Apresentação sobre sistema de Lorenz

1. Disciplina: Dinâmica Não-linear e Caos
Discente: Daniel Rodrigues Oliveira Mat..: 1141219223
Gustavo

2. Introdução
 O trabalho de Lorenz envolvia a solução
numérica de sistemas de 12 equações
diferenciais acopladas descrevendo a forma em
que o ar se move na atmosfera;
 Parâmetros:
 Número de Prandtl;
 Número de Rayleigh;
 Fator geométrico.
 𝑥 = 𝜎(𝑦 − 𝑥)
 𝑦 = 𝑟𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑧
 𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑏 𝑧

3. Pontos fixos e Estabilidade
 Conforme discutido anteriormente, as equações de
Lorenz podem ser expressas como:

𝑢 = 𝛼(𝑣 − 𝑢)
𝑣 = 𝑢 𝛽 − 𝑤 − 𝑣
𝑤 = 𝑢𝑣 − 𝛾𝑤
𝑢
𝑣
𝑤
=
𝛼( 𝑣 − 𝑢)
𝑢 𝛽 − 𝑤 − 𝑣
𝑢 𝑣 − 𝛾 𝑤
=
0
0
0
 os pontos fixos devem assumir as seguintes formas:
(0,0,0)
( 𝛾(𝛽 − 1), 𝛾(𝛽 − 1),𝛽 − 1)
(− 𝛾(𝛽 − 1),− 𝛾(𝛽 − 1),𝛽 − 1)

4. Pontos fixos e Estabilidade
 A próxima etapa é de se definir a estabilidade nestes através
da linearização:
 𝐴 = 𝐷𝑓( 𝑢, 𝑣, 𝑤) =
−𝛼 𝛼 0
𝛽 − 𝑤 −1 − 𝑢
𝑣 𝑢 −𝛾
 As expressões gerais para os autovalores estão apresentadas
abaixo:
 𝜆1 = −𝛾
 𝜆2 =
−1−𝛼+ 1+𝛼2+2𝛼(−1−2 𝑤+2𝛽)
2
 𝜆3 =
−1−𝛼− 1+𝛼2+2𝛼(−1−2 𝑤+2𝛽)
2

5. Pontos fixos e Estabilidade
 Fazendo a análise para os
pontos fixos obtidos :
 Ponto (0,0,0):

 𝜆1 = −𝛾
 𝜆2 =
−1−𝛼+ 1+𝛼2+2𝛼(−1+2𝛽)
2
 𝜆3 =
−1−𝛼− 1+𝛼2+2𝛼(−1+2𝛽)
2
 Conclui-se que:
 0 < 𝛽 < 1: todos os
autovalores são negativos;
 𝛽 = 1: autovalor igual a zero
e outros 2 negativos;
 1 < 𝛽 < 24.74: 3 autovalores
negativos, com complexos
conjugados;
 24.74 < 𝛽 < 30: 1 autovalor
negativo e 2 positivos com
complexos conjugados.

6. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟏
# Resposta do sistema
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
uv
w
# Espaço de fase

7. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟖
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
10
12
uv
w

8. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟏𝟑. 𝟗𝟐𝟔
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 20 40 60
-20
-10
0
10
20
t
u
0 20 40 60
-20
-10
0
10
20
t
v
-20 -10 0 10 20
0
10
20
30
u
w
-20
0
20
-15-10-5051015
0
5
10
15
20
25
v
u
w

9. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟏𝟗
# Resposta do sistema # Espaço de fase
-20
-10
0
10
20
-15-10
-5
05
1015
20
0
10
20
30
40
u
v
w

10. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟏
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 100 200 300 400
-20
-10
0
10
20
t
u
0 100 200 300 400
-20
0
20
40
t
v
0 100 200 300 400
0
10
20
30
40
50
t
w
-20
0
20
-15-10-50510152025
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
u
v
w

11. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟐
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 100 200 300 400
-20
-10
0
10
20
t
u
0 100 200 300 400
-40
-20
0
20
40
t
v
0 100 200 300 400
0
10
20
30
40
50
t
w
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-40
-20
0
20
40
0
10
20
30
40
50
u
v
w

12. Simulações
 Condições iniciais fixas e variações de 𝜷:
𝜷 = 𝟐𝟖
# Resposta do sistema # Espaço de fase
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-40
-20
0
20
40
0
10
20
30
40
50
u
v
w

13. Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Resposta do sistema

14. Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Resposta do sistema

15. Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Espaço de fase

16. Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟏𝟏
# Espaço de fase

17. Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟐𝟖
# Espaço de fase

18. Simulações
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)
𝜷 = 𝟐𝟖
# Espaço de fase

19. Simulações
𝜷 = 𝟐𝟖
# Espaço de fase
 Pequena variação na condição inicial e 𝜷 fixo
 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1,0) e 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 = (0,1.1,0)

20. Simulações
 Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶:
𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟏
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 50 100 150 200 250
0
2
4
6
8
10
t
u
0 50 100 150 200 250
-10
0
10
20
30
t
v
0 50 100 150 200 250
0
10
20
30
40
50
t
w
0
2
4
6
8
10
-10
0
10
20
30
0
10
20
30
40
50
uv
w

21. Simulações
 Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶:
𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟓
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 50 100 150 200 250
-20
-10
0
10
20
t
u
0 50 100 150 200 250
-20
-10
0
10
20
30
t
v
0 50 100 150 200 250
0
10
20
30
40
50
t
w
-15
-10
-5
0
5
10
15
20 -20
-10
0
10
20
30
0
10
20
30
40
50
v
u
w

22. Simulações
 Condições iniciais fixas, 𝜷 fixo e variação de 𝜶:
𝜷 = 𝟐𝟖; 𝜶 = 𝟏𝟓
# Resposta do sistema # Espaço de fase
0 50 100 150 200 250
-30
-20
-10
0
10
20
30
t
u
0 50 100 150 200 250
-30
-20
-10
0
10
20
30
t
v
0 50 100 150 200 250
0
10
20
30
40
50
t
w
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-40
-20
0
20
40
0
10
20
30
40
50
u
v
w

23. Sistema dissipativo
 Se o sistema for dissipativo, ele não pode ser considerado
como Hamiltoniano. Pelos resultados:
 Os gráficos da resposta do sistema apresentam um
amortecimento até se estabilizarem;
 Se o divergente das equações for menor que zero, este é um
sistema dissipativo, então analisando o volume do sistema:
 𝛻𝑓 =
𝜕 𝑢
𝜕𝑢
+
𝜕 𝑣
𝜕𝑣
+
𝜕 𝑤
𝜕𝑤
=
𝜕
𝜕𝑢
𝛼 𝑣 − 𝑢 +
𝜕
𝜕𝑣
𝑢 𝛽 − 𝑤 − 𝑣 +
𝜕
𝜕𝑤
𝑢𝑣 − 𝛾𝑤 = −𝜶 − 𝟏 − 𝜸

24. Dimensão fractal
 São encontradas

25.  Pelo diagrama se
observa que:
 Bifurcação quando β=1 =>
dois pontos fixos.
 β igual 13.926 => transição
das órbitas da parte
positiva para a negativa.
 β proximo de 24,74 =>
bifurcação de Hopf
subcrítica.
Diagrama de Bifurcação

26.  As seções de Poincaré podem ser
construídas para:
a) Estudo de órbitas próximas a
órbitas periódicas;
b) Espaço de fase periódico com
forçamento periódico;
c) Espaço de fase quase-
periódico com forçamento
quase-periódico;
d) Estudo da estrutura de órbitas
próximas de órbitas
homoclínica ou heteroclínica.
Seção de Poincaré

27. Seção de Poincaré
 Seção de Poincaré para parâmetro 𝛽 = 28:

28. Expoentes de Lyapunov
 A bifurcação transcrítica é o mecanismo padrão para
mudanças

29. Um modelo para as equações de
Lorenz: A roda d’água caótica

30. Referência bibliográfica
 [1] VIANA, R.L. Introdução à Dinâmica Não-Linear e Caos,
Paraná: Apostila da Universidade Federal do Paraná, 2011, 269p.,
p. 14.
 [2] STROGATZ, R.L. Introdução à Dinâmica Não-Linear e
Caos, Paraná: Apostila da Universidade Federal do Paraná, 2011,
269p., p. 301,311, .
 [3] Wikipedia. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Prandtl dia
08-09, às 13:00 h.
 [4] Wikipédia. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Prandtl dia
08-09, às 13:00 h.
 [5] MONTEIRO, LUIS HENRIQUE ALVES.,2006, “SISTEMAS
DINÂMICOS”, 2.ED.

31. Referência bibliográfica
 [6] SAVI, M.A. Dinâmica Não-Linear e Caos, Rio de Janeiro: E-
papers, 2006, 304 p. ISBN 978-85-7650-062-0, p. 170-177.
 [7] INCROPERA, F.P. Fundamentos de Transferência de
Calor e de Massa, Rio de Janeiro: LTC, 2008, 643p. ISBN 978-85-
216-1584-2, p 40-42.
 [8] GUCKENHEIMER, J. HOMES.P. Nonlinear, Oscilations,
Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields.
Ithaca, Springer.1985, 459p.
 [9] VIMAL, V.P. The Caotic Dynamics of the Pendulum and
the Lorenz Circuit. 2006.
 [10] GONZÁLEZ-MIRANDA, J.M. Syncronization and Control of
Chaos. An Introduction for Scientists and Engineers. Barcelona:
Imperial College Press, 2004, 224 p. ISBN 1-86094-488-4, p. 34.

32. OBRIGADO!