Geniko_diagwnisma_thetikhs_oikonomias_plhroforikhs_2016

1. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 2 0 1 6
Γ ΄ Τ Α Ξ Η
Β . Ρ .
Θ Ε Μ Α 1 ο
Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f΄(χ)=0 για κάθε
εσωτερικό σημείο του Δ τότε αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
Μονάδες 10
Β. Τι λέγεται σημείο καμπής γραφικής παράστασης συνάρτησης f
Μονάδες 5
Γ. Γράψτε στο τετράδιό σας αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς
1. Αν
0
lim (x)
x
f

=0 τότε το
0
1
lim =
( )x f x

 
Μονάδες 2
2. Αν
0
lim
x x


=0 συμπεραίνουμε ότι το χ
Μονάδες 2
3. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και



2
( )dx 0f x τότε f(x)=0 για κάθε χ[α,β]
Μονάδες 2
4. Αν f(χ) είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο  τότε η Cf έχει τουλάχιστον μια οριζόντια
εφαπτόμενη
Μονάδες 2
5. Αν η f είναι συνεχής στο  και


 
2
( ( ) 1)dx 0f x τότε α=β.
Μονάδες 2
Θ Ε Μ Α 2 ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :[0, )f   με
2
ln , 0
( )=
, 0
x x x
f x
k x
 


α. Να δείξετε ότι k=0 και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην γραφική
παράσταση της συνάρτησης στο σημείο της Ο(0,0).
Μονάδες 8
β. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά της
ακρότατα.
Μονάδες 8
γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( )=ρf x , για τις διάφορες τιμές
του πραγματικού αριθμού  .
Μονάδες 9

2. ΘΕΜΑ 3ο
Έστω συνάρτηση f:(0,+  )  με ( )
1
( )
( 1)f x
x
f x
x e

 

για κάθε χ>0 με f(1)=0 και συνεχής
συνάρτηση g:    ώστε 3
( ) 3 ( )g x g x x  με σύνολο τιμών το  .
i) Δείξτε ότι f(x)=lnx
ii) Δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, είναι 1-1 και να βρεθεί η 1
g
iii) Να δείξετε ότι g(x)>0 για χ>0
ιν) Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ της Cg, ψ΄ψ, ψ=0,ψ=1
μονάδες 7,7,3,8
ΘΕΜΑ 4ο
A. Αν f δυο φορές παραγωγίσιμη στο  ώστε ( ) 1 2
lnf(x) x ef x x
e x
    για κάθε χ
πραγματικό, ι) να βρείτε την μονοτονία της f το f(0) και το (0)f  και ιι) αν
2 1
( )
0
( 1 2 )
( ) 2
( ). 1
x
f x
e
f x dx
f x e

 

 να δείξετε oτι η f έχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής
Μονάδες 5,5
B. Αν f συνεχής στο πεδίο ορισμού της [0,1] συνάρτηση με
1 1 1
2 2
0 0 0
( ) ln (1 ) 2 ln(1 ) ( )x x
f x dx e dx e f x dx      ι) δείξτε ότι f(χ)=ln(1 )x
e ιι) δείξτε ότι η f είναι
κυρτή και να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο της (0,f(0)) ιιι)δείξτε ότι αν Ε το εμβαδόν
του χωρίου μεταξύ Cf, χ΄χ, ψ΄ψ και χ=1 τότε 4
ln(2 )E e
Μονάδες 5,5,5
ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Λ, Λ, Σ, Σ, Σ
Θ Ε Μ Α 2 ο
α.
Η f ως παραγωγίσιμη στο 0 είναι και συνεχής στο 0
Επομένως 2
0 0
lim ( ) (0) lim( ln )
x x
f x f x x k 
  
0
2
ln
lim( )
1x
x
k
x


 
( )
0
3
1
lim( )
2
DL
x
x k
x




 

2
0
lim( )
2x
x
k


  0 (0)k f  
2
0 0 0
( ) (0) ln
lim lim( ) lim( ln )
x x x
f x f x x
x x
x x   

 
0
ln
lim( )
1x
x
x



( )
0
2
1
lim( )
1
DL
x
x
x






0
lim( )
x
x

  =0 συνεπώς
(0) 0f  
Η εφαπτομένη είναι (0) (0)( 0)y f f x   ή ψ=0 ο άξονας χ΄χ΄
β) Η f συνεχής στο [0,+ ) αφού για χ>0 είναι γινόμενο συνεχών
στο (0,+ ) ( ) 2 ln (2ln 1)f x x x x x x    
0 1 1
( ) 0 (2ln 1) 0 ln
2
x
f x x x x x
e

         
0 1 1
( ) 0 (2ln 1) 0 ln
2
x
f x x x x x
e

         
Η f είναι συνεπώς γνησίως αύξουσα στο
1
[ , )
e
 και γνησίως φθίνουσα στο [ο,
1
)
e
αφού η
f είναι συνεχής στο 0
Στο 0 έχουμε τοπικό μέγιστο το f(0)=0 (η f γνησίως φθίνουσα στο [ο,
1
)
e
) και στο
1
e
έχουμε τοπικό ελάχιστο που είναι και ολικό το f(
1
e
)=
1
2e
 αφού η f είναι γνησίως αύξουσα
στο
1
[ , )
e
 και γνησίως φθίνουσα στο [ο,
1
)
e
γ) η f γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο 1A = [ο,
1
)
e
συνεπώς 1
1
( ) ( lim (x), (0)]
x
e
f A f f


1
( ,0]
2e
 
η f γνησίως αύξουσα και συνεχής στο 2A = [
1
, )
e
 συνεπώς 2
1
( ) [ ( ),lim ( ))
x
f A f f x
e 

1
[ , )
2e
 
Συνεπώς για
1
2e
   η ( )f x  αδύνατη αφού το  δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f

4. Αν
1
2e
   η ( )f x  έχει μοναδική ρίζα στο 2A αφού το 2 1,A A   και στο 2A είναι
γνησίως μονότονη
Αν
1
2e
   η ( )f x  έχει δυο ρίζες μια στο 2A και μια στο 1A αφού το 2 1,A A   και
στα ,A 2A είναι γνησίως μονότονη
ΘΕΜΑ 3ο
i) ( )
1
( )
( 1)f x
x
f x
x e

 

( )
( 1) ( ) 1f x
x e f x x    ( )
( ) ( ) 1f x
xe f x xf x x     ( )
( ) ( ) 1f x
x e xf x x    
0
( ) 1
( ) ( ) 1
x
f x
e f x
x

    
0
( )
(( ) ( )) ( ln )
x
f x
e f x x x

    
( )
( ) ( ) lnf x
e f x x x c     για x=1 to c=0
Δηλαδή ( )
( ) ( ) lnf x
e f x x x   (1)
Όμως η ( ) x
h x e x  με χ είναι παραγωγίσιμη στο  με ( ) 1 0x
h x e    άρα γνησίως αύξουσα οπότε
1-1. Άρα (1) ( ( )) (ln ) ( ) lnh f x h x f x x   
ii) 3
( ) 3 ( )g x g x x  (1) Η 3
( )h x x x  είναι παραγωγίσιμη στο  με 2
( ) 3 3 0f x x    άρα
είναι γνησίως αύξουσα (1) ( (x)) xh f  οπότε για κάθε 1 2,x x πραγματικό με
1 2 1 2( ( )) ( ( ))
h
x x h f x h f x

    1 2( ) ( )f x f x άρα η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς 1-1
(1) Για g(x) το ψ έχουμε 3
3y y x  Άρα 1 3
( ) 3f x x x
  με χ πραγματικό
iii) ότι g(x)>0 για χ>0 3
( ) 3 ( )g x g x x  2
( )( ( ) 3)g x g x x   και αφου 2
( ) 3 0g x   προκύπτει
ότι g(x)>0
ιν) το εμβαδόν μεταξύ της Cg, ψ΄ψ, ψ=0,ψ=1 λόγω συμμετρίας ως προς την ψ=χ είναι
ισοδύναμο με το εμβαδόν μεταξύ 1
Cg
, χ΄χ, χ=1 και χ=0 συνεπώς Ε=
1
1
0
( )g x dx

1
3
0
x xdx 
1 4 2
3 1
0
0
3
( ) [ ] .
4 2 4
x x
x x dx      ( 3
0x x  στο [0,1])
ΘΕΜΑ 4ο
A. ( ) 1 2
lnf(x) x ef x x
e x
    (1) και τα δυο μέλη παραγωγίσιμα ως σύνθεση και πράξεις
παραγωγίσιμων ακόμη f(x)>0 αφού το ln(f(x)) ορίζεται στο  συνεπώς
( ) 1( )
( ) 1 e 2
( )
f x xf x
e f x
f x

      ( ) 11
( )( ) e 1 2 0
( )
f x x
f x e
f x

      αφού
1
e 0x
 και 2 2 2
1 2 2 ( ) 0             

5. ( ή 1+2ημχσυνχ=1+ημ(2χ) 0 ) και επειδή ( ) 1
0
( )
f x
e
f x
  προκύπτει ότι f είναι γνησίως
αύξουσα και ότι
1
( )
e 1 2
( ) 0
1
( )
x
f x
f x
e
f x

 
  

ή
1
( )
e 1 2
( ) ( ) 0
( ) 1
x
f x
f x f x
f x e

 
  

(2)
Στην (1) για χ=0: ( 0 )
l n f ( 0 ) ef
e   (3) όμως η ( ) lnx
h x e x  με χ>ο είναι
1
( ) 0x
h x e
x
    άρα η h είναι γνησίως αύξουσα και άρα 1-1 οπότε η (3) h(f(0))=h(1) 
f(0)=1
Και από την (2) για χ=0 (0)
e 1
(0) (0)
(0) 1f
f f
f e

 

e 1
(0) 1
1
f
e

  

Ιι)
2 1
( )
0
( 1 2 )
( ) 2
( ). 1
x
f x
e
f x dx
f x e

 


2
2
0
0
( ) 2 [ ( )] 2 (2) 1 2 (2) 3f x dx f x f f        
Όμως η f συνεχής στο [1,3] και παραγωγίσιμη στο (1,3) από ΘΜΤ
υπάρχει 0 0
(3) f(1)
(1,3): ( ) 1 (1)
2
f
x f x f

    
Η f  είναι συνεχής στο 0[1, ]x και παραγωγίσιμη στο 0(1, )x με 0( ) (1)f x f  άρα από
θεώρημα Rolle υπάρχει ξ 0(1, )x : ( )f  άρα η f έχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο
καμπής.
B.
1 1 1
2 2
0 0 0
( ) ln (1 ) 2 ln(1 ) ( )x x
f x dx e dx e f x dx     
1
2 2
0
[ ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) ( )] 0x x
f x e e f x dx      όμως
2 2 2
( ) ln (1 ) 2ln(1 ) ( ) [ ( ) ln(1 )] 0x x x
f x e e f x f x e        άρα
1
2 2
0
[ ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) ( )] 0x x
f x e e f x dx      άρα
1
2 2
0
[ ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) ( )] 0x x
f x e e f x dx      δηλαδή
1
2
0
[ ( ) ln(1 )] 0x
f x e dx    και αν
2
[ ( ) ln(1 )]x
f x e  δεν ήταν ίσο με μηδέν για κάθε χ [0,1] τότε
1
2
0
[ ( ) ln(1 )] 0x
f x e dx   άτοπο
άρα 2
[ ( ) ln(1 )] 0x
f x e   ( ) ln(1 )x
f x e   , χ [0,1]
Ιι) Η f είναι συνεχής στο [0,1] και στο (0,1) είναι ( )
1
x
x
e
f x
e
 

και 2
( ) 0
(1 )
x
x
e
f x
e
  

άρα η f
είναι κυρτή στο [0,1] και
0
0
0 0 0
( ) (0) ln(1 ) ln 2 1
(0) lim lim lim
1 2
DLx x
xx x x
f x f e e
f
x x e   
  
    

Άρα η εφαπτόμενη της Cf στο 0 είναι (0) (0)(x 0)y f f    ή
1
ln 2
2
y x 
Ιιι) Ε=
1
0
( )f x dx
1
0
( )f x dx  αφού f(x)>0 , (1 1x
e  )

6. H f κυρτή άρα
1
( ) ln 2
2
f x x  η ισότητα ισχύει μόνο για χ=0 άρα
1 1
0 0
1
( ) ( ln 2)
2
f x dx x dx  
όμως
1 2
1 4
0
0
1 1
( ln 2) [ ln 2] ln 2 ln(2 )
2 4 4
x
x dx x e      άρα 4
ln(2 )E e

7. Δίνονται οι συναρτήσεις f(χ) =
2
2
x x
e In  και g(x) = 1 1
2
x
e In
  . i) Να δείξετε ότι ορίζεται
η αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να δείξετε ότι η γραφική
παράσταση της f έχει μοναδικό σημείο καμπής. iii) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(g(x)) =
2 1
2
e 
έχει δύο, ακριβώς, θετικές ρίζες 1x , 2x με 1x < 2x iv) Να δείξετε ότι η εξίσωση
1 2
2 ( ) 1 2 ( ) 1
1
g a g
x x x x
 
 
 
, όπου α, β>0 και α, β  1, έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο ( 1x , 2x )