Μια διαφορετική προσέγγιση.

1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μια διαφορετική προσέγγιση
ΜΠΕΚΑΣ Δ. ΧΡΗΣΤΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3. 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 (ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ)
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟI
1) Μέθοδοι επίλυσης βασικών εξισώσεων:
• α’ βαθμού
• β’ βαθμού
• χν=α
• ανωτέρου βαθμού
Στην Β’ Λυκείου θα αναπτυχθεί περαιτέρω η επίλυση εξισώσεων ανωτέρου βαθμού.
2) Τεχνικές επίλυσης ειδικών εξισώσεων:
• κλασματικές
• με απολυτά
• παραμετρικές α’ και β’ βαθμού
Στην Β’ Λυκείου θα μάθουμε και άλλες ειδικές μορφές εξισώσεων με έναν άγνωστο όπως : οι άρρητες, οι
τριγωνομετρικές, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές.
3) Ειδικές εφαρμογές στην εξίσωση β’ βαθμού.
1ΟΣ
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ ΣΤΟΧΟΣ
Για να λυθεί μια οποιαδήποτε εξίσωση θα πρέπει αρχικά να την φέρουμε στην κανονική
όπως μορφή ακολουθώντας τα γενικά βήματα τα οποία όπως οδηγούν στην τελική όπως
μορφή.
Τα βήματα είναι :
 Απαλοιφή παρονομαστών.
 Απαλοιφή παρενθέσεων.
 Όλα στο 1ο μέλος.
 Αναγωγές όμοιων όρων.
 Τελική μορφή ή αλλιώς κανονική μορφή.
ΣΧΟΛΙΟ
Η παραπάνω ενέργεια παρακάμπτεται για οποιαδήποτε εξίσωση όταν θα μπορώ :
 να παραγοντοποιήσω εξ αρχής την αρχική εξίσωση και να ‘χω
. . 0 0 ή 0 ή 0α β γ= ⇔ α= β= γ= .
 να εφαρμόσω μια σπουδαία για την επίλυση εξισώσεων τεχνική του “θέτω” όπως
ονομάζεται μετασχηματίζοντας την αρχική εξίσωση σε μια απλούστερη μορφή.
 να εφαρμόσω όπως τυχόν βασικές αρχές όπως : 2 2
0 0α + β = ⇔ α = β = και
2
0 0α = ⇔ α=

4. 2
1.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
Η κανονική μορφή μιας τέτοιας εξίσωσης είναι αχ+β=0 με λύση :
0 ό έ ή ύ x
x 0 x
0 ί ί ύ
0 ό :
0 ί ί ό ή ό
β
αν α ≠ τ τε χω µοναδικ λ ση = − α
α + β = ⇒ α = −β ⇒  για β ≠ η εξ σωση ε ναι αδ νατη αν α= τ τε 
 για β= η εξ σωση ε ναι α ριστη ταυτ τητα
Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η εξίσωση: x 2 x 1 3x 1
3 2 6
− + −
− =− .
ΛΥΣΗ
Έχω ΕΚΠ(3,2,6)=6 , άρα έχουμε :
x 2 x 1 3x 1 x 2 x 1 3x 1
6 6 6
3 2 6 3 2 6
2(x 2) 3(x 1) (3x 1)
2x 4 3x 3 3x 1
2x 8
x 4
− + − − + −
− =− ⇒ − =−
⇒ − − + =− −
⇒ − − − =− +
⇒ −
⇒ =
2.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
Η κανονική μορφή μιας τέτοιας εξίσωσης θα 2
x x 0, 0α + β + γ= α ≠ και η λύση της βα-
σίζετε σε ειδικό τυπολόγιο.
Βρίσκω την αλγεβρική παράσταση 2
Δ = β - 4αγ η οποία λέγεται διακρίνουσα της εξί-
σωσης και το πρόσημό της καθορίζει το πλήθος των ριζών της εξίσωσης.
Αναλυτικά έχω:
1,2
2 2
1,2
-β ± Δ
0 έ x =
2α
-β
x x 0, 0 4 0 έ x =
2α
0
ή
έ
ύ ί ά
μια ί δ λ
ί ί
ιπ

αν ∆ > ⇒ χω


α + β + γ = α ≠ ⇒ ∆ = β − αγ ⇒ αν ∆ = ⇒ χω

αν ∆ < ⇒ δεν χωκαµ αρ ζα

δ ο ρ ζες νισες ⇒
ρ

ζα ⇒

5. 3
ΣΧΟΛΙΟ
Παράκαμψη του τυπολογίου σε μια εξίσωση β’ βαθμού μπορεί να γίνει όταν έχει τις
παρακάτω μορφές :
• 2
x x 0, 0α + β = α ≠
• 2
x 0, 0α + γ= α ≠
• 2
x x ά ό έ ώα + β + γ = αν πτυγµα ταυτ τητας τ λειουτετραγ νου
• ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2x (x x )x x .x 0 (x x )(x x ) 0 x x 0ή x x 0+ + + = ⇔ + + = ⇔ + = + =
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (tips & tricks)
1. Αν οι συντελεστές α και γ της εξίσωσης: 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ (1) είναι ετερόση-
μοι, τότε η (1) έχει δύο λύσεις άνισες.
Ο λόγος είναι ότι αφού αγ < 0, που σημαίνει – αγ > 0, οπότε η διακρίνουσα θα είναι
2
Δ = β - 4αγ > 0.
Έτσι η εξίσωση 2
3x +10x-13 = 0 έχει δύο άνισες ρίζες, αφού 39 0αγ = − < .
2. Όταν η διακρίνουσα Δ είναι τέλειο τετράγωνο, δηλ. 2
Δ = A , τότε για τις ρίζες της
εξίσωσης θα γράφουμε 1,2
-
x
2 2
β ± ∆ −β ± Α
= =
α
αντί για 1,2x
2
−β ± Α
=
3. Η σημασία ορισμένων εκφράσεων σχετικά με την 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ :
• έχει δύο ρίζες άνισες , σημαίνει ότι είναι Δ > 0 .
• έχει μία τουλάχιστον λύση , σημαίνει ότι είναι 0∆ ≥ .
• έχει μία διπλή ρίζα , σημαίνει ότι είναι Δ = 0 .
• δεν έχει πραγματικές ρίζες , σημαίνει ότι είναι Δ < 0 .
Παράδειγμα 2ο : Να λύσετε την εξίσωση : 2
2x +7x - 9 = 0
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι :
2 2
- 4 7 4 2 ( 9) 121 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ − = >
Επειδή Δ >0 , η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες .
Οι ρίζες είναι :
1
1,2
2
7 11
x 1
- 7 121 7 11 4
x
7 11 92 2 2 4
x
4 2
− +
= =β ± ∆ − ± − ± 
= = = ⇔ 
− −α ⋅  = = −


6. 4
Παράδειγμα 3ο : Να λύσετε την εξίσωση : 2
4x -4x +1 = 0
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : 2 2
- 4 (-4) 4 4 1 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ =
Επειδή Δ =0 , η εξίσωση έχει διπλή ρίζα :
4 1
x
2 2 4 2
β −
=− =− =
α ⋅
.
Τα παραπάνω θα μπορούσαν και να είχαν αποφευχθεί κιόλας αν βλέπαμε ότι το τριώ-
νυμο είναι ένα τέλειο τετράγωνο : ( )
22 1
4x -4x +1 = 0 2x 1 0 2x 1 0 x
2
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Παράδειγμα 4ο : Να λύσετε την εξίσωση : 2
x +x +10 = 0
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι : 2 2
- 4 1 4 1 10 39 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ = − <
Επειδή Δ < 0 , η εξίσωση είναι αδύνατη και δεν έχει λύση .
Παράδειγμα 5ο : Να λύσετε τις εξισώσεις :
2
5x = 0 , 2
2x - 8 = 0 , 2
2x + 7 = 0 , 2
x = 4x
ΛΥΣΗ
2
5x = 0 x 0⇔ =
2 2 2
2x - 8 = 0 2x 8 x 4 x 2 ή x = -2⇔ = ⇔ = ⇔ =
2 2 2 7
2x + 7 = 0 2x 7 x αδύνατη
4
⇔ =− ⇔ =−
2 2
x 0
x = 4x x - 4x=0 x(x 4) 0 ή
x 4 0 x 4
=

⇔ ⇔ − = ⇔ 
 − = ⇔ =

7. 5
3.ΕΞΙΣΩΣΗ XV=A
Συνοπτικά η λύση τέτοιων εξισώσεων είναι :
v0,x
v ά :
0, ύ
x
v0 ,x
v ό :
v0,x -
 α > = ± α
αν = ρτιος 
α < αδ νατη ν = α ⇒ 
α > = α 
αν = περιττ ς 
α < = α 
Παράδειγμα 6ο : Να επιλυθεί η εξίσωση 4
x 27x 0+ =
ΛΥΣΗ
( )4 3 3 3x 27x 0 x x 27 0 x 0 ή x 27 x 27 x 3+ = ⇒ + = ⇒ = =− ⇒ =− − ⇒ =−
Παράδειγμα 7ο : Να επιλυθεί η εξίσωση 3 2
xλ =λ , για τις διάφορες τιμές του λ.
ΛΥΣΗ
Αν 0λ ≠ , τότε η εξίσωση γίνεται 3
x = λ . Επομένως :
 όταν 0λ ≥ τότε 3
x= λ
 όταν 0λ < τότε 3x =− λ
Αν 0λ = , τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα.
4.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
• Η κανονική μορφή τέτοιων εξισώσεων είναι : v
v 1 0α x +...+ α x + α = 0 ,με ν > 2
• Η μέθοδος λύσης τους είναι η παραγοντοποίηση όπου μετασχηματίζουμε το πολυώ-
νυμο του πρώτου μέλους σε γινόμενο και εφαρμόζω την ιδιότητα
. . 0 0 ή 0 ή 0α β γ= ⇔ α= β= γ= .
• Αν τώρα δούμε μια εξίσωση στην αρχική της μορφή να μας δίνει την δυνατότητα
παραγοντοποίησης το κάνω δίχως 2η σκέψη και δεν εκτελώ τα βασικά βήματα φέρ-
νοντας την στην κανονική της μορφή.
• Άλλες δυνατότητες για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης είναι η εφαρμογή της τε-
χνικής του «θέτω» ανάγοντας την αρχική εξίσωση σε υποδιαιστερο βαθμό.
Κλασικό παράδειγμα του θέτω είναι οι εξισώσεις 4ου βαθμού (διτετράγωνες) με
μορφή 4 2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ όπου θέτουμε 2
x y= .

8. 6
Παράδειγμα 8ο : Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( )2
x x 5 2x x 5 x 5 0− − − + − =.
ΛΥΣΗ
( ) ( )2
x x 5 2x x 5 x 5 0− − − + − =⇔ ( )( )2
x 5 x 2x 1 0− − + =⇔
( )( )
2
x 5 x 1 0− − =⇔ x 5 0− = ή ( )
2
x 1 0− =⇔ x 5= ή x 1 0− = (χ=1)
Παράδειγμα 9ο : Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 5+ =− + + .
ΛΥΣΗ
( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 5+ =− + + ⇔ ( ) ( )( )
2
x 1 x 1 x 5 0+ + + + =⇔
( )( )x 1 x 1 x 5 0+ + + + = ⇔ ( )( )x 1 2x 6 0+ + =⇔ ( )( )2 x 1 x 3 0+ + =⇔ x 1 0+ =ή
x 3 0+ =⇔ x 1= − ή x 3= −
Παράδειγμα 10ο : Να λυθεί η εξίσωση : 4 2
9x -37x + 4 = 0
ΛΥΣΗ
Έχουμε διτετράγωνη οπότε εφαρμόζω τεχνική θέτω:
( )
2
θέτω χ y24 2 2 2 2
y 4
9x -37x + 4 = 0 9 x -37x + 4 = 0 9y 37y 4 0 ή
1y
9
=
 =

⇔ ⇔ − + = ⇔ 

=
Οπότε :
• Αν y = 4 τότε : 2
y 4 x 4 x 2 ή x - 2= ⇔ = ⇔ = =
• Αν
1
y =
9
τότε : 21 1 1 1
y x x ή x -
9 9 3 3
= ⇔ = ⇔ = =

9. 7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
1)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α)
7x 4 3x 5
x
5 2
+ −
− =
β)
5x 3 3y
y 5
2 4
−
− = −
γ)
x 1 23 x 4 x
7
7 5 4
− − +
+ =−
δ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 x
8 x x 1 x 6
6 3 2 3
− + − = + −
ε) ( ) ( )
1 1
2x 19 2x 2x 11
2 2
− − = −
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
2)Να λυθούν οι εξισώσεις :
α) 2
2x x 1 0+ + =
β) 2
2x 6x 4 0− + − =
γ) ( ) 2
2x x 3 x 6− = −
δ) ( )2
x 2 1 x 2 0+ − − =
ε) 2
7x 4x 1 0− + =
στ) 2
2x 6x 3 0+ + =
3)Να λυθούν χωρίς την χρήση τυπολογίου οι παρακάτω εξισώσεις :
α) 2
2x 1 0+ =
β) 2
2x 4 0− =
γ) 2
2x x 0+ =
δ) ( ) 2
2x x 3 x− =
ε) 2
x 3x 2 0− + =
στ) 2
x 7x 12 0− + =
ζ) 2
x x 6 0+ − =
η) 2
x x 2 0+ − =
θ) ( ) ( ) ( )2
x – 4 2x x – 4 x – 4 0x + + =
ι) ( )( )2
x – 2) – 2 x 4 x 0( − + =
ια)
2 2
x 1) x –1 0( + + =
ιβ) ( ) 2
3 x 1 x 0− =
4)Να λυθούν οι εξισώσεις:
α) ( )2 2
7x 5x 9 3 2x 1− += +
β) ( )
2
2x 1 5(x 2) 6+ + + =
γ) ( ) ( )
2 2
x 1 3x(x 2) x 1+ − + = −
δ) ( )( )2
3x 3 x 1 2x 1 2x 1− − − = +
ε) ( )
22
7x 3x 1 x 2− − = +
στ)
2
x 2
x 3
2
−
− =−
ζ)
2
2 2x 1 x
x x
6 3
−
− =−

10. 8
ΕΞΙΣΩΣΗ XV=A
5)Να λυθούν οι εξισώσεις :
α) 5
x 0=
β) 11
x 1= −
γ) 5
x 2=
δ) 3
x 13= −
ε) 6
x 8= −
στ) 5
32x 1 0− =
ζ) 4
16x 81 0− =
η) 3
27x 8 0+ =
θ) 8
256x 1 0+ =
6)Να λυθούν οι εξισώσεις :
α) 7 3
7x 7x 0− =
β) 10 5
x 32x= 3
x x 0− =
γ) 8 4
81x 16x 0− =
δ) 9 3
64x 27x 0+ =
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
7)Να λυθούν οι εξισώσεις :
α) 3 2
x 2x 9x 18 0− − + =
β) 3 2
2x x 8x 4 0− − + =
γ) 3 2
x x x 1− = −
δ) 5 4
x x x 1+ = +
8)Να λυθούν οι εξισώσεις :
α) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
x 1 x 9 x 3 x 1− ⋅ − = + ⋅ −
β) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
5x 10 x 1 3x 6 x 1− ⋅ − = − ⋅ −
γ) ( )3 3 3
x x 30 3x+ =
9)Να λυθούν με την τεχνική του «θέτω» οι παρακάτω εξισώσεις
α) ( ) ( )
6 3
x 2 8 x 2 0+ − + =
β) ( )
24
(x - 4) 7 x 4 6 0− − + =
γ) ( )2 2 2
(x - x ) 8 x - x 12 0− + =
δ) 8 4
16x 17x 1 0− + =
ε) 6 3
x 9x 8 0− + =
στ) 4 2
x 2x 15 0− − =
ζ) 4 2
x 6x 8 0− + =
η) 4 2
x 3x 4 0− − =
θ) 4 2
x 2x 15 0− − =
ι) 4 2
6y 17y 12+ =−

11. 9
2ος
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ ΣΤΟΧΟΣ
1.ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ
Για την επίλυσης ρητών ή κλασματικών εξισώσεων που ανάγονται σε επίλυση εξισώ-
σεων 1ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
 Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές και βρίσκουμε το ΕΚΠ αυτών.
 Λύνουμε την εξίσωση ΕΚΠ=0 και θέτουμε τις ρίζες αυτών ως περιορισμό για να ‘χει
νόημα η εξίσωση.
 Κάνω απαλοιφή παρονομαστών
 Κάνω απαλοιφή παρενθέσεων.
 Όλα στο 1ο μέλος.
 Αναγωγές όμοιων όρων.
 Παίρνω την τελική μορφή και λύνω αναλόγου βαθμού.
Προσοχή!!! εξαιρούμε τυχόν ρίζες βάση περιορισμού
Παράδειγμα 11ο : Να λυθεί η εξίσωση : 2
1 3 5
2x 3 3x 2x x
+ =
− −
ΛΥΣΗ
2
1 3 5
2x 3 3x 2x x
+ =⇔
− −
( )
1 3 5
2x 3 x 3 2x x
+ =⇔
− −
( )
1 3 5
2x 3 x 2x 3 x
− =⇔
− −
(ΕΚΠ= ( )x 2x 3 0 x 0− ≠ ⇔ ≠ και
3
x
2
≠ )
( )x 2x 3−
1
2x 3−
( )x 2x 3− −
( )
3
x 2x 3−
x= ( )
5
2x 3
x
− ⇔ ( )x 3 5 2x 3−= − ⇔
x 3 10x 15− = − ⇔
x 10x 3 15− = − ⇔
9x 12− =− ⇔
12 4
x
9 3
= = (δεκτή λύση)

12. 10
Παράδειγμα 12ο : Να λυθεί η εξίσωση :
( )
3 30 3 5
4 2x 8 1 x 2 x 2 2x
+ = +
− − − −
ΛΥΣΗ
( )
3 30 3 5
4 2x 8 1 x 2 x 2 2x
+ = + ⇔
− − − −
( ) ( ) ( )
3 30 3 5
2 2 x 8 1 x 2 x 2 1 x
+ = + ⇔
− − − −
(Πρέπει ( )( )8 1 x 2 x 0− − ≠ )
( )( )
( )
( )( )
( )
3 30
8 2 x 1 x 8 2 x 1 x
2 2 x 8 1 x
− − + − − =
− −
( )( ) ( )( )
( )
3 5
8 2 x 1 x 8 2 x 1 x
2 x 2 1 x
= − − + − − ⇔
− −
( ) ( ) ( ) ( )12 1 x 30 2 x 24 1 x 20 2 x− + − = − + − ⇔
12 12x 60 30x 24 24x 40 20x− + − = − + − ⇔
12x 30x 24x 20x 12 60 24 40− − + + =− − + + ⇔ 2x 8=− ⇔ x 4= −
Παράδειγμα 13ο : Να λυθεί η εξίσωση :
2
x 1
8
x 1 x 1
− =
− −
ΛΥΣΗ
Πρέπει : x 1 0 x 1− ≠ ⇔ ≠ . Έχουμε :
( ) ( ) ( )
( )
− = ⇔ − − − = − ⇔
− − − −
=± ±
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = = =
=
2 2
12 2
1,2
2
x 1 x 1
8 x 1 8 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 78 36 8 6
x 8 x 1 1 x 8x 7 0 x
x 12 2
Η x =1 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού .
Άρα x = 7

13. 11
2.ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
Για την επίλυση των εξισώσεων με απόλυτα διακρίνω τις παρακάτω κατηγορίες :
1Η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εάν ( )A x = κ, όπου ( )A x αλγεβρική παράσταση με μεταβλητή το x και κ ∈  .
Τότε :
Αν 0κ > , έχουμε ( )A x = κ ⇔ ( )xΑ =κ ή ( )A x = −κ
Αν 0κ = , έχουμε ( )A x 0= ⇔ ( )x 0Α =
Αν 0κ < , η εξίσωση είναι αδύνατη
2Η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εάν ( ) ( )A x B x= , όπου ( )A x , ( )B x αλγεβρικές παραστάσεις με μεταβλητή το x .
Τότε :
( ) ( )A x B x= ⇔ ( ) ( )x B xΑ = ή ( ) ( )A x B x= −
3Η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εάν ( ) ( )A x B x= , όπου ( )A x , ( )B x αλγεβρικές παραστάσεις με μεταβλητή το x .
Τότε :
( )B x 0≥ , τότε ( ) ( )x B xΑ = ή ( ) ( )A x B x= −
( )B x 0≥ , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη
4Η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Σε εξισώσεις με δυο η περισσότερα απόλυτα, πρέπει να κάνουμε απαλοιφή απολυτών
τιμών. Σε αυτό μας βοηθάει ο πίνακας πρόσημων των παραστάσεων που βρίσκονται
μέσα στα απόλυτα.
5Η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εξισώσεις της μορφής : 2
αx + β x + γ = 0 , α 0≠
Επειδή
2 2
x = x η αρχική εξίσωση γράφεται
2
x x 0 , 0α + β + γ= α ≠ και εάν
θέσουμε όπου x y , y 0= ≥ γίνεται
2
y y 0 , 0α + β + γ= α ≠ .

14. 12
Παράδειγμα 14ο : Να λυθεί η εξίσωση 2x 3 8− =.
ΛΥΣΗ
11 5
2x 3 8 2x 3 8 ή 2x 3 8 x ή x
2 2
− = ⇒ − = − =− ⇒ = =− .
Παράδειγμα 15ο : Να λυθεί η εξίσωση
3x 1 2 1 3x 5 6x 2
2 6 3
− − − − −
= − .
ΛΥΣΗ
Μετασχηματίζω αρχικά την εξίσωση:
3x 1 2 1 3x 5 6x 2 3x 1 2 3x 1 5 2 3x 1
2 6 3 2 6 3
− − − − − − − − − −
= − ⇒ = −
Θέτω 3x 1 y− = οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται :
y 2 y 5 2y
2 6 3
− −
= − ⇔
y 2 y 5 2y
6 6 6
2 6 3
− −
= − ⇔ ( ) ( )3 y 2 y 2 5 2y− = − −
3y 6 y 10 4y− = − + ⇔ 2y 4− =− ⇔ y 2=
Επίσης :
3x 1 2− =⇔3x 1 2 ή 3x 1 2− = − =− ⇔
1
x 1 ή x
3
= = −
Παράδειγμα 16ο : Να λυθεί η εξίσωση x 3 3x 1− = −
ΛΥΣΗ
Για να ‘χει νόημα η εξίσωση πρέπει :
1
3x 1 0 x
3
− ≥ ⇒ ≥
Τότε :
x 3 3x 1 ή x 3 3x 1− = − − =− + ⇔ ( ) ( )x 1 ή x 1 ή= − απορ = δεκτ

15. 13
Παράδειγμα 17ο : Να λυθεί η εξίσωση : 3 x 1 2 x 2 1+ − − =
ΛΥΣΗ
Βρίσκω που μηδενίζονται τα περιεχόμενα των απολύτων και σχηματίζουμε τον πίνακα
πρόσημων των παραστάσεων χ+1 και χ-2 :
χ −∞ -1 2 +∞
χ+1 - + +
χ-2 - - +
Λύνω τότε την εξίσωση ξεχωριστά σε καθένα από τα παραπάνω διαστήματα :
• Εάν χ<-1 τότε η αρχική εξίσωση γράφετε χωρίς τα απόλυτα :
( ) ( )3 x 1 2 x 2 1 3x 3 2x 4 1 x 8 x 8− − − − + = ⇒ − − + − = ⇒ − = ⇒ = − , δεκτή
• Εάν 1 x 2− ≤ ≤ τότε η αρχική εξίσωση γράφετε χωρίς τα απόλυτα :
( ) ( )
2
3 x 1 2 x 2 1 3x 3 2x 4 1 5x 2 x
5
+ − − + = ⇒ + + − = ⇒ = ⇒ = , δεκτή
• Εάν χ>2 τότε η αρχική εξίσωση γράφετε χωρίς τα απόλυτα :
( ) ( )3 x 1 2 x 2 1 3x 3 2x 4 1 x 6+ − − = ⇒ + − + = ⇒ = − , απορ.
Παράδειγμα 18ο : Να λυθεί η εξίσωση : 2
3x 5 x - 2 = 0−
ΛΥΣΗ
έ x y
22 2
1 2
1
3x - 5 x - 2 0 3 x - 5 x - 2 0 3y 5y 2 0 y 2 ή y
3
θ τω =
= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = = − Επειδή
y x 0= ≥ , δεχόμαστε μόνο τη θετική ρίζα και έτσι έχουμε:
y 2 x 2 x 2 ή x -2= ⇔ = ⇔ = =

16. 14
3.ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Α’ & Β’ ΒΑΘΜΟΥ
Παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού ονομάζεται η εξίσωση x 0α + β = της οποίας ένας
τουλάχιστον από τους συντελεστές της α ή β γ εκφράζεται με γράμμα το οποίο καλείται
παράμετρος. Για την επίλυση παραμετρικών εξισώσεων 1ου βαθμού ακολουθούμε τα
παρακάτω βήματα:
• Κάνουμε πράξεις και φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή Ax B=
• Παραγοντοποιούμε τους συντελεστές Α και Β.
• Διακρίνουμε δυο βασικές περιπτώσεις :
-Για τις τιμές της παραμέτρου όπου A 0≠ τότε η παραμετρική εξίσωση θα έχει μο-
ναδική λύση την
B
x
A
=
-Για τις παραμέτρου όπου A 0= τότε αντικαθιστούμε στην εξίσωση και προκύπτει
αναλόγως μια εξίσωση αδύνατη ή αόριστη.
Παράδειγμα 19ο : Να λυθεί η εξίσωση : λ2χ-1=χ+λ ,λ∈R (ελεύθερη παράμετρος).
ΛΥΣΗ
Φέρνω αρχικά την εξίσωση στην κανονική της μορφή (δηλαδή αχ=β) και διακρίνω πε-
ριπτώσεις :
( ) ( )( )2 2 2
λ x -1 = x + λ λ x - x = λ +1 λ 1 x λ +1 λ -1 λ +1 x = λ +1⇒ ⇒ − = ⇒
1) Εάν (λ-1)(λ+1) 0 λ 1 και λ -1≠ ⇔ ≠ ≠ τότε έχω μοναδική λύση :
( )( )
λ +1 1
x= x=
λ -1 λ +1 λ -1
⇒
2) Αν (λ-1)(λ+1)=0 λ=1 ή λ=-1⇔ τότε έχω :
α) Για λ=1 η εξίσωση γίνεται : 0x=2 αδύνατη.
β) Για λ=-1 η εξίσωση γίνεται : 0x=0 αόριστη.

17. 15
Παράδειγμα 20ο : Να λυθεί η εξίσωση : ( )2
x 2 3 x 1µ − − µ= + .
ΛΥΣΗ
( )2
x 2 3 x 1µ − − µ= + ⇔
2 2
x 2 3 x 1µ − µ − µ= + ⇔ 2 2
x x 2 3 1µ − = µ + µ + ⇔
( ) ( )2 1
1 x 2 1
2
 
µ − = µ + µ + ⇔ 
 
( )( ) ( )( )1 1 x 2 1 1µ − µ + = µ + µ + .
1)Αν ( )( )1 1 0µ − µ + ≠ ⇒ 1µ ≠ και 1µ ≠ − τότε έχω :
( )( )
( )( )
2 1 1
x
1 1
µ + µ +
=
µ − µ +
.
2)Αν ( )( )1 1 0 1 ή 1µ − µ + = ⇒ µ = µ = − τότε έχω :
α) Για 1µ = η εξίσωση γίνεται 0x 6= (αδύνατη)
β) Για 1µ = − η εξίσωση γίνεται 0x 0= (αόριστη)
Παραμετρική εξίσωση 2ου βαθμού ονομάζεται η εξίσωση της μορφής
2
x x 0, 0α + β + γ= α ≠ της οποίας ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές της α ή β ή γ
εκφράζεται με γράμμα το οποίο καλείται παράμετρος. Για την επίλυση παραμετρικών
εξισώσεων 2ου βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
• Κάνουμε πράξεις και φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή
2
x x 0α + β + γ = .
• Βρισκω την διακρίνουσα της εξίσωσης.
• Διακρίνω περιπτώσεις για την Δ δηλαδή όταν Δ>0, Δ=0 και Δ<0 και για τις ανάλογες
τιμές της παραμέτρου δίνω στην εξίσωση τις αντίστοιχες λύσεις.
Παράδειγμα 21ο : Να επιλυθεί η εξίσωση: ( )2
2x x= α α − .
ΛΥΣΗ
Φέρνουμε την εξίσωση σε κανονική μορφή κάνοντας τον επιμερισμό και φέρνω όλους
τους όρους στο πρώτο μέλος, διατάσσοντας κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x τους
όρους της εξίσωσης :
( )2 2 2 2 2
2x = α α - x 2x = α - αx 2x + αx - α = 0⇒ ⇒
Η εξίσωση είναι παραμετρική γιατί οι συντελεστές
2
2α = β = α γ = −α περιέχουν
την παράμετρο α, οποτε η διακρίνουσα είναι :
( )2 2 2 2 2 2
Δ = β - 4αγ = α - 4.2. -α = α + 8α = 9α

18. 16
Συνεπώς:
1
2
1,2
2
3 2
4 4 2
39 3
ή
2 2 2 4 4
3 4
4 4
−α + α α α
ρ= = =
−α ± α −β ± ∆ −α ± α −α α
ρ= = = = ⇔ 
⋅ α ⋅  −α − α − α
ρ = = = −α


Παράδειγμα 22ο : Να λύσετε την εξίσωση: 2 2
x -3kx - 10k = 0, k R∈
ΛΥΣΗ
Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι:
( )
22 2 2 2
- 4 (-3k) 4 1 ( 10k ) 49k 7k 0∆ = β αγ = − ⋅ ⋅ − = = ≥
Επειδή Δ 0≥ , η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές . Οι λύσεις είναι:
2 1
1,2
2
3k 7k
x 5k
- ( 3k) 49k 3k 7k 2
x
3k 7k2 2 1 2
x 2k
2
+
= =β ± ∆ − − ± ± 
= = = ⇔ 
−α ⋅  = = −


19. 17
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ
10)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α)
( ) ( )5 x 2 2 x 3
3
x 2 x 3
− −
− =
+ +
β)
2
2
2x 1 7x 1 2x 3x 45
3x 3 6x 6 4x 4
+ − − −
= −
− + −
γ)
1
x 1−
+
1
x 1+
= 2
2
x 1−
δ)
3
x 2+
–
2
x
= 2
x 4
x 2x
−
+
ε) 2
x 1
x 1
+
−
+ 2
2
x 2x 1− +
= 0
στ)
( )
2x 3 x 5 11
6
2x 4 3 x 2 2
− −
−= −
− −
ΑΠΟΛΥΤΑ
11)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α) 3x 1 4− =
β) 2x 1 0+ =
γ) 4x 3 7 0− + =
δ) 2 x 12=
ε) 3 1 x 12− =
στ) 2 3x 1 2 8− + =
ζ) ( )2 x 5 3 4− − =
η)
3 x
3 x
−
+
= 4
θ) 4 x 5 7− =
ι) 3 x 1 2− − =
12)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α) 3 2x 3 4 2x 3 8− − = − +
β) 3 2 x 3 3 x 3 12− + = + −
γ) 2 2x 3 1 7 4 3 2x− + = − −
δ)
x 4
3
+
–
x 4
5
+
=
2
3
ε)
x 2 3 3x 6 2 2 x 1
1
3 9 18
− + − − − −
− = +
στ)
x 2 6 3x 21
3 2 4
− − −
− =
ζ) 3 2x 3 4 2x 3 8− − = − +
13)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α) x 1 x 3− = −
β) x 2 2 x 1− = +
γ) 2
x 2x 1− + = 3x 5−
δ) x 1− x 2− = x 1−
ε) ( )
2 2
x 4 x 16 0− + − =

20. 18
14)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α) x 2 3x 1− = −
β) 2x 1 x 2− = −
γ) 3 2x 1 x 1− = +
δ) 2 1 2x 3 4x− = −
15)Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
α) x 2 - 8 x + 7 = 0
β) x 2 - 3 x - 4 = 0
γ) 2
(x 1) x 1 2 0+ + + − =
δ) ( )x - 1 2 - 4 = 3 x - 1
ε) (2x-1)2- 2x-1- 6 = 0
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
16)Να λύσετε την εξίσωση λ(λ – 1)x = λ – 1 , για τις διάφορες τιμές λ∈ .
17)Να λύσετε την εξίσωση λ(λ – 1)x = 2
λ + λ , για τις διάφορες τιμές λ∈ .
18)Να λυθούν και να διερευνηθούν οι παρακάτω εξισώσεις
α) ( )2 x 7µ − + µ =
β) x 1 xα + α + =
γ) ( )x 8x 2 1 x 10µ + = µ − +
δ) ( )x 1 40 x 5 0− + µ − µ =
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
19)Δίνεται η εξίσωση ( )2
x m 1 x 1 0+ − − = . Αποδείξτε ότι έχει ρίζες για κάθε τιμή της
παραμέτρου m.
20)Αν η εξίσωση x2 - 4x + α = 0 έχει για διπλή ρίζα το 2, τότε ο α ισούται με:
Α. 1 Β. – 1 Γ. 4 Δ. - 4 Ε. 0

21. 19
21)Ποιο είναι το κ ώστε η εξίσωση 6x2 + 7x + κ = 0 να έχει μια ρίζα διπλή;
22)Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση ( )2
x 4x 6 α α-1− + = έχει μια
ρίζα διπλή .
23)Δίνεται η εξίσωση 2x2 + 2x - μ + 3 = 0. Για ποιες τιμές του μ:
α) έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες.
24)Δίνεται η εξίσωση x2 + 6x – 4λ + 1 = 0. Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση έχει :
α) έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες.
25)Να λυθούν και να διερευνηθούν οι εξισώσεις :
α) ( )2
x + λ+1 x 0+ λ =
β) ( ) 2
λ +1 x + λx -1= 0 , 1λ ≠ −
γ) ( ) 2
λ +1 x + λx -1= 0 ,λ ∈ 
26)Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) 2
m 3 x 2mx m 2 0− − + + =για m 3≠
για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου αυτής.
27)Να βρεθεί ο α ∈  ώστε η εξίσωση ( )2
x 2 x 9 0− α + + = να έχει διπλή ρίζα η οποία
και να υπολογιστεί.
28)Αν η εξίσωση ( ) ( )2 2 2
2 2 x 4 7 x 2 0λ − λ − + λ + + λ = έχει ρίζα το -2 τότε να βρεθεί η
τιμή της παραμέτρου λ.
29)Έστω η εξίσωση 2
x 5x 10 0λ + + =(1). Για ποιες τιμές του λ
α) Είναι αδύνατη στο  ;
β) Έχει άνισες ρίζες στο  ;
γ) Δύο ίσες ρίζες στο  ;

22. 20
3ος
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ ΣΤΟΧΟΣ
Θεώρημα
Αν 1 2χ , χ οι ρίζες της εξίσωσης
2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ με S (το άθροισμά τους) και P
(το γινόμενό τους), τότε θα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις :
1 2
β
S = x +x = -
α
και 1 2
γ
P = x x =
α
⋅ (τύποι του Vieta)
Απόδειξη
1 2
β Δ β Δ 2β β
S x x
2α 2α 2α α
− + − − −
= + = + = =−
2
2 2 2
2 2
β Δ β Δ β Δ β β 4αγ γ
P .
2α 2α 4α 4α α
− + − − − − +
= = = =
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (tips &tricks)
1) Αν 1 2χ , χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης
2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ και S,P το άθροισμα
και γινόμενο τους αντίστοιχα, τότε η αρχική εξίσωση μετασχηματίζετε σε
2
x -Sx + P = 0 .
Απόδειξη
Εάν 2 2 2β γ
0 ό αχ βχ γ 0 χ — χ 0 χ Sx P 0
α α
α ≠ τ τε + + = ⇔ + = ⇔ − + =
2) Το είδος ριζών μιας εξίσωσης
2
αx + βx + γ = 0, α 0≠ μπορεί να προβλεφθεί από τον
παρακάτω πίνακα :
• {P < 0} τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες ετερόσημες
• { }Δ 0, P > 0, S > 0≥ ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες θετικές}
• { }Δ 0, P > 0, S < 0≥ ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες αρνητικές}
• { }Δ > 0, P > 0, S > 0 ⇔ {τότε η (1) έχει δύο ρίζες θετικές και άνισες}
• { }Δ > 0, P > 0, S > 0 ⇔ {τότε η (1) έχει δύο ρίζες αρνητικές και άνισες}
• {Δ > 0, S = 0} ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες αντίθετες}
• {Δ > 0, P = 1} ⇔ {τότε η ( 1 ) έχει δύο ρίζες αντίστροφες}

23. 21
3) Μπορούμε να βρούμε τις ρίζες 1χ και 2χ μιας εξίσωσης χωρίς να τη λύσουμε, βρί-
σκοντας δύο αριθμούς με άθροισμα 1 2x +x και γινόμενο 1 2x x⋅
Παράδειγμα
Έστω η εξίσωση 2
x -3x + 2 = 0 ,τότε γινόμενο 2 έχουν οι αριθμοί 1 και 2. Άρα οι
ρίζες της είναι : 1 2χ =1, χ =2
4) Αν γνωρίζουμε τις ρίζες 1 2χ , χ μιας εξίσωσης , τότε μπορούμε να βρούμε την εξί-
σωση αυτή .
Παράδειγμα
Αν μια εξίσωση έχει ρίζες 1 2χ =2 , χ =3 τότε αυτή θα είναι η 2
x -5x + 6 = 0 αφού
1 2S = x +x 2 3 5= + = και 1 2P = x x 2 3 6⋅ = ⋅ =
5) Αν γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών 1χ και 2χ τότε μπορούμε
να βρούμε τους αριθμούς αυτούς λύνοντας το σύστημα 1 2S x x= + και 1 2P x x= ⋅
6) Χρήσιμο είναι να αναφερθούμε στην ισχύ των παρακάτω σχέσεων :
( )
22 2
1 2 1 2 1 2x x x x 2x x+ = + − και ( ) ( )
33 3
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x x x+ = + − +
Παράδειγμα 23ο : Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
x 2x 2 0− − = να
υπολογιστούν οι παραστάσεις:
α) 1 2x x+ β) 1 2x x γ)
1 2
1 1
x x
+ δ) 2 2
1 2x x+ ε) 3 3
1 2x x+ .
ΛΥΣΗ
α) 1 2
2
x x 2
1
β −
+ =− =− =
α
.
β) 1 2
2
x x 2
1
γ −
⋅ == =−
α
.
γ) 2 1
1 2 1 2
x x1 1 2
1
x x x x 2
+
+ = = =−
⋅ −
.
δ) ( ) ( )
22 2 2
1 2 1 2 1 2x x x x 2x x 2 2 2 4 4 8+ = + − ⋅ = − − = + = .
ε) ( ) ( ) ( )
33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 3x x x x 2 3 2 2 8 12 20+ = + − ⋅ + = − ⋅ − ⋅ = + = .

24. 22
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
30)Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων χωρίς να υπολογίσετε την δια-
κρίνουσα τους.
α) x2 + 6x + 8 = 0 β) x2 - 8x + 15 = 0
γ) x2 + x - 12 = 0 δ) 3x2 - 7x + 2 = 0
31)Να σχηματίσετε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς:
α) x1 = 4, x2 = 3 β) x1 = 4, x2 =
1
4
γ) x1 = α + β x2 = α - β δ) x1 = 5 + 2 , x2 = 5 - 2
32)Να βρείτε δύο αριθμούς :
α) με άθροισμα
5
6
και γινόμενο
6
1
β) με άθροισμα 2 και γινόμενο -1
33)Να βρεθεί το κ, όταν η εξίσωση κx2 - 4x - 35 = 0 έχει άθροισμα ριζών ίσο με 1;
34)Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση 2x2 + κ (x - 6) = 0 έχει ρίζες των οποίων το γινόμενο
είναι -
1
2
;
35)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης − − =2
x 6x 7 0 να υπολογιστούν οι παραστά-
σεις:
α) +1 2x x β) 1 2x x γ) +
1 2
1 1
x x
δ) +2 2
1 2x x ε) +3 3
1 2x x .

25. 23
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
§3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΟΥ
ΒΑΘΜΟΥ
ΘΕΜΑ 2ο
Θεμα 2.1 Δίνεται η εξίσωση: ( )2 2
9 x 3λ − =λ − λ , με παράμετρο λ∈R (1)
α)Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ, γράψετε τρείς εξισώσεις.
β)Προσδιορίσετε τις τιμές του λ∈R, ώστε η (1) να έχει μία και μοναδική λύση.
γ)Βρείτε την τιμή του λ∈R, ώστε η μοναδική λύση της (1) να ισούται με 4.
Θεμα 2.2 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( )( )2
1 x 1 2λ − = λ + λ + με παράμετρο λ∈R
α)Να λύσετε την εξίσωση για 1λ = και για 1λ = − .
β)Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας.
Θεμα 2.3 Δίνονται οι παραστάσεις: 2x 4Α= − και x 3Β= − όπου ο x είναι πραγ-
ματικός αριθμός.
α)Για κάθε 2 x 3≤ < να αποδείξετε ότι A B x 1+ = − .
β)Υπάρχει x∈[2,3) ώστε να ισχύει A B 2+ =; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Θεμα 2.4 Δίνεται η παράσταση:
3 5
5 3 5 3
Α= +
− +
α)Να δείξετε ότι: 4Α = .
β)Να λύσετε την εξίσωση: x A 1+ =.
Θεμα 2.5 Δίνεται η εξίσωση: 2
( 3)x 9α + = α − , με παράμετρο α∈R.
α)Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:
i)Όταν 1α =
ii)Όταν 3α = −
β)Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσ-
διορίσετε τη λύση αυτή.

26. 24
§3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΘΕΜΑ 2ο
Θεμα 2.6 Δίνεται η εξίσωση ( )2
x 2 x 4 1 0− λ + λ − = , με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.
β)Αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R.
γ)Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ
ισχύει: 1 2 1 2x x x x+ = ⋅ .
Θεμα 2.7
α)Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 3− =.
β)Αν α,β με α < β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την
εξίσωση 2
x x 3 0α ⋅ + β ⋅ + = .
Θεμα 2.8
α)Να λύσετε την εξίσωση x 2 3− =
β)Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του παρα-
πάνω ερωτήματος.
Θεμα 2.9 Δίνεται η εξίσωση ( )2
x 2 x 4 1 0+ λ + λ − = , με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης.
β)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R.
γ)Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ
ισχύει: ( )
2
1 2 1 2x x x x 5 0+ + ⋅ + =
Θεμα 2.10 Δίνονται οι παραστάσεις
1 x
A
x 1
+
=
−
και 2
2
B
x x
=
−
, όπου ο x είναι πραγμα-
τικός αριθμός.
α)Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x 1≠ και
x 0≠ .
β)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A B= .
Θεμα 2.11
α)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 2
2x 10x 12− + =
β)Να λύσετε την εξίσωση:
2
2x 10x 12
0
x 2
− + −
=
−

27. 25
Θεμα 2.12 Δίνεται η παράσταση:
2
2
x 4x 4
2x 3x 2
− +
Κ =
− −
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2
2x 3x 2− − .
β)Για ποιες τιμές του x∈R ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας.
γ)Να απλοποιήσετε την παράσταση K.
Θεμα 2.13 Δίνονται οι αριθμοί:
1
A
5 5
=
+
και
1
B
5 5
=
−
α)Δείξτε ότι:
1
A B
2
+ =
β)Δείξτε ότι :
1
A B
20
⋅ =
Θεμα 2.14 Δίνεται το τριώνυμο 2
x x 5λ + λ − , όπου λ∈R.
α)Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός 0x 1= , να προσδιορίσετε την τιμή του λ.
β)Για 3λ = , να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.
Θεμα 2.15 Δίνεται το τριώνυμο: 2
2x 5x 1+ −
α)Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, 1x και β)Να βρείτε την
τιμή των παραστάσεων: 1 2x x+ , 1 2x x⋅ και
1 2
1 1
x x
+
γ)Να προσδιορίσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς
1
1
x
και
2
1
x
Θεμα 2.16 Δίνεται το τριώνυμο ( )2
x 3 1 x 3− + − + .
α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: ( )
2
3 1∆= +
β)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.
Θεμα 2.17
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2
3x 2x 1− − .
β)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση: ( ) 2
x 1
A x
3x 2x 1
−
=
− −
και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε.
γ)Να λύσετε την εξίσωση: ( )A x 1=

28. 26
Θεμα 2.18 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν : 2α + β = και
2 2
30α β + αβ = −
α)Να αποδείξετε ότι: 15α ⋅β = − .
β)Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους
βρείτε.
Θεμα 2.19 Δίνεται η εξίσωση ( )2
x 1 x 6 0− λ − + = , (1) με παράμετρο λ∈R.
α)Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.
β)Για 1λ = να λύσετε την εξίσωση (1)
Θεμα 2.20 Δίνεται η εξίσωση: 2
x ( 1)x 1 0,λ − λ − − = με παράμετρο 0λ ≠ .
α)Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό −2. β)Να
αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 0λ ≠ .
Θεμα 2.21 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 4α ⋅β = και
2 2
20α β + αβ = .
α)Να αποδείξετε ότι: 5α + β = .
β)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους
βρείτε.
Θεμα 2.22 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 1α + β = − και
3 2 2 3
2 12α β + α β + αβ = −
α)Να αποδείξετε ότι: 12α ⋅β = − .
β)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους
βρείτε.
Θεμα 2.23
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του x η παράσταση
2
2
2x 1 1
x x 1 x
−
Π= +
− −
έχει νόημα πραγμα-
τικού αριθμού.
β)Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση:
2
2
2x 1 1
0
x x 1 x
−
+ =
− −

29. 27
Θεμα 2.24 Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 20 cmΠ = και εμβαδόν 2
E 24 cm= .
α)Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών
αυτού του ορθογωνίου.
β)Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.
Θεμα 2.25
Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε: 12α + β = και 2 2
272α + β = .
α)Με τη βοήθεια της ταυτότητας 2 2 2
( ) 2α + β = α + αβ + β , να δείξετε ότι: 64α ⋅β = − .
β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς α, β.
γ)Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α, β
Θεμα 2.26 Δίνονται οι αριθμοί:
1
3 7
Α =
−
,
1
3 7
Β =
+
α)Να δείξετε ότι: 3Α + Β = και
1
2
Α ⋅ Β =
β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α,Β.
Θεμα 2.27 Το πάτωμα του εργαστήριου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχή-
ματος ορθογωνίου με διαστάσεις (x 1)+ μέτρα και x μέτρα.
α)Να γράψετε με τη βοήθεια του x την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος.
β)Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90 τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε
τις διαστάσεις του.
Θεμα 2.28 Δίνεται το τριώνυμο: 2
x x 2− κ − , με κ∈R
α)Να αποδείξετε ότι 0∆ > για κάθε κ∈R, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου.
β)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2
x 3x 2 0− − = (1),
i)Βρείτε το άθροισμα 1 2S x x= + και το γινόμενο 1P x= ⋅ 2x των ριζών της (1)
ii)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες 1ρ , 2ρ , όπου 1 12xρ = και
2 22xρ = .

30. 28
ΘΕΜΑ 4ο
Θεμα 4.1 Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερ-
μάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντιστοίχους χρόνους (σε λεπτά) At , Bt , tΓ και t∆ ,
για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: A Bt t< , A Bt 2t
t
3
Γ
+
= και A Bt t t t∆ ∆− = − .
α)i)Να δείξετε ότι: A Bt t
t
2
∆
+
=
ii)Να βρείτε τη σειρά με την οποία τερματίσανε οι αθλητές.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει: A Bt t 6+ =και A Bt t 8⋅ =
i)Να γράψετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς At και Bt
ii)Bρείτε τους χρόνους τερματισμού των τεσσάρων αθλητών.
Θεμα 4.2 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( )2 2 2
x 1 x 1 0λ − λ − λ − + λ − = , (1) με παράμετρο λ∈R
α)Να βρεθούν οι τιμές του λ∈R, για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού. β)Να
αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ∈R που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1) παίρνει τη
μορφή: ( )2
x 1 x 1 0λ − λ + + =
γ)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ∈R που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1) έχει δυο
ρίζες πραγματικές και άνισες.
δ)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθμού.
Θεμα 4.3 Δίνεται η εξίσωση 2 2
x 4x 2 0− + − λ = (1) με παράμετρο λ∈R.
α)Αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ∈R, η (1) έχει δυο ρίζες άνισες.
β)Αν 1x και 2x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):
i)Να βρείτε το 1 2S x x= + .
ii)Να βρείτε το 1 2P x x= ⋅ ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ.
γ)Αν η μια ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 3+ τότε:
i)να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 3−
ii)να βρείτε το λ.

31. 29
Θεμα 4.4 Δίνεται το τριώνυμο: ( )2 2
x 1 xλ − λ + + λ , λ∈R−{0}
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει
ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R−{0}
β)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα 1 2S x x= + συναρ-
τήσει του 0λ ≠ και να βρείτε την τιμή του γινομένου 1 2P x x= ⋅ των ρίζων.
γ)Αν 0λ < , τότε:
i)το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές;
ii)να αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x 2x x+ ≥ , με 1x , 2x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου.
Θεμα 4.5 Δίνεται το τριώνυμο: ( ) ( )2 2
f x =λx - λ +1 x + λ , με λ>0
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει
ρίζες θετικές για κάθε 0λ > .
β)Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλο-
γράμμου, τότε:
i)να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.
ii)να βρείτε την περίμετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να αποδείξετε ότι
4Π ≥ για κάθε 0λ > .
iii)για την τιμή του λ που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι συμπε-
ραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Θεμα 4.6
α)Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2
x 7x 12 0− + =. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει
τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.
β)Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετρά-
γωνη εξίσωση: 4 2
x x 0+ β + γ = (1) με παραμέτρους β, γ∈R. Να δείξετε ότι: Αν 0β < ,
0γ > και 2
4 0β − γ > , τότε η εξίσωση (1) έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
Θεμα 4.7 Δίνεται η εξίσωση: 2
x 5x 0α − + α = , με παράμετρο 0α ≠ .
α)Να αποδείξετε ότι αν
5
2
α ≤ , τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς, που
είναι αντίστροφοι μεταξύ τους.
β)Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν 2α = .
γ)Να λύσετε την εξίσωση:
2
1 1
2 x 5 x 2 0
x x
   
+ − + + =   
   

32. 30
Θεμα 4.8 Δίνεται η εξίσωση: 1 2S x x= + με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (1).
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ∈R.
γ)Αν 1x , 2x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να βρεθούν οι τιμές του λ∈R για τις
οποίες ισχύει: ( )1 .
Θεμα 4.9
α)Να λύσετε την εξίσωση: 2
x 3x 4 0− − = (1).
β)Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει: 2 2
3 4 0α − αβ − β = .
i)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός
α
β
είναι λύση της εξίσωσης (1).
ii)Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β.
Θεμα 4.10 Δίνεται η εξίσωση: 2 2
x x 0− + λ − λ = με παράμετρο λ∈R (1)
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες
πραγματικές για κάθε λ∈R
β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες;
γ)Αν
1
2
λ ≠ και 1x , 2x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες
τιμές του λ ισχύει ( )
( )1 2
1 2
1
d x ,x
d x ,x
=
Θεμα 4.11 Δίνεται η εξίσωση 2
x x 0− β + γ = με β, γ πραγματικούς αριθμούς.
Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 1 2x x 4+ =, τότε:
α)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β.
β)Να αποδείξετε ότι 4γ < .
γ)Δίνεται επιπλέον η εξίσωση (1)
Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση (1)
δεν έχει πραγματικές ρίζες.

33. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

34. 31
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ)
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ
1) Εισαγωγή
2) Μέθοδοι επίλυσης βασικών ανισώσεων:
• α’ βαθμού
• β’ βαθμού
• ανωτέρου βαθμού
3) Τεχνικές επίλυσης ειδικών μορφών ανισώσεων:
• συστήματα ανισώσεων
• με απόλυτα
• κλασματικές ανισώσεις
1ΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ ΣΤΟΧΟΣ
Αρχικά ας επισημάνουμε ορισμένα βασικά ερωτήματα στις ανισώσεις όπως:
 Τι καλείται λύση μιας ανίσωσης?
Λύση μιας ανίσωσης καλείται ένα σύνολο αριθμών όπου ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο
διάστημα. Κάθε αριθμός αυτού του διαστήματος επαληθεύει την αρχική ανίσωση.
 Ποιες οι δυνατές επιλογές συμβολισμού της λύσης?
Η λύση μιας ανίσωσης μπορεί να δοθεί με 3 τρόπους, γραφικά – ανισότητα – διαστήματα
ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
xα ≤ ≤ β x ∈ [ ],α β
xα ≤ < β x ∈ [ ),α β
xα < ≤ β x ∈ ( ],α β
xα < < β x ∈ ( ),α β
x ≥ α x ∈ [ ),α +∞
x > α x ∈ ( ),α +∞
x ≤ α x ∈ ( ],−∞ α
x < α x ∈ ( ),−∞ α

35. 32
 Ποια τα δικαιώματά μας κατά την διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης?
Τα δικαιώματα μας στις ανισότητες είναι όλα εκείνα τα στοιχεία τα οποία διδαχτήκαμε
εφέτος στο 1ο κεφάλαιο στις ανισοτικές σχέσεις.
 Ποια τα γενικά βήματα επίλυσής τους?
Για να λυθεί μια οποιαδήποτε ανίσωση θα πρέπει αρχικά να την φέρουμε στην κανονική
όπως μορφή ακολουθώντας τα γενικά βήματα τα οποία όπως οδηγούν στην τελική όπως
μορφή.
Τα βήματα είναι :
• Απαλοιφή αριθμητικών παρονομαστών.
• Απαλοιφή παρενθέσεων.
• Όλα στο 1ο μέλος.
• Αναγωγές όμοιων όρων.
• Τελική μορφή ή αλλιώς κανονική μορφή.
•
ΣΧΟΛΙΟ
Τα βήματα επίλυσης παρακάμπτονται ή προσαρμόζονται όταν σε μια ανίσωση μπορώ:
• να παραγοντοποιήσω εξ αρχής.
• να εφαρμόσω την τεχνική του “θέτω” όπως ονομάζεται μετασχηματίζοντας την αρ-
χική σε μια απλούστερη μορφή.
• να εφαρμόσω όπως τυχόν βασικές αρχές

36. 33
2ΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ ΣΤΟΧΟΣ
1.AΝΙΣΩΣΕΙΣ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
ΟΡΙΣΜΟΣ
Κάθε ανίσωση της μορφής x 0 ή 0 , Rα + β > < µε α β ∈ καλείται ανίσωση α’ βαθμού.
ΛΥΣΗ
Η λύση της δίνεται ως εξής :
0 ό x
x 0 x 0 ό x ( ά ά)
0 ό
0 ό :
0 ύ
 β
αν α > τ τε > −
α
 β
α + β > ⇒ α > −β ⇒ αν α < τ τε < − αλλ ζει η ϕορ
α
 αν β ≥ α ριστη
αν α= τ τε 
αν β < αδ νατη
Αντίστοιχα δίνεται και η λύση της x 0.α + β <
Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η ανίσωση:
( ) ( )3 x 1 2 x 3 133
4
10 5 10
+ − +
− < +
ΛΥΣΗ
( ) ( )3 x 1 2 x 3 133
4
10 5 10
+ − +
− < + ⇒
33 3x 3 2x 6 1
4
10 5 10
+ − +
− < + ⇒
33 3x 3 2x 5
4
10 5 10
+ −
− < + ⇒
33 3x 3 2x 5
10 10 10 4 10
10 5 10
+ −
⋅ − ⋅ < ⋅ + ⋅ ⇒
( ) ( )33 2 3x 3 40 2x 5− + < + − ⇒ 33 6x 6 40 2x 5− − < + − ⇒
6x 2x 40 5 33 6− − < − − + ⇒ 8x 38 46− < − + ⇒
8x 8− < ⇒
8x 8
8 8
−
>
− −
⇒χ>-1

37. 34
2.ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
ΟΡΙΣΜΟΣ
Τριώνυμο 2ου βαθμού ή απλά τριώνυμο ονομάζεται η παράσταση
2
αx +βx + γ, α 0≠
ΣΧΟΛΙΑ
 Διακρίνουσα του τριωνύμου ονομάζεται η διακρίνουσα της αντίστοιχης εξίσωσης δη-
λαδή της
2
x x 0α + β + γ =
 Ρίζες του τριωνύμου ονομάζονται οι ρίζες επίσης της αντίστοιχης εξίσωσης του.
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
Κάθε τριώνυμο ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας μπορεί και γράφετε:
 Αν Δ>0 και 1 2x ,x οι ρίζες του τριωνύμου τότε: ( )( )2
1 2αx +βx + γ = α x - x x - x
 Αν Δ=0 και ox η μία διπλή ρίζα του τριωνύμου τότε: ( )
22
0αx +βx + γ = α x - x
 Αν Δ<0 τότε: δεν παραγοντοποιείται
Παράδειγμα 2ο : Παραγοντοποιήστε τα τριώνυμα: α) 2
2x x 1− − , β) 21
x 4x 8
2
− + .
ΛΥΣΗ
α)Έχουμε ( ) ( )
22
4 1 4 2 1 1 8 9 0∆ = β − αγ = − − ⋅ ⋅ − = + = > , οπότε το τριώνυμο έχει δυο
ρίζες τις
( )
1,2
1 9 1 3
x
2 2 2 4
− − ±−β ± ∆ ±
= = = ⇒
α ⋅
1x 1= ή 2
1
x
2
= .
Επομένως ( ) ( )( )2 1
2x x 1 2 x 1 x x 1 2x 1
2
 
− − = − + = − + 
 
.
β)Έχουμε ( )
22 1
4 4 4 8 16 16 0
2
∆ = β − αγ = − − ⋅ ⋅ = − = , οπότε το τριώνυμο έχει διπλή
ρίζα την
( )
0
4 4
x 4
12 12
2
− −−β
= = = =
α ⋅
.
Επομένως : ( )
221 1
x 4x 8 x 4
2 2
− + = − .

38. 35
Παράδειγμα 3ο : Να απλοποιηθεί η παράσταση :
2
2
x 7x 12
A
2x 5x 3
− +
=
− −
.
ΛΥΣΗ
Το τριώνυμο 2
x 7x 12− + έχει ρίζες 1x 3= και 2x 4= , ενώ το τριώνυμο 2
2x 5x 3− −
έχει ρίζες 1x 3= και 2
1
x
2
= − .
Επομένως:
( )( )
( )
x 3 x 4 x 4
A
1 2x 1
2 x 3 x
2
− − −
= =
+ 
− + 
 
.
Προσοχή!!!
Θα πρέπει να τονίσουμε ότι η παράσταση Α ορίζεται εάν χ≠3 και χ≠-1/2.
Παράδειγμα 4ο : Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : 2 2
2κ − κλ − λ με , Rκ λ ∈
ΛΥΣΗ
Θεωρώ την δοθείσα παράσταση ως ένα τριώνυμο με μεταβλητή το κ.
Τότε θα έχω : ( ) ( )2 2 2 2 2
4 1 2 8 9 0∆ = −λ − ⋅ ⋅ − λ = λ + λ = λ ≥ .
Έτσι οι ρίζες του τριωνύμου είναι:
( ) 2
1,2
- -λ ± 9λ λ 3λ
κ= =
2.1 2
±
⇒ 1κ = 2λ ή 2κ = -λ .
Επομένως ( )( )2 2
κ - κλ - 2λ = κ - 2λ κ + λ .
Παράδειγμα 5ο : Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο: ( )2
2x 2 x+ λ − κ − κλ .
ΛΥΣΗ
Βρίσκω αρχικά την διακρίνουσα του τριωνύμου :
( ) ( )
22 2 2 2 2
4 2 4 2 4 4 8 4 4∆ = β − αγ = λ − κ − ⋅ ⋅ −κλ = λ − κλ + κ + κλ = λ + κλ + κ =
( ) ( )
2 22
2 2 2 2 0= λ + ⋅ λ ⋅ κ + κ = λ + κ ≥
Οπότε το τριώνυμο έχει δυο ρίζες :
( ) ( ) ( )
2
1,2
2 2 2 2
x
2 2 2 4
− λ − κ ± λ + κ −λ + κ ± λ + κ−β ± ∆
= = = ⇒
α ⋅
1
2 2
x
4
−λ + κ + λ + κ
= ή 1
2 2
x
4
−λ + κ − λ − κ
= ⇒ 1
4
x
4
κ
= ή 2
2
x
4
− λ
= ⇒ 1x = κ ή 2x
2
λ
= −
Επομένως : ( ) ( ) ( )( )2
2x 2 x 2 x x x 2x
2
λ 
+ λ − κ − κλ= − κ + = − κ + λ 
 
.

39. 36
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ανίσωση β’ βαθμού καλείται κάθε ανίσωση της μορφής:
2
x x 0 ή 0, 0α + β + γ > < µε α ≠
ΛΥΣΗ
Η λύση μιας τέτοιας ανίσωσης βασίζετε σε 3 απλά βήματα :
 Στην λύση της αντίστοιχη εξίσωσης β’ βαθμού.
 Στην ανεύρεση πρoσήμου του αντίστοιχου τριωνύμου βάση του παρακάτω πίνακα
Αν Δ>0 και x1, x2 οι ρίζες του τριωνύμου, τότε:
χ −∞ 1x 2x +∞
2
x xα + β + γ Ομόσημο του α 0 Ετερόσημο του α 0 Ομόσημο του α
Αν Δ=0 και ox η μία διπλή ρίζα του τριωνύμου, τότε:
χ −∞ ox +∞
2
x xα + β + γ Ομόσημο του α 0 Ομόσημο του α
Αν Δ<0 τότε:
χ −∞ +∞
2
x xα + β + γ Ομόσημο του α
 Και στην τελική απόφαση (λύση της αρχικής ανίσωσης) βλέποντας τον πίνακα.
Παράδειγμα 6ο : Να βρεθεί γενικά το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων:
α) 2
2x 2x 4− − β) 2
x 3x 10− + + γ) 2
3x 6x 3− + − δ) 2
x 4x 8+ +
ΛΥΣΗ
α) ( ) ( )
2
2 4 2 4 4 32 36∆ = − − ⋅ ⋅ − = + =
( ) 1
1,2
2
2 6 8
x 2
2 36 2 6 4 4x
2 6 42 2 4
x 1
4 4
+
= = =− − ± ± 
= = 
− −⋅  = = = −

χ −∞ -1 2 +∞
2
2x 2x 4− − + 0 - 0 +

40. 37
β) ( )2
3 4 1 10 9 40 49∆= − ⋅ − ⋅ = + =
( )
1
1,2
2
3 7 4
x 2
3 49 3 7 2 2
x
3 7 102 1 2
x 5
2 2
− +
= = = −− ± − ±  − −
= = 
− − −⋅ − − = = =
 − −
χ −∞ -2 5 +∞
2
x 3x 10− + + - 0 + 0 -
γ) ( ) ( )2
6 4 3 3 36 36 0∆= − ⋅ − ⋅ − = − = ,
( )o
6 6
x 1
2 3 6
− −
= = =
⋅ − −
χ −∞ 1 +∞
2
3x 6x 3− + − - 0 -
δ) 2
4 4 1 8 16 32 16∆ = − ⋅ ⋅ = − = −
χ −∞ +∞
2
x 4x 8+ + +
Παράδειγμα 7ο : Να λυθούν οι ανισώσεις:
α) 2
2x 2x 4 0− − < , β) 2
x 3x 10 0− + + ≤ , γ) 2
3x 6x 3 0− + − ≥ , δ) 2
x 4x 8 0+ + >
ΛΥΣΗ
α) ( ) ( )
2
2 4 2 4 4 32 36∆ = − − ⋅ ⋅ − = + =
( ) 1
1,2
2
2 6 8
x 2
2 36 2 6 4 4x
2 6 42 2 4
x 1
4 4
+
= = =− − ± ± 
= = 
− −⋅  = = = −

χ −∞ -1 2 +∞
2
2x 2x 4− − + 0 - 0 +
Συνεπώς 1 x 2− < < ή ( )x 1,2∈ −

41. 38
β) ( )2
3 4 1 10 9 40 49∆= − ⋅ − ⋅ = + =
( )
1
1,2
2
3 7 4
x 2
3 49 3 7 2 2
x
3 7 102 1 2
x 5
2 2
− +
= = = −− ± − ±  − −
= = 
− − −⋅ − − = = =
 − −
χ −∞ -2 5 +∞
2
x 3x 10− + + - 0 + 0 -
Συνεπώς x 2≤ − ή x 5≥ ή ( ] [ )x , 2 5,∈ −∞ − ∪ +∞
γ) ( ) ( )2
6 4 3 3 36 36 0∆= − ⋅ − ⋅ − = − = ,
( )o
6 6
x 1
2 3 6
− −
= = =
⋅ − −
χ −∞ 1 +∞
2
3x 6x 3− + − - 0 -
Συνεπώς η λύση της ανίσωσης είναι μόνο το χ=1
δ) 2
4 4 1 8 16 32 16∆ = − ⋅ ⋅ = − = −
χ −∞ +∞
2
x 4x 8+ + +
Συνεπώς x ∈  ή αόριστη ή ταυτότητα
Παράδειγμα 8ο : Δίνεται η εξίσωση ( )2 2
x - λ+3 x + λ = 0 , όπου λ ∈ 
α) Για τις διάφορες τιμές του λ ∈ , να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου 2
-3λ + 6λ + 9
β) Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λ το πλήθος των ριζών της δοσμένης εξίσωσης.
ΛΥΣΗ
α) ( )2
6 4 3 9 36 108 144∆= − ⋅ − ⋅ = + =
( )
1
1,2
2
6 12 6
1
6 144 6 12 6 6
6 12 182 3 6
3
6 6
− +
λ = = =−− ± − ±  − −
λ= = = 
− − −⋅ − − λ= = =
 − −

42. 39
χ −∞ -1 3 +∞
2
-3λ + 6λ + 9 - 0 + 0 -
β) ( )
2 2 2 2 2
Δ = λ + 3 - 4.1.λ = λ + 6λ + 9 - 4λ = -3λ + 6λ + 9
• Για λ < -1 ή λ > 3 τότε 0∆ < συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη.
• Για 1< λ < 3− τότε 0∆ > συνεπώς η εξίσωση έχει 2 ρίζες άνισες.
• Για λ=-1 ή λ=3 τότε 0∆ = συνεπώς η εξίσωση έχει 1 ρίζα διπλή.
Παράδειγμα 9ο : Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )2
λ - 2 x + 2 λ - 2 x - λ =0 .
Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε:
α) η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες
β) η εξίσωση να είναι αδύνατη
ΛΥΣΗ
Καταρχάς διακρίνουμε 2 βασικές περιπτώσεις για την αρχική εξίσωση
Αν λ=2 τότε η εξίσωση γίνεται 2
0x 0x 2 0+ − = δηλαδή 2 0− = , η οποία είναι αδύ-
νατη.
Αν λ≠2 τότε έχω εξίσωση β’ βαθμού με διακρίνουσα :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 2 4 2 4 4 4 4 2 4 16 16 4 8∆ = λ − − λ − ⋅ −λ = λ − λ + + λ λ − = λ − λ + + λ − λ =
( )2 2
8 24 16 8 3 2= λ − λ + = λ − λ +
α)Για να έχει η εξίσωση δύο ρίζες άνισες πρέπει 2
3 2 0λ − λ + >
Έτσι: 9 8 1∆= − = , 1,2
3 1
2
±
λ = δηλαδή 1 2λ = ή 2 1λ =
χ −∞ 1 2 +∞
2
3 2λ − λ + + 0 - 0 +
Συνεπώς 1λ < ή 2λ >
β) Για να είναι η εξίσωση αδύνατη πρέπει 1 2< λ ≤ .

43. 40
3.ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΓΕΝΙΚΑ
Κάθε ανίσωση με βαθμό μεγαλύτερο από 2 καλείται γενικά ανωτέρου.
Η λύση μιας τέτοιας ανίσωσης στηρίζεται :
 στην παραγοντοποίηση παραγόντων 1ου και 2ου βαθμού
 στην μελέτη προσήμου κάθε παράγοντα χωριστά
 στην δημιουργία ενός συνολικού πίνακα πρόσημου αυτών
 και στο τελικό συμπέρασμα (λύση) από την παρατήρηση του πίνακα
ΕΙΔΙΚΟΤΕΡΑ
Αναλυτικότερα έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x)=Α(x)·Β(x) · … ·
Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όταν οι παράγοντες Α(x), Β(x),.., Φ(x) είναι της μορ-
φής αx+β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής α 2
+ βx x + γ (τριώνυμα).
Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια συνολικά το πρό-
σημο του P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί.
Παράδειγμα 10ο : Βρείτε το πρόσημο του παρακάτω γινομένου
( ) ( )( )( )2 2
P x x 1 x x 6 2x x 1= − + − + +
ΛΥΣΗ
Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής:
• Μελετώ το x - 1 το οποίο είναι :
θετικό για x > 1, μηδέν για x = 1 και αρνητικό για x < 1.
• Μελετώ το πρόσημο του x2 + x - 6 το οποίο έχει ρίζες x = -3 και x = 2
• Μελετώ το πρόσημο του 2x2 + x +1 το οποίο έχει διακρίνουσα Δ =1 - 8 = -7<0
Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του
παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των πρόσημων.

44. 41
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α’ ΒΑΘΜΟΥ
1) Να λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία τις λύσεις των ανισώσεων :
i)
2x 3 3 x
2
4 5
− −
− >
ii) ( ) ( )
2 x
3 1 x x 2
3 2
− − + <
iii)
x 3 x 2
x 5 0
3 2
− −
+ + − >
iv)
1 x 1 x 2 x 1
3
3 2 3 6
− − + 
− − > 
 
v)
2
x(x 1) (2x 1) 3x 1 1
2 8 4 8
+ + +
− > −
2) Δίνεται η παράσταση 4x 3Α= + , τότε να βρείτε τις τιμές του x ώστε η παράσταση Α
να παίρνει :
i) Το πολύ την τιμή 31
ii) Τουλάχιστον την τιμή 23
iii) Τουλάχιστον την τιμή 12 και το πολύ την τιμή 35
3) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να λυθούν οι ανισώσεις:
i) λx > x + 2
ii)
x 2x 3 x
2 4 6
− λ + λ
+ >
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ 1 ΑΠΟ 2
4) Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω τριώνυμα :
− + − + + − + − + −2 2 2 2
i) x 9x 14 ii) x 2x 3 iii) 1 6x 8x 1 iv) 2x 8x 8 − −2
v) 2x 5x 7
5) Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω τριώνυμα :
− + − + + − + − − +2 2 2 2
i) x 7x 12 ii) x x 2 iii) x 6x 5 iv) x 3x 4 2
v) 2x 5x 7 + −

45. 42
6) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες
ορίζονται :
( )
( )
− − −− − − + + + +
+ − + − + −− + +
2
2 2 2
2 2 22
x 2 3 x 2 3x 6x 7 x 3x 10 2x 8x 8
i) ii) iii) iv)
4x 3x 1 2x 3x 2 4x 7x 2x 2 2 x 2 2
7) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις :
+ α + α − α − α − α + α + α − α2 2 2 2 2 2 2 2
i) x 3 x 2 ii) x 3 x 4 iii) 6x 5 x iv) 4x 3 x
8) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις :
α − βα − β α + αβ − β α − αβ − β2 2 2 2 2 2
i) 2 3 2 ii) 6 iii) 2 8 α − αβ + β2 2
iv) 3 12 12
9) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το τριώνυμο ( )2 2
x - 2 2λ -1 x + 4λ
i) Αναλύεται σε γινόμενο δύο πρωτοβάθμιων παραγόντων
ii) Είναι τέλειο τετράγωνο
iii) Δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων
ΜΕΡΟΣ 2 ΑΠΟ 2
10) Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριωνύμων :
− + + − + − + − + −2 2 2 2
i) x x 6 ii) 3x 5x 2 iii) 4x 4x 1 iv) x 2x 1
11) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις :
− + > − + − ≥ − + ≤2 2 2
i) x 7x 6 0 ii) x 5x 4 0 iii) 2x 5x 3 0 ≤ − − + <2
iv) 2x x 1 0
12) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις :
− + > − + ≥ − + < − + ≤2 2 2 2
i) x 8x 16 0 ii) x 4x 4 iii) 4x 12x 9 0 iv) x 6x 9
13) Να λύσετε τις ανισώσεις :
− + > − + < − + − <2 2 2
i) x x 5 0 ii) 3x 4x 5 0 iii) x 2x 2 0
14) Να λύσετε τις ανισώσεις :
( )( ) ( ) ( )( )+ − > − + ≤ − − ≤i) 2 x 6 5 x 0 ii) 4x x 2 0 iii) x 3 4 x 0

46. 43
15) Να λύσετε τις ανισώσεις :
( ) ( ) ( )
2
23 5x
i) x 1 x ii) x 3 3x 4 iii) 4x 3 4x 3
2
−
− > + < + < −
16) Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου λ η εξίσωση : ( )2
x 2 x 1 0+ λ − + λ + =
i) Έχει μια διπλή ρίζα
ii) Έχει δύο ρίζες άνισες
iii) Δεν έχει πραγματικές ρίζες
17) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ( ) 0λ ≠ η εξίσωση : 2
x 2x 0λ + + λ =
i) Έχει μια διπλή ρίζα
ii) Έχει δύο ρίζες άνισες
iii) Δεν έχει πραγματικές ρίζες
18) Να βρείτε για ποιες τιμές του κ ( )κ 1≠ το τριώνυμο ( ) 2
1 x 4x 2κ − + + κ διατηρεί το
ίδιο πρόσημο για όλα τα x ∈  .
19) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση: x 2 − 2(λ − 3)x + λ 2 − 1 = 0 έχει:
i) δύο ρίζες αρνητικές
ii) δύο ρίζες ετερόσημες
iii) δύο ρίζες αντίστροφες
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
20) Βρείτε το πρόσημο του γινομένου
2 2 2
P(x) ( x 4)(x 3x 2)(x x 1)=− + − + + +
21) Να λυθεί η ανίσωση :
2 2
(x 1)(x 2)(x 9) 0− + − > .
22) Να λυθεί η ανίσωση : ( ) 2 2
3 x (2x 6x)(x 3) 0− + + ≤ .
23) Να λυθεί η ανίσωση :
2 2
(2 x x )(x 2x 1) 0− − + + ≤ .
24) Να λυθεί η ανίσωση :
2 2
(x 3)(2x x 3)(x 1 2x ) 0− + − − − > .
25) Να λυθεί η ανίσωση : 4 3 2
3x x 12x 4x 0+ − − < .

47. 44
3ος ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ ΣΤΟΧΟΣ
1.ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Ο τρόπος επίλυσης ενός συστήματος ανισώσεων στηρίζεται σε μια απλή τεχνική όπου
είναι :
 Λύνω την κάθε ανίσωση χωριστά
 Παριστάνω τις λύσεις τους ΣΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΞΟΝΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
 Παρατηρώ από εκεί την συναλήθευσή τους όπου είναι και η τελική λύση του συ-
στήματος
Παράδειγμα 11ο : Βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:
− < +6x 2 2x 10 και − ≤ +
x 2
3 x
2 3
ΛΥΣΗ
Επιλύουμε ξεχωριστά μία μία τις ανισώσεις κατά τα γνωστά:
− < +6x 2 2x 10
− < +6x 2x 10 2
<4x 12
<
4x 12
4 4
<x 3
− ≤ +
x 2
3 x
2 3
− ≤ +
3 x x 2
1 2 1 3
− ≤ +6 3x 6x 4
− − ≤ −3x 6x 4 6
− ≤ −9x 2
− −
≥
− −
9x 2
9 9
≥
2
x
9
Συναληθεύουμε και η λύση είναι : ≤ <
2
x 3
9

48. 45
Παράδειγμα 12ο : Να λυθεί το σύστημα ανισώσεων
2
2
x 2x 3 0
( ):
x 2x 8 0
 − − ≥
Σ 
− − <
ΛΥΣΗ
∆= + =4 12 16 , 1,2
2 4
x
2
±
= ⇒ 1x 3= ή 2x 1= −
∆= + =4 32 36 , 1,2
2 6
x
2
±
= ⇒ 1x 4= ή 2x 2= −
χ −∞ −2 −1 3 4 +∞
2
x 2x 3− − + + 0 - 0 + +
2
x 2x 8− − + 0 - - - 0 +
2 x 1− < ≤ − ή 3 x 4≤ <
Παράδειγμα 13ο : Να λυθεί η ανίσωση 2
2x 1 x 4 12− < − <
ΛΥΣΗ
Η παραπάνω ανίσωση αναλύεται :
2 2
2
2 2
x 1 ή x 32x 1 x 4 x 2x 3 0
2x 1 x 4 12 ...
4 x 4x 4 12 x 16 0
< − > − < − − − > 
− < < ⇒ ⇒ ⇒  
− < <− < − <
−

Συναληθεύοντας στον ίδιο άξονα και η λύση είναι τελικά : χ<-1 ή χ>3.

49. 46
2.ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
Οι ανισώσεις με απόλυτα μπορούν και διακρίνονται στις παρακάτω κατηγορίες :
1η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εάν A(x) 0 (x) ή (x)> θ µε θ > ⇒ Α > θ Α < −θ
2η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
Εάν A(x) 0 (x)< θ µε θ > ⇒ −θ < Α < θ
3η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ (εκτός ύλης)
Εάν ( )A(x) B x> διακρίνω δυο βασικές περιπτώσεις για το Α(χ):
 ( )x 0Α ≥ , τότε ( )(x) xΑ =Α και η ανίσωση γίνεται : ( ) ( )x xΑ > Β .
 ( )x 0Α ≤ , τότε ( )(x) xΑ = −Α και η ανίσωση γίνεται : ( ) ( )x x−Α > Β .
Προσοχή το διάστημα μελέτης και η λύση κάθε φορά θα πρέπει να τα συναληθεύουμε.
4η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ (εκτός ύλης)
Εάν A(x) B(x)< διακρίνω δυο βασικές περιπτώσεις για το Β(χ):
 ( )x 0Β ≤ , τότε η ανίσωση είναι αδύνατη .
 ( )x 0Β > , τότε διακρίνω υποπεριπτώσεις για το Α(x) και λύνω όπως στην παραπάνω
περίπτωση.
Προσοχή!!! το διάστημα μελέτης και η λύση κάθε φορά θα πρέπει να τα συναληθεύουμε.

50. 47
Παράδειγμα 14ο : Να επιλυθεί η ανίσωση: x 2 3− ≤
ΛΥΣΗ
x 2 3− ≤ ⇒ 3 x 2 3− ≤ − ≤ ⇒ 2 3 x 2 3− ≤ ≤ + ⇒ 1 x 5− ≤ ≤
Παράδειγμα 15ο : Να επιλυθεί η ανίσωση: x 1 2+ >
ΛΥΣΗ
x 1 2+ > ⇒ x 1 2+ < − ή x 1 2+ > ⇒ x 2 1< − − ή x 2 1> − ⇒ x 3< − ή x 1>
Παράδειγμα 16ο : Να επιλυθεί η ανίσωση: 1 2x 3− < −
ΛΥΣΗ
1 2x 3− < − , Αδύνατη προφανώς
Παράδειγμα 17ο : Να επιλυθεί η ανίσωση: 3x 5 2+ ≥ −
ΛΥΣΗ
3x 5 2+ ≥ − , Αόριστη (επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό).
Παράδειγμα 18ο : Να λύσετε την ανίσωση
x 1 1 2x 2 5 1 x
2 6 3
− + − − −
− >
ΛΥΣΗ
Θέτω x 1 y− = οπότε :
x 1 1 2x 2 5 1 x x 1 1 2 x 1 5 1 x
2 6 3 2 6 3
− + − − − − + − − −
− > ⇒ − > ⇒
y 1 2y 5 y
6
2 6 3
+ −
− > ⇒
y 1
2
+
6−
2y 5
6
−
6>
y
3
( ) ( )3 y 1 2y 5 2y⇒ + − − > ⇒
3y 3 2y 5 2y y 8 y 8+ − + > ⇒ − > − ⇔ <
Επαναφέρω στην θέση του y το θέτω του και έχω :
x 1 8 8 x 1 8 8 1 x 1 1 8 1 7 x 9− < ⇒ − < − < ⇔ − + < − + < + ⇒ − < <

51. 48
3.ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Διακρίνω 2 βασικές κατηγορίες κλασματικών ανισώσεων των οποίων η λύση ανάγεται
στην μέθοδο των ανισώσεων ανωτέρου βαθμού.
1η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
A(x)
0 (x).B(x) 0
B(x)
> ⇒ Α > φυσικά με τον περιορισμό όμως (x) 0Β ≠ .
Αντιστοίχως λύνεται και εάν
A(x)
0
B(x)
<
2η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ
ώ
A(x) A(x) A(x) (x).B(x)
(x) (x) 0 0 1 ί
B(x) B(x) B(x)
η
οµ νυµα
− Γ
> Γ ⇒ − Γ > ⇒ > ⇒ περ πτωση και
φυσικά με τον περιορισμό όμως (x) 0Β ≠ .
Αντιστοίχως λύνεται και εάν
A(x)
(x)
B(x)
< Γ
ΣΧΟΛΙΟ
Διευκρινίζουμε ότι αναγκαζόμαστε στην παραπάνω αντιμετώπιση για τις ανισώσεις διότι
η απαλοιφή παρονομαστών δεν μπορεί να γίνει χωρίς διάκριση όπως στις εξισώσεις.
Οπότε γίνεται κατανοητό ότι σε περίπτωση όπου η ποσότητα που θέλω να πολλαπλα-
σιάσω για την απαλοιφή είναι ευανάγνωστου προσήμου μπορώ να παρακάμψω την πα-
ραπάνω διαδικασία.
Παράδειγμα 19ο : Να λυθεί η ανίσωση :
2
2
x x 2
x x 2
− −
+ −
≤ 0.
ΛΥΣΗ
Ξεκινάμε από τον περιορισμό 2
x x 2 0+ − ≠ :
Δ=1+8=9> 0 και ρίζες 1 2x 2 , x 1=− =άρα x ≠ –2 και x ≠ 1.
Η ανίσωση γράφεται :
2
2
x x 2
x x 2
− −
+ −
≤ 0 ⇔ ( 2
x x 2− − )( 2
x x 2+ − ) ≤ 0.

52. 49
Μελετώ το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά :
• Για το ( 2
x x 2− − ) έχω Δ=1+8=9> 0 και ρίζες 1 2x 1 , x 2=− =
• Για το ( 2
x x 2+ − ) έχω Δ=1+8=9> 0 και ρίζες 1 2x 2 , x 1=− =
Συγκεντρωτικά έχω τον πίνακα :
χ –∞ –2 –1 1 2 +∞
2
x + x – 2 + 0 – – 0 + +
2
x – x – 2 + + 0 – – 0 +
Γινόμενο + – 0 + – 0 +
Άρα –2 < x ≤ –1 ή 1 < x ≤ 2
Παράδειγμα 20ο : Να λυθεί η ανίσωση :
2x 3
x 1
+
−
> 4
ΛΥΣΗ
Καταρχήν έχω τον περιορισμό : x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
Τότε :
2x 3
x 1
+
−
> 4 ⇔
2x 3
x 1
+
−
– 4 > 0 ⇔
2x 3 4x 4
x 1
+ − +
−
> 0 ⇔
2x 7
x 1
− +
−
> 0 ⇔ (–2x +
7)(x – 1) > 0 ⇔ 1 < x <
7
2
.
Παράδειγμα 21ο : Να λυθεί η ανίσωση :
2
x 3x 10
x 1
− −
−
+ 2 ≤ 0
ΛΥΣΗ
Καταρχήν έχω τον περιορισμό : x – 1 ≠ 0 ⇔ x≠ 1 .
Τότε :
2
x 3x 10
x 1
− −
−
+ 2 ≤ 0 ⇔
2
x 3x 10 2x 2
x 1
− − + −
−
≤ 0
⇔
2
x x 12
x 1
− −
−
≤ 0
⇔ (x – 1)( 2
x – x – 12) ≤ 0

53. 50
Μελετώ το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά :
• Για το (x – 1) έχω ρίζα χ=1
• Για το ( 2
x – x – 12) έχω Δ=1+48 = 49 > 0 και ρίζες 1 2x 3 , x 4=− =
Συγκεντρωτικά έχω τον πίνακα :
Άρα x ≤ –3 ή 1 < x ≤ 4
Παράδειγμα 22ο : Να λυθεί η ανίσωση
x 1
x
+
> 2
ΛΥΣΗ
Καταρχήν έχω τον περιορισμό : x ≠ 0
Τότε έχω
x 1
x
+
> 2 ⇔
x 1
x
+
< –2 ή
x 1
x
+
> 2
x 1
x
+
+ 2 < 0 ή
x 1
x
+
–2 > 0
x 1 2x
x
+ +
< 0 ή
x 1 2x
x
+ −
> 0
3x 1
x
+
< 0 ή
x 1
x
− +
> 0
(3x + 1)x < 0 ή (x – 1)x < 0
–
1
3
< x < 0 ή 0 < x < 1
x –∞ –3 1 4 +∞
x – 1 – – + +
2
x – x – 12 + 0 – – 0 +
Γινόμενο – 0 + – 0 +

54. 51
Παράδειγμα 23ο : Να λυθεί η ανίσωση :
x
3x 5−
≤
2
x 1−
ΛΥΣΗ
Καταρχάς έχουμε τον περιορισμό :
3x – 5 ≠ 0 και x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠
5
3
και x ≠ 1
Τότε η αρχική ανίσωση γράφεται :
x
3x 5−
≤
2
x 1−
⇔
x
3x 5−
–
2
x 1−
≤ 0
2
x x 6x 10
(3x 5)(x 1)
− − +
− −
≤ 0
2
x 7x 10
(3x 5)(x 1)
− +
− −
≤ 0
(x 2)(x 5)
(3x 5)(x 1)
− −
− −
≤ 0
(x – 2)(x – 5)(3x – 5)(x – 1) ≤ 0
Από συγκεντρωτικό πίνακα προσήμου έχω τότε :
χ – ∞ 1 5/3 2 5 +∞
Γινόμενο + - + - +
Άρα 1 < x <
5
3
ή 2 ≤ x ≤ 5

55. 52
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
26) Βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:
i) ( )− + > −3 x 1 x 7 x και ( )− ≤ + +6x 7 2 x 2 9
ii) ( )− > − +4x 1 3 1 x 10 και ( )− ≥2 1 x 8
iii) ( )− > +
3
2y 8 y 1
4
και + < −
3 1
y y 2
2 12
iv)
+ −
>
2x 3 3x 1
2 3
και ( ) ( )− + > − + −3 2x 1 x 3 x 4 1 ( )+ > −4 x 3 x 1
27) Να λυθουν οι ανισωσεις
i) − < + ≤8 3x 1 22
ii) ≤ − ≤4 6x 2 16
iii) 2
2 x x 2x 8 − ≤ < − +
iv) 2 3
x x x
4
< ≤ +
28) Να λύσετε τα συστήματα ανισώσεων :
+ >  − + >
 
− − > > + 
2
2 2
2x 8 0 –x 2x 3 0
i) ii)
x x 12 0 2x 5x 7
29) Να λυθεί το σύστημα: 2
2
x 2 0
6x 5x 1 0
x 5x 6 0
− >

+ + >
 − + − <
ΑΠΟΛΥΤΑ
30) Να λύσετε τις ανισώσεις :
i) 2x 5 3 , ii) 3 2x 7 , iii) 2 4x 3 12 , iv) 3 1 3x 15 + ≤ − < − ≤ − <
31) Να λύσετε τις ανισώσεις :
( )i) 7x 1 6 ii) 4 5x 6 iii) 5 3x 1 25 iv) 3 3x 2 9 v) d 4x,1 11− ≥ − > − ≥ − + > ≥

56. 53
32) Να λύσετε τις ανισώσεις :
i) 2x 1 0 ii) 5x 3 0 iii) 3x 4 2 iv) 3x 4 2 v) 2x 4 0− < − ≤ − < − − ≤ − − >
33) Βρείτε τις ακέραιες λύσεις των ανισώσεων :
i) 2x 1 3 ii) 2x 3 5 iii) 3x 1 1− ≤ + < − <
34) Να λύσετε τις ανισώσεις :
i)
x 3 5 3 x 3
4 2
− + −
<
ii)
x 2 2 2 x 2 3
5 9
+ + + +
>
iii)
3 x 2 1 2x 4 1
2 x
2 5
− − − −
− − ≤
iv)
2x 1 6x 3 2 2x 1 4
2 3 6
+ + − − − +
< −
v)
x x x
6 4 2 2
2 3 6
− + − > − −
35) Να λύσετε τις ανισώσεις :
3 3x 4 x 1 1 1 x 2
i)
6 3 2
− + − − − −
− ≥
2x 6 3 3 x x 3 5
ii)
4 3 12
− − − − −
− ≥
36) Να λύσετε τις ανισώσεις :
( )2 2x 3 4 d 2x,1 4
i) x 6x 9 ii) 4x 4x 1
2 3
− + +
− + < − + >
37) Να λύσετε τις ανισώσεις :
i) 2 x 9 ii) 0 x 4 iii) 2 x 1 5 iv)1 x 5 3< < < ≤ ≤ + < ≤ − ≤

57. 54
38) Να λύσετε τις ανισώσεις :
2 2 2
i) x 5x 3 3 ii) x 7x 12 2 iii) x 6 3− + ≤ − + < − ≤
39) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων : 2 x 3≤ ≤ και 2
x 4x 0− < .
40) Να λύσετε τις ανισώσεις : i) 3 x 5 2 , ii) x 2 3 2− − > + − <
41) Να λύσετε τις ανισώσεις :
i) 2x 1 2x 3 ii) 3x 2 2x 3 − ≥ + − < −
( ) ( ) 2
iii) d x, 1 d x,3 v) x 4x 4 x 8− > + + ≤ −
42) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6x 3 6x 3 ii) 2 3x 3x 2− = − − = −
43) Να λύσετε τις εξισώσεις : 2 2 2 2
i) x 5x x 5x ii) 4 x x 4− = − − = −
44) Να λυθούν οι ανισώσεις :
i) x 1 2x 5 ii) 2x 1 x 2 iii) 3x 1 x 2− > − − < + − ≥ +
45) Να λυθούν οι ανισώσεις :
2 2
i) –x x 5 4x 1 ii) x 9 8x+ − > + − >
46) Να λυθούν οι ανισώσεις :
i) 3x 1 x 1 ii) 2x 1 x 2 iii) x 2 3x 2+ < − + ≥ + − > +

58. 55
47) Να λυθούν οι ανισώσεις :
2 2 2
i) x 7 x 10 0 ii) x 3 x 2 0 iii) x x 2 0− + ≤ − + > − − >
48) Να λυθούν οι ανισώσεις
4 2 4 2
i) x 6x 5 0 ii) x 10x 9 0− + < − + >
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
49) Να λυθούν οι ανισώσεις
i)
2
2
(x 1)(x 9x 20)
0
x x 1
− − +
>
− +
ii)
2
(x 2) (x 1)
0
x 3
− +
≥
−
50) Να λυθεί η ανίσωση: 2
x 3 x 2 10
x 2 x 3 x x 6
− +
− >
+ − − −
51) Να λυθούν οι ανισώσεις:
i)
2x 1
5 3
x 3
−
> >
+
ii)
2
x 2x 11
2 6
2(x 3)
+ −
< <
−
52) Να λυθεί το σύστημα:
2 2
x 1
0
2x 1
(x 4)(x 2x 4) 0
−
>
+
 − + + ><
53) Να λυθεί η ανίσωση:
x 1
2
x
−
>
54) Να λυθούν οι ανισώσεις :
i)
2 2
2
(x 8x 7)(x 3x 9)
0
x 4
− + − +
<
−
ii)
x 3 x 4
x 3 x 4
− −
>
+ +

59. 56
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
§4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΘΕΜΑ 2ο
Θεμα 2.1
α)Nα λύσετε την ανίσωση x 5 2− <
β)Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5− >
γ)Να παραστήσετε τις λύσεις των δυο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των
πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοι-
νών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
Θεμα 2.2 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1 x 9− < + και
x 1
2 x
2 2
− ≤ +
α) Να βρείτε τις λύσεις τους.
β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων.
Θεμα 2.3
α)Να λύσετε την ανίσωση:
1
x 4
2
− < .
β)Να λύσετε την ανίσωση: x 5 3+ ≥ .
γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του
άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με τη μορφή διαστήματος.
Θεμα 2.4
α)Να λύσετε την εξίσωση: 2x 4 3 x 1− = −
β)Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 1− >
γ)Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερω-
τήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Θεμα 2.5
α)Να λύσετε την ανίσωση x 1 5− ≥ .
β)Να βρείτε τους αριθμούς x που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του 3.
γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β).

60. 57
Θεμα 2.6
α)Να λύσετε την ανίσωση: x 5 4− < .
β)Έστω ότι υπάρχει αριθμός α όπου επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε
τότε ότι:
1 1
1
9
< <
α
.
Θεμα 2.7
Δίνεται πραγματικός αριθμός x, για τον οποίο ισχύει: ( )d x, 2 1− < .
Να δείξετε ότι:
α) 3 x 1− < < −
β) 2
x 4x 3 0+ + <
Θεμα 2.8
α) Να λύσετε την ανίσωση x 4 3+ ≥ .
β) Αν 1α ≥ − , να γράψετε την παράσταση 4 3Α = α + − χωρίς απόλυτες τιμές. Να αι-
τιολογήσετε το συλλογισμό σας.
Θεμα 2.9
Θεωρούμε την εξίσωση 2
x 2x 2 0+ + λ − = , με παράμετρο λ∈R.
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.
β)Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δυο ρίζες 1x , 2x να προσδιορίσετε το λ ώστε να
ισχύει: ( )1 2 1 2x x 2 x x 1− + =
Θεμα 2.10
Δίνεται η εξίσωση 2
( 2)x 2 x 1 0λ + + λ + λ − = , με παράμετρο 2λ ≠ .
Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες:
α)η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.
β)το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με 2.

61. 58
Θεμα 2.11
α)Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγμα-
τικών αριθμών:
i) 2x 3 5− ≤
ii) 2x 3 1− ≥
β)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συν αληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.
Θεμα 2.12
α)Να λύσετε την εξίσωση: 2
2x x 6 0− − = (1)
β)Να λύσετε την ανίσωση: x 1 2− < (2)
γ)Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις (1)
και (2).
Θεμα 2.13
Δίνεται η εξίσωση 2
( 2)x 2 x 1 0λ + + λ + λ − = , με παράμετρο 2λ ≠ − .
α)Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και
άνισες
β)Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε 1 2x x 3⋅ =−
ΘΕΜΑ 4ο
Θεμα 4.1 Δίνεται η εξίσωση ( ) ( )2
2 x 2 3 x 2 0λ + + λ + + λ − = (1) , με παράμετρο
2λ ≠ − .
α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: 12 25∆= λ +
β)Να βρείτε τις τιμές του 2λ ≠ − , ώστε η εξίσωση (1) να έχει δυο ρίζες πραγματικές και
άνισες.
γ)Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ρίζων 1 2S x x= + και το γινόμενο
των ρίζων 1 2P x x= ⋅ .
δ)Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες 1x , 2x της εξίσωσης (1) να
ισχύει η σχέση: ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x 1 x x 3 0+ − + ⋅ + =

62. 59
Θεμα 4.2 Δίνεται η εξίσωση ( )2
x 2 1 x 2 0λ + λ − + λ − = , (1) με παράμετρο λ∈R
α)Να λύσετε την εξίσωση όταν 0λ = .
β)Έστω 0λ ≠ .
i)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη
συνέχεια να βρείτε.
ii)Αν 1x 1= − και 2
2
x 1=− +
λ
είναι οι δυο ρίζες της εξίσωσης (1), να προσδιορίσετε τις
τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει 1 2x x 1− > .
Θεμα 4.3 Δίνεται η εξίσωση 2 2
x 2 x 1 0− λ + λ − = , με παράμετρο λ∈R.
α)Να δείξετε ότι για κάθε λ∈R η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες.
β)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ∈R.
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, οι δυο άνισες ρίζες της εξίσω-
σης ανήκουν στο διάστημα (−2,4).
Θεμα 4.4
α)Να λύσετε την ανίσωση x 3 5− ≤ .
β)Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των
πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική ση-
μασία της παράστασης x 3− .
γ)Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5− ≤
δ)Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθμών x που ικανοποιούν την ανίσωση
x 3 5− ≤ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Θεμα 4.5
α)Θεωρούμε την εξίσωση 2
x 2x 3+ + =α , με παράμετρο α∈R.
i)Βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
ii)Βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση να’χει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορί-
σετε.
β)Δίνεται το τριώνυμο 2
f(x) x 2x 3= + + , x∈R.
i)Να αποδείξετε ότι f(x) 2≥ , για κάθε x∈R.
ii)Να λύσετε την ανίσωση f(x) 2 2− ≤ .

63. 60
Θεμα 4.6
α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει x 4 2− < .
β)Θεωρούμε πραγματικό αριθμό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγ-
ματικών αριθμών είναι μικρότερη από 2.
i)Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθμού αυτού από το 4 είναι με-
γαλύτερη του 2 και μικρότερη του 14.
ii)Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιμή της απόστασης του 3x από το 19.
§4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΘΕΜΑ 2ο
Θεμα 2.14 Δίνεται η εξίσωση: ( )2 2
x x 1 0− λ + λ + λ − = (1) , με παράμετρο λ∈R.
α)Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγ-
ματικές.
β)Να λύσετε την ανίσωση: 2
S P 2 0− − ≥ , όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα
και το γινόμενο των ριζών της (1).
Θεμα 2.15
α)Να λύσετε τις ανισώσεις: 2x 5 3− ≤ και 2
2x x 1 0− − ≥ .
β)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α).
Θεμα 2.16 Δίνεται το τριώνυμο 2
2x 3x 1− + .
α)Να βρείτε τις ρίζες του.
β)Να βρείτε τις τιμές του x∈R για τις οποίες: 2
2x 3x 1 0− + <
γ)Να εξετάσετε αν οι αριθμοί
3
2
και
1
2
είναι λύσεις της ανίσωσης: 2
2x 3x 1 0− + <
Θεμα 2.17
α)Να λύσετε την εξίσωση:
x 1 x 1 4 2
3 5 3
+ + +
− =.
β)Να λύσετε την ανίσωση: 2
x 2x 3 0− + + ≤

64. 61
γ)Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανί-
σωσης του (β) ερωτήματος.
Θεμα 2.18 Δίνονται οι ανισώσεις: 2
x 5x 6 0− + − < (1) και 2
x 16 0− ≤ (2).
α)Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1), (2).
β)Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα των πραγματι-
κών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων.
Θεμα 2.19
α)Να λύσετε την ανίσωση: 2
x 10x 21 0− + < .
β)Δίνεται η παράσταση: 2
A x 3 x 10x 21= − + − +
i)Για 3 x 7< < , να δείξετε ότι: 2
A x 11 24=− + −
ii)Να βρείτε τις τιμές του x∈(3,7),για τις οποίες ισχύει A 6=
Θεμα 2.20
α)Να λύσετε την ανίσωση: 2
3x 4x 1 0− + ≤
β)Αν α, β δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο
αριθμός
3 6
9
α + β
είναι επίσης λύση της ανίσωσης.
Θεμα 2.21
α)Να λυθεί η εξίσωση: 2
x x 2 0− − =
β)Να λυθεί η ανίσωση: 2
x x 2 0− − > και να παραστήσετε το σύνολο λύσεων της στον
άξονα των πραγματικών αριθμών.
γ)Να τοποθετήσετε το
4
3
− στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Είναι το
4
3
− λύση της
ανίσωσης του ερωτήματος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Θεμα 2.22
α)Να αποδείξετε ότι 2
x 4x 5 0+ + > , για κάθε πραγματικό αριθμό x.
β)Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: 2 2
B x 4x 5 x 4x 4= + + − + +
Θεμα 2.23 Δίνεται το τριώνυμο: 2
f(x) 3x 9x 12= + − , x∈R
α)Να λύσετε την ανίσωση f(x) 0≤ και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον
άξονα των πραγματικών αριθμών.