PROJETO FINAL - Daniel Lobo

ANÁLISE DINÂMICA DE UMA COLUNA DE PERFURAÇ ÃO DURANTE A
MUDANÇA DE CARACTERÍSTICAS DA ROCHA COM QUANTIFICAÇ ÃO
DE INCERTEZAS
Daniel de Moraes Lobo
Projeto de Gradua¸cão apresentado ao Curso
de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obten¸cão do
t´ıtulo de Engenheiro.
Orientadores: Thiago Gamboa Ritto
Daniel Alves Castello
Rio de Janeiro
Julho de 2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecnica
DEM/POLI/UFRJ
DE INCERTEZAS
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovada por:
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JULHO DE 2016

de Moraes Lobo, Daniel
Análise dinâmica de uma coluna de perfura¸cão durante
a mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha com quantifica¸cão
de incertezas/ Daniel de Moraes Lobo. – Rio de Janeiro:
UFRJ/Escola Politécnica, 2016.
XIII, 72 p.: il.; 29, 7cm.
Projeto de Gradua¸cão – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Mecânica, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 41 – 42.
1. Coluna de perfura¸cão. 2. Vibra¸cão. 3. Stick-Slip.
4. Mudan¸ca de rocha. I. Gamboa Ritto, Thiago et al..
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso
de Engenharia Mecânica. III. Análise dinâmica de uma
coluna de perfura¸cão durante a mudan¸ca de caracter´ısticas
da rocha com quantifica¸cão de incertezas.
iii

”Você precisa fazer aquilo que
pensa que não é capaz de fazer.”
Eleanor Roosevelt
iv

Agradecimentos
O meu sucesso hoje atingido não seria poss´ıvel sem o apoio da minha fam´ılia.
A minha noiva por todo o amor, carinho e apoio incondicional. Obrigado por
ter acreditado em mim sempre, por ter me consolado nos momentos dif´ıceis e come-
morado minhas conquistas. Eu não conseguiria metade do que consegui sem o seu
apoio.
Aos meu pais pelo amor, incentivo e suporte. Gostaria de agradecer também por
todo o investimento feito na minha educa¸cão desde pequeno e pela valoriza¸cão da
minha forma¸cão. O apoio deles foi fundamental para mim.
Aos meus orientadores, Thiago Ritto e Daniel Castello, pela confian¸ca, orienta¸cão
e incentivo durante a constru¸cão desse trabalho. Gostaria de agradecer principal-
mente pela orienta¸cão profissional que me permitiu identificar um futuro com mais
clareza.
As professoras Lav´ınia e Anna Carla pelas orienta¸cões dadas durante esse meu
percurso e por sempre me receberem bem.
Ao professo Silvio Carlos, do qual fui monitor por 2 anos. Obrigado pelas ori-
enta¸cões acadêmicas, pessoais e profissionais. Agrade¸co ainda o suporte, confian¸ca
e incentivo que me foi dado durante todo esse per´ıodo trabalhando juntos.
Aos amigos que fiz durante meu estágio na Vallourec. Seria inviável listar todos
os nomes importantes para mim aqui, então agrade¸co a todos pelas orienta¸cões,
trabalhos e oportunidades que me foram dadas durante o estágio. Ainda assim,
gostaria de agradecer especialmente ao Pedro Filgueiras que teve papel fundamental
para meu desenvolvimento dentro da empresa, pela confian¸ca depositada em mim
nesse tempo e por todas as oportunidade que me foram abertas durante esse per´ıodo.
Agrade¸cp especialmente também aos demais estagiários da equipe a qual pertencia.
Mais do que colegas de trabalho, sei que fiz amigos; amigos de verdade. Obrigado!
v

Resumo do Projeto de Gradua¸cão apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Engenheiro Mecânico
DE INCERTEZAS
Julho/2016
Programa: Engenharia Mecânica
O processo de perfura¸cão de po¸cos de petróleo é um dos mais caros e complexos
presentes na indústria. O entendimento dos mecanismos complexos de vibra¸cão da
coluna de perfura¸cão é crucial para melhorar o controle da opera¸cão e performance.
Neste trabalho, foi proposto um modelo simples com um grau de liberdade para
avaliar a vibra¸cão torcional da coluna. Devido a diversas fontes de incerteza no pro-
cesso, o método de Monte Carlo foi usado de forma a considerar essas incertezas nas
análises. A resposta dinâmica do sistema foi simulada e um estudo de sensibilidade
das variáveis peso sobre a broca (WOB) e velocidade da mesa rotativa foi realizado,
introduzindo uma proposta de análise através de gráficos de bifurca¸cão. Incertezas
foram inclu´ıdas no parâmetro de peso sobre a broca e analisou-se a probabilidade de
Stick-Slip para cada velocidade de rota¸cão da mesa, mostrando que velocidades mais
altas resultam em menores probabilidade de Stick-Slip. Em seguida, foram aplica-
das fun¸cões aos torques de atrito broca-rocha com o objetivo de simular o primeiro
contato broca-rocha e a altera¸cão de caracter´ısticas da rocha durante o processo de
perfura¸cão, observando-se comportamentos caracter´ısticos para cada fun¸cão. Por
fim, incertezas foram adicionadas à análise para avaliar o impacto para cada fun¸cão
e mostrou-se que a maior influência ocorre no caso da fun¸cão degrau.
vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
DYNAMIC ANALYSIS OF A DRILLING STRING DURING THE CHANGE OF
ROCK PROPERTIES WITH UNCERTAINTIES QUANTIFICATION
July/2016
Advisors: Thiago Gamboa Ritto
Department: Mechanical Engineering
The oil well drilling process is one of the most expensive and complex in the in-
dustry. The understanding of the complex mechanisms of the drill string vibration
is crucial to improve the control of the operation and performance. In this study,
a simple model was proposed with one degree of freedom to analyze the torsional
vibration of the string. Due to several sources of uncertainty in the process, the
Monte Carlo method was used in order to consider these uncertainties in the anal-
ysis. The dynamic response of the system was simulated and the sensitivity of the
variables weight on bit (WOB) and rotary table speed was studied by introducing
a proposal for the use of fork graphics. Uncertainties were included in the weight
on bit parameter and the probability of Stick-Slip for each rotary table speed was
analyzed, showing that higher speeds result in smaller probabilities of Stick-Slip.
Then functions were applied to drill-rock friction torques in order to simulate the
first drill-rock contact and the rock changing during the drilling process, observing
specific behaviors for each function. Finally, they were added to the uncertainty
analysis to assess the impact for each function, showing that the most influence
occurs in the case of the step function.
vii

Sumário
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xiii
1 Introdu¸cão 1
1.1 Motiva¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Organiza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Modelagem matemática do processo de perfura¸cão 6
2.1 Processo de perfura¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Modelo computacional do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Considera¸cão sobre incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Resultados e Discussões 14
3.1 Resposta determin´ıstica do sistema: dom´ınio do tempo e bifurca¸cão . 14
3.2 Bifurca¸cão Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Altera¸cão do contato broca-rocha no tempo . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Resposta determin´ıstica sem contato inicial . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Resposta determin´ıstica com mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha . . 30
3.6 Resposta estocástica com mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha . . . . 33
4 Conclusão e Trabalhos futuros 38
4.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Referências Bibliográficas 41
viii

A Códigos em MATLAB 43
A.1 Programa principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.2 Representa¸cão dos modelos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.2.1 Modelo simples - sem mudan¸ca de rocha . . . . . . . . . . . . 68
A.2.2 Modelo com multiprocessamento . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.2.3 Modelo com mudan¸ca de rocha tipo degrau . . . . . . . . . . . 70
A.2.4 Modelo com mudan¸ca de rocha tipo linear . . . . . . . . . . . 71
A.2.5 Modelo com mudan¸ca de rocha tipo tangente hiperbólica . . . 72
ix

Lista de Figuras
1.1 Evolu¸cão do Petróleo. Adaptado de [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tipos de vira¸cão em uma coluna de perfura¸cão. Adaptado de [2]. . . 3
2.1 Esquema geral de uma sonda de perfura¸cão. Adaptado de [3]. . . . . 7
2.2 Modelo mecânico proposto para a coluna de perfura¸cão. . . . . . . . . 9
2.3 Esquema do modelo de atrito seco na broca. Adaptado de [4]. . . . . 10
2.4 Esquema do método de monte carlo. Baseado em [5]. . . . . . . . . . 12
3.1 Resposta determin´ıstica do sistema para os regimes com e sem Stick-
Slip em (a) velocidade angular da broca e (b) ângulo da broca. Linha
cheia: Ω = 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. . . . . . . . . . 15
3.2 Modelo de atrito seco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Resposta do torque de atrito seco na broca (a) durante o tempo total
de simula¸cão e (b) detalhado entre 21 e 28 segundos. Linha cheia: Ω
= 19 rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% na velocidade de rota¸cão da mesa. Resultados em (a) veloci-
dade de rota¸cão da broca e (b) ângulo da broca. . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% na velocidade de rota¸cão da mesa. Resultados em (a) veloci-
dade de rota¸cão da broca e (b) ângulo da broca. . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Análise por bifurca¸cão da resposta do sistema mediante varia¸cão da
velocidade de rota¸cão da mesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸cão
da broca e (b) ângulo da broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
x

3.8 Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸cão
da broca e (b) ângulo da broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.9 Análise por bifurca¸cão da resposta do sistema mediante varia¸cão do
peso sobre a broca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.10 Análise de estabilidade de acordo com velocidade de rota¸cão da mesa
e peso sobre a broca. Azul: sem Stick-Slip; Vermelho: com Stick-Slip. 23
3.11 Análise por bifurca¸cão estocástica para determinar a probabilidade
de ocorrer o fenômeno de Stick-Slip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.12 Altera¸cão, durante o primeiro contato broca-rocha, do (a) torque de
atrito estático e (b) torque de atrito dinâmico. . . . . . . . . . . . . . 26
3.13 Altera¸cão, durante o processo de perfura¸cão, do (a) torque de atrito
estático e (b) torque de atrito dinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.14 Velocidade da broca com rota¸cão inicial livre de atrito e aplica¸cões
do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . . . . . . . 28
3.15 Detalhe da velocidade da broca com rota¸cão inicial livre de atrito e
aplica¸cões do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . 29
3.16 Torque de atrito com rota¸cão inicial livre de atrito e aplica¸cões do
tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . . . . . . . . 29
3.17 Detalhe do torque de atrito com rota¸cão inicial livre de atrito e
aplica¸cões do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca. . . 30
3.18 Velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão
degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.19 Detalhe da velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma
fun¸cão degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.20 Torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão degrau,
linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.21 Detalhe do torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma
fun¸cão degrau, linear e tanh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.22 Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mu-
dan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão linear. . . . . . . . . . . . . . . 35
xi

dan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão tangente hiperbólica. . . . . . . 35
3.24 Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca
de rocha seguindo uma fun¸cão (a) linear e (b) tangente hiperbólica. . 36
dan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão degrau. . . . . . . . . . . . . . . 37
3.26 Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca
de rocha seguindo uma fun¸cão degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
xii

Lista de Tabelas
2.1 Propriedades da coluna de perfura¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
xiii

Cap´ıtulo 1
Introdu¸cão
Inicialmente, o petróleo foi utilizado pelas civiliza¸cões antigas, como os meso-
potâmicos, gregos, persas e eg´ıpcios para aquecimento e ilumina¸cão de casas e es-
tradas, embalsamador de corpos, impermeabilizador de constru¸cões, entre outros.
O petróleo, desde a sua primeira perfura¸cão, no dia 27 de agosto de 1859, no estado
americano da Pensilvânia, por Edwin Laurentine Drake (conhecido como coronel
Drake), foi tendo sua importância ampliada com o passar do tempo e o desenvol-
vimento das tecnologias. Na era pós-Drake, observou-se o seu grande potencial e,
assim, passou-se a utilizá-lo com maior amplitude e a pesquisar novas formas e
aplicabilidades. [6]
Hoje em dia, o Petróleo é considerado um dos recursos naturais mais importantes
para o desenvolvimento humano. Derivados do petróleo como a gasolina e o diesel
são utilizados para mover importantes máquinas como caminhões, carros, aviões,
navios, entre outros. Além disso o petróleo ainda é utilizado como uma importante
fonte de energia, inclusive para a produ¸cão de energia elétrica. O Petróleo ainda é
utilizado na produ¸cão de bens consumo presentes no dia-a-dia da popula¸cão mundial,
como plásticos, ceras, fertilizantes, entre muitos outros. [7]
1.1 Motiva¸cão
Devido à alta e crescente importância do petróleo para a sociedade, esse recurso
continua a ser explorado hoje em dia e as buscas por novas reservas continuam.
Conforme o passar dos anos, desde a primeira descoberta do petróleo, as reservas
1

descobertas foram se tornando cada vez mais dif´ıceis de serem exploradas, neces-
sitando um investimento alto no desenvolvimento de novas tecnologias. Conforme
pode ser visto na figura 1.1, as profundidades dos novos po¸cos vem aumentando com
o passar dos anos e, a partir de 2007, quando da descoberta dos primeiros po¸cos
no pré-sal localizados na bacia de santos, essa profundidade aumentou consideravel-
mente, chegando a incr´ıveis 4 mil metros de rocha perfurada em um lâmina d’água
de mais de 2 mil metros.
Figura 1.1: Evolu¸cão do Petróleo. Adaptado de [1].
O processo de perfura¸cão é certamente um dos processos mais importantes na
constru¸cão de um po¸co de petróleo e, de acordo com KHULIEF et al. [8], a vibra¸cão
da coluna de perfura¸cão é uma das principais causas para a redu¸cão da performance
do processo. Experiências de campo ainda revelaram que é crucial o entendimento
dos mecanismos complexos de vibra¸cão apresentados pelo sistema de perdura¸cão
com o intuito de controlar melhor a opera¸cão e melhorar a performance do processo.
[8]
Na coluna de perfura¸cão, podem ser percebidos três tipos de vibra¸cão: axial,
lateral e torcional (figura 1.2). Uma das formas mais recorrentes e destrutivas é
a torcional que quando atinge seu estado de maior severidade é conhecida como
Stick-Slip.[8]
O termo Stick-Slip é utilizado pela indústria para descrever o fenômeno que
acontece quando a broca apresenta ciclos de velocidade repetidos com valores de
m´ınimo próximo ou igual a zero e máximos elevados, enquanto que a mesa rotativa
2

continua a girar normalmente. Quando a broca está travada, a energia torcional
aumente até atingir um patamar que a broca não consegue mais resistir, voltando
a girar de forma brusca com altos valores de velocidade angular até que a energia
torcional reduza e a broca ”trave”novamente, gerando um ciclo. De acordo com
BRETT [9], seus experimentos mostraram que o fenômeno de Stick-Slip apenas
acontece quando a broca está em contato com a rocha a ser perfurada, ou seja, o
fenômeno de Stick-Slip não se manifestou antes do contato broca-rocha. Portanto, é
evidente que um dos principais mecanismos de Stick-Slip é a intera¸cão broca-rocha.
KHULIEF et al. [8] também diz que as principais razões para as vibra¸cões da coluna
de perfura¸cão são o contato da broca com a forma¸cão rochosa e o contato da coluna
de perfura¸cão com a parede do po¸co.
Figura 1.2: Tipos de vira¸cão em uma coluna de perfura¸cão. Adaptado de [2].
Sabe-se que o petróleo é gerado a partir do acúmulo de matéria orgânica presente
em rochas sedimentares que, quando submetidas a certas condi¸cões de pressão e
temperatura, formam o petróleo que por sua vez é acumulado em uma rocha com
certos n´ıveis de porosidade e permeabilidade que é chamada de rocha reservatório.
[6]
3

1.2 Objetivo
Os objetivos desse trabalho são: i. propor um modelo simplificado para descrever
o movimento torcional da coluna de perfura¸cão, baseando-se no modelo proposto
por NAVARRO e LOPEZ [4]; ii. Analisar a resposta determin´ıstica da dinâmica
do sistema modelado e propor um novo tipo de análise por bifurca¸cão; iii. Analisar
a resposta estocástica do sistema para varia¸cões nos torques de atrito através do
gráfico de bifurca¸cão estocástica; iv. Avaliar a resposta determin´ıstica quando há
altera¸cão no contato broca-rocha e; v. Analisar a resposta estocástica do sistema no
caso de altera¸cão do contato broca-rocha durante a perfura¸cão.
1.3 Organiza¸cão
O primeiro cap´ıtulo tem como objetivo introduzir o assunto ao leitor e apresentar a
motiva¸cão do trabalho com uma contextualiza¸cão do problema abordado, o objetivo
do trabalho e a organiza¸cão deste documento.
O segundo cap´ıtulo come¸ca com uma explica¸cão breve do processo de perfura¸cão
com foco na atividade de perfura¸cão em si, sem aprofundar nos processos laterais
da opera¸cão. O entendimento do processo de perfura¸cão permite o desenvolvimento
de um modelos simplificado para descrever a coluna de perfura¸cão e suas condi¸cões
de contorno. Em seguida é apresentada a modelagem proposta para a mudan¸ca de
caracter´ısticas da rocha e por último a considera¸cão das incertezas é abordado.
O terceiro cap´ıtulo come¸ca apresentando a resposta dinâmica do sistema sim-
plificado desenvolvido no cap´ıtulo anterior. Primeiramente a resposta dinâmica do
sistema é analisada, seguida de uma análise de sensibilidade dos parâmetros do mo-
delo. A seguir, uma análise de estabilidade é apresentada com a quantifica¸cão de
incertezas nos parâmetros de intera¸cão broca-rocha. Após isso, a resposta do sis-
tema é analisada quando a rota¸cão inicial não possui contato com a rocha de forma
a avaliar o comportamento do sistema no momento do contato com a rocha. O
cap´ıtulo então segue com a análise da resposta do sistema mediante a altera¸cão da
rocha durante a perfura¸cão e, em seguida, apresenta a resposta estocástica para esse
caso.
O cap´ıtulo cinco conclui o trabalho e contém algumas sugestões para trabalhos
4

futuros.
Em anexo pode ser encontrado o programa, codiﬁcado em MATLAB, utilizado
para o desenvolvimento desse trabalho.
5

Cap´ıtulo 2
Modelagem matemática do
processo de perfura¸cão
Com o intuito de possibilitar a realiza¸cão de análises e estudos de um sistema f´ısico, é
importante que o modelo represente de forma simplificada os fenômenos pertinentes
a serem estudados. Outro ponto importante é a necessidade desse sistema ser o mais
simples poss´ıvel, mas que ainda assim forne¸ca um resultado satisfatório. Apesar do
modelo usado nesse estudo ser altamente simplificado, ele engloba os fenômenos
mais importantes da vibra¸cão de colunas de perfura¸cão.
2.1 Processo de perfura¸cão
Um dos principais sistemas f´ısicos em um processo de perfura¸cão é a coluna de per-
fura¸cão que é uma estrutura tubular que liga a sonda de perfura¸cão até a rocha. Essa
coluna ainda permite a circula¸cão da lama de perfura¸cão, transmissão da rota¸cão,
sensoriamento, entre outras fun¸cões. O esquema geral de uma sonda de perfura¸cão
pode ser visto na figura 2.1.
6

Figura 2.1: Esquema geral de uma sonda de perfura¸cão. Adaptado de [3].
A coluna de perfura¸cão consiste do Bottom Hole Assembly (BHA) e dos drillpipes
que são conectados entre si formando um longo tubo que pode chegar a quilômetros
de comprimento. O BHA é composto pela broca, estabilizadores que previnem o
desbalanceamento da coluna, e uma séria de tubos relativamente pesados conhecidos
como drill collars.
Outro elemento muito importante no processo de perfura¸cão é a lama de per-
fura¸cão que possui, entre outras, as fun¸cões de limpeza, resfriamento e lubrifica¸cão
da broca. A lama de perfura¸cão é injetada no topo da coluna de perfura¸cão, percor-
rendo por dentro dos drill pipes até chegar na rocha sendo perfurada, onde cumpre
sua fun¸cão e retorna à sonda de perfura¸cão pelo espa¸co anular entre os drill pipes e
a parede do po¸co.
Na extremidade inferior da coluna de perfura¸cão, encontra-se a broca responsável
pela perfura¸cão da rocha. A rota¸cão é originada na sonda de perfura¸cão por um
motor elétrico e transmitida através dos drill pipes até a broca. O mecanismo de
rota¸cão pode ser de dois tipos: mesa rotativa ou top drive.
Durante a perfura¸cão, o acompanhamento e a análise do sistema mecânico da
7

coluna de perfura¸cão se dá pela interpreta¸cão dos parâmetros de superf´ıcie impostos
e medidos. Em poucos cenários de explora¸cão são utilizados sensores próximos a
broca com envio de dados em tempo real para a superf´ıcie [3]. Normalmente o
operador controla três parâmetros: rota¸cão da mesa, peso sobre a broca (WOB,
abrevia¸cão de Weight on Bit) e vazão do fluido de perfura¸cão. O peso sobre a broca
é um dos principais fatores na intera¸cão broca-rocha.
2.2 Modelo computacional do sistema
O modelo matemático exposto a seguir foi baseado em NAVARRO e SUAREZ [4]. A
coluna de perfura¸cão foi modelada como um pêndulo torcional simples cuja rota¸cão
é imposta por um motor elétrico, cuja velocidade angular foi modelada como cons-
tante, e a intera¸cão broca-rocha foi modelada através de um modelo de atrito seco.
Os drill pipes são representados através de uma mola torcional linear de rigidez
k e através de um amortecimento c que conecta duas inércias, Jc e Jb, representando
a inércia da mesa rotativa e a inércia dos drill pipes junto com o BHA. Apenas a
inércia Jb é representada no esquema da figura 2.2 pois a inércia Jc não é utilizada
na representa¸cão matemática do modelo proposto devido à hipótese de rota¸cão cons-
tante da mesa rotativa. A inércia Jb é comumente calculada como sendo a inércia
do BHA mais 1/3 da inércia dos drill pipes [9].
Para a modelagem da intera¸cão broca-rocha considerou-se um modelo de atrito
seco que causa um torque reativo Tfb aliado a um amortecimento cb que representa
o atrito viscoso devido à lama de perfura¸cão, principalmente.
8

Figura 2.2: Modelo mecânico proposto para a coluna de perfura¸cão.
Com o intuito de simplifica¸cão do modelo, algumas hipótese foram consideradas:
(i) O po¸co e a coluna de perfura¸cão estão perfeitamente na vertical; (ii) Não existe
nenhum movimento lateral; (iii) O atrito nas conexões e entre a coluna e a parede do
po¸co foram desconsiderados; (iv) A lama de perfura¸cão é simplificada por um atrito
viscoso na broca; (v) O escoamento da lama de perfura¸cão é considerado laminar.
Finalmente, levando em conta todas as considera¸cões feitas até esse ponto, é
poss´ıvel escrever a equa¸cão de movimento que descreve o modelo mecânico proposto:
Jb
¨θb + c( ˙θb − Ω) + k(θb − Ωt) = −cb
˙θb − Tfb( ˙θb) (2.1)
A equa¸cão acima também pode ser representada através do espa¸co de estados,
especialmente útil na resolu¸cão de equa¸cões diferenciais não-lineares de ordem su-
perior. Considerando y1 = θb e y2 = ˙θb, a representa¸cão no espa¸co de estados fica
da seguinte maneira:
˙y =


˙y1
˙y2

 =



y2
−
k
Jb
y1 −
c
Jb
y2 +
k
Jb
Ωt +
c
Jb
Ω −
Tfb
Jb
( ˙y1) −
cb
Jb
y2


 (2.2)
O modelo utilizado para representar a intera¸cão broca-rocha foi sugerido por NA-
VARRO e SUAREZ [4] e é uma varia¸cão do efeito Stribeck junto com o modelo de
atrito seco. O parâmetro Tfb é portanto dependente da velocidade da broca.
9

Figura 2.3: Esquema do modelo de atrito seco na broca. Adaptado de [4].
Na figura 2.3 está representado o modelo utilizado para o torque resistivo da
intera¸cão broca-rocha. Através dessa figura é poss´ıvel identificar o torque Tsb que
caracteriza o atrito estático e o torque Tcb que caracteriza o atrito dinâmico. Os
torques de atrito estático e dinâmico, Tsb e Tcb, dependem do raio da broca (Rb),
do peso sobre a broca (Wob) e dos coeficientes de atrito estático, no caso do Tsb, e
dinâmico, no caso do Tcb. O decaimento presente entre os atritos estático e dinâmico
é modelado por uma fun¸cão exponencial com uma constante positiva γb.
Tfb =



Teb , ˙θb < Dv e |Teb| < Tsb
Tsbsign(Teb) , ˙θb < Dv e |Teb| > Tsb
Tcb + (Tsb − Tcb)e−γb
˙θb sign( ˙θb) , ˙θb > Dv
(2.3)
Teb = c(Ω − ˙θb) + k(Ωt − θb) − cb
˙θb (2.4)
Tsb = RbWobµsb (2.5)
Tcb = RbWobµcb (2.6)
O primeiro caso da equa¸cão 2.3 é chamado de Stick e representa a situa¸cão onde
a broca está presa solidária à rocha, ou seja, quando a velocidade angular da broca
10

é nula. O terceiro caso é conhecido como Slip e representa a situa¸cão onde a broca
está perfurando a rocha, ou seja, quando a velocidade angular da broca é diferente
de zero. O segundo caso descreve a transi¸cão entre os regimes Stick e Slip.
A equa¸cão 2.4 representa o torque reativo no regime Stick que é igual ao torque
aplicado pois o sistema está em equil´ıbrio. Como a mesa rotativa continua a girar,
o sistema acumula energia e o torque aplicado aumenta até que o torque reativo em
equil´ıbrio atinge um valor máximo definido pelo torque estático e a broca come¸ca a
girar, entrando no regime do atrito dinâmico (Slip).
O parâmetro Dv especifica uma vizinhan¸ca ao redor de ˙θb = 0 suficientemente
pequena para compensar erros numéricos. Os valores dos parâmetros utilizados até
aqui foram retirados de NAVARRO e SUAREZ [4] e estão descritos na tabela 2.1.
Tabela 2.1: Propriedades da coluna de perfura¸cão
Variável Valor
Jb 0.0318 kg.m2
c 0.0001 N.m.s/rad
cb 0.03 N.m.s/rad
k 0.073 N.m/rad
Tcb 5 N.m
Tsb 8 N.m
Dv 10−
6s
γb 0.9
Ω 19 rad/s
2.3 Considera¸cão sobre incertezas
A industria do petróleo enfrenta desafios mais complexos a cada dia e é necessário
que as analises realizadas se tornem casa vez mais precisas. Com isso métodos
estocásticos se tornam cada vez mais comuns nas solu¸cões de problemas.
Os métodos estocásticos permitem a considera¸cão de incertezas nos modelos
matemáticos desenvolvidos, quantificando o impacto destas no comportamento do
sistema e assim, aumentando a confiabilidade nas análises dos resultados. Essas
11

incertezas podem ser provenientes da falta de informa¸cões ou a ocorrências não
previstas no projeto de um po¸co. Os parâmetros modelados como variáveis aleatórias
nesse trabalho foram escolhidos devido ao alto grau de dificuldade em identificá-los
de maneira precisa. Esses métodos são comumente utilizados quando é dif´ıcil ou
imposs´ıvel obter uma formula¸cão fechada para a resposta do sistema como é o caso
da análise dinâmica não linear de colunas de perfura¸cão.
As análises estocásticas presentes neste trabalho foram realizadas utilizando o
Método de Monte Carlo (MC) que consiste na simula¸cão de variáveis aleatórias
independentes para os parâmetros de entrada do sistema afim de realizar análises
probabil´ısticas de uma resposta desconhecida. As variáveis aleatórias simuladas
devem seguir a distribui¸cão de probabilidade das variáveis de entrada que represen-
tam. Neste trabalho foram consideradas as seguintes distribui¸cões de probabilidade
cont´ınuas: uniforme e normal.
Figura 2.4: Esquema do método de monte carlo. Baseado em [5].
A distribui¸cão cont´ınua uniforme é definida na equa¸cão 2.7, onde a e b repre-
sentam o limite inferior e superior, respectivamente. Essa distribui¸cão foi utilizada
para descrever as variáveis aleatórias Tcb e Tsb na análise de bifurca¸cão estocástica.
f(x|a, b) =



1
b−a
, a ≤ x ≤ b
0 , caso contrário
(2.7)
A distribui¸cão cont´ınua normal é apresentada na equa¸cão 2.8, onde µ e σ representam
a média e o desvio padrão respectivamente. Essa distribui¸cão foi utilizada para
descrever os parâmetros envolvidos na altera¸cão dos torques de atrito estático e
12

dinâmico na análise estocástica da resposta do sistema.
f(x|µ, σ) =
1
√
2πσ2
e(−
(x−µ2)
2σ2 )
, −∞ < x < ∞, σ > 0 (2.8)
No caso da utiliza¸cão da distribui¸cão cont´ınua normal, a dispersão das variáveis
aleatórias é comumente avaliada através de um parâmetro chamado coeficiente de
varia¸cão (CV), definido na equa¸cão 2.9. Esse parâmetro permite uma análise mais
compreens´ıvel do que o desvio padrão já que é expressado em porcentagem.
CV =
E([X − E(X)]2)
E(X)
=
σ
µ
(2.9)
13

Cap´ıtulo 3
Resultados e Discussões
Esse cap´ıtulo possui o objetivo de discutir a simula¸cão do modelo para diversas
situa¸cões. Com isso, é poss´ıvel identificar as principais caracter´ısticas do modelo
utilizado, as diferen¸cas entre os regimes com e sem Stick-slip, além de fazer uma
análise de sensibilidade das varáveis de intera¸cão broca-rocha e da velocidade de
rota¸cão da mesa rotativa. Além disso, é apresentada uma análise estocástica in-
cluindo incertezas nos parâmetros de intera¸cão broca-rocha com o intuito de avaliar
a probabilidade do regime com Stick-slip se manifestar. Por fim são comentados os
resultados obtidos quando há altera¸cão do contato broca-rocha no tempo.
3.1 Resposta determin´ıstica do sistema: dom´ınio
do tempo e bifurca¸cão
A resposta dinâmica do sistema, na ausência de Stick-slip, deve apresentar um regime
inicial com velocidade nula devido ao atrito estático presente na intera¸cão broca-
rocha, caracterizado pelo fenômeno de Stick. Após a energia torcional acumulada
na coluna vencer o atrito estático, o movimento se inicia dando lugar ao atrito
dinâmico apresentando o fenômeno de Slip. Com o in´ıcio do movimento, um regime
transitório se manifesta devido à elasticidade e amortecimento do sistema seguido
de um regime permanente cujo módulo deve ser igual à rota¸cão da mesa rotativa já
que esta é responsável por impor a rota¸cão da coluna de perfura¸cão.
No caso com Stick-slip, o regime inicial com velocidade nula também está pre-
sente porém o inicio do movimento se dá de forma brusca devido ao alto acúmulo de
14

energia torcional anterior ao movimento, resultando em altas velocidades de rota¸cão
na broca. Essas altas rota¸cões fazem com que o ângulo da broca se aproxime rapida-
mente do ângulo da mesa rotativa, reduzindo consideravelmente a energia torcional
da coluna, causando assim uma nova parada da broca. Esse ciclo então se repete
até que haja uma interven¸cão.
A figura 3.1 exemplifica os dois casos explicitados anteriormente. Os dados
utilizados foram apresentados na tabela 2.1, com exce¸cão da velocidade de rota¸cão
da mesa no caso com Stick-slip que foi reduzida em 50% com o objetivo de induzir
o Stick-slip.
É poss´ıvel notar que mesmo com uma redu¸cão de 50% na velocidade de rota¸cão
da mesa, a broca ainda atinge velocidades bem próximas do caso sem redu¸cão devido
ao Stick-slip. Essa redu¸cão também causou um delay no come¸co da rota¸cão pois o
acúmulo de energia na coluna demora mais tempo para atingir o n´ıvel cr´ıtico e vencer
o atrito estático.
0 10 20 30 40
0
10
20
30
40
50
60
70
tempo (s)
˙θb(rad/s)
sem Stick−Slip
com Stick−Slip
(a)
0 10 20 30 40
0
200
400
600
800
1000
tempo (s)
θb(rad)
sem Stick−Slip
com Stick−Slip
(b)
Figura 3.1: Resposta determin´ıstica do sistema para os regimes com e sem Stick-Slip
em (a) velocidade angular da broca e (b) ângulo da broca. Linha cheia: Ω = 19
rad/s; Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s.
A figura 3.2 representa o modelo de atrito com os parâmetros descritos na tabela
2.1. Conforme descrito na se¸cão 2.2, quando a velocidade de rota¸cão da broca é
próxima de zero, o torque de atrito é igual ao torque reativo da coluna, até um valor
máximo definido por Tsb. Nesse caso o torque de atrito apresenta um comportamento
linear no tempo pois a velocidade de rota¸cão da mesa é constante. Para velocidades
não-nulas na broca, o torque de atrito tende exponencialmente para Tcb.
15

−10 −5 0 5 10
−10
−5
0
5
10
˙θb (rad/s)
Tfb(N.m)
← Tsb
Tcb
Figura 3.2: Modelo de atrito seco.
O comportamento supracitado pode ser claramente observado na figura 3.3a no
caso sem Stick-slip, pois o torque de atrito sobe linearmente com o tempo até o valor
máximo de 8N.m e decresce exponencialmente para o valor de 5N.m. O decréscimo
exponencial acontece muito rapidamente devido ao aumento rápido da velocidade.
No caso com Stick-slip, percebe o mesmo comportamento linear seguido de um
decréscimo exponencial. Conforme dito anteriormente, no regime Stick-slip existe
um ciclo de repeti¸cões de travamento e destravamento da broca. Esse ciclo de
repeti¸cões pode ser visto na figura 3.3a.
A figura 3.3b apresenta um ciclo de repeti¸cão em detalhe. Percebe-se que há um
aumento exponencial do torque de atrito devido à parada da broca, que representa
o caminho inverso no gráfico da figura 3.2 e é caracter´ıstico do modelo escolhido. A
obten¸cão desse valor máximo na parada da broca acontece devido à parte Slip do
modelo de atrito, mais especificamente no in´ıcio da parte exponencial, e não possui
rela¸cão com a parte Stick do modelo. Isso se justifica pois a diferen¸ca angular da
mesa rotativa para a broca não é capaz de produzir um torque reativo Teb próximo
ao torque máximo Tsb logo no in´ıcio da parada da broca, que também explica o salto
do torque de atrito para um valor bem abaixo.
Após a broca parar completamente, o ciclo continua com a subida linear do
torque de atrito até o valor máximo Tsb, quando a broca reinicia o movimento e o
torque de atrito decresce exponencialmente para Tcb, reiniciando o ciclo.
16

0 10 20 30 40
0
2
4
6
8
10
tempo (s)
Tfb(N.m)
sem Stick−Slip
com Stick−Slip
(a)
21 22 23 24 25 26 27 28
0
2
4
6
8
10
tempo (s)
Tfb(N.m)
com Stick−Slip
(b)
Figura 3.3: Resposta do torque de atrito seco na broca (a) durante o tempo total
de simula¸cão e (b) detalhado entre 21 e 28 segundos. Linha cheia: Ω = 19 rad/s;
Linha tracejada: Ω = 9,5 rad/s.
Na se¸cão anterior foi apresentada a resposta dinâmica do sistema com e sem
Stick-Slip. No caso com Stick-Slip, foi necessário reduzir a velocidade de rota¸cão da
mesa em 50% para produzir tal efeito. Isso ilustra a mudan¸ca de comportamento do
sistema quando há varia¸cões nas variáveis de entrada, o que demonstra a importância
de estudar a sensibilidade do sistema para as variáveis que possuem maior incerteza
ou possibilidade de modifica¸cão durante o processo de perfura¸cão.
Os gráficos presentes nas figuras 3.4 e 3.5 apresentam a resposta do sistema para
uma varia¸cão de 5% na velocidade de rota¸cão da mesa rotativa nos casos sem e com
Stick-Slip, respectivamente. Ambos os casos foram analisados de forma que não
houvesse mudan¸ca de regime dentro da varia¸cão de 5%. A varia¸cão de 5% no caso
com Stick-Slip foi obtida em cima da redu¸cão de 50% realizada para induzir esse
regime, ou seja, uma varia¸cão de -5% nesse regime representa 47.5% da velocidade
de rota¸cão da tabela 2.1.
O gráfico da figura 3.4 mostra que a varia¸cão da velocidade de rota¸cão da mesa
induz uma altera¸cão igual na resposta permanente da velocidade de rota¸cão da
broca. Isso acontece pois a velocidade da broca tende para a velocidade de rota¸cão
da mesa rotativa no regime sem Stick-Slip. Esse mesmo comportamento pode ser
observado no gráfico do ângulo da broca que muda a inclina¸cão da reta quando a
velocidade se torna constante.
A resposta transitória apresenta um pequeno deslocamento no tempo devido à
17

altera¸cão do tempo necessário para a coluna acumular energia suficiente para vencer
o atrito estático. O pico de velocidade apresentou uma varia¸cão de 1,4% no módulo
em rela¸cão à velocidade de referência da mesa.
0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Ω
Ω + 5%
Ω − 5%
(a)
0 20 40 60 80
0
500
1000
1500
tempo (s)
θb(rad)
Ω
Ω + 5%
Ω − 5%
(b)
Figura 3.4: Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% na velocidade de rota¸cão da mesa. Resultados em (a) velocidade de rota¸cão
da broca e (b) ângulo da broca.
A figura 3.5, referente ao regime com Stick-Slip, mostra uma diferen¸ca temporal
da resposta que vai aumentando com o tempo. Isso pode ser explicado pois ve-
locidades inferiores da mesa rotativa demandam um ciclo de Stick-Slip com maior
dura¸cão. Essa diferen¸ca temporal vai acumulando com o tempo e ficando cada vez
maior. O pico apresentou uma varia¸cão de 0,7% no módulo em rela¸cão à rota¸cão de
referência utilizada nesse regime.
18

0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Ω
Ω + 5%
Ω − 5%
(a)
0 20 40 60 80
0
100
200
300
400
500
600
tempo (s)
θb(rad)
Ω
Ω + 5%
Ω − 5%
(b)
Figura 3.5: Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% na velocidade de rota¸cão da mesa. Resultados em (a) velocidade de rota¸cão
da broca e (b) ângulo da broca.
O gráfico de bifurca¸cão apresentado na figura 3.6 tem, por sua vez, o objetivo de
avaliar a mudan¸ca de regime mediante a varia¸cão da velocidade de rota¸cão da mesa
assim como avaliar a sensibilidade do sistema a esse parâmetro. O eixo das abscissas
apresenta a razão da velocidade real da mesa em rela¸cão à velocidade de referência,
presente na tabela 2.1. O eixo das ordenadas representa os valores m´ınimo e máximo
para a velocidade da broca no regime permanente. Essa análise foi inspirada nos
gráficos contido no trabalho de CAYRES [10].
O gráfico no in´ıcio apresenta duas curvas que se encontram quando a velocidade
da mesa atinge cerca de 90% da velocidade de referência. A primeira parte do
gráfico, onde há duas curvas, representa o regime com Stick-Slip pois a velocidade
m´ınima da broca é zero, a broca está travada (Stick). A segunda parte, onde há
apenas uma curva, representa o regime sem Stick-Slip pois o máximo e m´ınimo são
equivalentes, representando um regime permanente estável.
A curva de máximos sobe com o aumento da velocidade da mesa rotativa. No
regime com Stick-Slip, a broca atinge velocidades bem superiores à da mesa rotativa.
Por outro lado, no caso sem Stick-Slip, a broca atinge a mesma velocidade da mesa
rotativa e conforme a velocidade da mesa aumenta, a velocidade da broca aumentar
igualmente.
19

0.5 0.75 1 1.25 1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Ω
Ωref
min,max(
˙θb
Ωref
)(rad/s)
Figura 3.6: Análise por bifurca¸cão da resposta do sistema mediante varia¸cão da
velocidade de rota¸cão da mesa.
Outro parâmetro muito importante no processo de perfura¸cão que é controlado
pelo operador, além de possuir diversas fontes de incerteza, é o peso sobre a broca
(Wob). O peso sobre a broca está presente no modelo através dos torques de atrito
Tsb e Tcb nas equa¸cões 2.5 e 2.6, respectivamente. Devido à dependência linear de
tais variáveis, uma varia¸cão no peso sobre a broca pode ser modelada diretamente
nos torques de atrito.
O gráfico da figura 3.7 mostra a sensibilidade do sistema no regime sem Stick-Slip.
É poss´ıvel notar que, ao contrário da velocidade da mesa, a varia¸cão no peso sobre
a broca não provoca uma varia¸cão da velocidade da broca em regime permanente.
Isso pode ser confirmado no gráfico 3.7b pois não há varia¸cão da inclina¸cão da reta
no regime permanente.
Existe ainda uma leve varia¸cão de 3,5% no módulo do primeiro pico do gráfico
3.7a. Além disso a resposta é levemente deslocada no tempo pois a varia¸cão no
torque de atrito faz com que seja demandada uma energia acumulada maior para
vencer o atrito broca-rocha.
20

0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Wob
Wob + 5%
Wob − 5%
(a)
0 20 40 60 80
0
500
1000
1500
tempo (s)
θb(rad)
Wob
Wob + 5%
Wob − 5%
(b)
Figura 3.7: Sensibilidade da resposta sem stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸cão da broca e
(b) ângulo da broca.
No caso com Stick-Slip (figura 3.8), os gráficos foram gerados considerando tor-
ques de atrito iguais ao dobro dos da referência. Isso foi feito com o intuito de
induzir o fenômeno Stick-Slip.
Percebe-se um aumento significativo (72%) no módulo do pico de velocidade
em rela¸cão à resposta sem Stick-Slip. Isso mostra a severidade desse fenômeno.
Além disso, existe uma varia¸cão temporal entre as respostas. Essa varia¸cão possui
a mesma causa explicada no caso sem Stick-Slip, sendo mais evidente aqui devido
aos ciclos de repeti¸cão do Stick-Slip.
21

0 20 40 60 80
0
20
40
60
80
100
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Wob
Wob + 5%
Wob − 5%
(a)
0 20 40 60 80
0
500
1000
1500
tempo (s)
θb(rad)
Wob
Wob + 5%
Wob − 5%
(b)
Figura 3.8: Sensibilidade da resposta com stick-slip do sistema para uma varia¸cão
de 5% no peso sobre a broca. Resultados em (a) velocidade de rota¸cão da broca e
(b) ângulo da broca.
A figura 3.9 mostra o gráfico de bifurca¸cão para varia¸cões do peso sobre a broca.
A primeira parte do gráfico, referente ao regime sem Stick-Slip, mostra que a veloci-
dade em regime permanente permanece constante não obstante a varia¸cão do peso
sobre a broca. Isso confirma o fato constatado na figura 3.7a. A segunda parte do
gráfico, referente ao regime com Stick-Slip, mostra o agravamento do fenômeno de
Stick-Slip quanto maior é o peso sobre a broca.
0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
Wob
Wobref
min,max(
˙θb
Ωref
)(rad/s)
Figura 3.9: Análise por bifurca¸cão da resposta do sistema mediante varia¸cão do peso
sobre a broca.
O gráfico da figura 3.10 mostra quando ocorre o fenômeno de Stick-Slip para
22

diferentes conbina¸cões de rota¸cão da mesa e peso sobre a broca. A parte vermelha
do gráfico representa situa¸cões com Stick-Slip e a parte azul representa situa¸cões
sem Stick-Slip. Nota-se que para valores baixos de velocidade da mesa e valores
altos de peso sobre a broca, o fenômeno de Stick-Slip se manifesta.
Esse gráfico é obtido através do cálculo de um parâmetro chamado ”Stick-Slip
Severity”que por sua vez é calculado da seguinte forma:
SSS =
( ˙θbmax − ˙θbmin)
2 · Ω
(3.1)
onde ˙θbmax e ˙θbmax são as velocidades máxima e m´ınima da broca no regime perma-
nente, respectivamente. Caso o valor de SSS supere 0.8, foi considerado que ocorreu
Stick-Slip; caso contrário, não houve.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Ω
Ωref
Wob
Wobref
Figura 3.10: Análise de estabilidade de acordo com velocidade de rota¸cão da mesa
e peso sobre a broca. Azul: sem Stick-Slip; Vermelho: com Stick-Slip.
3.2 Bifurca¸cão Estocástica
Na se¸cão 2.3 ficou clara a importância de modelar as incertezas das variáveis im-
portantes ao problema. Na se¸cão 3.1 foi feito um estudo de sensibilidade dessas
variáveis. Esse estudo foi realizado de forma determin´ıstica para varia¸cões de 5%
nos parâmetros.
O estudo apresentado a seguir foi realizado considerando o peso sobre a broca
como variável aleatória, ou seja, essa variável passa a ter uma fun¸cão de probabili-
dade. A fun¸cão de probabilidade escolhida para modelar tal variável foi a Uniforme
23

com limites 10% acima e abaixo do valor de referência mostrado na tabela 2.1. Todas
as demais variáveis foram considerada determin´ısticas. Esse estudo possui o objetivo
de avaliar a probabilidade de haver instabilidade, ou seja, ocorrer Stick-Slip, para
diferentes velocidades da mesa rotativa.
Tsb ∝ Tsbref · Unif(0.9, 1.1) (3.2)
Tcb ∝ Tcbref · Unif(0.9, 1.1) (3.3)
Utilizou-se o método de Monte Carlo para simular a resposta do sistema através
de 1000 simula¸cões para velocidades de rota¸cão da mesa com passo de 0,5% da
velocidade de referência. Em cada simula¸cão verificou o SSS a fim de determinar
o número de simula¸cões cujo SSS ficou maior que 0,8, caracterizando o número de
”falhas”. A probabilidade de instabilidade para essa determinada velocidade de
rota¸cão da mesa foi então calculada da seguinte maneira:
Pinstabilidade =
nº de simula¸cões com SSS > 0, 8
nº total de simula¸cões [103
]
(3.4)
O gráfico da figura 3.11 mostra a probabilidade de instabilidade em fun¸cão da
velocidade da mesa rotativa. Como esperado, a probabilidade de instabilidade reduz
com o aumento da velocidade da mesa. Esse comportamento é compat´ıvel com a
análise determin´ıstica que evidenciou o fato do Stick-Slip não acontecer para velo-
cidade altas da mesa rotativa. A probabilidade de instabilidade atinge os valores
extremos de 0% e 100% devido à escolha da fun¸cão uniforme de probabilidade que,
por sua vez, possui valores limites e agregam essa propriedade ao sistema. O fato
do valor de referência de 19 rad/s para a velocidade de rota¸cão da mesa n]ao repre-
sentar 50% de probabilidade é devido ao fato da referência não estar no ponto de
instabilidade.
24

12 14 16 18 20 22
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Ω (rad/s)
ProbabilidadedeInstabilidade
Figura 3.11: Análise por bifurca¸cão estocástica para determinar a probabilidade de
ocorrer o fenômeno de Stick-Slip.
3.3 Altera¸cão do contato broca-rocha no tempo
Levando em considera¸cão a modelagem escolhida e as simula¸cões mostradas anteri-
ormente, fica claro que os parâmetros principais na intera¸cão broca-rocha são Tsb e
Tcb que representam os atritos estático e dinâmico, respectivamente.
Anteriormente à análise da altera¸cão de caracter´ısticas da rocha ao longo do
processo de perfura¸cão, achou-se oportuna a realiza¸cão de simula¸cões do primeiro
contato da broca com a rocha, após o in´ıcio de sua rota¸cão com as superf´ıcies
separadas. Isso foi realizado devido a ser o procedimento padrão na opera¸cão de
perfura¸cão. Esse primeiro contato depende principalmente da forma de aplica¸cão
do peso sobre a broca. Essa aplica¸cão foi simulada através dos parâmetros Tsb e Tcb,
utilizando três fun¸cões diferentes: degrau, linear e tangente hiperbólica.
Antes do in´ıcio do contato, é importante que o sistema estivesse em regime
permanente para permitir uma análise mais criteriosa. Com esse objetivo, utilizou
um tempo de 20 segundos de simula¸cão para o in´ıcio do contato. O contato então é
aplicado seguindo cada fun¸cão escolhida até um tempo de 60 segundos. Os torques de
atrito possuem valor nulo (sem contato) até o tempo inicial de 20 segundos e possuem
valor igual à referência acima de 60 segundo de simula¸cão. Esse comportamento está
representado na figura 3.12.
25

0 20 40 60 80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tsb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
(a)
0 20 40 60 80
0
1
2
3
4
5
tempo (s)
Tcb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
(b)
Figura 3.12: Altera¸cão, durante o primeiro contato broca-rocha, do (a) torque de
atrito estático e (b) torque de atrito dinâmico.
Após essa análise inicial, será avaliado o impacto da altera¸cão de caracter´ısticas
da rocha durante o processo de perfura¸cão. Para isso, foram consideradas as mesmas
três fun¸cões para descrever esse impacto através dos parâmetros Tsb e Tcb. Esses
parâmetro foram escolhidos pois a altera¸cão da rocha sendo perfurada implica em
um novo coeficiente de atrito que possui influência de diversas propriedades da rocha
como geometria, dureza, rugosidade, entre outros.
Foi utilizado um tempo de 30 segundos de simula¸cão para o in´ıcio da altera¸cão
dos parâmetros com o intuito de aguardar o regime permanente se consolidar. Essa
altera¸cão acontece seguindo cada fun¸cão especificada até o tempo de 70 segundos.
Foi escolhido um aumento de 2N.m para cada torque de atrito, mantendo o valor
final igual à referência. A figura 3.13 mostra as fun¸cões utilizadas.
26

0 20 40 60 80
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
tempo (s)
Tsb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
(a)
0 20 40 60 80
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
tempo (s)
Tcb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
(b)
Figura 3.13: Altera¸cão, durante o processo de perfura¸cão, do (a) torque de atrito
estático e (b) torque de atrito dinâmico.
3.4 Resposta determin´ıstica sem contato inicial
A simula¸cão da resposta do sistema com rota¸cão inicial livre é mostrada na figura
3.14. O tempo entre as linhas azuis é referente ao contato progressivo da broca com
a rocha.
A resposta do sistema no caso da fun¸cão linear apresentou uma nova velocidade
de regime permanente durante a aplica¸cão do contato. Esse novo regime perma-
nente foi atingido após uma pequena oscila¸cão. Esse comportamento é devido ao
modelo escolhido para o sistema já que, no caso linear, a solu¸cão particular para o
ângulo da broca é linear (considerando que não existe Stick-Slip), sendo constante
na velocidade da broca e, quando somada à solu¸cão homogênea, provoca uma nova
velocidade de regime permanente. É importante ressaltar que a mesa rotativa per-
manece girando na mesma velocidade enquanto que a broca passa a girar em uma
velocidade menor, ou seja, a energia torcional come¸car a ser acumulada progres-
sivamente devido à tor¸cão da coluna. Essa energia torcional sendo acumulada é
suficiente para vencer o atrito e manter a broca girando e perfurando.
Quando o contato é aplicado seguindo uma fun¸cão tangente hiperbólica, a ve-
locidade não atinge um patamar novo como no caso linear. A fun¸cão hiperbólica
possui a caracter´ıstica de ser bem suave e apresentar um aumento progressivo da
sua derivada seguido de uma diminui¸cão também progressiva. Essa caracter´ıstica
27

influencia diretamente a resposta do sistema. É poss´ıvel perceber isso na figura
3.14 pois a velocidade da broca reduz gradativamente para compensar o atrito que
aumenta devagar no in´ıcio até chegar um valor m´ınimo que representa o ponto de
inflexão da fun¸cão tangente hiperbólica é máxima e volta a subir gradativamente
quando o atrito se aproxima do valor final.
0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.14: Velocidade da broca com rota¸cão inicial livre de atrito e aplica¸cões do
tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
No caso da fun¸cão degrau, o contato é feito instantaneamente. Nesse caso,
percebe-se um travamento inicial da broca pois, antes do contato, a energia torcional
acumulada na coluna é muito pequena já que havia uma resistência bem menor.
Quando o contato é realizado de forma brusca, a energia torcional acumulada não é
suficiente para vencer o atrito e continuar girando, causando o travamento da broca.
Em outras palavras, a desacelera¸cão da broca acontece mais rapidamente do que a
coluna acumula energia torcional para vencer esse atrito.
Apesar da fun¸cão de aplica¸cão do atrito ser degrau, a velocidade da broca não cai
de forma degrau. Segundo pode ser observado na figura 3.15, a broca é desacelerada
pelo atrito entre os tempos de 20 e 20,13 segundos. Apesar disso, o tempo de
caimento é bem pequeno e pode ser considerado instantâneo.
28

19.9 20 20.1 20.2 20.3
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.15: Detalhe da velocidade da broca com rota¸cão inicial livre de atrito e
aplica¸cões do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
O gráfico da figura 3.16 mostra o torque de atrito ao longo do tempo. Para
as fun¸cões linear e tangente hiperbólica, percebe-se que o gráfico possui a mesa
forma da fun¸cão e isso acontece pois não há altera¸cão de regime Stick-Slip durante
o contato. Portanto, nos casos linear e tangente hiperbólica, o gráfico representa o
torque de atrito dinâmico (Tcb).
0 20 40 60 80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.16: Torque de atrito com rota¸cão inicial livre de atrito e aplica¸cões do tipo
degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
29

No caso da fun¸cão degrau, a figura 3.17 mostra que o torque de atrito sobe
instantaneamente para o torque de atrito dinâmico final. Porém, conforme mostrado
anteriormente, a velocidade da broca cai até o valor nulo e o torque de atrito portanto
torna-se estático e então decai conforme o modelo escolhido. O torque de atrito não
cai para zero pois já existe uma energia torcional na coluna, apesar de pequena. A
figura 3.16 mostra então que a coluna come¸ca a acumular energia até vencer o atrito
estático e sair da inércia, dando lugar para o atrito dinâmico.
19.9 20 20.1 20.2 20.3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.17: Detalhe do torque de atrito com rota¸cão inicial livre de atrito e
aplica¸cões do tipo degrau, linear e tanh para o peso sobre a broca.
3.5 Resposta determin´ıstica com mudan¸ca de ca-
racter´ısticas da rocha
Esse item abordará a mudan¸ca de caracter´ısticas da rocha durante o processo de
perfura¸cão, ou seja, a altera¸cão da intera¸cão broca-rocha quando a broca já está em
contato com a rocha. A metodologia de análise dos gráficos é semelhante ao item
anterior.
O gráfico da figura 3.18 mostra que o efeito da altera¸cão do atrito nas fun¸cões
linear e tangente hiperbólica é significantemente menor que o efeito mostrado no
item anterior. Isso é explicado pois a altera¸cão dos torques de atrito possuem menor
amplitude e mesmo tempo de dura¸cão, permitindo uma melhor compensa¸cão da
30

energia torcional.
Contudo, o efeito dessa altera¸cão possui a mesma forma e justificativa que foram
explicadas no item anterior. Levando em conta que não há manifesta¸cão de Stick-
Slip, a minimiza¸cão do efeito pode ser atribu´ıda ao fato da altera¸cão dos parâmetros
de atrito possuir menor amplitude.
0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.18: Velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão
degrau, linear e tanh.
No caso da altera¸cão seguindo uma fun¸cão degrau, o comportamento do sistema é
bem similar ao observado no estudo com rota¸cão inicial livre. Isso pode ser explicado
pois a energia torcional necessária para vencer o atrito estático nos dois caso é a
mesma, pois o atrito estático final nos dois casos também é igual. Portanto, a
libera¸cão dessa energia acumulada gera rota¸cões de mesma amplitude.
A broca desacelera com o torque de atrito e possui um comportamento bem
similar ao explicado no item anterior, conforme pode ser constatado na figura 3.19.
Nesse caso, o travamento da broca leva mais tempo pois a altera¸cão do torque de
atrito é menor, permitindo uma maior compensa¸cão do atrito por meio da energia
torcional acumulada.
31

29.9 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.19: Detalhe da velocidade da broca com mudan¸ca de rocha seguindo uma
fun¸cão degrau, linear e tanh.
O gráfico da figura 3.20 mostra o torque de atrito para todas as fun¸cões. Nova-
mente, para os casos linear e tangente hiperbólica, o gráfico demonstra comporta-
mento idêntico à mudan¸ca modelada já que o regime de atrito permanece dinâmico
todo o tempo.
0 20 40 60 80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.20: Torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma fun¸cão degrau,
linear e tanh.
No caso da fun¸cão degrau, o comportamento é bastante semelhante ao do estudo
32

com rota¸cão inicial livre. A figura 3.21 mostra que o torque aumenta instantanea-
mente para o torque de atrito dinâmico final e permanece assim até o travamento
da broca, onde o atrito cai rapidamente. Após isso, a energia torcional é acumulada
até superar o atrito estático e voltar para o atrito dinâmico final.
29.9 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
Degrau
Linear
Tanh
Figura 3.21: Detalhe do torque de atrito com mudan¸ca de rocha seguindo uma
fun¸cão degrau, linear e tanh.
3.6 Resposta estocástica com mudan¸ca de carac-
ter´ısticas da rocha
Os estudos feitos sobre mudan¸ca de rocha consideraram parâmetros determin´ısticos
para descrever essa mudan¸ca. O estudo presente nessa se¸cão visa avaliar a con-
sequência da incerteza desses parâmetros na resposta do sistema.
Com o intuito de simular a resposta do sistema levando em conta variáveis
aleatórias, foi utilizado o método de Monte Carlo descrito no item 2.3. As variáveis
aleatórias foram considerada normais com coeficiente de varia¸cão igual a 2% e mo-
33

deladas da seguinte forma:
Tcbi ∝ 3 · Normal(1; 0, 02) (3.5)
Tcbf ∝ 5 · Normal(1; 0, 02) (3.6)
Tsbi ∝ 6 · Normal(1; 0, 02) (3.7)
Tsbf ∝ 8 · Normal(1; 0, 02) (3.8)
ti ∝ 30 · Normal(1; 0, 02) (3.9)
tf ∝ 70 · Normal(1; 0, 02) (3.10)
onde Tcbi e Tcbf são os torques de atrito dinâmico inicial e final, respectivamente;
Tsbi e Tsbf são os torques de atrito estático inicial e final, respectivamente, e; ti e tf
são os tempos inicial e final da mudan¸ca de rocha, respectivamente.
Os gráficos apresentados a seguir são conhecidos por envelopes de confian¸ca.
A linha cheia no gráfico representa a média dos valores obtidos para determinada
reposta em cada instante de tempo. Por outro lado, as linhas tracejadas delimitam
uma região onde 90% dos valores obtidos estão contidos.
O valor de 90% de confian¸ca foi escolhido pois não apresenta casos com Stick-Slip
em seu dom´ınio. Como os parâmetros são modelados como fun¸cões normais e essas
por sua vez possuem um dom´ınio de (−∞, ∞), podem surgir valores que induzem
o Stick-Slip. Observar a ocorrência desse fenômeno foge ao objetivo desse item, já
sendo abordado em itens anteriores e, devido a isso, considerou-se os 99% para o
envelope de confian¸ca.
As figuras 3.22 e 3.23 mostram o envelope de confian¸ca para a velocidade da
broca quando a mudan¸ca de rocha segue uma fun¸cão linear e tangente hiperbólica,
respectivamente. Percebe-se nesses gráficos que as incertezas impostas não oferecem
altera¸cões expressivas na resposta do sistema. A explica¸cão desse comportamento
remete à análise feita na figura 3.9 que mostrou que altera¸cões nos fatores de atrito
apenas impactam a resposta da velocidade da broca se houver Stick-Slip. Como nos
casos linear e tangente hiperbólica não há Stick-Slip, os módulos das velocidades
permanecem muito próximos. Existe apenas um deslocamento no tempo devido às
incertezas nos tempos de in´ıcio e fim da mudan¸ca de rocha, mas pode ser considerável
desprez´ıvel e praticamente impercept´ıvel.
34

0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
Figura 3.22: Envelope de confian¸ca de 99% para a velocidade da broca com mudan¸ca
de rocha seguindo uma fun¸cão linear.
0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
de rocha seguindo uma fun¸cão tangente hiperbólica.
No caso das fun¸cões linear e tangente hiperbólica, a figura 3.24 mostra os gráficos
de envelope de confian¸ca para o torque de atrito. As incertezas embutidas podem
ser claramente identificadas. No caso dessas fun¸cões, após vencer o atrito inicial, a
35

broca permanece no regime de atrito dinâmico e a incerteza nesse parâmetro, antes
e depois da mudan¸ca de rocha, pode ser percebida nos gráficos.
A incerteza nos tempos inicial e final da mudan¸ca de rocha também é percebida
através de um leve deslocamento no tempo, quando comparadas as 3 linhas de
cada gráfico. As incertezas modeladas não são grandes o suficiente para perceber a
dispersão dos valores de torque estático desses gráficos.
0 20 40 60 80
0
2
4
6
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
(a)
0 20 40 60 80
0
2
4
6
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
(b)
Figura 3.24: Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca
de rocha seguindo uma fun¸cão (a) linear e (b) tangente hiperbólica.
No caso da fun¸cão degrau, percebe-se uma dispersão muito maior no resultado
pois o envelope de confian¸ca fica significativamente mais espesso. Isso acontece
devido à manifesta¸cão do Stick-Slip no in´ıcio da mudan¸ca de rocha. Retornando
novamente à figura 3.9, pode-se atribuir uma maior dispersão no caso degrau pois a
amplitude da resposta é afetada quando existe Stick-Slip. Além disso também está
presente um leve deslocamento no tempo devido às incertezas nos tempos de in´ıcio
e fim da mudan¸ca de rocha.
36

0 20 40 60 80
0
10
20
30
40
50
60
tempo (s)
˙θb(rad/s)
de rocha seguindo uma fun¸cão degrau.
A figura 3.26 mostra o gráfico de envelope de confian¸ca para o torque no caso
da fun¸cão degrau. O envelope de confian¸ca também demonstra maior dispersão
no in´ıcio da altera¸cão da rocha. Essa dispersão é atribu´ıda ao Stick-Slip pois esse
fenômeno engloba todos os regimes de atrito e acaba sofrendo maior influência da
incerteza desses parâmetros.
0 20 40 60 80
0
2
4
6
8
tempo (s)
Tfb(N.m)
Figura 3.26: Envelope de confian¸ca de 99% para o torque de atrito com mudan¸ca
de rocha seguindo uma fun¸cão degrau.
37

Cap´ıtulo 4
Conclusão e Trabalhos futuros
4.1 Conclusão
O objetivo do presente trabalho foi de introduzir novas análises sobre o problema da
dinâmica de colunas de perfura¸cão. Primeiramente foi proposto um modelo simples
para descrever a coluna de perfura¸cão de forma a permite as análises posteriores.
Esse modelo simplificado foi baseado em NAVARRO e SUAREZ [4] com a diferen¸ca
de imposi¸cão de velocidade constante na mesa rotativa.
Após a defini¸cão do modelo, foram realizadas algumas simula¸cões convencionais
de forma a analisar as respostas clássicas para esse tipo de estrutura e assim validou-
se o modelo utilizado.
A seguir foi realizado um estudo que avaliou a sensibilidade dos parâmetros do
modelo na resposta do sistema. Esse estudo introduziu uma nova forma de análise
gráfica dessa sensibilidade através do que foi intitulado gráficos de bifurca¸cão.
Essa análise mostrou que a velocidade da mesa rotativa influencia a resposta
do sistema independente da presen¸ca de Stick-Slip. Por outro lado, o peso sobre a
broca, descrito através dos torques de atrito, apenas influencia a resposta do sistema
no caso com Stick-Slip. Para ambos os parâmetros (velocidade da mesa rotativa e
peso sobre a broca), a análise mostrou que a broca atinge velocidades bem superiores
na presen¸ca de Stick-Slip.
Para finalizar essa análise, foi introduzida uma nova análise do sistema conside-
rando incertezas nos torques de atrito. Essa análise visou avaliar a probabilidade
de ocorrência de Stick-Slip para diversas velocidades da mesa rotativa. Percebeu-se
38

que velocidades baixas da mesa rotativa geram uma probabilidade alta de Stick-
Slip, enquanto que altas velocidade da mesa resultam em baixas probabilidades de
Stick-Slip.
Por fim, conforme objetivo do presente trabalho, foi analisado o impacto da
mudan¸ca de rocha no processo de perfura¸cão. Esse impacto foi avaliado através dos
torques de atrito que são responsáveis pela modelagem da intera¸cão broca-rocha.
A mudan¸ca dos torques de atrito no tempo foi modelado através de três fun¸cões:
linear, tangente hiperbólica e degrau.
Primeiramente foi analisado o caso onde a broca entra em contato com a rocha
somente após atingir o regime permanente em rota¸cão. Esse caso foi avaliado pois
representa as opera¸cões reais de perfura¸cão de po¸cos. A seguir, foi avaliada o caso
onde há altera¸cão da rocha durante o processo de perfura¸cão.
Em ambos os casos, os resultados mostraram que a varia¸cão da velocidade da
broca foi mais suave com a fun¸cão tangente hiperbólica. A fun¸cão linear, por sua
vez, apresentou uma suavidade menor apesar de sua varia¸cão possuir menor ampli-
tude. Por fim, a fun¸cão degrau impôs uma resposta tão brusca quanto a excita¸cão.
Inclusive, a fun¸cão degrau induziu um princ´ıpio de Stick-Slip que não se manteve
até o final.
No caso da altera¸cão da rocha durante o processo de perfura¸cão, a resposta
do sistema foi mais suave para as fun¸cões linear e tangente hiperbólica. Isso foi
explicado pois a varia¸cão dos parâmetros de atrito foram menores. O mesmo não
aconteceu para a fun¸cão degrau que demonstrou um impacto equivalente em ambos
os casos. Esse acontecimento foi explicado pelo fato dos parâmetros de atrito finais
serem os mesmos e pela presen¸ca de Stick-Slip.
Como análise final, foram avaliadas as incertezas dos parâmetros que definem
a altera¸cão da rocha durante o processo de perfura¸cão. A principal conclusão a
ser tirada dessa última análise é que essas incertezas não afetaram a velocidade da
broca nas mudan¸cas linear e tangente hiperbólica pois essas não apresentaram Stick-
Slip. No caso degrau existe Stick-Slip e as incertezas afetam a resposta de maneira
significativa.
39

4.2 Trabalhos futuros
O presente trabalho possuiu o objetivo de introduzir novas metodologias de análise
para esse problema comum na indústria do petróleo. Os próximos passos para
tal trabalho seria refinar o modelo e calibrá-lo para que seja capaz de descrever
satisfatoriamente o caso real.
Após isso, seria interessante refazer as análises aqui desenvolvidas e avaliar qual
fun¸cão melhor descreve a mudan¸ca dos parâmetros de atrito na altera¸cão da rocha
e como esses parâmetros de atrito são alterados dependendo do tipo de rochas e
condi¸cões que o po¸co está submetido. Dessa forma espera-se ser capaz de avaliar os
riscos de forma mais precisa a fim de mitigar gastos excessivos e otimizar o processo
de perfura¸cão de po¸cos.
Outra sugestão seria incluir oscila¸cões dos parâmetros de atrito durante o tempo
de simula¸cão. Dentro de uma mesma rocha, os parâmetro de atrito podem variar e
seria interessante avaliar a resposta do sistema a essas oscila¸cões.
Por fim, sugere-se a utiliza¸cão das análises aqui desenvolvidas para otimizar a
performance e o controle desse tipo de opera¸cão.
40

Referências Bibliográficas
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petrobras-60-anos-1.html, Online. Acessado em: 2016-06-13.
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ras, Ph.D. Thesis, Pontif´ıcia Universidade Católica, Rio de Janeiro, Brasil,
2004.
[3] PERCY, J. G., AN ÁLISE DE INCERTEZAS EM VIBRAÇ ÕES LATERAIS E
DE TORÇ ÃO ACOPLADAS EM COLUNAS DE PERFURAÇ ÃO, Mas-
ter’s Thesis, UFRJ/COPPE, Rio de Janeiro, Brasil, 2014.
[4] NAVARRO-LOPEZ, E. M., SUAREZ, R., “Practical approach to modelling and
controlling stick-slip oscillations in oilwell drillstrings”. In: Control Ap-
plications, 2004. Proceedings of the 2004 IEEE International Conference
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[5] SEUNG-KYUM CHOI, RAMANA V. GRANDHI, R. A. C., Reliability-based
Structural Design. Springer-Verlag London.
[6] “Geologia - Texto produzido pelos alunos da Primeira Turma do Curso de
Engenharia de Petróleo da UFC com base nos livros ”O Universo
da Indústria Petrol´ıfera- Da Pesquisa à Refina¸cão”, de José Salgado
Gomes. Funda¸cão Calouste-Gulbenkian, Portugal, 2ª Edi¸cão, 2011 e
”Fundamentos de Engenharia de Petróleo”, de José Eduardo Thomas.
Editora Interciência, 2001.” http://www.petroleo.ufc.br/index.php?
option=com_content&task=view&id=394&Itemid=56, Online. Acessado
em: 2016-06-13.
41

[7] “Petroleum”, http://www.scienceclarified.com/Oi-Ph/Petroleum.html,
Online. Acessado em: 2016-06-13.
[8] KHULIEF, Y., AL-SULAIMAN, F., BASHMAL, S., “Vibration analysis of
drillstrings with self-excited stick–slip oscillations”, Journal of Sound and
Vibration, v. 299, n. 3, pp. 540 – 558, 2007.
[9] BRETT, J. F., “The Genesis of Bit-Induced Torsional Drillstring Vibrations”,
Society of Petroleum Engineers.
[10] CAYRES, B. C., Numerical and Experimental Analysis of the Nonlinear Torsi-
onal Dynamics of a Drilling System, Master’s Thesis, Pontif´ıcia Univer-
sidade Cat´olica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2013.
[11] L.C. CUNHA LIMA, R.R. AGUIAR, T. R., HBAIEB, S., “Analysis of the
torsional stability of a simpliﬁed drillstring”. In: DINAME 2015 - Pro-
ceedings of the XVII International Symposium on Dynamic Problems of
Mechanics, Feb 2015.
[12] RITTO, T., SOIZE, C., SAMPAIO, R., “Non-linear dynamics of a drill-string
with uncertain model of the bit–rock interaction”, International Journal
of Non-Linear Mechanics, v. 44, n. 8, pp. 865 – 876, 2009.
42

Apˆendice A
C´odigos em MATLAB
A.1 Programa principal
1 %% Declarando variaveis globais
2 global k Jb c Vrot Gb Dv cb VrotR TsbR TcbR Tsb Tcb Tsb1 Tcb1 Tsb2 ...
Tcb2 ti tf
3
4 % Variaveis caracteristicas do sistema
5 Jb=0.0318; % Inercia da coluna
6 c=0.0001; % constante de amortecimento da coluna
7 cb=0.03; % constate do atrito viscoso da broca
8 k=0.073; % rigidez da coluna
9 Dv=10ˆ−6; % Correcao de intervalo do modelo de atrito seco ...
(problemas de convergencia)
10 Gb=0.9; % Constante gama do modelo de atrito seco
11
12 % Variaveis controlaveis
13 VrotR = 19; % Velocidade de rotacao da mesa
14 TsbR = 8; % Pico de torque de referencia
15 TcbR = 5; % Torque de atrito referencia
16
17 % Vetor temporal
18 ta = 0:0.001:120;
19
20 %% Analise Dinamica Deterministica do Sistema
43

21
22 % Propriedades de interacao com a rocha iguais a referencia
23 Tsb = TsbR;
24 Tcb = TcbR;
25
26 % Resposta Estavel
27 % Velocidade de rotacao da mesa igual a referencia
28 Vrot = VrotR;
29 % Solucionando o sistema
30 [ts,ys] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
31
32 % Resposta Instavel
33 % Velocidade de rotacao da mesa igual a metade da referencia
34 Vrot = 0.5*VrotR;
36 [te,ye] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
37
38 % Grafico Angulo da broca
39 figure
40 plot(ts,ys(:,1),'k',te,ye(:,1),'k−−','LineWidth',2)
41 legend('sem Stick−Slip','com Stick−Slip','Location','northwest')
42 xlabel ('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
43 ylabel ('$theta b$(rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
44 ylim([0 2500])
45 xlim([0 40])
46 set(gca,'fontsize',20)
47 print −depsc Resposta angulo
48
49 % Grafico Velocidade da broca
50 figure
51 plot(ts,ys(:,2),'k',te,ye(:,2),'k−−','LineWidth',2)
54 ylabel ('$dot{theta b}$(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
55 ylim([0 70])
56 xlim([0 40])
58 print −depsc Resposta velocidade
59
44

60 % Calculo do torque de atrito na broca para a resposta estavel
61 Vrot = VrotR;
62 Tfbs = zeros(length(ys),1);
63 for i = 1:length(ys)
64 Teb = c*(Vrot−ys(i,1))+k*(Vrot*ts(i)−ys(i,1))−cb*ys(i,2); % ...
Toque Stick
65
66 if and(ys(i,2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
67 Tfbs(i)=Teb;
68 elseif and(ys(i,2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
69 Tfbs(i)=Tsb*sign(Teb);
70 else % Slip
71 Tfbs(i)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(ys(i,2)))*sign(ys(i,2));
72 end
73 end
74
75 % Calculo do torque de atrito na broca para a resposta instavel
76 Vrot = VrotR*0.5;
77 Tfbe = zeros(length(ye),1);
78 for i = 1:length(ye)
79 Teb = c*(Vrot−ye(i,1))+k*(Vrot*te(i)−ye(i,1))−cb*ye(i,2); % ...
Toque Stick
80
81 if and(ye(i,2)<Dv,abs(Teb)<Tsb) % Stick
82 Tfbe(i)=Teb;
83 elseif and(ye(i,2)<Dv,abs(Teb)>Tsb) % Stick−Slip ...
Transition
84 Tfbe(i)=Tsb*sign(Teb);
85 else % Slip
86 Tfbe(i)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(ye(i,2)))*sign(ye(i,2));
87 end
88 end
89
90 % Grafico Torque de atrito na broca
91 figure
92 plot(ts,Tfbs,'k',te,Tfbe,'k−−','LineWidth',2)
45

95 ylabel ('$T {fb}$(N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
96 ylim([0 10])
97 xlim([0 40])
99 print −depsc Resposta torque
100
101 % Grafico detalhado do Torque de atrito na broca
102 figure
103 plot(te,Tfbe,'k−−','LineWidth',2)
104 legend('com Stick−Slip','Location','northwest')
107 ylim([0 10])
108 xlim([21 28])
110 print −depsc Resposta torque detalhado
111
112 %% Grafico do modelo de atrito seco
113 y2 = −10:0.01:10;
114 Tfb=TcbR+(TsbR−TcbR)*exp(−Gb*abs(y2));
115 Tfb=Tfb.*sign(y2);
116 figure
117 plot(y2,Tfb,'k','LineWidth',2)
118 xlabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
119 ylabel ('$T {fb}$ (N.m)','Interpreter','latex','FontSize',26)
120 ylim([−10 10])
121 text(0,8,'$leftarrow T {sb}$','Interpreter','latex','FontSize',26)
122 text(8,4,'$T {cb}$','Interpreter','latex','FontSize',26)
124 print −depsc Modelo atrito
125
126 %% Analise de sensibilidade para velocidade de rotacao da mesa
127
128 % Torques de atrito iguais a referencia
129 Tcb = TcbR; % Torque de atrito dinamico
130 Tsb = TsbR; % Pico de torque de atrito
131
132 % Resposta Estavel
133 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa
46

134 [t1,y1] = ode23tb(@modelo simples,ta,[0 0]);
135
136 Vrot = VrotR*1.05; % Velocidade de rotacao da mesa + 5%
138
139 Vrot = VrotR*0.95; % Velocidade de rotacao da mesa − 5%
141
142 % Grafico angulo da broca
143 figure
144 plot(t1,y1(:,1),'k−',t2,y2(:,1),'k−−',t3,y3(:,1),'k:','LineWidth',2)
145 legend('Omega','Omega + 5%','Omega − 5%','Location','northwest')
146 xlabel('tempo (s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
147 ylabel ('$theta b$ (rad)','Interpreter','latex','FontSize',26)
148 ylim([0 1500])
150 print −depsc Sensibilidade multiVrot est angulo
151
152 % Grafico velocidade da broca
153 figure
155 legend('Omega','Omega + 5%','Omega − 5%','Location','northeast')
157 ylabel ('$dot{theta b}$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
158 ylim([0 60])
160 print −depsc Sensibilidade multiVrot est velocidade
161
162 % Resposta Instavel
163 Vrot = VrotR*0.5; % Velocidade de rotacao da mesa
165
166 Vrot = VrotR*0.5*1.05; % Velocidade de rotacao da mesa + 5%
168
169 Vrot = VrotR*0.5*0.95; % Velocidade de rotacao da mesa − 5%
171
47

173 figure
178 ylim([0 600])
180 print −depsc Sensibilidade multiVrot inst angulo
181
183 figure
188 ylim([0 60])
190 print −depsc Sensibilidade multiVrot inst velocidade
191
192 %% Analise de sensibilidade para peso sobre a broca
193
194 % Velocidade da mesa igual a referencia
195 Vrot = VrotR;
196
197 % Resposta estavel
198 Tcb = TcbR; % Torque de atrito dinamico
199 Tsb = TsbR; % Pico de torque de atrito
201
202 Tcb = TcbR*1.05; % Torque de atrito dinamico + 5%
203 Tsb = TsbR*1.05; % Pico de torque de atrito − 5%
205
206 Tcb = TcbR*0.95; % Torque de atrito dinamico + 5%
207 Tsb = TsbR*0.95; % Pico de torque de atrito − 5%
209
211 figure
48

213 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northwest')
216 ylim([0 1500])
218 print −depsc Sensibilidade multiWob est angulo
219
221 figure
223 legend('Wob','Wob + 5%','Wob − 5%','Location','northeast')
226 ylim([0 60])
228 print −depsc Sensibilidade multiWob est velocidade
229
230 % Resposta instavel
231 Tcb = TcbR*2; % Torque de atrito dinamico
232 Tsb = TsbR*2; % Pico de torque de atrito
234
235 Tcb = TcbR*2*1.05; % Torque de atrito dinamico
236 Tsb = TsbR*2*1.05; % Pico de torque de atrito
238
239 Tcb = TcbR*2*0.95; % Torque de atrito dinamico
240 Tsb = TsbR*2*0.95; % Pico de torque de atrito
242
244 figure
249 ylim([0 1500])
49

251 print −depsc Sensibilidade multiWob inst angulo
252
254 figure
259 ylim([0 110])
261 print −depsc Sensibilidade multiWob inst velocidade
262
263 %% Analise de sensibilidade por bifurcacao para peso sobre a broca
264
265 %Velocidade da mesa igual a referencia
266 Vrot = VrotR;
267
268 % Criacao de variaveis de suporte
269 x = 0.5:0.005:2.5;
270 V topo = zeros(length(x),1);
271 V topo2 = zeros(length(x),1);
272 i=1;
273
274 % Calculo dos maximos e minimos
275 for f = x
276 Tcb = TcbR*f; % Torque de atrito dinamico
277 Tsb = TsbR*f; % Pico de torque de atrito
279 V topo(i) = max(ys(60000:end,2))/19;
280 V topo2(i) = min(ys(60000:end,2))/19;
281 i = i + 1;
282 end
283
284 % Geracao do grafico
285 figure
286 plot(x,V topo,'k',x,V topo2,'k','LineWidth',2)
287 xlabel('$frac{Wob}{Wob {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26)
288 ylabel('$min,max(frac{dot{theta b}}{Omega {ref}})$ ...
(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
50

289 ylim([−0.50 7])
290 xlim([min(x) max(x)])
291 set(gca,'fontsize',20,'XTick',[0.5:0.5:2.5],'YTick',[0:1:7])
292 print −depsc Sensibilidade maxWob
293
294
295 %% Analise de sensibilidade por bifurcacao para rotacao da mesa
296
297 % Torques iguais a referencia
298 Tcb = TcbR;
299 Tsb = TsbR;
300
301 % Criacao de varieveis de suporte
302 x = 0.5:0.005:1.5;
303 V topo = zeros(length(x),1);
304 V topo2 = zeros(length(x),1);
305 i=1;
306
307 % Calculo dos maximos e minimos
308 for f = x
309 Vrot=VrotR*f; % Velocidade de rotacao da mesa
311 V topo(i) = max(ys(60000:end,2))/19;
312 V topo2(i) = min(ys(60000:end,2))/19;
313 i = i + 1;
314 end
315
317 figure
318 plot(x,V topo,'k',x,V topo2,'k','LineWidth',2)
319 xlabel('$frac{Omega}{Omega {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26)
320 ylabel('$min,max(frac{dot{theta b}}{Omega {ref}})$ ...
(rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
321 ylim([−0.50 3.5])
322 xlim([min(x) max(x)])
323 set(gca,'fontsize',20,'XTick',[0.5:0.25:1.5],'YTick',[0:0.5:3.5])
324 print −depsc Sensibilidade maxVrot
325
326
51

327 %% Analise de Instabilidade por mapeamento do SSS
328
330 SSS = zeros(441,1);
331 x chart = zeros(441,1);
332 y chart = zeros(441,1);
333 filled chart = zeros(21,2);
334 i=0;
335 j=1;
336
337 % Calculo do SSS
338 for p2 = 0.5:0.05:1.5
339 filled chart(j,1) = 1.5;
340 flag = 0;
341 for p1 = 0.5:0.05:1.5
342 if flag == 1
343 continue
344 end
345 i = i + 1;
346 Tcb = TcbR*p1;
347 Tsb = TsbR*p1;
348 Vrot = VrotR*p2;
350 SSS(i) = (max(ys(60000:end,2))−min(ys(60000:end,2)))/(2*Vrot);
351 if SSS(i) > 0.8
352 flag=1;
353 filled chart(j,1) = p1;
354 filled chart(j,2) = 1.5 − filled chart(j,1);
355 end
356 end
357 j = j + 1;
358 end
359
361 figure
362 ax=0.5:0.05:1.5;
363 area(ax,filled chart,0.5)
364 xlabel ...
('$frac{Omega}{Omega {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26)
52

365 ylabel ('$frac{Wob}{Wob {ref}}$','Interpreter','latex','FontSize',26)
366 ylim([0.5 1.5])
367 set(gca,'fontsize',20,'XTick',0.5:0.1:1.5,'YTick',0.5:0.1:1.5)
368 print −depsc SSS
369
370 %% Bifurcacao Estocastica
371
373 Var Tcb = 0.1;
374 Var Tsb = 0.1;
375 n sim = 1000;
376 Vrot array = 0.6:0.005:1.2;
377
378 % Igualar variaveis as referencias
379 VrotRl = VrotR;
380 TcbRl = TcbR;
381 TsbRl = TsbR;
382
383 % Simulacoes utilizando processamento paralelo
384 n = zeros(length(Vrot array),1);
385 matlabpool(4)
386 parfor j=1:length(Vrot array)
387 Tcb sim = (1−Var Tcb)*TcbRl + 2*Var Tcb*TcbRl.*rand(n sim,1);
388 Tsb sim = (1−Var Tsb)*TsbRl + 2*Var Tsb*TsbRl.*rand(n sim,1);
389 Vrotl = VrotRl*Vrot array(j);
390 SSS = zeros(n sim,1);
391 for i=1:n sim
392 Tcbl = Tcb sim(i);
393 Tsbl = Tsb sim(i);
394 disp([i Vrotl Tsbl Tcbl])
395 [ts,ys] = ode23tb(@(t,y) modelo multiproc(t,y,[Vrotl Tsbl ...
Tcbl]),ta,[0 0]);
396 SSS(i) = (max(ys(60000:end,2))−min(ys(60000:end,2)))/(2*Vrotl);
397 end
398 n(j) = sum(SSS>0.8)/n sim;
399 end
400 matlabpool close
401
402 % Criacao do grafico
53

403 figure
404 plot(Vrot array.*VrotR,n,'k','LineWidth',2)
405 xlabel('$Omega$ (rad/s)','Interpreter','latex','FontSize',26)
406 ylabel('Probabilidade de Instabilidade','FontSize',26)
407 xlim([min(Vrot array.*VrotR) max(Vrot array.*VrotR)])
409
410 % Converte o eixo y em percentagem
411 a=[cellstr(num2str(get(gca,'ytick')'*100))];
412 pct = char(ones(size(a,1),1)*'%');
413 new yticks = [char(a),pct];
414 set(gca,'yticklabel',new yticks)
415
416 print −depsc bifurcacao estocastica
417
418 %% Analise Dinamica do Sistema com mudanca de parametros de atrito seco
419
420 Analise = 'alt Tcb Tsb'; % Tipo de analise a ser realizada (output ...
file)
421 Tcb1 = 3; % Torque de atrito dinamico para t < t1
422 TcbR = 5; % Torque de atrito dinamico referencia
423 Tsb1 = 6; % Pico de torque de atrito para t < t1
424 TsbR = 8; % Pico de torque de atrito referencia
425 ti = 30; % Tempo inicial para transicao das ...
propriedades de atrito
426 tf = 70; % Tempo final para transicao das ...
propriedades de atrito
427 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ...
referencia
428 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico
429 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo
430 ta = 0:0.001:90; % Vetor temporal
431
433 [t degrau,y degrau] = ode23tb(@modelo degrau,ta,[0 0]);
434 [t linear,y linear] = ode23tb(@modelo linear,ta,[0 0]);
435 [t tanh,y tanh] = ode23tb(@modelo tanh,ta,[0 0]);
436
437 % Calculo do torque de atrito
54

438 Tfb = zeros(length(ta),3);
439 y = [y degrau y linear y tanh];
440
441 for j = 1:3
442
443 for i = 1:length(ta)
444 Teb = ...
c*(Vrot−y(i,2*j−1))+k*(Vrot*ta(i)−y(i,2*j−1))−cb*y(i,2*j); ...
% Toque Stick
445
446 if j == 3
447 Tcb = Tcb1 + ...
(Tcb2−Tcb1)*(tanh((((ta(i)−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
448 Tsb = Tsb1 + ...
(Tsb2−Tsb1)*(tanh((((ta(i)−ti)/(tf−ti))*5)−2.5)+1)/2;
449 elseif (ti>ta(i))
450 Tsb = Tsb1;
451 Tcb = Tcb1;
452 elseif (ti<ta(i)) && (ta(i)≤tf)
453 if j == 1
454 Tsb = Tsb2;
455 Tcb = Tcb2;
456 elseif j == 2
457 Tcb = Tcb1 + ((ta(i)−ti)/(tf−ti))*(Tcb2−Tcb1);
458 Tsb = Tsb1 + ((ta(i)−ti)/(tf−ti))*(Tsb2−Tsb1);
459 end
460 elseif ta(i) > tf
461 Tsb = Tsb2;
462 Tcb = Tcb2;
463 end
464
465
466 if and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)<Tsb2) % Stick
467 Tfb(i,j)=Teb;
468 elseif and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)>Tsb2) % ...
Stick−Slip Transition
469 Tfb(i,j)=Tsb*sign(Teb);
470 else % Slip
471 Tfb(i,j)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(i,2*j)))*sign(y(i,2*j));
55

472 end
473 end
474 end
475
476 % Grafico Angulo da broca
477 figure
478 plot(t degrau,y degrau(:,1),'k',t linear,y linear(:,1),'k−−',t tanh,y tanh(:,1),'k:','
479 legend('Degrau','Linear','Tanh','Location','northwest')
482 ylim([0 ...
1.1*max([max(y degrau(:,1)),max(y linear(:,1)),max(y tanh(:,1))])])
483 xlim([0 max(ta)])
484 y1=get(gca,'ylim');
485 hold on
486 plot([ti ti],y1)
487 plot([tf tf],y1)
488 hold off
490 print(strcat('Resposta angulo ',Analise),'−depsc')
491
492 % Grafico Velocidade da broca
493 figure
498 ylim([0 ...
501 hold on
504 hold off
506 print(strcat('Resposta velocidade ',Analise),'−depsc')
507
508 % Grafico Torque de atrito na broca
56

509 figure
510 plot(ta,Tfb(:,1),'k',ta,Tfb(:,2),'k−−',ta,Tfb(:,3),'k:','LineWidth',2)
514 ylim([0 1.1*max(max(Tfb))])
517 hold on
520 hold off
522 print(strcat('Resposta torque ',Analise),'−depsc')
523
524 % Grafico Velocidade da broca (detalhe)
525 figure
530 ylim([0 ...
531 xlim([29.9 30.5])
533 hold on
536 hold off
538 print(strcat('Resposta velocidade detalhe ',Analise),'−depsc')
539
540 % Grafico Torque de atrito na broca (detalhe)
541 figure
542 plot(ta,Tfb(:,1),'k',ta,Tfb(:,2),'k−−',ta,Tfb(:,3),'k:','LineWidth',2)
546 ylim([0 1.1*max(max(Tfb))])
57

547 xlim([29.9 30.5])
549 hold on
552 hold off
554 print(strcat('Resposta torque detalhe ',Analise),'−depsc')
555
556 %% Analise de sensibilidade da reposta do sistema quando existe ...
variacao de propriedades da interacao broca−rocha
557
558 Vrot = VrotR; % Velocidade de rotacao da mesa igual a ...
referencia
559 ta = 0:0.001:90; % Vetor temporal
560
562 n sim = 1000;
563 a = 0.95;
564 b = 1.05;
565 t degrau = zeros(length(ta),n sim);
566 y degrau = zeros(length(ta),n sim*2);
567 t linear = zeros(length(ta),n sim);
568 y linear = zeros(length(ta),n sim*2);
569 t tanh = zeros(length(ta),n sim);
570 y tanh = zeros(length(ta),n sim*2);
571 Tcb1 l = zeros(length(ta),n sim);
572 Tsb1 l = zeros(length(ta),n sim);
573 TcbR l = zeros(length(ta),n sim);
574 TsbR l = zeros(length(ta),n sim);
575 ti l = zeros(length(ta),n sim);
576 tf l = zeros(length(ta),n sim);
577
578 % Simulacoes
579 h = waitbar(0,'calculating . . .');
581 for j = 1:n sim
582 Tcb1 l(j) = 3*normrnd(1,0.02); % Torque de atrito dinamico ...
para t < t1
58

583 Tcb1 = Tcb1 l(j);
584 TcbR l(j) = 5*normrnd(1,0.02); % Torque de atrito dinamico ...
referencia
585 TcbR = TcbR l(j);
586 Tsb1 l(j) = 6*normrnd(1,0.02); % Pico de torque de atrito ...
para t < t1
587 Tsb1 = Tsb1 l(j);
588 TsbR l(j) = 8*normrnd(1,0.02); % Pico de torque de atrito ...
referencia
589 TsbR = TsbR l(j);
590 ti l(j) = 30*normrnd(1,0.02); % Tempo inicial para ...
transicao das propriedades de atrito
591 ti = ti l(j);
592 tf l(j) = 70*normrnd(1,0.02); % Tempo final para transicao ...
das propriedades de atrito
593 tf = tf l(j);
594 Tcb2 = TcbR; % Torque de atrito dinamico
595 Tsb2 = TsbR; % Torque de atrito maximo
596
597 index = j;
598
599 [t degrau(:,j),y degrau(:,j*2−1:j*2)] = ...
ode23tb(@modelo degrau,ta,[0 0]);
600 [t linear(:,j),y linear(:,j*2−1:j*2)] = ...
ode23tb(@modelo linear,ta,[0 0]);
601 [t tanh(:,j),y tanh(:,j*2−1:j*2)] = ode23tb(@modelo tanh,ta,[0 0]);
602
603 waitbar(j/n sim,h,sprintf('calculating . . . (%d/%d)',j,n sim));
604 end
605 close(h)
606
607 % Calculo do torque de atrito
608 h = waitbar(0,'calculating . . .');
609 for j=1:3
610 if j==1
611 y = y degrau;
612 elseif j == 2
613 y = y linear;
614 else
59

615 y = y tanh;
616 end
617
618 for n = 1:n sim
619 for i = 1:length(ta)
620 Teb = ...
c*(Vrot−y(i,n*2−1))+k*(Vrot*ta(i)−y(i,n*2−1))−cb*y(i,n*2); ...
% Toque Stick
621
622 if j == 3
623 Tcb = Tcb1 l(n) + ...
(TcbR l(n)−Tcb1 l(n))*(tanh((((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*5)
624 Tsb = Tsb1 l(n) + ...
(TsbR l(n)−Tsb1 l(n))*(tanh((((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*5)
625 elseif (ti>ta(i))
626 Tsb = Tsb1 l(n);
627 Tcb = Tcb1 l(n);
628 elseif (ti l(n)<ta(i)) && (ta(i)≤tf l(n))
629 if j == 1
630 Tsb = TsbR l(n);
631 Tcb = TcbR l(n);
632 elseif j == 2
633 Tcb = Tcb1 l(n) + ...
((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*(TcbR l(n)−Tcb1 l(n));
634 Tsb = Tsb1 l(n) + ...
((ta(i)−ti l(n))/(tf l(n)−ti l(n)))*(TsbR l(n)−Tsb1 l(n));
635 end
636 elseif ta(i) > tf l(n)
637 Tsb = TsbR l(n);
638 Tcb = TcbR l(n);
639 end
640
641
642 if and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)<TsbR l(n)) ...
% Stick
643 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Teb;
644 elseif and(y(i,2*j)<Dv,abs(Teb)>TsbR l(n)) ...
% Stick−Slip Transition
645 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Tsb*sign(Teb);
60

646 else % Slip
647 Tfb(i,(j−1)*n sim+n)=Tcb+(Tsb−Tcb)*exp(−Gb*abs(y(i,n*2)))*sign(y(i,n*2
648 end
649
650 end
651 waitbar((n)/(n sim),h,sprintf('calculating . . . ...
(%d/%d)',((j−1)*n sim+n),(n sim)));
652 end
653 end
654 close(h)
655
656 % Grafico Angulo da broca (Degrau)
657 figure
658 plot(ta,mean(transp(y degrau(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y degrau(:,1:2:end)),5
661 ylim([0 ...
664 hold on
667 hold off
669 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc')
670
671 % Grafico Angulo da broca (Linear)
672 figure
673 plot(ta,mean(transp(y linear(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y linear(:,1:2:end)),5
676 ylim([0 ...
679 hold on
61

682 hold off
684 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc linear','−depsc')
685
686 % Grafico Angulo da broca (Tanh)
687 figure
688 plot(ta,mean(transp(y tanh(:,1:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y tanh(:,1:2:end)),5),'k
691 ylim([0 ...
694 hold on
697 hold off
699 print('Resposta angulo alt Tcb Tsb estoc tanh','−depsc')
700
701 % Grafico Velocidade da broca (Degrau)
702 figure
703 plot(ta,mean(transp(y degrau(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y degrau(:,2:2:end)),5
706 ylim([0 ...
709 hold on
712 hold off
714 print('Resposta velocidade alt Tcb Tsb estoc degrau','−depsc')
715
716 % Grafico Velocidade da broca (Linear)
717 figure
718 plot(ta,mean(transp(y linear(:,2:2:end))),'k',ta,prctile(transp(y linear(:,2:2:end)),5
62

PROJETO FINAL - Daniel Lobo

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