Ejercicios Resueltos del Certamen de Mejor Estudiante 2019 MINED NIcaragua - Matemáticas

1. 1. David montó sus cerdos en una carreta para ir a venderlos al mercado.
También puso en la carreta una cantidad de repollos exactamente igual al
cuadrado del número de cerdos. Durante el viaje cada cerdo se comió dos
repollos. Una vez en el mercado David vendió 5 cerdos y cierto número de
repollos. Al final del día observó con sorpresa que el número de repollos que
tenía era igual al cuadrado del número de cerdos que le quedaban. Entonces
puso todo lo que no vendió en la carreta y emprendió el regreso. Pero durante
el viaje cada cerdo se comió dos repollos, y al llegar a su casa David tenía
cerdos, pero ningún repollo. ¿Cuántos repollos vendió David en el mercado?
Solución:
Debemos plantear la solución del problema desde el punto de vista del inventario
total:
Repollos Cerdos
Inicio 𝑥² 𝑥
𝑥2
− 2𝑥 𝑥
Venta 𝑥2
− 2𝑥 − 𝑦 𝑥 − 5
( 𝑥 − 5)2
− 2( 𝑥 − 5) 𝑥 − 5
Final 0 𝑥 − 5
x: cantidad inicial de cerdos
x2
: cantidad inicial de repollos
y: Cantidad de repollos vendidos
“El número de repollos que tenía 𝑥² − 2𝑥 − 𝑦, era igual al cuadrado del número
de cerdos que le quedaban (𝑥 − 5)² :
𝑥² − 2𝑥 − 𝑦 = (𝑥 − 5)²
𝑥2
− 2𝑥 − 𝑦 = 𝑥2
− 10𝑥 + 25
𝑥2
− 𝑥2
− 2𝑥 + 10𝑥 − 25 = 𝑦
8𝑥 − 25 = 𝑦

2. “Entonces puso todo lo que no vendió en la carreta ( 𝑥 − 5)2
y emprendió el
regreso. Pero durante el viaje cada cerdo se comió dos repollos 2( 𝑥 − 5) y al
llegar a su casa David tenía cerdos, pero ningún repollo”.
( 𝑥 − 5)2
− 2( 𝑥 − 5) = 0
𝑥2
− 10𝑥 + 25 − 2𝑥 + 10 = 0
𝑥2
− 12𝑥 + 35 = 0
( 𝑥 − 7)( 𝑥 − 5) = 0
𝑥 − 7 = 0 ∧ 𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 7 ∧ 𝑥 = 5
Como el vendió cinco cerdos en el mercado y aún le sobraban, aceptamos x=7
El número de repollos vendidos está dado por:
𝑦 = 8𝑥 − 25
𝑦 = 8(7) − 25
𝑦 = 56 − 25
𝑦 = 31
x: cantidad inicial de cerdos=7
x2: cantidad inicial de repollos=49
Durante el viaje los cerdos se comieron 14 repollos, 49-14=35, en el mercado
vendió 31 repollos y cinco cerdos, sobraron 4 repollos y dos cerdos, durante el
regreso cada cerdo se comió dos de los cuatro repollos restantes, así al llegar a
casa, sólo llevaba los dos cerdos.
R: David vendió en el mercado una cantidad de repollos de y= 31

3. 2. Elías escribió en la pizarra los números desde el 1 hasta el 2019 luego
borró todos los números pares y de los que quedaron borró todos los
múltiplos de 3, ¿Cuántos números quedaron en la pizarra?, ¿cuál es la
suma de todos ellos?
Solución:
La progresión:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13, 15, 17, …, 2019.
Primera condición
Borramos los números pares, la sucesión nos quedaría:
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19, …, 2019.
Tenemos una progresión aritmética. La diferencia es:
d=diferencia= 3-1= 2
a₁=Primer término= 1
an=Último término= 2019
n=Número de términos
Formula.
𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1) ∗ 𝑑
𝑎 𝑛 − 𝑎1 = ( 𝑛 − 1) ∗ 𝑑
𝑎 𝑛 − 𝑎1
𝑑
= 𝑛 − 1
𝑛 =
𝑎 𝑛 − 𝑎1
𝑑
+ 1
𝑛 =
2019 − 1
2
+ 1
𝑛 = 1010
La progresión tiene 1010 términos de números impares

4. Segunda condición
Le quitamos los múltiplos de 3
3 , 9 , 15 , 21 , 27 , 33, 39,…, 2019.
Tenemos una progresión aritmética. La diferencia es:
d=diferencia= 9-3= 6
a₁=Primer término= 3
an=Último término= 2019
n=Número de términos
Nos queda:
𝑛 =
𝑎 𝑛 − 𝑎1
𝑑
+ 1
𝑛 =
2019 − 3
6
+ 1
𝑛 = 337
Los múltiplos de 3 son 337 se los restamos a la cantidad de término de la
progresión de los números impares.
𝑛 = 1010 − 337 = 673
En la pizarra quedan 673 números.
La sucesión final nos quedaría:
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, …, 2017.
Hallamos la suma de los 673 números
• Suma de los impares.
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19, …, 2019.
Fórmula:
Suma

5. 𝑆 𝑛 =
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
× 𝑛
𝑆1010 =
1 + 2019
2
× 1010
𝑆1010 = 1 020 100
• Suma de los múltiplos de 3
3 , 9 , 15 , 21 , 27 , 33, 39,…, 2019.
Suma
𝑆 𝑛 =
𝑎1 + 𝑎 𝑛
2
× 𝑛
𝑆337 =
3 + 2019
2
× 337
𝑆337 = 340 707
La suma de términos que quedan en el pizarrón = 1 020 100 – 340 707=679 393
La suma de términos que quedan en el pizarrón = 679 393
3) Se instalan dos puestos de observación por la Naval nicaragüense en el
mar caribe el punto A y punto B están separados 10 millas entre sí y en la
costa vigilan barcos que entran ilegalmente en el límite de 3 millas. El
puesto A reporta un barco “S” en un ángulo ∡𝑩𝑨𝑺 = 𝟑𝟕°𝟑𝟎` y el puesto B
reporta al mismo barco en un ángulo ∡𝑨𝑩𝑺 = 𝟐𝟎°. ¿A qué distancia está el
barco del puesto A?, ¿A qué distancia se encuentra la embarcación de la
costa? Nota: Suponer que la distancia entre los puntos es recta
Datos:
AB= 10 millas
α = 37°30`=37.5°
β= 20°

6. A B
S
El ángulo que corresponde al vértice S tiene un valor de:
𝛾 = 180° − ( 𝛼 + 𝛽)
𝛾 = 180° − (37.5° + 20°)
𝛾 = 122.5°
Por la ley de los senos:
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑠
sen 𝛾
Utilizando las dos últimas igualdades:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝑠
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑏 =
𝑠(𝑠𝑒𝑛 𝛽)
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑏 =
10 mi(𝑠𝑒𝑛 20°)
𝑠𝑒𝑛 122.5°
𝑏 =
10 mi(𝑠𝑒𝑛 20°)
𝑠𝑒𝑛 122.5°
𝑏 ≈ 4.01 mi
𝑎
𝐬𝐞𝐧 𝛼
=
𝑠
𝐬𝐞𝐧 𝛾
10 millas
𝛼 = 37.5° 𝛽 = 20°
𝛾 = 122.5°

7. 𝑎 =
𝑠(𝐬𝐞𝐧 𝛼)
𝐬𝐞𝐧 𝛾
𝑎 =
10 𝑚𝑖(𝑠𝑒𝑛 37.5°)
𝑠𝑒𝑛 122.5°
𝑎 ≈ 7.22 mi
Para calcular la distancia de la embarcación a la costa, utilizaremos teorema de
los catetos:
S
𝒂=7.22 mib=4.01 mi
A B
𝒂 𝟐
= 𝟏𝟎𝒙 𝒃 𝟐
= 𝟏𝟎𝒚
𝑎2
10
= 𝑥
𝑏2
10
= 𝑦
(7.22 𝑚𝑖)2
10 𝑚𝑖
= 𝑥
(4.01 𝑚𝑖)2
10 𝑚𝑖
= 𝑦
5.21 𝑚𝑖 = 𝑥 1.61 𝑚𝑖 = 𝑦
Por lo tanto, la altura del triángulo, que sería la distancia de la embarcación a la
costa es de:
𝒉 𝟐
= 𝒙𝒚
ℎ = √ 𝑥𝑦
ℎ = √(5.21 𝑚𝑖)(1.61 𝑚𝑖)
ℎ ≈ 2.90 𝑚𝑖
10 millas
𝛼 = 37.5°
𝛽 = 20°
𝛾 = 122.5°