Universidad Técnica de Ambato

1. 1 Módulo de Ecuaciones Diferenciales (2) MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

2. Problemas con valores iniciales PVI y Contorno MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

3. Problemas de valores iniciales (PVI) Sea la solución general de la Ecuación Diferencial F(x,y,y´,…,yn)=0 el PVI, consiste en encontrar el valor de la constante C, para un y(x0) = y0, de manera que con éste se pueda determinar una solución particular de la ED. Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo , el problema de Resolver : con condiciones: Se le llama problema de valor inicial. Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales. Si el problema es de contorno 3 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

4. 4 PVIs de primer y segundo orden: Resolver: sujeta a: Resolver: sujeta a: son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. Fácilmente interpretables de manera geométrica, como vemos en las figuras. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

5. Ejemplo: Sabemos que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO: y’ = y en (-, ). Si y(0) = 3, entonces 3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución de este problema de valor inicial.Si queremos una solución que pase por (1, -2), entonces la condición es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce, c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex. 5 y = 3ex y = -(2/e)ex MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

6. 6 Ejemplo: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) es una solución de x + 16x = 0. Hallar una solución del siguiente PVI:x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1. Solución: Sustituimos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t), y obtenemos c1 = −2. De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1obtenemos c2= ¼. La solución pedida es: x = −2cos 4t +¼sen4t MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

7. 7 Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si asignamosy(0) = -1, obtenemos c = -1. Considérense las siguientes distinciones: 1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1. 2) Como una solución: los intervalos de definición mayores posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ). 3) Como un problema de valor inicial, con y(0) = -1. El intervalo de definición mayor es (-1, 1). MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

8. Teorema de Existencia y Unicidad 8 Sea R la región rectangular en el plano xy definida por a  x  b, c  y  d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io: xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a x  b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI . Las condiciones del teorema son suficientes, pero no necesarias... MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

9. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Lineales de Primer Orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x). Métodos para resolver una ED de Primer Orden: Análisis Caulitativo (gráfico) Técnicas Analíticas Aproximaciones Numéricas. (no se estudiará en este curso) MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

10. Análisis Cualitativo Isóclinas Para este análisis consideraremos EDOsAutónomas y NO Autónomas MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

11. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden autónoma tiene la forma de es decir si la derivada es función solamente de la variable dependiente. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden NOautónomatiene la forma de Es decir si su derivada es una función tanto de la variable dependiente como de la independiente. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

12. 12 Curvas solución "sin una función solución" Empezaremos nuestro estudio de EDOs de primer orden analizando una EDO cualitativamente. dy/dx = 0.2 xy = f(x, y) (a) Pendientes: Debido a que la solución y(x) de dy/dx = f(x,y) es necesariamente una función diferenciable en I, también es continua. Así, la derivada dy/dx= f(x,y) proporciona las pendientes de las rectas tangentes a las curvas solución en los puntos (x,y). (b) Elementos lineales: Suponemos que dy/dx = f(x, y(x)). El valor f(x, y) representa la pendiente de una recta, o un segmento de recta que llamaremos elemento lineal. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

13. 13 Campo de direcciones Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

14. 14 Ejemplo: El campo de direcciones de EDO No Autónoma dy/dx = 0.2 xyestá representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.

15. 15 Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada de la ecuación autónomady/dx = seny, con y(0) = −3/2. Solución: Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y f/y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

16. 16 EDO autónomas y campos de direcciones La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente. Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

17. Método de las Isoclinas El procedimiento para dibujar el campo direccional puede ser simplificado construyendo primero las isóclinas. Una Isóclina es una curva en el plano xy sobre la cual la derivada de las soluciones de la ED es constante. Es decir: podemos encontrar las curvas f(x,y)= c, en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

18. Procedimiento para realizar el análisis cualitativo de una EDO Construimos las isóclinas, éstas son curvas de la forma: Donde c es una constante para varios valores de C. ii) Dibujar el campo de direcciones o de pendientes. Sobre la isóclina correspondiente a la constante C, la derivada de la solución de la ecuación diferencial tiene pendiente c. Dibujar rectas tangentes con pendiente c iii) Construir soluciones. iV) Recordar que las soluciones no se intersecan. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

19. Construya un campo direccional para la ecuación diferencial: Las isóclinas está definidas estableciendo calculamos para c=0, c=4 y c=1 Claramente se puede notar que es un círculo centrado en el origen. En cada punto de éstas isóclinas trazamos los campos direccionales. Mostramos las posibles curvas de solución, La superior pasa por (0,1) La de en medio pasa por (0,0) La inferior pasa a través de (0,-1) Obsérvese que cada curva de la solución sigue el flujo de los elementos de línea en el campo direccional y que no se cortan. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

20. Método de las Isoclinas a) Encontrar la ecuación de las isóclinas para la ecuación diferencial: b) ¿Qué tipo de curvas son estas isóclinas? c) Dibujar las isóclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución. taller MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

21. Técnicas Analíticas MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

23. Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

25. Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente.

26. Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

28. Basadas en Series

29. Numéricas

30. GeométricasMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

31. 25 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

32. 26 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO Se las representa de la siguiente forma: Si despejamos la derivada tenemos: Si a ésta ecuación la podemos expresar en forma: Se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable y la solución general se obtiene por integración directa. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

33. Separación de variables La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde M(x)es una función exclusivamente de x y N(y)es una función exclusivamente de y. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: Siendo c una constante de integración. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

34. Ecuación de variables separadas Ejemplo: Resolver la ecuación Integramos Se obtiene: La solución es una familia de circunferencias concéntricas con c>0 MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

35. Separación de variables La ED de la forma: Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas: Debemos tomar en cuenta que: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

36. Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables tenemos: Integrando: Obtenemos: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

37. Separación de variables Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo: Haciendo el cambio z=ax+by+c, se obtiene una ecuación de variables separadas: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

38. Separación de variables Ejemplo: La ecuación Se puede reescribir como Donde: Integrando se obtiene Regresando a las variables originales: taller MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

39. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Homogéneas MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

40. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado nsi f(tx,ty)=tnf(x,y) Ejemplo: f(x,y)=xy2+3x3 es homogénea de grado 3 ya que: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

41. La Ecuación Diferencial se denomina Homogénea, si las funciones Son homogéneas y del mismo grado. Para solucionarlas, Realizamos el cambio de variable Con lo cual se transforma en una Ecuación Diferencial de Variables separables. Ejemplos: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

42. Otra forma de determinar la Homogeneidad de la Ecuación Diferencial Consiste en expresarla de la forma Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierte a la siguiente ED de variables separables: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

43. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Ejemplo: Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de tercer grado. Realizamos el cambio de variable Se tiene MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

44. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Realizando las operaciones tenemos: Integrado: Resulta: Regresando a la variable original se tiene: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

45. Segunda forma: Por lo tanto es una Ecuación Diferencial Homogénea de tercer grado. Haciendo el cambio de variable u= y/x, se convierten a la siguiente ED de variables separables: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

46. Segunda forma: Reemplazando tenemos: Separando las variables tenemos: Integrando: La solución implícita es: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

47. ED Homogéneas de Primer Orden Ejemplo: La función Es homogénea de grado cero y se puede escribir como: Por lo tanto la ED Se puede transformar en la ED con variables separables Donde z=y/x. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga