;Algebra A' Lykeiou A' Fash

1. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: A΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β∈ℜ ισχύει: α β α β⋅ = ⋅
Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό
σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση, τη λέξη Σ ΣΤΟ,
αν η πρόταση είναι σωστή ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου
ισχύει ( ) ( ) ( )P A B P B P A B− = − ∩
β. Αν α > 0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουµε:
µ
µ νν
α α=
γ. Η εξίσωση αx + β = 0 έχει µοναδική λύση για α 0≠ και β ∈ℜ
δ. Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή
( )α β και γ δ αγ βδ> > ⇒ >
ε. Η απόλυτη τιµή αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, ω µε x < 0 και y 0≠ , δίνονται οι παραστάσεις:
( )
13 3
6
xy y
A :
xy x
−
   
=    
   
( )( )B 2 y y 2 8y= − − − +
( ) ( )
2 22 2
Γ= 1 ω 1 ω+ − −

2. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3
Β1. Να αποδείξετε ότι:
α. Α = x
7 µονάδες
β. ( )
2
B y 2= +
5 µονάδες
γ. Γ = 2
4ω
6 µονάδες
Β2. Να βρείτε τις τιµές των x, y, ω αν ισχύει ( )
2
A 1 B 0− + + Γ =
7 µονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Από τους 200 µαθητές ενός σχολείου που ρωτήθηκαν ως προς τα χόµπι τους οι 160
απάντησαν ότι ασχολούνται µε υπολογιστές, οι 60 ότι ασχολούνται µε τον αθλητισµό
και οι 180 ότι ασχολούνται µε υπολογιστές ή µε τον αθλητισµό.
Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή του σχολείου και ορίζουµε τα ενδεχόµενα:
Α: «Ο µαθητής ασχολείται µε τον αθλητισµό»
Β: «Ο µαθητής ασχολείται µε υπολογιστές»
Γ1. Να αποδείξετε ότι:
α. Η πιθανότητα ο µαθητής να έχει και τα δύο παραπάνω χόµπι είναι 0,2
6 µονάδες
β. ( ) ( )P B P A B′ = ∩
3 µονάδες
Γ2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:
α. Να ασχολείται µόνο µε υπολογιστές.
5 µονάδες
β. Να µην έχει κανένα από τα δύο παραπάνω χόµπι.
5 µονάδες
Γ3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:
α. Να ασχολείται µόνο µε ένα από τα δύο παραπάνω χόµπι.
3 µονάδες
β. Να µην ασχολείται µε υπολογιστές ή να µην ασχολείται µε τον αθλητισµό.
3 µονάδες

3. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ ∆
Για α 1≥ δίνονται οι παραστάσεις:
( )
2
A α 2 α 1 α 2 α 1= − − − + −
( )( )( ) ( )( )2
8 164
α 1 α 1 α 1 α 1Β = + + + −
∆1. Να αποδείξετε ότι:
A 2α 2 α 2= − − και B α 1= −
10 µονάδες
∆2. Για α 2≥ να αποδείξετε ότι:
α. A B α 3+ = +
4 µονάδες
β. Να λυθεί για τις διάφορες τιµές του α η εξίσωση 2
α x A B 4x 1= + + −
5 µονάδες
∆3. Αν x0 είναι η µοναδική λύση της εξίσωσης του ερωτήµατος ∆2.β να αποδείξετε
ότι ισχύει ( ) ( )
2 2 2
0 0 0x 1 x 6 2α x− + > − για κάθε α > 2
6 µονάδες

4. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 8
ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α1. Βλέπε απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 62.
Α2. α Λάθος β Λάθος γ Σωστό δ Λάθος ε Σωστό
ΘΕΜΑ Β
Β1. α. 1ος
τρόπος
( )
( ) ( )
1 13 3 6 3 6 3 6 3
3 36 3 3 3 3 3
4 6 4
3 6 3
xy y xy y xy x xy x
A : :
xy x x y x y yxy xy
x y x
x
x y x
−
    
= = = ⋅ = =    
       
= = =
2ος
τρόπος
( ) ( )
( )
( )
( )
11 33 33 3 3 3 3 3
1 16 3 3 1 6 36 6
3 3 3 0 3
1 6 3 1 3 1
xyxy xyy y x x y x
A : :
xy x x y x y yxy xy
x y x x y 1 1
x
1x y y x y x
x
−− − − −
− − − −
− − −
− − − − −
      = = = ⋅ = ⋅ =   
   
= = = = =
β. 1ος
τρόπος
( )( ) ( )( ) ( )
( )
2
22 2
B 2 y y 2 8y y 2 y 2 8y y 2 8y
y 4y 4 8y y 4y 4 y 2
= − − − + = − − + = − + =
= − + + = + + = +

5. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 8
2ος
τρόπος
( )( ) ( )
( )
( )
2
2 2
22
B 2 y y 2 8y 2y 4 y 2y 8y
4y y 4 8y 4y y 4 8y
y 4y 4 y 2
= − − − + = − − − + + =
= − − − + = − + + + =
= + + = +
γ. 1ος
τρόπος
( ) ( ) ( )
( )
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 ω 1 ω 1 ω 1 ω 1 ω 1 ω
2 1 ω 1 ω 2 2ω 4ω
  Γ = + − − = + + − ⋅ + − − =   
= + − + = ⋅ =
2ος
τρόπος
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 4 2 4 2 2 2
1 ω 1 ω 1 2ω ω 1 2ω ω
1 2ω ω 1 2ω ω 2ω 2ω 4ω
 Γ = + − − = + + − − + =
  
= + + − + − = + =
Β2. Ισχύει: ( )
2
A 1 B 0− + + Γ = ⇔
( ) ( )
2 2 2
x 1 y 2 4ω 0 (1)− + + + =
Επειδή ( )
2
x 1 0− ≥ και ( )
2
y 2 0+ ≥ και 2
4ω 0≥ από (1) προκύπτουν:
( )
2
x 1 αφού x 0
x 1 0 x 1 0 x 1 ή
x 1 αφού x 0
 = − ∆ΕΚΤΗ <

− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ 
 = ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ <
και
( )
2
y 2 0 y 2 0 y 2+ = ⇔ + = ⇔ = − ∆ΕΚΤΗ
και
2 2
4ω 0 ω 0 ω 0= ⇔ = ⇔ = ∆ΕΚΤΗ
Άρα ( ) ( )x, y, ω 1, 2, 0= − −

6. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 8
ΘΕΜΑ Γ
A B∪ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να έχει ένα τουλάχιστον από τα δύο χόµπι.
Τότε από τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας προκύπτουν:
( )
( )
( )
N A 60 3
P A 0,3
N 200 10
= = = =
Ω
( )
( )
( )
N B 160 8
P B 0,8
N 200 10
= = = =
Ω
( )
( )
( )
N A B 180 9
P A B 0,9
N 200 10
∪
∪ = = = =
Ω
Γ1. α. A B∩ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να έχει και τα δύο χόµπι.
Από τον προσθετικό νόµο ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
P A B P A P B P A B
0,9 0,3 0,8 P A B
P A B 1,1 0,9
P A B 0,2
∪ = + − ∩ ⇔
= + − ∩ ⇔
∩ = − ⇔
∩ =
β. ( ) ( )P B 1 P B′ = − ⇔
( )
( )
P B 1 0,8
P B 0,2
′ = − ⇔
′ =
οπότε ( ) ( )P B P A B′ = ∩
Γ2. α. Β – Α είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να ασχολείται µόνο µε υπολογιστές.
Τότε:
( ) ( ) ( )
( )
P B A P B P A B
P B A 0,8 0,2
− = − ∩ ⇔
− = − ⇔
( )P B A 0,6− =

7. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 8
β. ( )A B ′∪ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να µην έχει κανένα από τα δύο
παραπάνω χόµπι.
Τότε:
( ) ( )
( )
P A B 1 P A B
P A B 1 0,9
′∪ = − ∪ ⇔
′∪ = − ⇔
( )P A B 0,1′∪ =
Γ3. α. ( ) ( )A B B A− ∪ − είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να ασχολείται µόνο µε
ένα από τα δύο παραπάνω χόµπι.
Τότε:
( ) ( )( )
( ) ( )
A B, B A
ασυµβίβαστα
P A B B A
P A B P B A
− −
− ∪ − =
− + − =
( ) ( )P A P A B 0,6
0,3 0,2 0,6 0,7
− ∩ + =
− + =
Άρα ( ) ( )( )P A B B A 0,7− ∪ − =
β. A B′ ′∪ ή ( )A B ′∩ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να µην ασχολείται µε
υπολογιστές ή να µην ασχολείται µε τον αθλητισµό.
1ος
τρόπος
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
P A B P A P B P A B
P A P B P A B
P A P B P A P A B
P A P B P A P A B
P B P B P A B
1 P A B
1 0,2 0,8
′ ′ ′ ′ ′ ′∪ = + − ∩ =
′ ′ ′+ − − =
′ ′ ′ ′+ − − ∩ =
′ ′ ′ ′+ − + ∩ =
′ + − ∩ =
− ∩ =
− =
Άρα ( )P A B 0,8′ ′∪ =

8. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 5 ΑΠΟ 8
2ος
τρόπος
( ) ( )
( )
P A B P A B
1 P A B
1 0,2 0,8
′′ ′∪ = ∩ =
− ∩ =
− =
Άρα ( )P A B 0,8′ ′∪ =
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Για α 1≥ έχουµε,
2 2
A α 2 α 1 2 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 α 1= − − − − − ⋅ + − + + − =
( )
( )
( )
22
2
2
2
α 2 α 1 2 α 2 α 1 α 2 α 1
2α 2 α 4 α 1
2α 2 α 4α 4
2α 2 α 2
2α 2 α 2
− − − − − + + − =
− − − =
− − + =
− − =
− −
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
8 84
2 284
4 4
2 24
2 2
Β α 1 α 1 α 1 α 1
α 1 α 1 α 1
α 1 α 1 α 1
α 1 α 1
α 1 α 1
α 1
α 1
= + + + − =
+ + − =
+ + − =
+ − =
+ − =
− =
−
∆2. Αφού α 2≥ είναι α 2 0− ≥ . Εποµένως 2 2α − = α −
Άρα ( )Α 2α 2 α 2 2α 2α 4 4= − − = − + =
α. Α Β 4 α 1 α 3 α 3+ = + − = + = + αφού για α 2≥ είναι α 3 0+ >

9. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 6 ΑΠΟ 8
β. Είναι
2
α x A B 4x 1= + + − και αφού Α Β α 3+ = + είναι
2
α x α 3 4x 1= + + − ή
2
α x 4x α 2− = + ή
( )2
α 4 x α 2− = + ή
( )( )α 2 α 2 x α 2+ − = +
Είναι α 2≥ εποµένως 2 0.α + ≠ ∆ιαιρώντας την τελευταία σχέση µε α + 2
έχουµε (α 2)x 1− =
∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις:
• Αν α 2 0− = δηλαδή αν α = 2 η εξίσωση γίνεται 0x 1= που είναι
αδύνατη.
• Αν α 2≠ τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την
1
x
α 2
=
−
∆3. 1ος
τρόπος
Είναι 0
1
x
α 2
=
−
για α > 2
Έχουµε
2
2
0
1
x 0
2
 
= > 
α − 
, για κάθε 2α >
∆ιαιρούµε µε
2
0x 0> και τα δύο µέλη της ( ) ( )
2 2 2
0 0 0x 1 x 6 2α x− + > − και
έχουµε
( )
( )
( )
( )
0
2 2
0 0
2
0 0
1
2 x
α 2
0
2
2
2
2
2
2
x 1 x
6 2α
x x
1
1 1 6 2α 0
x
1 α 2 5 2α 0
1 α 2 5 2α 0
3 α 5 2α 0
9 6α α 5 2α 0
α 4α 4 0
α 2 0 που είναι αληθής για α > 2
=
−
 −
+ > − ⇔ 
 
 
− + − + > ⇔ 
 
 − −  − + > ⇔ 
− + − + > ⇔
− − + > ⇔
− + − + > ⇔
− + > ⇔
− >

10. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 7 ΑΠΟ 8
2ος
τρόπος
Για 0
1
x
α 2
=
−
έχουµε
( ) ( )
2 2 2
0 0 0x 1 x 6 2α x− + > − ⇔
( )
2 2 2
1 1 1
1 6 2α
α 2 α 2 α 2
     
− + > − ⇔     
− − −     
( )
2 2 2
1 α 2 1 1
6 2α
α 2 α 2 α 2 α 2
−     
− + > − ⇔     
− − − −     
( )
2 2 2
1 α 2 1 1
6 2α
α 2 α 2 α 2
− +     
+ > − ⇔     
− − −     
( )
2 2 2
3 α 1 1
6 2α
α 2 α 2 α 2
−     
+ > − ⇔     
− − −     
( )
2 2 2
3 α 1 1
2 3 α 0
α 2 α 2 α 2
−     
+ − − > ⇔     
− − −     
2
3 α 1
0
α 2 α 2
− 
− > ⇔ 
− − 
( )
2
2
2
3 α 1
0
α 2
2 α
0
α 2
1 0
− − 
> ⇔ 
− 
− 
> ⇔ 
− 
− > ⇔
1 0> που ισχύει
3ος
τρόπος
Το 1ο
µέλος της δοθείσας σχέσης για 0
1
x
α 2
=
−
γίνεται
( )
2 2
0 0
2 2
x 1 x
1 1
1
α 2 α 2
− + =
   
− + =   
− −   

11. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 8 ΑΠΟ 8
( )
2 2
2 2
2 2
1 α 2 1
α 2 α 2
1 α + 2 1
α 2 α 2
3 α 1
(1)
α 2 α 2
− −   
+ =   
− −  
−   
+ =   
− −   
−   
+   
− −   
Γνωρίζουµε ότι για κάθε β, γ∈ ℝ µε β γ≠ ισχύει:
( )
2 2 2 2 2
β γ 0 β 2βγ γ 0 β γ 2βγ (2)− > ⇔ − + > ⇔ + >
Έστω
3 α
β
α 2
−
=
−
και
1
γ
α 2
=
−
µε α 2 0 α 2− ≠ ⇔ ≠
Αν
3 α 1
β γ 3 α 1 3 1 α α 2
α 2 α 2
−
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
− −
άτοπο
Άρα β γ≠
Τότε για κάθε α > 2 λόγω της (2), από την (1) έχουµε:
2 2
3 α 1 3 α 1
2
α 2 α 2 α 2 α 2
− −      
+ > ⇔      
− − − −      
( )
( )
2 2
2
2 3 α3 α 1
α 2 α 2 α 2
−−   
+ > ⇔   
− −    −
( )
( )
( ) ( )
0
1
x2 2
α 2
2
2 2 2
0 0 0
3 α 1 1
6 2α
α 2 α 2 α 2
x 1 x 6 2α x για κάθε α > 2
=
−−   
+ > − ⇔   
− −    −
− + > −