1. MATEMÁTICA
POLINÔMIOS E OPERAÇÕES
COM POLINÔMIOS – I
2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
PROFESSOR RODRIGO BASTOS SOUZA
2. HABILIDADES
Reconhecer um polinômio e determinar o grau de um
polinômio não identicamente nulo.
Calcular o valor numérico de um polinômio.
Aplicar o conceito de identidade de polinômios.
Efetuar adições, subtrações e multiplicações com polinômios.
3. DEFINIÇÃO
Um polinômio na variável complexa x é uma expressão representada por:
a n ∙ x n
+ a n − 1 ∙ x n − 1
+ … + a 2 ∙ x² + a 1 ∙ x + a 0
OBSERVAÇÕES
n ∈ ℕ ( conjunto dos números naturais );
x ∈ ℂ ( conjunto dos números complexos );
a 0 , a 1 , a 2 , … , a n − 1 , a n são números complexos e são chamados de
coeficientes.
a n ∙ x n, a n − 1 ∙ x n − 1, … , a 2 ∙ x2, a 1 ∙ x , a 0 são chamados termos.
4. FUNÇÃO POLINOMIAL
Consideremos uma função f: ℂ → ℂ, em que a cada x ∈ ℂ
associa o polinômio
a n ∙ xn
+ a n − 1 ∙ x n − 1
+ … + a 1 ∙ x + a 0
Ou seja,
f ( x ) = 𝐚 𝐧 ∙ 𝐱 𝐧 + 𝐚 𝐧 − 𝟏 ∙ 𝐱 𝐧 − 𝟏 + … + 𝐚 𝟏 ∙ 𝐱 + 𝐚 𝟎.
A função f recebe o nome de função polinomial.
5. GRAU DE UM POLINÔMIO
O grau de um polinômio P ( x ) é representados pelos maior expoente da
vaiável x, que possui coeficiente não–nulo e é indicado por gr ( P ).
EXEMPLOS:
P ( x ) = x3 + x2 + 7 é um polinômio do 3º grau, ou seja, gr ( P ) = 3.
Q ( x ) = x5 + 3x4 – 5x3 + 2x2 + x – 1 é um polinômio do 5º grau, ou seja,
gr ( Q ) = 5.
A ( x ) = 7x4 + x2 é um polinômio do 4º grau, ou seja, gr ( A ) = 4.
B ( x ) = 5 é um polinômio constante e possui apenas o termo
independente e representa um polinômio de 0 grau, ou seja
gr ( B ) = 0.
6. VALOR NUMÉRICO
Tendo 𝛂 ∈ ℂ e P o polinômio definido por
P ( x ) = a n ∙ x n + a n − 1 ∙ x n − 1 + … + a 1 ∙ x + a 0,
o valor numérico de P em 𝛂 corresponde ao número
complexo que é obtido quando realizamos a substituição de
x por 𝛂 e efetuamos as operações necessárias.
Ou seja,
P ( 𝛂 ) = a n ∙ 𝛂 n + a n − 1 ∙ 𝛂 n − 1 + … + a 1 ∙ 𝛂 + a 0
7. 1) Seja o polinômio P ( x ) = 3x³ + x² – 5x + 1. Calcule seus valores
numéricos para:
a) x = 2
P ( 2 ) = 3 . 2³ + 2² – 5 . 2 + 1
P ( 2 ) = 3 . 8 + 4 – 10 + 1
P ( 2 ) = 24 + 4 – 10 + 1
P ( 2 ) = 19
b) x = – 1
P ( – 1 ) = 3 . ( – 1 )³ + ( – 1 )² – 5 . ( – 1 ) + 1
P ( – 1 ) = 3 . ( – 1 ) + 1 + 5 + 1
P ( – 1 ) = – 3 + 1 + 5 + 1
P ( – 1 ) = 4
EXEMPLOS
8. c) x = i
P ( i ) = 3 . i³ + i² – 5 . i + 1
P ( i ) = – 3i – 1 – 5i + 1
P ( i ) = – 8i
EXEMPLOS
Lembre-se que:
𝐢𝟎 = 𝟏
𝐢𝟏
= 𝐢,
𝐢𝟐
= −𝟏
𝐢𝟑 = −𝐢.
RAIZ DE UM POLINÔMIO:
Seja 𝛂 ∈ ℂ. Dizemos que α é raiz do polinômio
𝐏 𝐱 = 𝐚 𝐧 ∙ 𝐱 𝐧
+ 𝐚 𝐧 − 𝟏 ∙ 𝐱 𝐧 − 𝟏
+ … + 𝐚 𝟏 ∙ 𝐱 + 𝐚 𝟎
quando P ( 𝛂 ) = 0.
Ou seja:
a n ∙ 𝛂 n
+ a n − 1 ∙ 𝛂 n − 1
+ … + a 1 ∙ 𝛂 + a 0 = 0
9. Matemática, 3º Ano do Ensino Médio
Raiz de um polinômio
Verificar quais números do conjunto { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } são
raízes de P( x ) = x3 – 2x2 – 5x + 6 .
EXEMPLOS
P ( – 2 ) = ( – 2 ) ³ – 2 . ( – 2 ) ² – 5 . ( – 2 ) + 6
P ( – 2 ) = – 8 – 8 + 10 + 6
P ( – 2 ) = 0
P ( – 1 ) = ( – 1 ) ³ – 2 . ( – 1 ) ² – 5 . ( – 1 ) + 6
P ( – 1 ) = – 1 – 2 + 5 + 6
P ( – 1 ) = 8
P ( 0 ) = 0 ³ – 2 . 0 ² – 5 . 0 + 6
P ( 0 ) = 0 – 0 – 0 + 6
P ( 0 ) = 6
P ( 1 ) = 1 ³ – 2 . 1 ² – 5 . 1 + 6
P ( 1 ) = 1 – 2 – 5 + 6
P ( 1 ) = 0
P ( 2 ) = 2 ³ – 2 . 2 ² – 5 . 2 + 6
P ( 2 ) = 8 – 8 – 10 + 6
P ( 2 ) = – 4
P ( 3 ) = 3 ³ – 2 . 3 ² – 5 . 3 + 6
P ( 3 ) = 27 – 18 – 15 + 6
P ( 3 ) = 0
Os números – 2 , 1 e 3 são raízes do polinômio.
10. Matemática, 3º Ano do Ensino Médio
Raiz de um polinômio
Determine m para que 1 + i seja raiz de P ( x ) = x2 + mx + 2.
EXEMPLOS
P ( 1 + i ) = ( 1 + i )² + m . ( 1 + i ) + 2
P ( 1 + i ) = 1 + 2i + i² + m + mi + 2
P ( 1 + i ) = 1 + 2i – 1 + m + mi + 2
P ( 1 + i ) = (m + 2) + (m + 2)i
Para que P ( 1 + i ) = 0, a expressão “ m + 2 ” deve ser igual a 0. Logo,
m + 2 = 0
m = –2
11. IDENTIDADE DE POLINÔMIOS
Considerando dois polinômios P ( x ) e Q ( x ) , dizemos que esses polinômios são
idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes, forem
iguais.
P ( x ) = a n ∙ x n
+ a n − 1 ∙ x n − 1
+ … + a 1 ∙ x + a 0
Q ( x ) = b n ∙ x n + b n − 1 ∙ x n − 1 + … + b 1 ∙ x + b 0
P ( x ) Q ( x ) 𝐚𝐧 = 𝐛𝐧 , 𝐚 𝐧 −𝟏 = 𝐛 𝐧 −𝟏 , ... , 𝐚 𝟏 = 𝐛 𝟏 , 𝐚 𝟎 = 𝐛 𝟎
POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO
O polinômio P ( x ) = 𝐚 𝐧 ∙ 𝐱 𝐧
+ 𝐚 𝐧 − 𝟏 ∙ 𝐱 𝐧 − 𝟏
+ … + 𝐚 𝟏 ∙ 𝐱 + 𝐚 𝟎 será
identicamente nulo, se e somente se, todos os seus coeficientes forem nulos
( 𝐚𝐧 = 𝐚 𝐧 −𝟏 = ... = 𝐚 𝟏 = 𝐚 𝟎 = 𝟎 ) . Simbolicamente, temos P ( x ) 0 .
12. Matemática, 3º Ano do Ensino Médio
Raiz de um polinômio
Determine os valores de a , b e c para que o polinômio
P ( x ) = ( a + 3 ) x2 + ( 3b – 9 ) x + c seja identicamente nulo.
Basta que igualemos cada um dos seus coeficientes a zero.
a + 3 = 0
a = 0 – 3
a = – 3
3b – 9 = 0
3b = 0 + 9
3b = 9
b =
𝟗
𝟑
b = 3
c = 0
EXEMPLOS
Logo, a = – 3 , b = 3 e c = 0.
13. Matemática, 3º Ano do Ensino Médio
Raiz de um polinômio
Determine os valores de m e n e c para que os polinômios
P ( x ) = ( m2 – m ) x2 + 6x – 1 e Q ( x ) = 2x2 + ( n + 1 ) x – 1 sejam idênticos.
Sendo os polinômios idênticos, podemos igualar os coeficientes das
variáveis de mesmo grau, ou seja:
m2 – m = 2
m2 – m – 2 = 0
a = 1 b = – 1 c = – 2
Δ = b2 – 4 . a . c
Δ = ( – 1 )2 – 4 . 1 . ( – 2 )
Δ = 1 + 8
Δ = 9
EXEMPLOS
x =
− 𝐛 ± ∆
𝟐𝐚
x =
− − 𝟏 ± 𝟗
𝟐 .𝟏
x =
𝟏 ± 𝟑
𝟐
x1 =
𝟏 + 𝟑
𝟐
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
x2 =
𝟏 − 𝟑
𝟐
=
−𝟐
𝟐
= −𝟏
n + 1 = 6
n = 6 – 1
n = 5
Portanto,
m = 2 ou m = – 1
e
n = 5
14. Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que
podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios.
Para que a redução seja possível é necessária A existência de monômios semelhantes na
expressão.
OBSERVAÇÕES
De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até
mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classificá-los das seguintes
formas:
monômio, quando há apenas um termo;
binômio, quando há dois termos;
trinômio, quando há três termos;
acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
15. Dados dois polinômios f ( x ) e g ( x ).
Sabe-se que f ( x ) = an x n + a n – 1 x n – 1 + ... a 2 x2 + a1 x + a0 e que
g ( x ) = b n x n + b n – 1 x n – 1 + ... b 2 x 2 + b 1 x + b 0 , então f ( x ) + g ( x )
resulta em :
f ( x ) + g ( x ) = ( a n + b n ) x n + ( a n – 1 + b n – 1 ) xn – 1 + ... +
+ ( a 2 + b 2 )x 2 + ( a 1 + b1 ) x + ( a0 + b0 )
Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos
semelhantes.
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
18. Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos
termos semelhantes.
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
Dados dois polinômios f ( x ) e g ( x ).
Sabe-se que f ( x ) = an x n + a n – 1 x n – 1 + ... a 2 x2 + a1 x + a0 e que
g ( x ) = b n xn + b n – 1 x n – 1 + ... b 2 x 2 + b 1 x + b 0 , então f ( x ) – g ( x )
resulta em :
f ( x ) + g ( x ) = ( a n – b n ) x n + ( a n – 1 – b n – 1 ) xn – 1 + ... +
+ ( a 2 – b 2 )x 2 + ( a 1 – b1 ) x + ( a0 – b0 )
21. MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
Dados dois polinômios A ( x ) = an x n + a n – 1 x n – 1 + ... a 2 x2 + a1 x + a0 e que
B ( x ) = b n x n + b n – 1 x n – 1 + ... b 2 x 2 + b 1 x + b 0 , então o produto de A ( x ) por
B ( x ) é obtida multiplicando-se cada termo aixi de A( x ) por cada termo bjxj de
B( x ), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e, por fim,
reduzem-se os termos semelhantes ( de mesmo grau ).
EXEMPLOS
Sendo A ( x ) = x3 + 2x2 3 e B ( x ) = x2 + x + 1, determine A ( x ) . B ( x ) .
A ( x ) . B ( x ) = ( x3 + 2x2 – 3 ) . ( x2 + x + 1 )
x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3
x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3
22. EXEMPLOS
( UFSM/2010 ) Leia o trecho da música "Goiabada Cascão", de Wilson
Moreira/Nei Lopes, interpretada por Dudu Nobre. Ouvindo esse samba, um
pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabas
de seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras
(paralelepípedos retangulares) de 800 cm³ cada. Para tanto, construirá uma
forma a partir de uma folha metálica retangular medindo 28 cm por 18 cm,
cortando um pequeno quadrado de cada canto. Essa folha, devidamente
dobrada, conforme ilustra a figura a seguir, servirá de molde para as barras
de goiabada. Sendo x cm a medida dos lados do quadrado cortado da folha
inicial, a incógnita (variável) x, para que o volume da barra obtida desse
molde tenha os 800 cm3 desejados, deve satisfazer a que equação
polinomial?
23. Vamos calcular o volume da caixa.
x
28 – 2x
18 – 2x
V = AB . h
V = ( 28 – 2x ).( 18 – 2x ).x
V = ( 504 – 56x – 36x + 4x2 ).x
V = ( 504 – 92x + 4x2 ).x
V = 800
4x3 – 92x2 + 504x = 800
4x3 – 92x2 + 504x – 800 = 0 (: 4)
x3 – 23x2 + 126x – 200 = 0
18 cm
28 cm
x
x x
x
x
x
x
x
V = 504x – 92x2 + 4x3
24. 1) Quais das seguintes funções são polinômios?
a) P ( x ) = x7 + 1
b) F ( x ) = 5x4 – 3x2 + x – 1 + 2
c) G ( x ) = x2 + 0,7x – 2
d) H ( x ) = 5x3 – 2x2 + 1
e) U ( x ) = x2 – 6 x – 8
2) Dê o grau dos seguintes polinômios:
a) P ( x ) = 5x2 + x – 4
b) P ( x ) = – 6x4 + x3 + 2x – 1
c) P ( x ) = 8x3 + 2x
d) P ( x ) = x8 – x7 + x6 + 2x5 + 3
3) Dado o polinômio P ( x ) = – 4x3 + 2x2 + x – 1, calcule:
a) P ( 1 ) b ) P ( 2 ) c ) P ( – 3 ) d )P ( 0 ) e ) P ( – 1 )
4) Seja o polinômio P ( x ) = ax2 + 2x – b , determine o valor de a e b, sabendo que P ( 2 ) = 6 e
P ( 3 ) = 13.
5) Dado o polinômio P ( x ) = x3 + x2 + mx + n e que P ( – 1 ) = 0 e P ( 1 ) = 0, determine o valor de
P ( 2 ).
ATIVIDADES
25. 6) Calcule a e b, de modo que os polinômios P ( x ) = ( 2a + 6 )x3 + ( 3b – 4 )x2 e
Q ( x ) = x3 + 3x2 sejam idênticos.
7) Calcule o valor de a , b e c, sabendo que o polinômio
P ( x ) = ( a + 5 )x3 – bx3 + ( c – 2 )x é identicamente nulo.
8) Considere P ( x ) = 2x4 + 3x2 + 4x + 1 , Q ( x ) = 2x3 + 5x2 – x – 3 e
G( x ) = – 2x4 – 7x2 + x – 10 , calcule:
a) P ( x ) + Q ( x ) + G ( x )
b) P ( x ) + Q ( x ) – G ( x )
c) P ( x ) – Q ( x ) – G ( x )
9) Dados os polinômios P ( x ) = 3x3 + 2x2 – 4x , Q ( x ) = x2 + 3x – 1 e T ( x ) = 4x – 2 ,
calcule Q ( x ) . T ( x ) + P ( x ) .
10) Sendo P ( x ) = x3 + 2x2, calcule [ P ( x ) ] 2 .
ATIVIDADES
