Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021

1. Γιαννάκαρος Σπύρος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2021
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση 𝑓 ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και 𝑥0 ένα εσωτερικό σημείο του
Δ. Αν η 𝑓 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 𝑥0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
αυτό, τότε να αποδείξετε ότι 𝑓 ′
(𝑥0) = 0 .
Μονάδες 7
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle και τη γεωμετρική του ερμηνεία.
Μονάδες 4
Α3. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
« Υπάρχουν συναρτήσεις 𝑓 ∶ R → R που δεν είναι συνεχείς και για τις οποίες
ισχύει ότι 𝑓 (R) = R ».
α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α).
Μονάδες 1+3=4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σω-
στή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝜅) = 0 , τότε η ευθεία 𝑥 = 𝜅 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης της 𝑓 .
β) Για κάθε 𝑥 ∈ R και 𝛼 > 0 ισχύει ότι (𝛼𝑥
)
′
= 𝑥 𝛼𝑥−1
.
γ) Αν 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) > 0 , τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0 .
δ) Αν 𝑓 ′
γνησίως αύξουσα σε διάστημα (𝛼, 𝑥0) , γνησίως φθίνουσα στο (𝑥0, 𝛽) και η
𝑓 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (𝛼, 𝛽) , τότε το 𝐴(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) είναι σημείο καμπής
της 𝐶𝑓 .
ε) Κάθε συνάρτηση 𝑓 που είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ, παίρνει σε αυτό μία μέ-
γιστη και μία ελάχιστη τιμή.
Μονάδες 10
ΣΕΛΙΔΑ 1 ΑΠΟ 3 mathamagicpath.blogspot.com

2. Γιαννάκαρος Σπύρος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
𝑓(𝑥) =
3
√2 − 𝑥 και 𝑔(𝑥) = √𝑥3 + 1 + 3 𝑙𝑛 𝑥 .
Β1. Να προδιορίσετε τη συνάρτηση 𝑔 ∘ 𝑓 .
Μονάδες 5
Β2. Αν (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = √3 − 𝑥 + 𝑙𝑛 (2 − 𝑥) , με 𝑥 < 2 , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 𝑔 ∘ 𝑓
είναι ”1 − 1” και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.
Μονάδες 7
Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης (𝑔∘𝑓)
−1
έχει με την ευθεία
𝑦 = 𝑥 ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη 𝑥0 ∈ (1, 2) .
Μονάδες 6
Β4. Να βρείτε τις τιμές των 𝛼 και 𝛽 πραγματικών, για τις οποίες η συνάρτηση
𝜑(𝑥) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
[ (𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) − 𝑥] 𝜂𝜇
1
𝑥 − 𝑥0
, αν 𝑥 < 𝑥0
𝛼 , αν 𝑥 = 𝑥0
𝜂𝜇 [𝛽 (𝑥 − 𝑥0)]
𝑥 − 𝑥0
+ 𝛽2021
, αν 𝑥 > 𝑥0
είναι συνεχής.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση 𝑓 ∶ R → R , δύο φορές παραγωγίσιμη, με
𝑓(𝑥) ≥
𝑓(−1) + 𝑓(1)
2
, για κάθε 𝑥 ∈ R .
Γ1. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 παρουσιάζει ελάχιστο στα σημεία της με τετμημένες −1 και 1.
Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, στα οποία οι εφαπτομένες της
γραφικής παράστασης της πρώτης παραγώγου της 𝑓 είναι παράλληλες στον άξονα
𝑥 ′
𝑥 .
Μονάδες 5
Γ3. Αν, επιπλέον, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−1
− 𝛼𝑥2
+ 𝛽 , για κάθε 𝑥 ∈ R , και
𝑓(1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
( √4𝑥2 + 4𝑥 − 2021 + 2𝑥) ,
να αποδείξετε ότι:
α) 𝛼 = 1 και 𝛽 = −1 .
ΣΕΛΙΔΑ 2 ΑΠΟ 3 mathamagicpath.blogspot.com

3. Γιαννάκαρος Σπύρος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
β) η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 3𝜆
− 1 , 𝜆 ∈ R , έχει ακριβώς τρεις ρίζες όταν 𝜆 ≤ 𝛽 .
Μονάδες 6+4=10
Γ4. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑔 ∶ R → R , με
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑥2
, για κάθε 𝑥 ∈ R ,
δεν έχει σημεία καμπής.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 ∶ R → R , για τις οποίες ισχύουν τα εξής:
• 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥)
+ 𝑓(𝑥) + 2021 , για κάθε 𝑥 ∈ R .
• η 𝑓 είναι κοίλη.
• η 𝑔 δεν είναι αντιστρέψιμη.
Δ1. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 παίρνει μέγιστη τιμή σε κάποιο 𝑥0 ∈ R .
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι 2𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥 − 1) + 𝑓(𝑥 + 1) , για κάθε 𝑥 ∈ R .
Μονάδες 6
Δ3. Να λύσετε την ανίσωση
𝑔(𝑥2
+ 𝑥0) + 𝑓(𝑥2
+ 𝑥0) < 𝑔(|𝑥| + 𝑥0) + 𝑓(|𝑥| + 𝑥0)
Μονάδες 6
Δ4. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 𝑓 σε ένα σημείο της με τετμημένη
𝑥 = 𝛼 > 0 , όπου 𝛼 > −𝑓(𝛼) , σχηματίζει με τους άξονες 𝑥 ′
𝑥 και 𝑦 ′
𝑦 τρίγωνο με
εμβαδόν 8 τ.μ. και με τον άξονα 𝑥 ′
𝑥 γωνία 135∘
, να αποδείξετε ότι
𝑓(𝑥 − 1) + 𝑓(𝑥 + 1) + 2𝑥 − 8 < 0 , για κάθε 𝑥 ∈ R .
Μονάδες 7
Επιμέλεια: Γιαννάκαρος Σπύρος,
Μαθηματικός
ΣΕΛΙΔΑ 3 ΑΠΟ 3 mathamagicpath.blogspot.com