Revista Materia Investigación de Operaciones. Ingeniería de Sistemas (47) Politecnico Santiago Mariño

1. LA ACTIVIDAD PRIMAL Y DUAL

2. Teoría de la dualidad. El dualismo es una
teoría que surge como consecuencia de una
profundización en el estudio de la
Programación lineal.
Problema dual
Cada problema de programación lineal ( Primal ) está
estrechamente relacionado con otro problema simétrico a
él, denominado problema dual.
El dualismo es una teoría que surge como consecuencia
de una
profundización en el estudio de la programación lineal
porque la distribución de los recursos y la formación de los
precios son dos aspectos del mismo problema. Entonces
la doble formulación de la programación lineal no se debe
considerar como un simple ejercicio matemático, sino que
una y otra versión del problema vienen a explicar dos
aspectos económicos distintos
para una misma situación problemática. Una propiedad
fundamental de la relación entre el primal y el dual es que
la solución optima de cualquiera de estos problemas
proporciona la solución óptima para el otro.
Importancia
La importancia de la teoría de la dualidad se puede resumir, entre
otros aspectos, en lo siguiente:
• Permite resolver problemas de programación lineal de forma
más rápida y sencilla.
• Es otra vía para resolver un problema de programación lineal.
• Facilita profundizar en el contenido económico del problema
original (primal).
• Puede ser utilizada para resolver el caso en que se debe
considerar la introducción de una nueva variable en el primal una
vez que ha de sido obtenida la solución óptima, sin tener que
resolver completamente el problema.

3. Todo problema en Programación lineal primal, encuentra
un problema dual con soluciones iguales, es decir, cada
problema resolviéndolo en la forma inversa, nos dará igual
solución que la primal. MUNDOS PARALELOS??
Veamos! Si tenemos un problema de programación lineal
de esta manera
Dualidad Cada uno de los problemas abordados hasta
entonces en los módulos anteriores se consideran
problemas primales, dado que tienen una relación
directa con la necesidad del planteamiento, y sus
resultados responden a la formulación del problema
original; sin embargo, cada vez que se plantea y
resuelve un problema lineal, existe otro problema
ínsitamente planteado y que puede ser resuelto, es el
considerado problema dual, el cual tiene unas
importantes relaciones y propiedades respecto al
problema primal que pueden ser de gran beneficio
para la toma de decisiones.
Los problemas primales y duales se encuentran ligados
por una serie de relaciones, saber la existencia de estas
puede ser considerado de gran utilidad para la resolución
de problemas que parecen no factibles, o que no pueden
ser resueltos mediante un método en particular.

4. Relaciones entre el método primal y el dual
De lo anteriormente expuesto se puede deducir que existe una estrecha
relación entre el problema primal y dual que puede expresarse en lo
siguiente:
• El dual tiene la matriz D transpuesta, es decir, si suponemos que D es
de orden sx r, entonces Dt es de orden r x s. Además las variables del
primal y el dual son diferentes, ya que X será un vector de
r-componentes mientras que el vector Y tendrá s-componentes.
• Los términos independientes del conjunto de las restricciones del
problema primal forman los coeficientes de la función objetivo del
dual.
• Los coeficientes de la función objetivo del primal forman los términos
independientes de las restricciones del dual.
• Las restricciones del dual cambian su sentido al igual que el criterio
de optimización en términos de mínimo o máximo.
• A cada restricción del problema primal le corresponde una variable
dual y análogamente a cada restricción del dual le corresponde una
variable del primal.
• Si se halla el dual del problema dual, obtendremos el problema
primal.
Interpretación económica del problema dual
El problema primal y dual explican dos aspectos económicos distintos de
un mismo problema. Las variables duales nos vienen a medir el valor de
los recursos imputados a la producción, pero esta valoración tiene unas
características peculiares, esta realizada en términos de costos de
oportunidad. Esto quiere decir que aquellos factores ( o restricciones )
cuyas existencias no quedan agotadas en el programa óptimo
establecido,
tienen un costo nulo desde el anterior punto de vista, pues bajo el prisma
exclusivo del sistema empresarial es un bien libre al estar en exceso.
En consecuencia, la función objetivo, medirá el costo total de los factores
imputados a la producción, valor que ha de igualarse al rendimiento total
hallado en la función económica del primal para que se produzca el
equilibrio. Explicaremos con más detalle la interpretación económica del
problema dual.
Para la realización de este análisis vamos a partir del supuesto que se
tiene un problema de programación lineal donde se maximiza el valor de
la función objetivo, por ejemplo la ganancia.

5. Relaciones entre problemas primales y duales:
El número de variables que presenta el problema dual se ve
determinado por el número de restricciones que presenta el
problema primal.
El número de restricciones que presenta el problema dual
se ve determinado por el número de variables que presenta
el problema primal.
Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual
corresponden a los términos independientes de las
restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las
variables.
Los términos independientes de las restricciones (RHS) en
el problema dual corresponden a los coeficientes de la
función objetivo en el problema primal.
La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada
variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de
la matriz de coeficientes técnicos del problema primal.
El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la
tabla de TUCKER, presentada a continuación.