1. Arquimedes 1
Arquimedes
Arquimedes de Siracusa
pintura de Domenico Fetti (1620)
Conhecido(a) por Alavanca, Hidrostática, Parafuso de Arquimedes, infinitesimais
Nascimento ca. 287 a.C.
Siracusa, Sicília, Magna Grécia
Morte ca. 212 a.C. (75 anos)
Siracusa, Sicília, Magna Grécia
Ocupação Inventor, físico, matemático, filósofo e engenheiro.
Principais interesses Astronomia, Matemática, Engenharia, Física
Arquimedes de Siracusa (em grego: Ἀρχιμήδης; Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.) foi um matemático, físico,
engenheiro, inventor, e astrônomo grego. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para
que seja considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica.
Entre suas contribuições à Física, estão as fundações da hidrostática e da estática, tendo descoberto a lei do empuxo e
a lei da alavanca, além de muitas outras. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas para usos militar e civil,
incluindo armas de cerco, e a bomba de parafuso que leva seu nome. Experimentos modernos testaram alegações de
que, para defender sua cidade, Arquimedes projetou máquinas capazes de levantar navios inimigos para fora da água
e colocar navios em chamas usando um conjunto de espelhos.
[]
Arquimedes é frequentemente considerado o maior matemático da antiguidade, e um dos maiores de todos os tempos
(ao lado de Newton, Euler e Gauss).
[][][] [][1][2]
Ele usou o método da exaustão para calcular a área sob o arco de uma
parábola utilizando a soma de uma série infinita, e também encontrou uma aproximação bastante acurada do número
π.
[3]
Também descobriu a espiral que leva seu nome, fórmulas para os volumes de superfícies de revolução e um
engenhoso sistema para expressar números muito grandes.
Durante o Cerco a Siracusa, Arquimedes foi morto por um soldado romano, mesmo após os soldados terem recebido
ordens para que não o ferissem, devido à admiração que os líderes romanos tinham por ele. Anos depois, Cícero
descreveu sua visita ao túmulo de Arquimedes, que era encimado por uma esfera inscrita em um cilindro.
Arquimedes tinha provado que a esfera tem dois terços do volume e da área da superfície do cilindro a ela
circunscrito (incluindo as bases do último), e considerou essa como a maior de suas realizações matemáticas.
[4]

2. Arquimedes 2
Arquimedes teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado, entre outros,
Galileu Galilei, Christiaan Huygens e Isaac Newton.
[5][6][7][8][9]
Biografia
Esta estátua de bronze de Arquimedes localiza-se
no Observatório Archenhold em Berlim. Ela foi
esculpida por Gerhard Thieme, e apresentada em
1972.
Arquimedes nasceu por volta de 287 a.C. na cidade portuária de
Siracusa, na Sicília, naquele tempo uma colônia auto-governante na
Magna Grécia. A data de nascimento é baseada numa afirmação do
historiador grego bizantino João Tzetzes, de que Arquimedes viveu 75
anos.
[10]
Em sua obra O Contador de Areia, Arquimedes conta que seu
pai se chamava Fídias, um astrônomo sobre quem nada se sabe
atualmente. Plutarco escreveu em Vidas Paralelas que Arquimedes era
parente do Rei Hierão II, o governante de Siracusa.
[11]
Uma biografia
de Arquimedes foi escrita por seu amigo Heráclides, mas esse trabalho
foi perdido, deixando os detalhes de sua vida obscuros.
[]
É
desconhecido, por exemplo, se ele se casou ou teve filhos. Durante sua
juventude, Arquimedes talvez tenha estudado em Alexandria, Egito,
onde Conon de Samos e Eratóstenes de Cirene foram contemporâneos.
Ele se referiu a Conon de Samos como seu amigo, enquanto dois de seus trabalhos (O Método dos Teoremas
Mecânicos e o O Problema Bovino) têm introduções destinadas a Eratóstenes.
[a]
Arquimedes morreu em circa. 212 a.C. durante a Segunda Guerra Púnica, quando forças romanas sob o comando do
General Marco Cláudio Marcelo capturaram a cidade de Siracusa após um cerco de dois anos. Existem diversas
versões sobre sua morte. De acordo com o relato dado por Plutarco, Arquimedes estava contemplando um diagrama
matemático quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer General Marcelo,
mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de trabalhar no problema. O soldado ficou furioso com isso, e
matou Arquimedes com sua espada. Plutarco também oferece um relato menos conhecido da morte de Arquimedes,
que sugere que ele pode ter sido morto enquanto tentava se render a um soldado romano. De acordo com essa
história, Arquimedes estava carregando instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou que fossem
itens valiosos. O General Marcelo teria ficado irritado com a morte de Arquimedes, visto que o considerava uma
posse científica valiosa, e tinha ordenado que ele não fosse ferido.
[]

3. Arquimedes 3
Uma esfera tem 2/3 do volume e área da
superfície de seu cilindro circunscrito. Uma
esfera e um cilindro foram colocados sobre o
túmulo de Arquimedes, de acordo com seu
pedido.
As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são "Não perturbe meus
círculos" (em grego: μή μου τούς κύκλους τάραττε), uma referência
aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando quando
perturbado pelo soldado romano. Esta citação é muitas vezes dada em
Latim como "Noli turbare circulos meos," mas não há nenhuma
evidência confiável de que Arquimedes pronunciou estas palavras e
elas não aparecem no relato dado por Plutarco.
[]
O túmulo de Arquimedes continha uma escultura ilustrando sua
demonstração matemática favorita, consistindo de uma esfera e um
cilindro de mesma altura e diâmetro. Arquimedes tinha provado que o
volume e a área da superfície da esfera são dois terços da do cilindro
incluindo suas bases. Em 75 a.C, 137 anos após sua morte, o orador
romano Cícero estava trabalhando como questor na Sicília. Ele tinha
ouvido histórias sobre o túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos
moradores foi capaz de lhe dar a localização. Após algum tempo, ele
encontrou o túmulo próximo ao Portão de Agrigentino em Siracusa, em
condição negligenciada e coberto de arbustos. Cícero limpou o túmulo,
e foi capaz de ver a escultura e ler alguns dos versos que haviam sido adicionados como inscrição.
[12]
As versões conhecidas a respeito da vida de Arquimedes foram escritas muito tempo depois de sua morte pelos
historiadores da Roma Antiga. O relato do cerco a Siracusa dado por Políbio em seu História Universal foi escrito
por volta de setenta anos depois da morte de Arquimedes, e foi utilizado posteriormente como fonte por Plutarco e
Lívio. Ele esclarece pouco sobre Arquimedes como uma pessoa, e centra-se nas máquinas de guerra que ele
supostamente construiu a fim de defender a cidade.
[13]
Descobertas e invenções
A coroa de ouro
É possível que Arquimedes tenha usado seu
princípio do empuxo para determinar se a coroa
era menos densa que ouro puro.
A anedota mais conhecida sobre Arquimedes conta sobre como ele
inventou um método para determinar o volume de um objeto de forma
irregular. De acordo com Vitrúvio, uma coroa votiva para um templo
tinha sido feita para o Rei Hierão II, que tinha fornecido ouro puro para
ser usado, e Arquimedes foi solicitado a determinar se alguma prata
tinha sido usada na confecção da coroa pelo possivelmente desonesto
ferreiro.
[14]
Arquimedes tinha que resolver o problema sem danificar a
coroa, de forma que ele não poderia derretê-la em um corpo de formato
regular, a fim de encontrar seu volume para calcular a sua densidade.
Enquanto tomava um banho, ele percebeu que o nível da água na
banheira subia enquanto ele entrava, e percebeu que esse efeito poderia
ser usado para determinar o volume da coroa. Para efeitos práticos, a
água é incompressível,
[15]
assim a coroa submersa deslocaria uma
quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da
coroa pelo volume de água deslocada, a densidade da coroa podia ser
obtida. Essa densidade seria menor do que a do ouro se metais mais

4. Arquimedes 4
baratos e menos densos tivessem sido adicionados. Arquimedes teria ficado tão animado com sua descoberta que
teria esquecido de se vestir e saído gritando pelas ruas "Eureka!" (em grego: "εὕρηκα!," significando "Encontrei!").
O teste foi realizado com sucesso, provando que prata realmente tinha sido misturada.
[16]
A história da coroa de ouro não aparece nas obras conhecidas de Arquimedes. Além disso, a praticidade do método
descrito tem sido posta em dúvida, devido à extrema acurácia com que se teria que medir o deslocamento de água.
[]
Arquimedes pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido em hidrostática como princípio de
Arquimedes, que ele descreveu em seu tratado Sobre os Corpos Flutuantes. Esse princípio afirma que um corpo
imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca.
[17]
Usando esse princípio,
teria sido possível comparar a densidade da coroa de ouro à de ouro maciço equilibrando-se a coroa em uma balança
de braços iguais com uma amostra de ouro, e então imergindo-se o aparato na água. Se a coroa fosse menos densa
que ouro, ela deslocaria mais água, devido ao seu maior volume, e assim experimentaria uma força de empuxo maior
do que a amostra de ouro. Essa diferença de empuxo causaria a balança a inclinar-se de acordo. Galileu considerou
"provável que esse método é o mesmo que Arquimedes seguiu, uma vez que, além de ser bastante acurado, é
baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes."
[]
Num texto do século XII intitulado Mappae
clavicula, há instruções detalhadas sobre como realizar as pesagens dentro da água com o fim de calcular a
porcentagem de prata utilizada, e assim resolver o problema.
[18][19]
Além disso, o poema latino Carmen de
ponderibus et mensuris do século IV ou V d.C. descreve a utilização de uma balança hidrostática para solucionar o
problema da coroa, e atribui esse método a Arquimedes.
[18]
O Siracusia e o parafuso de Arquimedes
O parafuso de Arquimedes é capaz de elevar água
eficientemente.
Grande parte do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu para
satisfazer as necessidades de sua cidade natal, Siracusa. O escritor
grego Ateneu de Náucratis descreveu como o Rei Hierão II encarregou
Arquimedes de projetar um grande barco, o Siracusia, que poderia ser
utilizado para viagens de luxo, transporte de suprimentos, e como um
navio de guerra. É dito que o Siracusia foi o maior barco construído na
Antiguidade Clássica.
[20]
De acordo com Ateneu, ele era capaz de
carregar 600 pessoas e nele havia jardins decorativos, um gymnasion e
um templo dedicado à deusa Afrodite, dentre outras instalações. Uma
vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade
considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi
supostamente inventado para remover água da sentina. A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso
giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de
água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos
granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes tal como descrito por Vitrúvio nos tempos romanos
pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da
Babilônia.
[21][22][23]

5. Arquimedes 5
Parafusos de Arquimedes modernos que
substituíram alguns dos moinhos de
vento usados para drenar os pôlderes em
Kinderdijk na Holanda
A garra de Arquimedes
A garra de Arquimedes é uma arma supostamente projetada por Arquimedes
a fim de defender a cidade de Siracusa. Também conhecida como "sacudidora
de navios", a garra consistia em um braço de guindaste a partir do qual pendia
um grande gancho de metal. Quando a garra caia sobre um navio inimigo, o
braço era usado para balançar e levantar o navio para fora da água.
Experimentos modernos foram realizados para testar a viabilidade da garra, e
em 2005 um documentário de televisão intitulado Super-armas do Mundo
Antigo (Superweapons of the Ancient World) construiu uma versão da garra e
concluiu que era um dispositivo viável.
[24][25]
O raio de calor de Arquimedes
Arquimedes talvez tenha usado espelhos agindo
coletivamente como um refletor parabólico para
queimar navios que atacavam Siracusa.
Luciano de Samósata, escritor do século II, escreveu que durante o
Cerco a Siracusa (c. 214–212 a.C.), Arquimedes destruiu navios
inimigos com fogo. Séculos depois, Antêmio de Trales menciona
espelhos ustórios como a arma utilizada por Arquimedes.
[26]
O
dispositivo, algumas vezes chamado de "raio de calor de Arquimedes"
ou "raio solar de Arquimedes", teria sido usado para concentrar a luz
solar em navios que se aproximavam, levando-os a pegar fogo.
A credibilidade desta história tem sido objeto de debate desde o
Renascimento. René Descartes a considerou falsa, enquanto
pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito usando apenas os
meios que estavam disponíveis a Arquimedes.
[27]
Foi sugerido que
uma grande quantidade de escudos bem polidos de bronze ou cobre
atuando como espelhos poderiam ter sido utilizados para concentrar a
luz solar em um navio. Poderia ter-se usado o princípio do refletor
parabólico de maneira similar a um forno solar de alta temperatura.
Um teste do raio de calor de Arquimedes foi realizado em 1973 pelo
cientista grego Ioannis Sakkas. O experimento foi realizado na base naval de Skaramangas nos arredores de Atenas.
Nesta ocasião 70 espelhos foram usados, cada um com um revestimento de cobre e com um tamanho de
aproximadamente 5 por 3 pés (1,5 por 1 m). Os espelhos foram apontados a uma réplica de um navio romano, feita
de madeira compensada, a uma distância de aproximadamente 160 pés (50 metros). Quando os espelhos foram
enfocados com precisão, o navio irrompeu em chamas em questão de poucos segundos. O navio de madeira
compensada era revestido por tinta de betume, o que pode ter facilitado a combustão.
[28]
Em outubro de 2005, um grupo de estudantes do MIT conduziu um experimento com 127 espelhos quadrados com
lado de 1 pé (30 cm), focados em uma maquete de navio de madeira a uma distância de cerca de 100 pés (30 m).
Chamas surgiram em uma parte do navio, mas só depois de o céu estar sem nuvens e o navio ter permanecido

6. Arquimedes 6
estacionário por cerca de dez minutos. Concluiu-se que o dispositivo era uma arma viável nessas condições. O grupo
do MIT repetiu a experiência para o programa de televisão MythBusters, utilizando um barco pesqueiro de madeira
em São Francisco como o alvo. Novamente alguma carbonização ocorreu, juntamente com uma pequena quantidade
de chamas. Para pegar fogo, a madeira precisa atingir a sua temperatura de autoignição, que é de cerca de 300 °C
(570 °F).
[29][30]
Quando o MythBusters transmitiu o resultado do experimento de São Francisco, em janeiro de 2006, a afirmação foi
categorizada como mentira ("mito detonado") devido à duração de tempo e as condições climáticas ideais
necessárias para a combustão ocorrer. Também foi salientado que como Siracusa vê o mar a leste, a frota romana
teria de ter atacado durante a manhã para um ótimo acúmulo de luz usando-se os espelhos. O MythBusters também
salientou que armamento convencional, como flechas em chamas ou ainda catapultas, seria uma maneira muito mais
fácil de incendiar um navio a curta distância.
[]
Em dezembro de 2010, o MythBusters olhou novamente para a história do raio de calor em uma edição especial com
Barack Obama em destaque, intitulada President's Challenge (O Desafio do Presidente). Vários experimentos foram
realizados, incluindo um teste em larga escala com 500 crianças de escola mirando espelhos em uma maquete de um
barco romano a 400 pés (120 m) de distância. Em todos os experimentos, a vela não alcançou os 210 °C (410 °F)
necessários para que pegasse fogo, e o veredito foi novamente o de "detonado". O programa concluiu que um efeito
mais provável dos espelhos teria sido cegar, ofuscar, ou distrair a tripulação do navio.
[]
Outras descobertas e invenções
Apesar de Arquimedes não ter inventado a alavanca, ele deu uma explicação do princípio envolvido em sua obra
Sobre o Equilíbrio dos Planos. São conhecidas descrições anteriores da alavanca pela Escola Peripatética dos
seguidores de Aristóteles, e às vezes são atribuídas a Arquitas de Tarento.
[][]
De acordo com Pappus de Alexandria, o
trabalho de Arquimedes sobre as alavancas fez com que ele exclamasse: "Deem-me um ponto de apoio e moverei a
Terra." (em grego: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω)
[31]
Plutarco descreveu como Arquimedes projetou
sistemas de roldanas, permitindo a marinheiros a utilização do princípio da alavanca para levantar objetos que teriam
sido demasiado pesados para serem movidos de outra maneira.
[32]
Arquimedes também foi creditado pelo aumento
do poder e precisão da catapulta, e por inventar o hodômetro durante a Primeira Guerra Púnica. O hodômetro foi
descrito como um carrinho com um mecanismo de engrenagens que a cada milha percorrida derrubava uma bola em
um recipiente.
[33]
Cícero (106–43 a.C) menciona Arquimedes brevemente em seu diálogo De re publica, que retrata uma conversa
fictícia ocorrendo em 129 a.C. Foi dito que após a captura de Siracusa em circa 212 a.C, General Marco Cláudio
Marcelo levou a Roma dois mecanismos usados como ferramentas para estudos astronômicos, que mostravam os
movimentos do Sol, da Lua e de cinco planetas. Cícero menciona mecanismos similares projetados por Tales de
Mileto e Eudoxo de Cnido. O diálogo conta que Marcelo manteve um dos dispositivos como sua única pilhagem
pessoal de Siracusa, e doou o outro para o Templo da Virtude em Roma. De acordo com Cícero, Caio Sulpício Galo
fez uma demonstração do mecanismo de Marcelo para Lúcio Fúrio Filão, que o descreveu assim:
Original em latim Tradução para o português
Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem
conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex
quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret
luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.
Quando Galo moveu o globo, ocorreu que a Lua seguiu o Sol tantas voltas
nessa invenção de bronze como no próprio céu, a partir do qual também no
céu o globo do Sol passou a ter o mesmo eclipse, e a Lua veio então para
essa posição em que estava sua sombra sobre a Terra quando o Sol estava
alinhado.
[34][35]
Esta é uma descrição de um planetário ou aparelho de Orrery. Pappus de Alexandria disse que Arquimedes escreveu
um manuscrito (agora perdido) sobre a construção destes mecanismos intitulado Sobre a Construção de Esferas.

7. Arquimedes 7
Investigação moderna nesta área tem sido focada no mecanismo de Anticítera, outro dispositivo da antiguidade
clássica, que provavelmente foi usado para a mesma finalidade. A construção de mecanismos deste tipo teria exigido
um conhecimento sofisticado de engrenagens diferenciais. Pensava-se que isto estivesse fora do alcance da
tecnologia disponível nos tempos antigos, mas a descoberta do mecanismo de Anticítera, em 1902, confirmou que
dispositivos desse tipo eram conhecidos dos gregos antigos.
[36][37]
Trabalhos matemáticos
Arquimedes usou o método da exaustão para aproximar o valor de π.
Embora seja popularmente mais conhecido
como um inventor de dispositivos mecânicos,
Arquimedes também fez importantes
contribuições para o campo da matemática.
Plutarco escreveu: "Ele colocou todo o seu
afeto e ambição nessas especulações puras
onde não há referência às necessidades
vulgares da vida."
[38]
Arquimedes foi capaz de usar infinitesimais de
uma maneira que é semelhante ao moderno
cálculo integral, e frequentemente diz-se que é
muito provável que se os gregos antigos
possuíssem uma notação matemática mais
apropriada (tais como um sistema numérico
posicional e notação algébrica), ele teria inventado o cálculo.
[39][40][41]
Através de provas por contradição (reductio
ad absurdum), ele encontrou respostas aproximadas para problemas diversos, especificando os limites entre os quais
se encontrava a resposta correta. Esta técnica é conhecida como o método da exaustão, e ele empregou-o para
aproximar o valor de π (pi). Ele conseguiu isso desenhando um polígono regular inscrito e outro circunscrito a um
mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa
de um círculo. Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os comprimentos de seus lados (sabendo
o comprimento dos lados de um polígono regular de n lados, Arquimedes sabia como calcular o comprimento dos
lados de um polígono regular de 2n lados e mesmo raio)
[42]
e mostrou que o valor de π está entre 3
1
⁄7
(aproximadamente 3,1429) e 3
10
⁄71
(aproximadamente 3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416.
Ele também mostrou que a área de um círculo é igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo. Em Sobre a
Esfera e o Cilindro, além dos resultados principais, Arquimedes postulou que qualquer grandeza quando adicionada
a ela mesma suficientes vezes excederá qualquer grandeza dada. Este é o axioma de Arquimedes dos números
reais.
[43]
Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa o valor da raiz quadrada de 3 como estando entre
265
⁄153
(aproximadamente 1,7320261) e
1351
⁄780
(aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente
1,7320508, portanto foi uma estimativa muito precisa. Ele apresentou o resultado sem dar qualquer explicação sobre
o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava:
"...como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à
posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento
com os seus resultados."
[44]

8. Arquimedes 8
Como mostrado por Arquimedes, a área do
segmento parabólico na figura de cima é igual a
4/3 da do triângulo inscrito na figura de baixo.
Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área
delimitada por uma parábola e uma linha reta é
4
⁄3
vezes a área do
triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita.
Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica
infinita com a razão comum de
1
⁄4
:
Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é
a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas
secantes menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação
da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · cujo resultado é
1
⁄3
.
Em O Contador de Areia, Arquimedes se dispôs a calcular o número
de grãos de areia que o universo poderia conter. Ao fazê-lo, desafiou a
ideia de que o número de grãos de areia era grande demais para ser
contado. Ele escreveu: "Existem alguns, Rei Gelão (Gelão II, filho de
Hierão II), que pensam que o número de grãos de areia é infinito em
multitude; e eu me refiro a areia não só a que existe em Siracusa e no
resto da Sicília, mas também a que é encontrada em qualquer região,
seja habitada ou inabitada." Para resolver o problema, Arquimedes teve
que estimar o tamanho do universo de acordo com o modelo então
vigente, e inventar uma maneira de falar a respeito de números
extremamente grandes. Ele inventou uma forma de escrever números baseada na miríade. A palavra corresponde a
palavra grega μυριάς myriás, para o número 10 000. Propôs um sistema em que se utilizava uma potência de uma
miríada elevada a um miríada (100 milhões) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o
universo seria 8 vigintilhões, isto é, 8×10
63
.
[45]
Escritos
As obras de Arquimedes foram escritas em grego dórico, o dialeto falado na antiga Siracusa.
[46]
As obras escritas de
Arquimedes não foram conservadas tão bem quanto as de Euclides, e sabe-se da existência de sete de seus tratados
apenas através de referências feitas a eles por outros autores. Pappus de Alexandria menciona Sobre a Construção de
Esferas e outro trabalho sobre poliedros (ver poliedros de Arquimedes), ao passo que Téon de Alexandria cita uma
observação sobre a refração proveniente do agora perdido Catoptrica.
[b]
Durante sua vida, Arquimedes tornou seu
trabalho conhecido através de correspondências mantidas com matemáticos de Alexandria. Os escritos de
Arquimedes foram coletados pelo arquiteto bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d.C.), ao passo que comentários
escritos no século VI d.C. por Eutócio a respeito dos trabalhos de Arquimedes ajudaram a difundir seu trabalho a um
público mais amplo. O trabalho de Arquimedes foi traduzido para o árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d.C.), e
para o latim por Gerardo de Cremona (c. 1114–1187 d.C.). Durante o Renascimento, em 1544, o Editio Princeps
(Primeira Edição) foi publicado em Basileia por Johann Herwagen, com as obras de Arquimedes em grego e
latim.
[47]
Por volta do ano 1586 Galileu Galilei inventou uma balança hidrostática para a pesagem de metais no ar e
na água, aparentemente inspirado no trabalho de Arquimedes.
[48]

9. Arquimedes 9
Obras sobreviventes
Conta-se que de seu estudo sobre as alavancas
Arquimedes disse: Dê-me um ponto de apoio, e
moverei o mundo.
• Sobre o Equilíbrio dos Planos (dois volumes)
No primeiro livro constam sete postulados e quinze
proposições,
[49]
já no segundo livro constam dez proposições.
[49]
Neste trabalho Arquimedes explica a lei da alavanca, afirmando,
"As magnitudes estão em equilíbrio a distâncias inversamente
proporcionais a seus pesos."
Arquimedes usa os princípios derivados para calcular as áreas e
os centros de gravidade de várias figuras geométricas, incluindo
triângulos, paralelogramos e parábolas.
[]
•• Sobre as Medidas do Círculo
Trata-se de uma obra curta que consiste de apenas três proposições. Está escrita na forma de uma
correspondência com Dositeu de Pelúsio, um aluno de Conon de Samos. Na Proposição II, Arquimedes mostra
que o valor de π (pi) é maior que
223
⁄71
e menor que
22
⁄7
. Este último valor foi usado como uma aproximação
de π ao longo da Idade Média e ainda é usado quando um valor aproximado de π é suficiente. O método de
retificação da circunferência é uma aplicação direta da segunda proposição, na qual o diâmetro é dividido em
sete partes iguais e o comprimento da circunferência é aproximadamente igual a vinte e duas dessas partes.
[]
•• Sobre as Espirais
Neste trabalho constam 28 proposições. Também é destinado a Dositeu. O tratado define o que atualmente
chama-se de espiral de Arquimedes. É o conjunto dos pontos correspondentes às posições de um ponto que se
move a velocidade constante sobre uma reta que gira a velocidade angular constante sobre um ponto de origem
fixo. Equivalentemente, em coordenadas polares (r, θ) pode ser descrita pela equação
com a e b números reais.
[50]
Este é um dos primeiros exemplos de uma curva mecânica (uma curva traçada por
um ponto em movimento).
[]
• Sobre a Esfera e o Cilindro (dois volumes)
Neste tratado endereçado a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado pelo qual ele mais se orgulhava,
nomeadamente a relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume é
4
⁄3
πr
3
para a esfera, e 2πr
3
para o cilindro. A área superficial é 4πr
2
para a esfera, e 6πr
2
para o cilindro
(incluindo suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume que é dois terços
do volume do cilindro circunscrito. De forma similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do
cilindro circunscrito (incluindo as bases). A pedido do próprio Arquimedes, foram colocadas sobre sua tumba
esculturas destas duas figuras geométricas.
•• Sobre Conóides e Esferóides
Neste trabalho destinado a Dositeu constam 32 proposições. Nesse tratado Arquimedes calcula as áreas e
volumes das seções de cones, esferas, e parabolóides.
[51]
• Sobre os Corpos Flutuantes (dois volumes)
Na primeira parte deste tratado, Arquimedes enuncia a lei dos fluidos em equilíbrio, e prova que a água adota
uma forma esférica ao redor de um centro de gravidade. Isto pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria de
astrônomos gregos contemporâneos, como Erastótenes de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por
Arquimedes não são auto-gravitacionais, uma vez que ele assume a existência de um ponto para o qual todas
as coisas caem, a fim de obter a forma esférica.

10. Arquimedes 10
Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de parabolóides. Isto foi provavelmente uma
idealização das formas dos cascos dos navios.
O princípio de Arquimedes da flutuabilidade aparece nesta obra, enunciado da seguinte forma: Qualquer corpo
total ou parcialmente imerso em um fluido experimenta uma força para cima igual, mas em sentido oposto, ao
peso do fluido deslocado.
Este princípio explica porque os barcos flutuam e também permite determinar a porcentagem que fica acima
da água quando um objeto flutua em um líquido, como, por exemplo, gelo flutuando em água líquida.
[52]
•• A Quadratura da Parábola
Neste trabalho destinado a Dositeu constam 24 proposições, Arquimedes prova através de dois métodos que a
área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4/3 multiplicado pela área de um triângulo com a mesma
base e a mesma altura. Ele alcança este resultado calculando o valor de uma série geométrica de infinitos
termos com a razão
1
⁄4
.
•• Stomachion
Este é um quebra-cabeças de corte e montagem similar a um tangram, e o tratado descrevendo-o foi
encontrado em forma mais completa no Palimpsesto de Arquimedes. Arquimedes calculou as áreas de 14
peças que podiam ser reunidas para formar um quadrado. Uma pesquisa publicada em 2003 por Reviel Netz da
Universidade de Stanford, argumentou que Arquimedes estava tentando determinar de quantas maneiras as
peças podiam ser reunidas na forma de um quadrado. Netz calculou que as peças podiam formar uma quadrado
de 17.152 maneiras.
[53]
O número de disposições é reduzido a 536 quando se exclui as soluções que são
equivalentes por rotação e reflexão.
[54]
O quebra-cabeças representa um exemplo de problema de combinatória
antigo.
A origem do nome do puzzle não é clara, e foi sugerido que provém da palavra da língua grega antiga para a
garganta ou esôfago, stómakhos (στόμαχος).
[55]
Ausônio refere-se ao puzzle como Ostomachion, uma palavra
grega composta formada pelas raízes de ὀστέον (osteon, osso) e μάχη (machē – luta). O puzzle também é
conhecido como Loculus de Arquimedes ou como Caixa de Arquimedes.
[56]
•• O Problema Bovino
Esta obra foi descoberta em 1773 por Gotthold Ephraim Lessing em um manuscrito grego consistido de um
poema de 44 linhas, na Biblioteca Herzog August, na Alemanha. É destinado a Erastótenes e aos matemáticos
de Alexandria. Arquimedes desafia-os a contar o número de bovinos no rebanho do Sol resolvendo uma
quantidade de equações diofantinas simultâneas. Há uma versão mais difícil do problema em que algumas das
respostas têm que ser números quadrados. Esta versão do problema foi resolvida pela primeira vez por A.
Amthor
[57]
em 1880, e a resposta é um número bastante grande, aproximadamente 7,760271×10
206544
.
[58]
•• O Contador de Areia
Neste tratado, Arquimedes calcula o número de grãos de areia que caberiam no universo. Este livro menciona
a teoria heliocêntrica do Sistema Solar proposta por Aristarco de Samos, como também ideias contemporâneas
sobre o tamanho da Terra e a distância entre vários corpos celestes. Usando um sistema de números baseado
em potências de miríade, Arquimedes conclui que o número de grãos de areia necessários para preencher o
universo é 8×10
63
(em notação moderna). A introdução afirma que o pai de Arquimedes foi um astrônomo
chamado Fídias. O Contador de Areia ou Psammites é a única obra sobrevivente de Arquimedes em que ele
discute suas ideias sobre astronomia.
[59]
•• O Método dos Teoremas Mecânicos
Este tratado, que se considerava perdido, foi reencontrado graças a descoberta do Palimpsesto de Arquimedes
em 1906. Nesta obra, Arquimedes emprega o cálculo infinitesimal, e mostra como o método de fracionar uma
figura em um número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para calcular sua área e
volume. Arquimedes talvez tenha considerado que este método carecia de suficiente rigor formal, pelo que

11. Arquimedes 11
utilizou também o método da exaustão para chegar aos mesmos resultados. Da mesma forma que O Problema
Bovino, O Método dos Teoremas Mecânicos foi escrito em forma de carta dirigida a Eratóstenes de
Alexandria.
Conforme Carl Boyer: "Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão primitiva
do cálculo integral, que, de alguma maneira, é muito semelhante, quanto ao espírito, ao cálculo atual. Numa
carta a Eratóstenes, Arquimedes expôs seu ” método da alavanca” para descobrir fórmulas de áreas e volumes.
Mas, quando publicava provas para essas fórmulas, ele utilizava o método de exaustão para se ajustar aos
padrões de rigor da época."
[60]
Obras apócrifas
O Livro de Lemas ou Liber Assumptorum é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos. A
cópia mais antiga conhecida do texto está escrita em árabe. Os estudiosos Thomas Little Heath e Marshall Clagett
argumentaram que ele não pode ter sido escrito por Arquimedes na sua forma atual, uma vez que ele cita
Arquimedes, o que sugere que foi modificado por outro autor. Talvez o Lemas seja baseado em um uma obra mais
antiga, agora perdida, escrita por Arquimedes.
[61]
Também já foi afirmado que Arquimedes conhecia a fórmula de Heron usada para calcular a área de um triângulo
sabendo-se as medidas de seus lados.
[c]
No entanto, a primeira referência confiável para a fórmula é dada por Heron
de Alexandria no século I d.C.
[62]
O Palimpsesto de Arquimedes
O Stomachion é um quebra-cabeças geométrico
encontrado no Palimpsesto de Arquimedes.
O Palimpsesto de Arquimedes é uma das principais fontes a partir das
quais se conhece a obra de Arquimedes. Em 1906, o professor
dinamarquês Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla e examinou
um pergaminho de pele de cabra de 174 páginas com orações escritas
no século XIII d.C. Ele descobriu que se tratava de um palimpsesto,
um documento com texto que tinha sido escrito sobre um trabalho
anterior apagado. Os palimpsestos eram criados pela raspagem da tinta
de trabalhos existentes para reutilizar o material no qual ela estava
impressa, o que era uma prática comum na Idade Média pois o papel
velino era caro. As obras anteriores do palimpsesto foram identificadas
por estudiosos como cópias do século X d.C. de tratados de
Arquimedes previamente desconhecidos.
[63]
O pergaminho passou
centenas de anos na biblioteca de um monastério em Constantinopla
antes de ser vendido a um colecionador na década de 1920. Em 29 de
outubro de 1998 ele foi vendido em um leilão para um comprador anônimo por dois milhões de dólares na casa de
leilões Christie's, em Nova Iorque.
[64]
O palimpsesto contém sete tratados, incluindo a única cópia sobrevivente de
Sobre os Corpos Flutuantes no original grego. É também a única fonte de O Método dos Teoremas Mecânicos, a que
se referiu Téon Suidas e que pensava-se que tinha sido perdido para sempre. Stomachion também foi descoberto no
palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeças do que a que encontrava-se em textos anteriores. O
palimpsesto está agora guardado no Museu de Arte Walters em Baltimore, Estados Unidos, onde foi submetido a
uma série de testes modernos incluindo o uso de luz ultravioleta e raios X para ler o texto sobrescrito.
[65]
Os tratados contidos no Palimpsesto de Arquimedes são: Sobre o Equilíbrio dos Planos, Sobre as Espirais, Sobre as
Medidas do Círculo, Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre os Corpos Flutuantes, O Método dos Teoremas Mecânicos e
Stomachion.

12. Arquimedes 12
Notas e referências
Notas
a.
^
No prefácio de Sobre as Espirais destinado a Dositeu de Pelúsio, Arquimedes diz que "muitos anos se passaram
desde a morte de Conon." Conon de Samos viveu c. 280–220 a.C., o que sugere que Arquimedes talvez fosse um
homem mais velho ao escrever algumas das suas obras.
b.
^
Os tratados de Arquimedes que conhecemos apenas através de citações em obras de outrem são: Sobre a
Construção de Esferas e uma obra sobre poliedros mencionada por Pappus de Alexandria; Catoptrica, uma obra
sobre ótica mencionada por Téon de Alexandria; Princípios, endereçada a Zeuxipo e que explica o sistema numérico
utilizado em O Contador de Areia; Sobre Balanças e Alavancas; Sobre Centros de Gravidade; Sobre o Calendário.
Das obras sobreviventes de Arquimedes, T. L. Heath sugere a seguinte sugestão sobre a ordem em que foram
escritas: Sobre o Equilíbrio dos Planos - vol I, A Quadratura da Parábola, Sobre o Equilíbrio dos Planos - vol II,
Sobre a Esfera e o Cilindro - volumes I e II, Sobre as Espirais, Sobre Conóides e Esferóides, Sobre os Corpos
Flutuantes - volumes I e II, Sobre as Medidas do Círculo e O Contador de Areia.
c.
^
Boyer, Carl Benjamin A History of Mathematics (1991) ISBN 0-471-54397-7 - "Acadêmicos árabes informam
que uma conhecida fórmula de área de um triângulo em termos de seus três lados, geralmente conhecida como
fórmula de Herão - k = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), onde s é o semiperímetro - era conhecida por Arquimedes diversos
séculos antes de Herão ter nascido. Eles também atribuíram a Arquimedes o 'teorema da corda quebrada' … Os
árabes relatam que Arquimedes teria dado diversas provas para este teorema."
[4] Universidade Federal do Ceará - SEARA DA CIÊNCIA - Painel de Cientistas - Arquimedes (http://www.seara.ufc.br/cientistas/
arquimedes.htm)
[5] Paipetis, S. A.; Ceccarelli, Marco - The Genius of Archimedes - 23 Centuries of Influence on Mathematics, Science and Engineering (http://
www.springer.com/engineering/mechanical+eng/book/978-90-481-9090-4)
[6] The Project Gutenberg eBook, Treatise on Light, by Christiaan Huygens, Translated by Silvanus P. Thompson / pg. 104. (http://www.
gutenberg.org/files/14725/14725-h/14725-h.htm)
[7] Stillman Drake, Noel M. Swerdlow, Trevor Harvey Levere, Essays on Galileo and the history and philosophy of science (http://books.
google.com.br/books?id=sp8_hrRI2MoC&pg=PA282&lpg=PA282&dq="galileo+wrote"+"archimedes"+essay&source=bl&
ots=cxyxZHGcs4&sig=EVEo0nm4YMOCkUycjQO206SXDYs&hl=pt-BR&sa=X&ei=1wIDT6GZBpGztweegu3QBg&
ved=0CB4Q6AEwAA#v=onepage&q="galileo wrote" "archimedes" essay&f=false)
[8] Michael S. Mahoney - Christian Huygens: The Measurement of Time and of Longitude at Sea. (http://www.princeton.edu/~hos/Mahoney/
articles/huygens/timelong/timelong.html)
[9] The Mathematical Papers of Isaac Newton (edited by Whiteside), Volume 7; Volumes 1691-1695 / pg. 185. (http://books.google.com.br/
books?id=YDEP1XgmknEC&printsec=frontcover#v=onepage&q=archimedes&f=false)
[10] Heath, T. L., Works of Archimedes, 1897
[18] Roberto de Andrade Martins - Arquimedes e a coroa do rei: problemas históricos (http://www.periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/
article/view/6769)
[19][19] Marcel Berthelot - Sur l histoire de la balance hydrostatique et de quelques autres appareils et procédés scientifiques, Annales de Chimie et
de Physique [série 6], 23 / 1891. Páginas 475-485
[23][23] An animation of an Archimedes screw
[26] Hippias, 2 (cf. Galen, On temperaments 3.2, who mentions pyreia, "torches"); Anthemius of Tralles, On miraculous engines 153
[Westerman].
[30] Fuels and Chemicals – Auto Ignition Temperatures (http://www.engineeringtoolbox.com/fuels-ignition-temperatures-d_171.html)
[31] Citado por Pappus de Alexandria em Synagoga, Livro VIII
[39] Eric W. Weisstein. Archimedes of Syracuse. (http://scienceworld.wolfram.com/biography/Archimedes.html)
[40][40] Isaac Asimov. Realm of Numbers, pg. 19.
[41] Harry Elmer Barnes & Henry David. The History of Western Civilization - Volume 1, pg 228.
[42][42] Elon Lages Lima. Medida e Forma em Geometria, pg. 55. Sociedade Brasileira de. Matemática. Coleção do Professor de Matemática,
IMPA, Rio de Janeiro, 1991
[44] Quoted in Heath, T. L. Works of Archimedes, Dover Publications, ISBN 0-486-42084-1.
[46] Encyclopedia of ancient Greece By Wilson, Nigel Guy p. 77 (http://books.google.com/books?id=-aFtPdh6-2QC&pg=PA77) ISBN
0-7945-0225-3 (2006)
[49] The Works of Archimedes ISBN: 978-1-60206-252-8 (http://books.google.com.br/books?id=6nPDFR89HhwC&pg=PA189&
lpg=PA189&dq="On+the+Equilibrium+of+Planes"+postulates&source=bl&ots=8mMGQgKlbV&

13. Arquimedes 13
sig=ogGH5WcOMPc83kwXSIm_zYas-VU&hl=pt-BR&sa=X&ei=svIpT8S0PNCCtgeC4eiRCQ&ved=0CDEQ6AEwAg#v=onepage&
q="On the Equilibrium of Planes" postulates&f=false)
[50] André Koch Torres Assis, Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca, pg. 25 (http://www.pion.sbfisica.org.br/pdc/index.
php/por/layout/set/print/content/download/3328/21370/file/Arquimedes.pdf)
[51][51] Stuart Hollingdale. Makers of mathematics, pg 70.
[52][52] C. Reid Nichols, Robert G. Williams - Encyclopedia of Marine Science
[57] Krumbiegel, B. and Amthor, A. Das Problema Bovinum des Archimedes, Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik
und Physik 25 (1880) pp. 121–136, 153–171.
[60][60] Carl Boyer. Cálculo - Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula, pg. 57.
Bibliografia
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Obras de Arquimedes online
• Text in Classical Greek: PDF scans of Heiberg's edition of the Works of Archimedes, now in the public domain
(http://www.wilbourhall.org)
• In English translation: The Works of Archimedes (http://www.archive.org/details/
worksofarchimede029517mbp), trans. T.L. Heath; supplemented by The Method of Mechanical Theorems (http://
books.google.com/books?id=suYGAAAAYAAJ), trans. L.G. Robinson
Ligações externas
• O pi de Arquimedes (http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html) (em inglês)
• Manuscritos de Arquimedes (http://www.archimedespalimpsest.org/index.html) (em inglês)
• O PLANETÁRIO DE ARQUIMEDES REENCONTRADO (http://www.giovannipastore.it/ARCHIMEDEs.
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• The Archimedes Palimpsest project at The Walters Art Museum in Baltimore, Maryland (http://www.
archimedespalimpsest.org/)
• The Mathematical Achievements and Methodologies of Archimedes (http://mathdb.org/articles/archimedes/
e_archimedes.htm)
• Article examining how Archimedes may have calculated the square root of 3 (http://www.mathpages.com/
home/kmath038.htm) at MathPages
• Archimedes On Spheres and Cylinders (http://www.mathpages.com/home/kmath343/kmath343.htm) at
MathPages

14. Arquimedes 14
• Photograph of the Sakkas experiment in 1973 (http://www.cs.drexel.edu/~crorres/bbc_archive/
mirrors_sailors_sakas.jpg)
• Testing the Archimedes steam cannon (http://web.mit.edu/2.009/www/experiments/steamCannon/
ArchimedesSteamCannon.html)
• Stamps of Archimedes (http://www.stampsbook.org/subject/Archimedes.html)
• The Genius of Archimedes of Syracuse, Cheryl Mackay (http://www.italymag.co.uk/italy-featured/history/
genius-archimedes-syracuse)
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