1) O documento descreve a vida e obra de Isaac Newton, incluindo seu nascimento na Inglaterra no século XVII e suas descobertas fundamentais em matemática, física e astronomia.
2) A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau é explicada através de exemplos que demonstram como formular a equação a partir do enunciado, resolver a equação e interpretar a solução no contexto original do problema.
3) Sete exemplos ilustram o passo-a-passo para a formulação e resolução de equ
Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.ppt
1. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Binômio de Newton
Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de
Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de
março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você
também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio
interno que ensinava gramática na maior parte do tempo...
Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que,
como vamos ver, desenvolveu várias teorias que
revolucionaram a matemática, física e astronomia.
Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar
a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a
epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na
faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época,
Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a
decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos
diversos e as chamadas três leis de Newton.
MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 9º ano
Resolução de problemas envolvendo
equações do 2º grau
2. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Um problema é do 2º grau se, para a sua resolução, for
formada uma equação do 2º grau.
Na resolução de um problema ajuda:
Fazer um esquema ou desenho de modo a
compreender melhor o enunciado;
Identificar os dados e a incógnita;
Formar a equação;
Resolver a equação;
Interpretar as soluções da equação no contexto do
problema.
http://bestanimations.com/Books/teacher-reading-book-animation.gif
3. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual
a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro
tem?
Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que:
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos;
63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos.
Montando a sentença matemática obtemos:
3x2 = 63 - 12x, que pode ser expressa como 3x2 + 12x - 63 = 0.
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c =
0, que é denominada equação do 2° grau.
4. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 12² – 4.3.(– 63)
Δ = 144 + 756
Δ = 900
Como Δ é maior que zero, sabemos que a equação possui duas raízes
reais distintas. Vamos calculá-las:
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (– 12 + 900)/6
x1 = (– 12 + 30)/6
x1 = 18/6
x1 = 3
5. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
x2 = (– 12 – 900)/6
x2 = (– 12 – 30)/6
x2 = – 42/6
x2 = – 7
A raízes encontradas são 3 e –7, mas como o número de filhos de uma
pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz –7.
Portanto: Pedro tem 3 filhos.
http://www.heath
ersanimations.com
/children/a1057.gif
http://www.heat
hersanimations.c
om/children/a10
58.gif
http://www.
heathersanim
ations.com/c
hildren/a105
9.gif
6. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.2) Uma tela retangular com área de 9600 cm2
tem de largura uma vez e meia a sua altura.
Quais são as dimensões desta tela?
Se chamarmos de x a altura da tela, temos que:
1,5x será a sua largura.
Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é
calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida
da sua altura.
Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática
obtemos:
x . 1,5x = 9600
http://www.heathersanimations.com/schoo
l/sc52.gif
7. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
A sentença matemática x.1,5x = 9600, também pode ser expressa como:
1,5x2 – 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que terá duas
raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é
igual a zero. Vamos aos cálculos:
1,5x2 – 9600 = 0
1,5x2 = 9600
x2 = 9600/1,5
x2 = 6400
x = 6400
x = 80
8. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
As raízes reais encontradas são – 80 e 80.
No entanto, como uma tela não pode ter dimensões negativas,
devemos desconsiderar a raiz – 80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de
1,5 . 80 = 120. Portanto:
Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de
largura.
9. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.3) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De
outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a
quantidade comprada foi igual ao valor unitário de
cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e
recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada
produto?
O enunciado nos diz que:
Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos
denominá-lo então de x;
De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu
comprei x unidades.
Recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria.
http://bestanimations.
com/Food/animated-
sandwich.gif
10. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Temos as informações necessárias para montarmos a seguinte
equação:
4 . x + x . x + 8 = 200
Ou então:
4x + x² + 8 = 200 x² + 4x – 192 = 0
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a
equação para descobrimos que valor é este:
x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 4² – 4.1. (– 192)
Δ = 16 + 768
Δ = 784
11. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (– 4 + 784)/2
x1 = (– 4 + 28)/2
x1 = 24/2
x1 = 12
x2 = (– 4 – 784)/2
x2 = (– 4 – 28)/2
x2 = – 32/2
x2 = – 16
As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser
negativo, a raiz igual – 16 deve ser descartada.
Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.
12. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo
é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo.
Quantos anos tem cada um deles?
Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos:
x – 5 será a idade de Paulo.
O produto das idades é igual a 374, logo x . (x – 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
x . (x – 5) = 374 x² – 5x = 374 x² – 5x – 374 = 0
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm
13. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a
equação:
x² – 5x – 374 = 0 a = 1 b = – 5 c = – 374
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 5)² – 4.1. (– 374)
Δ = 25 + 1496
Δ = 1521
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (5 + 1521)/2
x1 = (5 + 39)/2
x1 = 44/2
x1 = 22
14. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x = (– b Δ)/2.a
x2 = (5 – 1521)/2
x2 = (5 – 39)/2
x2 = – 34/2
x2 = – 17
As raízes reais encontradas são – 17 e 22, por ser negativa, a raiz – 17
deve ser descartada.
Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17
anos.
15. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Definindo a incógnita como x, temos:
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número;
15x equivale a 15 vezes este número.
http://bestanimations.com/Books/bo
y-reading-book-animation-3.gif
Podemos escrever esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 – 15x = 0
Ex.5) Há dois números cujo triplo do quadrado é
a igual 15 vezes estes números. Quais números
são estes?
16. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, como apenas o
coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas
raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do
coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer
que:
3x² – 15x = 0
x(3x – 15) = 0
x = 0
3x – 15 = 0
3x = 15
x = 15/3
x = 5
Assim sendo, os dois números são 0 e 5.
17. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.6) Quais são as raízes da equação x² – 14x +
48 = 0?
Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta
pergunta:
Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que
multiplicados resultam em 48?
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.
Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da
fórmula de Bháskara:
http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/livros/liv017.gif
19. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.7) Resolva a equação biquadrada x4 – 20x² –
576 = 0.
Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 por y
temos:
y4 – 20y² – 576 = 0
Resolvendo-a temos:
y4 – 20y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 20)² – 4.1. (– 576)
Δ = 400 + 2304
Δ = 2704
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm
20. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
y4 – 20y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576
y = (– b Δ)/2.a
y1 = (20 + 2704)/2
y1 = (20 + 52)/2
y1 = 72/2
y1 = 36
y2 = (20 – 2704)/2
y2 = (20 – 52)/2
y2 = – 32/2
y2 = – 16
21. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da
equação biquadrada:
Para y1 = 36, temos:
x² = y
x² = 36
x = 36
x = 6
Para y2 = – 16, como não existe raiz quadrada real de um número
negativo, o valor de -16 não será considerado.
Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 – 20x2 – 576 = 0 são
somente: – 6 e 6.
22. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.8) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente.
Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da
idade do filho?
Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de
menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no
tempo.
Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos:
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x
Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da
idade do filho”: 45 – x = (15 – x)².
http://www.heathersanimations.com/school/sc28.gif
23. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Desenvolvendo a equação 45 – x = (15 – x)², obtemos:
45 – x = 225 – 30x + x2
x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180
Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 29) ² – 4.1.180
Δ = 841 – 720
Δ = 121
x = (– b Δ)/2.a
x1 = (29 + 121)/2
x1 = (29 + 11)/2
x1 = 40/2
x1 = 20
24. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180
x2 = (29 – 121)/2
x2 = (29 – 11)/2
x2 = 18/2
x2 = 9
Analisando os resultados encontrados (20 e 9), o valor 20 não pode ser
usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x
Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.
25. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.9) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao
quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a
medida de seus lados.
Para calcularmos a área de uma região retangular devemos
multiplicar o comprimento pela largura.
4x . x = 256
4x² = 256 x² = 256/4 x² = 64 x = 64 x = 8
O lado de maior comprimento (4x) mede 32 metros e o de menor
comprimento (x), 8 metros.
256 m² x
4x
26. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Ex.10) Num congresso havia 50 pessoas entre mulheres e
homens. Descubra quantas mulheres e quantos homens
estavam presentes, sabendo que o produto das
quantidades dos dois grupos é igual 621 e que a
quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de
homens.
Sendo h: número de homens e m o número de mulheres no
congresso, temos que:
h + m = 50 equivale ao total de pessoas no congresso;
h . m = 621 equivale ao produto das quantidades dos dois
grupos.
http://www.
fotosdahora.
com.br/gifs_
path/7190/o
lhos_7/
27. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
Montando a sentença matemática obtemos:
h + m = 50 h = 50 – m
h . m = 621
Substituindo h por 50 – m na 2ª equação, temos:
(50 – m).m = 621
50m – m² – 621 = 0 x(-1)
m² – 50m + 621 = 0
a = 1 b = – 50 c = 621
= b² – 4.a.c
= (– 50)² – 4.1.621
= 2500 – 2484
= 16
28. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
m = (– b )/2.a
m = (50 4)/2
m1 = (50 + 4)/2
m1 = 54/2
m1 = 27
m2 = (50 – 4)/2
m2 = 46/2
m2 = 23
Como h + m = 50, e o número de mulheres é maior que o número de
homens, então havia 27 mulheres e 23 homens no congresso.
29. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
1º) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200.000,00 para ser distribuída,
de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos
renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x –
3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de
R$15.000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos
do referido cidadão é:
a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 7
2º) Em certa cidade há um terreno de formato retangular de 80 m2 de área, em que
um lado tem 2 m a mais que o outro. O prefeito da cidade pretende construir nesse
terreno uma praça, fazendo ainda duas passarelas perpendiculares que dividirão a
praça em quatro retângulos congruentes. Qual será a área ocupada pelas passarelas se
elas tiverem 2 m de largura?
3º) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esses números.
4º) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número.
Calcule esse número.
EXERCÍCIOS http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif
30. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizar o software geogebra para realizar algumas atividades sobre
equações do 2º grau, bem como revisar seus conceitos.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
31. Matemática, 9º ano, Resolução de problemas
envolvendo equações do 2º grau
REFERÊNCIAS
Sites:
http://pt.slideshare.net/AndrLusNogueira/exerccios-resolvidos-de-problemas-de-
equaes-do-2-grau
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 1:
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.