Poliedro é um sólido limitado por planos no espaço R3, cujas regiões planas que o limitam são chamadas de faces. As interseções das faces são as arestas e das arestas são os vértices. Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais entre faces adjacentes são menores que 180 graus. Poliedros regulares são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares com mesmo número de lados e mesmo número de arestas em cada vértice.

1. NOÇÕES SOBRE
POLIEDROS

2. Poliedro
 Poliedro é um sólido limitado externamente por
planos no espaço R³.
 As regiões planas que limitam este sólido são as faces
do poliedro.
 As interseções das faces são as arestas do poliedro.
 As interseções das arestas são os vértices do
poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo
n lados.

3. Poliedros convexos
 Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos
diedrais formados por planos adjacentes têm
medidas menores do que 180 graus.
 Dados quaisquer dois pontos de um poliedro
convexo, o segmento que tem esses pontos como
extremidades, deverá estar inteiramente contido no
poliedro.

4. Poliedros Regulares
 Um poliedro é regular se todas as suas faces são
regiões poligonais regulares com n lados, o que
significa que o mesmo número de arestas se
encontram em cada vértice.

5. Características dos poliedros convexos
 Notações para poliedros convexos:
 V: Número de vértices,
 F: Número de faces,
 A: Número de arestas,
 n: Número de lados da região poligonal regular (de
cada face),
 a: Medida da aresta A e
 m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro
convexo.

6. Relações de Euler em poliedros regulares
 Relação de Euler
 V + F = A + 2
 As relações de Euler são duas importantes relações
entre o número F de faces, o número V de vértices, o
número A de arestas e o número m de ângulos entre
as arestas.
 F + V = A + 2, m = 2 A

7. Relações de Euler em poliedros regulares
 Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento
de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares
convexos.

8. Poliedro regular
convexo
Cada face
é um
Faces
(F)
Vértices
(V)
Arestas
(A)
Ângulos entre
as arestas (m)
Tetraedro
triângulo
equilátero
4 4 6 12
Hexaedro quadrado 6 8 12 24
Octaedro
triângulo
equilátero
8 6 12 24
Dodecaedro
pentágono
regular
12 20 30 60
Isocaedro
triângulo
equilátero
20 12 30 60

9. Exercício
 1º) Arquimedes descobriu um poliedro convexo
formado por 12 faces pentagonais e 20 faces
hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a
fabricação da bola de futebol que apareceu pela
primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos
vértices possui esse poliedro?

10.  2º) Determinar o número de arestas e o número de
vértices de um poliedro convexo com 6 faces
quadrangulares e 4 faces triangulares.

11.  Resolução: Questão 01
 Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
 12 . 5 = 60
 O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6 = 120, logo: F =
12 + 20 = 32
 Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:
 2A = 60 + 120
A = 90
 Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
 V – A + F = 2, portanto:
 V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60
 Assim, o número de vértices é 60.

12.  Resolução: Questão 02
 Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares,
calculamos: 6 . 4 = 24
 O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12
 Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total
de arestas é: A = (24+12)/2 = 18
 Temos então F = 10, A = 18.
 Aplicando a relação de Euler:
 V – A + F = 2
V – 18 + 10 = 2
V = 10
 Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.

13. Exercício Para Praticar
 1º) Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem três faces triangulares, uma face
quadrangular, uma face pentagonal e duas faces
hexagonais.
 2º) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro
convexo que possui 12 faces triangulares é:
 a) 4 b) 12 c) 10 d)
6 e) 8