1. Five lemma
• → は2本とも完全
• ↓ は左端が全射、右端が単射中央の隣は
同型
• 中央の ↓ が同型を示せ

2. 単射性 (0)
• x3.下 = 0 ⇒ x3 = 0 を示す。
• x3.下.右 = 0 より x3.右.下 = 0
• 同型なら単射より x3.右 = 0
x3 0
mono
0 0

3. 単射性 (1)
• 完全より ∃x2.右 = x3
• x2.下.右 = x2.右.下 = x3.下 = 0
• 完全より ∃y1.右 = x2.下
x2 x3 0
y1 0

4. 単射性 (2)
• 同型なら全射より ∃x1.下 = y1
• x1.右.下 = x1.下.右 = x2.下
• 同型なら単射より x1.右 = x2
x1 x2
epi mono
y1

5. 単射性 (3)
• 完全より x3 = x2.右 = x1.右.右 = 0
x1 x2 x3

6. 全射性 (0)
• ∀y3 に対し ∃x3.下 = y3 を示す。
• 同型なら全射より ∃x4.下 = y3.右
• x4.右.下 = x4.下.右
x4
epi
y3

7. 全射性 (1)
• 完全より y3.右.右 = 0
• 前3つ合わせて x4.右.下 = 0
• 同型なら単射より x4.右 = 0
x4 0
mono
y3 0

8. 全射性 (2)
• 完全より ∃x3.右 = x4
• だが、x3.下 = y3 というわけではない
• x3.下.右 = x3.右.下 = y3.右
x3 x4 0
y3 0

9. 全射性 (3)
• すなわち (x3.下 - y3).右 = 0
• 完全より ∃y2.右 = (x3.下 - y3)
• 同型なら全射より ∃x2.下 = y2
x2
epi
y2 差 0

10. 全射性 (4)
• x2.右.下 = x2.下.右 = y2.右 = (x3.下 -
y 3)
• (x3 - (x2.右)).下 = x3.下 - (x3.下 - y3)
• よって示された。
x2
y2 差 0

11. 使った仮定
• 単射: 左上3つの完全性、左端の全射性、
両側の単射性
• 全射: 右下3つの完全性、右端の単射性、
両側の全射性
epi mono