978, i per al cas d’un model INAR(1), suposant de nou llei
Poisson (λ), v´nen donats per
e
ˆCLS =
a
(T − 1)
(T −
T
T
T
t=2 Xt Xt−1 −
t=2 Xt
t=2 Xt−1
T
2 −( T X
2
1) t=2 Xt−1
t=2 t−1 )
T
T
ˆ
λCLS = (T − 1)−1
Xt − ˆCLS
a
t=2
David Mori˜a Soler
n
Xt−1
t=2
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

17. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INAR(2) ´s una extensi´ natural de l’INAR(1), i es
e
e
o
defineix com
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

18. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INAR(2) ´s una extensi´ natural de l’INAR(1), i es
e
e
o
defineix com
Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt ,
(2)
amb Wt una seq¨`ncia de variables aleat`ries independents i
ue
o
id`nticament distribu¨
e
ıdes, amb distribuci´ de Poisson de par`metre
o
a
λ i ◦ ´s l’operaci´ que s’ha definit abans.
e
o
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

19. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INAR(2) ´s una extensi´ natural de l’INAR(1), i es
e
e
o
defineix com
Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt ,
(2)
amb Wt una seq¨`ncia de variables aleat`ries independents i
ue
o
id`nticament distribu¨
e
ıdes, amb distribuci´ de Poisson de par`metre
o
a
λ i ◦ ´s l’operaci´ que s’ha definit abans. Hi ha maneres
e
o
alternatives de definir els processos INAR(2).
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

20. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Estimaci´ dels par`metres
o
a
Els estimador de Yule-Walker es poden deduir de les
autocorrelacions de primer i segon ordre:
ρ(k) =
ˆ
T
¯
t=k+1 (Xt − X )(Xt−k
¯
T −1 T (Xt − X )2
t=1
(T − k)−1
David Mori˜a Soler
n
¯
− X)
, k = 1, 2
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

21. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Estimaci´ dels par`metres
o
a
Els estimador de Yule-Walker es poden deduir de les
autocorrelacions de primer i segon ordre:
ρ(k) =
ˆ
T
¯
t=k+1 (Xt − X )(Xt−k
¯
T −1 T (Xt − X )2
t=1
(T − k)−1
¯
− X)
, k = 1, 2
Si assumim que el proc´s ´s un INAR(2) i segueix una llei de
e e
Poisson, l’equaci´ diferencial de segon ordre que hem vist que
o
complia la ACF d’aquest model ens d´na els estimadors de
o
Yule-Walker de a1 i a2 :
a1 = ρ(1); a2 = ρ(2) − ρ(1)2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

22. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
En aquest cas, l’estimador de λ es pot calcular a partir de
l’esperan¸a d’aquest model, i ´s
c
e
ˆ
λ = (1 − a1 − a2 )X
ˆ
ˆ ¯
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

23. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INMA(1)
e
Els dos models anteriors es basen en el fet que un proc´s {Xt } es
e
pot representar a partir d’un nombre finit de valors del passat
d’aquest proc´s. Suposem que tenim unes dades que podem
e
modelitzar per un proc´s INAR(p), amb p = 1, 2. Aleshores, la
e
distribuci´ marginal de Xt ´s la mateixa que la de
o
e
∞
cj ◦ Wt−j + Wt
i=1
on cj = aj si p = 1 i c1 = a1 , cj = a1 cj−1 + a2 cj−2 , j = 2, 3, . . . si
p = 2.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

24. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Suposant que el proc´s segueix una llei de Poisson de par`metre λ,
e
a
la mitjana i la vari`ncia del proc´s v´nen donats per
a
e e
E[Xt ] = Var (Xt ) = (1 + b)λ.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

25. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Estimaci´ dels par`metres
o
a
Els estimadors de Yule-Walker es poden obtenir a partir de
l’esperan¸a del model que hem vist:
c
ˆ
b=
¯
X
ρ(1) ˆ
ˆ
;λ =
ˆ
1 − ρ(1)
ˆ
1+b
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

26. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
El proc´s INMA(2)
e
El proc´s INMA(2) ´s una extensi´ dels processos INMA(1), amb
e
e
o
estructura
Xt = b1 ◦ Wt−1 + b2 ◦ Wt−2 + Wt ,
on els par`metres bi ∈ [0, 1], per i = 1, 2. S’assumeix que les
a
operacions bi ◦ Wt−i es realitzen de manera independent, i = 1, 2
entre elles i tamb´ de manera independent en el temps.
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

27. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Els moments d’aquest proc´s s´n
e o
E[Xt ] = Var (Xt ) = λ(1 + b1 + b2 ), i la seva ACF ´s
e
ρ=
2−k
i=0 bi bi+k
1+b1 +b2
si k = 1, 2
0 si k > 2
amb b0 = 1.
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

28. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Estimaci´ dels par`metres
o
a
A partir de l’esperan¸a del model que hem vist, es poden deduir els
c
estimadors de Yule-Walker per al cas dels models INMA(2),
suposant que segueixen llei de Poisson(λ):
ρ(1) − 1 + [(1 − ρ(1))2 + 4ˆ(1)ˆ(2)]1/2
ˆ
ˆ
ρ ρ
ˆ
b1 =
2ˆ(2)
ρ
ρ(1) + 2ˆ(2) − 1 + [(1 − ρ(1))2 + 4ˆ(1)ˆ(2)]1/2
ˆ
ρ
ˆ
ρ ρ
ˆ
b2 =
2(1 − ρ(2))
ˆ
¯
X
ˆ
λ=
ˆ1 + b2
ˆ
1+b
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

29. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

30. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Figura: Dades de F¨rth
u
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

31. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Figura: Ingressos per grip
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

32. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
La funci´ d’autocorrelaci´ i la funci´ d’autocorrelaci´ parcial
o
o
o
o
indiquen que un model INAR(2) pot resultar adequat per a
aquestes dades:
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

33. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Figura: Funci´ d’autocorrelaci´
o
o
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

34. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
Figura: Funci´ d’autocorrelaci´ parcial
o
o
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e

35. Introducci´
o
El proc´s INAR(1)
e
El proc´s INAR(2)
e
El proc´s INMA(1)
e
El proc´s INMA(2)
e
Aplicaci´ a la s`rie de F¨rth
o
e
u
Aplicaci´ a la s`rie d’ingressos per grip
o
e
`
MOLTES GRACIES!!!
David Mori˜a Soler
n
S`ries temporals discretes amb aplicacions
e