El documento describe los filtros digitales de respuesta infinita (IIR), incluyendo sus características, tipos (autoregresivo AR, ARMA), ventajas sobre los filtros FIR, y códigos en MATLAB para diseñar filtros IIR pasa bajo, pasa banda y pasa alto.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA
PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
SEÑALES ANALOGICAS Y
DIGITALES
CRISTIAN AGUIRRE ESPARZA
2013

2. FILTROS IIR
Los filtros IIR, también conocidos como Sistemas Auto-regresivos (Auto-Regresive {AR}), son
llamados de respuesta infinita, porque el proceso defiltrado se realiza por mediode la evaluación
de la ecuación de diferencias que regulan el sistema. Como la ecuación dediferencias depende de
las salidas anteriores del filtro, existe una dependencia de losinfinitos estados anteriores de la
variable de salida a la variable de salida actual, por tal razónson llamados de Respuesta al Impulso
Infinita.
La función de transferencia de los filtros IIR está dada por la siguiente ecuación y como se
puedeobservar este filtro cuenta con ceros y polos, por lo que la estabilidad del mismo no
estágarantizada.
No todo sistema que tenga esta forma es IIR. Por ejemplo:
Es aparentemente un filtro IIR pues presenta términos recursivos, sin embargo vemos que ésta no
es sino una forma distinta de representar el sistema:
que es claramente de fase lineal.
Comparado con un FIR, un filtro IIR requiere un orden mucho menor para cumplir
lasespecificaciones de diseño, sin embargo estos últimos no pueden diseñarse para tener
faselineal. Existen técnicas de compensación de fase mediante la utilización de filtros pasa todo,sin
embargo esto aumenta la longitud total del filtro. Si no es necesario que el sistema seacausal (no
funcionará en tiempo real) se puede conseguir fase lineal mediante filtros IIRrealizando un filtrado
BIDIRECCIONAL este consiste en filtrar la señal, invertir el orden delas muestras obtenidas y volver
a filtrar de nuevo. La señal obtenida no tendrá distorsión defase.
EXISTEN DOS FILOSOFÍAS DE DISEÑO DE FILTROS IIR.
INDIRECTA Se basa en aplicar a filtros analógicos diseñados previamente, transformacionesque los
conviertan en digitales con las mismas características. Hay tres métodosfundamentales:
• Diseño por impulso invariante

3. • Diseño por analogía o aproximación de derivadas
• Diseño por transformación bilineal.
DIRECTA Se propone el diseño de filtros digitales imponiendo una serie de condiciones ala
respuesta para determinar los coeficientes. Nos centraremos en dos métodossimples como son:
• Diseño por la aproximación de Padé
• Diseño por aproximación de mínimos cuadrados.
También podemos considerar como método directo aunque de uso limitado el diseño
porubicación de ceros y polos.
LOCALIZACIÓN DE CEROS Y POLOS EN FILTROS IIR
Los filtros IIR más generales (ARMA) contienen ceros y polos. Si los coeficientes del filtro son
reales, si los ceros o polos son complejos siempre aparecen como pares complejos conjugados.
La condición de estabilidad, para sistemas causales implica que los POLOS se encuentran en el
interior de la circunferencia unidad. Los ceros no tienen efecto sobre la estabilidad del sistema y
pueden encontrarse en el interior o en elexterior de dicha circunferencia. Cuando los ceros y polos
de un sistema se encuentran en el interior de la circunferencia unidad se dice que el sistema es de
FASE MÍNIMA. Cuando todos los ceros y polos están en el exteriorde la circunferencia unidad se
dice que el sistema es de FASE MÁXIMA. En general, cuando tenemos ceros y polos en el exterior y
en el interior se dice que el sistema es de FASE MIXTA
Es sencillo verificar que si un sistema tiene un cero en el exterior de la circunferencia unidad (zk=a
|a| > 1) y éste se sustituye por su recíproco conjugado (zk =
|a|>1) el sistema tiene la misma
respuesta en frecuencia en módulo multiplicado por un factor constante igual al módulo de cero,
si bien la respuesta en fase sí experimenta cambios.Un sistema deFASE MÍNIMA también se define
como aquel que experimenta un cambio de fase neto nulo; es decir,
FILTROS IRR AUTOREGRESIVO (AR)
La ecuación diferencia que describe un filtro AR es:
lo que da lugar a una función de transferencia

4. CARCATERISTICAS:
La función de transferencia contiene solo polos.
El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino además de
valores pasados de la salida (Filtros con retroalimentación).
El término auto regresivo tiene un sentido estadístico en que la salida y[n] tiene una
regresión hacia sus valores pasados.
La respuesta al impulso es normalmente de duración infinita, de ahí su nombre.
Imagen 1. Filtro IIR autoregresivo
Filtros ARMA (Autoregresivo y Media en Movimiento)
Es el filtro más general y es una combinación de los filtros MA y AR. La ecuación diferencia que
describe un filtro ARMA de orden N es.
lo que da lugar a una función de transferencia

5. CARCATERISTICAS:
Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M), es decir es autoregresivo de orden N y
Media en Movimiento de orden M.
Su respuesta a impulso es también de duración infinita y por tanto es un filtro del tipo IIR.
Imagen 2. Filtro IIR Arma
VENTAJA DE LOS FILTROS IIR
Pueden diseñarse a partir de prototipos analógicos, transformando resultados, por ello, se
puede partir de especificaciones y de técnicas de diseño propias de filtros analógicos, y
posteriormente se discretizan los resultados. Una situación práctica que se beneficia de
esta ventaja es cuando se pretende reemplazar, por motivos de actualización tecnológica,
un filtro analógico por otro digital equivalente.
Requiere menos coeficientes que un filtro FIR para diseñar filtros de un mismo orden.
Como consecuencia los requisitos de tiempo de cálculo y de capacidad de memoria son
menores en los filtros IIR.
La sensibilidad de la salida del filtro por efectos de truncamientos y redondeos de los
resultados es menor en los filtros IIR (salvo en situaciones de inestabilidad)
CRITERIO DE SELECCIÓN FILTROS IIR
Diseños en que no se prevean problemas de estabilidad
Filtros de orden muy elevado
Aprovechamiento de especificaciones basadas en aproximaciones analógicas (de
Butterworth, de Chebyscheb, Elípticos, etc.)

6. CODIGOS EN MATLAB FILTROS IIR
IIR PASA BAJO
%%Filtro IIR pasa bajo
fm2=1000/2;
%Frecuencia de muestreo
fc2=60/fm;
%Frecuencia de corte
N2=3;
%orden del filtro
[a1,b1]= butter( N2,fc2 ); %Filtro pasa baja
figure(1)
freqz(a1,b1,128,120)
%respuesta del filtro
IIR PASA BANDA
fm3=5000/2;
%Frecuencia de muestreo
fc3=[100 1000]/fm3; %Frecuencia de paso
N3=10;
%Orden del filtro
[a2,b2]= butter( N3,fc3 ); %Filtro pasa banda
figure(2)
freqz(a2,b2,128,5000)
%Respuesta del filtro

7. IIR PASA ALTO
fm=5000/2;
%Frecuencia de muestreo
fc=2000/fm;
%frecuencia de corte
N=3;
%orden del filtro
figure(3)
[a,b]= butter( N,fc, 'high');
%Filtro IIR pasa alta
freqz(a,b,128,5000)
%Respuesta del filtro

8. CODIGOS EN MATLAB FILTROS FIR
FIR PASA BAJO
Fs=1000;
Fm=Fs/2;
fc=60/Fm;
n=50;
figure(4)
B=fir1(n,fc,'low');
freqz(B,1,1000,Fs)
%Frecuencia de muestre0
%Frecuencia de nyquist
%Frecuencia de corte
%orden del filtro
%Filtro FIR pasa bajo
%Respuesta del filtro
FIR PASA BANDA
fp = 100;
%Frecuencia de paso1
fp1 = 1000
%Frecuencia de paso2
S = 5000;
%Frecuencia de muestreo
M= S/2
%Frecuencia de Nyquist
N = 40;
%Orden del filtro
Wn=[fp fp1]/ M
%Normalización de las frecuencias
figure(5)
B= fir1(N, Wn)
%Filtro FIR pasa banda
freqz(B,1,5000,S); %Grafica del filtro en frecuencia

9. FIR PASA ALTO
fp = 2000;
%Frecuencia de paso
S = 5000;
%Frecuencia de muestreo
N = 40;
%Orden del filtro
Fc=(fp)/S
%Normalización de la frecuencia
figure(6)
B= fir1(N, Fc ,'high') %Filtro FIR pasa alto
freqz(B,1,1000,S);
%Grafica del filtro en frecuencia