derivacion implicita

1. Definición
Función Implícita: Es aquella función en la que
la variable dependiente y, se halla mezclada
con la variable independiente x, se puede
expresar como:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0
4𝑥5
𝑦3
+ 2𝑥3
𝑦2
− 3𝑥𝑦 + 2 = 0

2. Derivación Implícita
Es la derivada que se realiza directamente sobre una función
implícita. En este tipo de funciones, como se indico
anteriormente, la variable y se halla mezclada con la variable
x, de la que depende, de forma que cada vez que derivemos la
variable y tendremos que multiplicarla por el término
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦´
A nivel práctico puede decirse que la variable y, se derivará
como si fuese una x, para a continuación multiplicarla por y´.
Ejemplo: se tiene 𝑥5 𝑦3 cuya derivada será realizada como un
producto, esto es:
5𝑥2 𝑦3 + 𝑥5 3𝑦2 𝑦´

3. Derivar4𝑥5
𝑦3
+ 2𝑥3
𝑦2
− 3𝑥𝑦 + 2 = 0
En primer lugar derivamos la función, de la siguiente manera:
4 5 𝑥4 𝑦3 + 4 3 𝑥5 𝑦2 𝑦´ + 2 3 𝑥2 𝑦2 + 2 2 𝑥3 𝑦𝑦´ − 3𝑦 − 3𝑥𝑦´ = 0
Simplificamos
20𝑥4 𝑦3 + 12𝑥5 𝑦2 𝑦´ + 6𝑥2 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦𝑦´ − 3𝑦 − 3𝑥𝑦´ = 0
A continuación sacamos factor común y
20𝑥4
𝑦3
+ 6𝑥2
𝑦2
− 3𝑦 + 12𝑥5
𝑦2
+ 4𝑥3
𝑦 − 3𝑥 𝑦´ = 0
Transponiendo todos los términos que no contenga y´, se tendrá:
12𝑥5 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦 − 3𝑥 𝑦´ = − 20𝑥4 𝑦3 + 6𝑥2 𝑦2 − 3𝑦
Todos los términos que se transponen, se cambian de signo, es mejor
sacar éste factor común, de esta forma todas las derivadas implícitas serán
negativas.
Se despeja y´ 𝑦´ = −
20𝑥4 𝑦3+6𝑥2 𝑦2−3𝑦
12𝑥5 𝑦2+4𝑥3 𝑦−3𝑥

4. PROCEDIMIENTO CORTO
Este tipo de derivadas se pueden realizar de una forma más corta.
1) La derivada siempre es negativa, debido a la transposición de
términos
2) Los términos que no van asociados a y´ irán directamente, con su
signo correspondiente, al numerador. En la ecuación son los
términos que van señalados una N.
3) Los términos que van asociados a y´ irán directamente, con su signo
correspondiente, al denominador. En la ecuación son los términos
que van señalados con una D.
De esta forma derivando, por este procedimiento, el problema anterior
quedará:

5. Es fácil darse cuenta que la derivada puede hacerse
directamente, es decir, cada vez que se derive un término que
no tenga y´ se situará directamente en el numerador y cada
vez que se derive un término que halle asociado a y´, se
situará directamente en el denominador. La derivada seguirá
siendo negativa por la razón apuntada anteriormente.

6. Hallar la derivada implícita
𝑥3
𝑦3
+ 𝑥𝑦 + 𝑥3 𝑦 + 4 = 0
Reescribimos 𝑥3
𝑦3
+ 𝑥𝑦 + 𝑥3
𝑦
1
2 + 4 = 0 𝑥3
𝑦
1
2 = 𝑥
3
2 𝑦
1
2
Derivamos implícitamente
3𝑥2
𝑦3
+ 3𝑥3
𝑦2
𝑦´ + 𝑦 + 𝑥𝑦´ +
3
2
𝑥−1
2 𝑦
1
2 +
1
2
𝑥
3
2 𝑦−1
2 𝑦´ = 0
Se saca factor común y´ y se despeja
3𝑥3 𝑦2 + 𝑥 +
1
2
𝑥
3
2 𝑦−1
2 𝑦´ = − 3𝑥2 𝑦3 + 𝑦 +
3
2
𝑥
1
2 𝑦
1
2
𝑦´ = −
3𝑥2 𝑦3 + 𝑦 +
3
2
𝑥
1
2 𝑦
1
2
3𝑥3 𝑦2 + 𝑥 +
1
2
𝑥
3
2 𝑦−1
2