1. ECUACIONES DIFERENCIALES METODO POR VARIACION DE PARAMETROS Método de variación de parámetros. Wronskiano y variación de parámetros. Cauchy-Euler. Veamos un ejemplo. Daniela Rossalind Aguirre García

2. i. Método de VARIACION DE PARAMETROS Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden a2(x)y”+a1(x)y’+a0(x)y= g(x) Se empieza por escribir la ecuación en la forma estándar Y”+P(x)y’ + Q(x)y=f(x)

3. i. Método de VARIACION DE PARAMETROS Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden de la forma y”+ P(x)y’+Q(x)y=f(x) obtenemos una solución complementaria por el método de coeficientes constantes, además en la obtención de una solución particular se tienen métodos como coeficientes indeterminados ó método del anulador, pero estos no siempre son los más efectivos, es por estos que la variación de parámetros resulta muy beneficiosa en la solución de ecuaciones no homogéneas

4. ii. WRONSKIANO Y VARIACION DE PARAMETROS Supongamos que la solución particular yp=u1(x)y1(x) que se uso en la reducción de orden anteriormente dada, para encontrar una solución particular yp de dy/dx+ P(x)y=f(x) para la ecuación lineal de segundo orden dos se busca una solución de la forma yp=u1(x)yq(x)+u2(x)y2(x) derivando está ecuación dos veces y reemplazándolas en la ecuación diferencial y”+P(x)y’+Q(x)y=f(x) se llega a establecer un sistema de ecuaciones y1u1’+y2u2’=0; y1’u1’+y2’u2’=f(x) que es solucionado por la regla de Cramer, expresándose: U1’= -y2f(x)= W1 = U2 y1f(x)= W2 W(y1,y2) W(y1,y2) ; W(y1,y2) w(y1,y2) Donde es el Wronskiano de las funciones obtenidas en la solución asociada a la homogénea y son: W1= , W2= W=

5. ii. WRONSKIANO Y VARIACION DE PARAMETROS Para determinar u1(x),u2(x) integramos u1’,u2’, es decir U1(x)=-∫y2f(x)= dx, U2(x) =∫y1f(x)= dx, W(y1,y2) W(y1,y2)

6. iii. CAUCHY - EULER Una ecuación Cauchy-Euler de orden dos tiene la forma a2x2y”+a1xy’+a0y=g(x) Y”+a 1/xy’+ b 1/x2y R(x), R(x)= g(x)/a2x2 Donde a0,a1,a2…..,anson constantes reales Para resolver este tipo de ecuaciones hacemos la sustitución x= ex entonces x= ln x entonces…. Y”+(a-1)y’ +by=0

7. iv. VEAMOS UN EJEMPLO Encontremos la solución particular de la EDO Encontremos las soluciones de la EDO homogénea

8. iv. VEAMOS UN EJEMPLO Matriz inversa Producto matricial

9. iv. VEAMOS UN EJEMPLO Integración de cada función u1 y u2 Finalmente, la solución particular es Y=yh+yp

10. V. BIBLIOGRAFIA