1. Desarrolla estos 6 ejercicios planteados en un documento de Word o escanea las hojas donde
hayas resuelto. Envíalo a través de la tarea “Mi Autoevaluación Desarrollada UA4”.
1) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
f(x) = x3
− 3x + 2
a. De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞) De decrecimiento: (−1,1)
b. De crecimiento: (−∞, −2) (1, ∞) De decrecimiento: (−1,2)
c. De crecimiento: (−∞, −3) (1, ∞) De decrecimiento: (−1,3)
d. De crecimiento: (−∞, −4) (1, ∞) De decrecimiento: (−1,4)
e. De crecimiento: (−∞, −5) (1, ∞) De decrecimiento: (−1,5)
Solucion:
f(x)= x3
-3x+2
f’(x)=3x2
-3
3x2
-3=0
3(x2
-1)=0
x2
-1 =0
(x+1)(x-1)=0
x=-1v x=1
f(x) es creciente <=> f’(x)>0
3x2
-3>0
3(x2
-1)>0
(x-1)(x+1)>0
<-∞,-1>U<1,∞>
f(x) es decreciente <=> f’(x)<0
3x2
-3<0
3(x2
-1)<0
(x-1)(x+1)<0
<-1,1>
La respuesta es la alternativa a.
AUTOEVALUACIÓN 4
+ - +
-∞ -1 +1 ∞
+ - +
-∞ -1 +1 ∞
2. 2) Calcular los máximos y mínimos en la función siguiente:
f (x) = X3
– 6x2
+9x
a. 32
b. 34
c. 38,8
d. 40
e. 42
Solucion
f (x) = x3
– 6x2
+9x
Derivamos por primera vez
f’ (x) = (3x2
– 12x +9)÷3
f’ (x) = x2
– 4x +3
x -3
x -1
(x-3)(x-1)
x=3, x=1
Derivamos por segunda vez
f’’ (x) = 6x-12
1ero
Para x = 3
f’’(3) = 6 => f(3)=27-6(3)2
+9(3)=0 Mínimo Relativo
2do
Para x = 1
f’’(1) =- 6 => f(1)=1-6+9=4 Máximo Relativo
Nota: Si f’(xο)=0 y si existe f’’(xο):
a) Si f’’(xο)>0 => f(xο)=Valor Minimo Relativo
b) Si f’’(xο)<0 => f(xο)=Valor Maximo Relativo
3. 3) La altitud de un cohete (en pies) t segundos después de iniciar el vuelo está dada por: s =
f(t) = - + 96 t 2
+ 195 t + 5 ( t . Calcular la velocidad del cohete cuando t = 30.
a. 32
b. 34
c. 38,8
d. 40
e. 42
Solucion:
f(t) = -t3
+96t2
+195t+5
Sacamos la primera derivada
f’(t) = -3t2
+192t+195
f’(30) = -3(30)2
+192(30)+195
f’(30) = -2700+5760+195
f’(30) = 3255
4) Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de 15 nuevos soles
por aparato y la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1000 abonados,
dicha ganancia por aparato instalado disminuye un céntimo cada abonado que sobrepasa
ese número. ¿Cuántos abonados darán la máxima ganancia líquida?
a. 200
b. 1000
c. 1200
d. 1250
e. 1500
Solucion
Para n > 1000 el beneficio es
n . [15 - 0,01(n - 1000)] = n . (15 - 0,01n + 10) = 25n - 0,01n2
Derivando e igualando a 0 se obtiene 25 - 0,02 n = 0 } n = 1250
Hay que comprobar que el beneficio es mayor que 15000:
4. 1250 x (15 - 0,01 x 250) = 1250 x 12,5 = 15625 luego
Sol: n = 1250
5) Un punto se mueve sobre una parábola y2
= 12x, de manera que la abscisa aumenta
uniformemente 2cm por segundo. ¿En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la
misma razón?
a. (2,2)
b. (2,3)
c. (3,6)
d. (4,6)
e. (6,9)
Solucion:
dx/dt = dy/dt =2cm/seg
y2
= 12x …α
Derivando implicitamente
2ydy/dt = 12dx/dt
2y(2)=12(2)
4y=24
y=6 …β
Reemplazando β en α:
y2
=12x
62
=12x
3= x
∴P(3,6)
La respuesta es la alternativa c.
6) En cierto instante las tres dimensiones de un ortoedro son 6, 8 y 10 y aumentan
respectivamente 0,2, 0,3 y 0,1 por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen
a. 32
b. 34
5. c. 38,8
d. 40
e. 42
Solución:
Además: dx/dt =0,2 dy/dt=0,3 dz/dt=0,1
El volumen de la caja es: V=xyz donde su derivada total con respecto a t es
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) +(dv/dy)(dy/dt) +(dv/dz)(dz/dt) …
dv/dx = yz, dv/dy = xz, dv/dz =xy …
Reemplazando 2 en 1, se tiene:
dv/dt = yz dx/dt + xz dy/dt + xy dz/dt …
Reemplazando los datos en 3 se tiene:
dv/dt = 80(0,2)+60(0,3)+48(0,1) =38,8
∴La respuesta es la alternativa c.
x
y
z
Datos del Problema:
x=6
y=8
z=10
1
2
3
