Here we present the equations that are used to verify aqueducts networks. It is the formal part where the equation are written properly trough the adjacency matrix, and proper vectorial notation.
2. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
2
Sommario
• Nella lezione presente impareremo che cosa sono, da un punto
di vista matematico le reti di distribuzione idrica
• Si vedranno le equazione di conservazione della massa e di
dissipazione dell’energia nelle reti in pressione
Scrivere le equazioni non significa risolverle!
3. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
ServizioAcquePubbliche-P.A.T.
3
4. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
ServizioAcquePubbliche-P.A.T.
Sorgenti
4
5. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
ServizioAcquePubbliche-P.A.T.Adduzioni
5
6. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
ServizioAcquePubbliche-P.A.T.
Serbatoio di
testata
6
7. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Dal sistema informativo della Provincia di Trento
ServizioAcquePubbliche-P.A.T.
R e t e d i
distribuzione
7
8. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Topologia
Torrino piezometrico
Serbatoio di compenso Opera di presa
Adduzione
Distribuzione
8
9. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della
rete
Gli elementi che compongono una rete sono:
• tratti
• nodi
• maglie
9
10. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della
rete
Gli elementi che compongono una rete sono:
tratti
nodi
interni
esterni
maglie
10
11. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della rete
Gli elementi che compongono una rete sono:
• tratti
• nodi
• maglie
11
12. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
12
La rete precedente è una rete mista
Questa è una rete aperta (ad albero)
13. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
13
Questa una rete a maglie chiuse
Si dice maglia ciascun percorso chiuso che fa capo ad un nodo. La maglia è
indipendente se non può essere ottenuta come combinazione di altre
maglie. Nella figura sopra ci sono tre maglie indipendenti.
14. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della rete
• Un tratto (o tronco) unisce due nodi (o vertici)
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15. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della
rete
La relazione esistente tra il numero di tratti, t, il numero di
maglie m ed il numero di nodi (vertici), n è:
n + m t ⇥ 1
15
16. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
Una rete di acquedotto
Descrizione matematica della rete
Nella rete precedente ci sono
• 28 tratti
• 4 maglie (indipendenti)
• 25 nodi (11 esterni, 14 interni)
16
17. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza
Per descrivere matematicamente una rete si può procedere come segue,
numerando i nodi (in rosso) e i tratti (in blu)
17
(o di adiacenza)
18. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza
Nella teoria dei grafi la matrice di incidenza, A, di
un grafo orientato, è la matrice aij di dimensioni
t * n dove:
n è il numero di nodi (vertici) e t è il numero di
tratti.
Se aij =1 il tronco i esce dal nodo (vertice) j;
se aij =-1 il tronco i entra dal nodo (vertice) j;
se aij = 0 il tronco i ed il vertice (nodo) j non
sono collegati
18
19. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza
a11 = 1
a23 = -1
11
32
2
1
a21 = 0
Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco
uscente dal nodo di indice inferiore ed entrante nel nodo di indice superiore
19
20. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza
Come convenzione, per l’applicazione alle reti idriche, consideriamo il tronco
uscente dal nodo di indice inferiore end entrante nel nodo di indice superiore
(La somma dei numeri sulle righe deve essere uguale ad 0)
20
21. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
21
1
2
3
1
2
3
Una rete semplice
nodo serbatoio
nodo serbatoio
nodo serbatoio
Nei nodi serbatoio la piezometrica è fissata dalla quota del serbatoio
22. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
22
1
2
3
1
2
3
Una rete semplice
nodo interno
Nel nodo interno la piezometrica NON è fissata, ma deve essere calcolata
23. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza della rete
precedente
La rete precedente si può numerare nel modo illustrato. A è la matrice di
incidenza che la descrive
1
2
3
1
2
3
4
A = ⇤
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
⇥
⌅
23
24. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza - II
Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova
matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi
esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola
colonna)
1
2
3
1
2
3
4A = ⇤
1 | 1 0 0
1 | 0 1 0
1 | 0 0 1
⇥
⌅
24
25. Reti di distribuzione idrica
Riccardo Rigon
La matrice di incidenza - II
Si osservi che permutando gli indici di nodo come sotto si ottiene una nuova
matrice di incidenza composta da una matrice diagonale (quella dei nodi
esterni) e da una matrice dei nodi interni (in questo caso composta da una sola
colonna)
1
2
3
1
2
3
4
A = AI | AS
⇥
25
