1. Polinomios
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Universidad de Ciencias y Humanidades
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2. Constantes y variables
Algunos conceptos b´sicos asociados al ´lgebra son:
a a
Constante: es cualquier n´mero. Este n´mero debe estar en un
u u
conjunto determinado.
1 √
Ejemplos: 1; − 3; ; 2009; 3; . . .
2
Constantes matem´ticas famosas:
a
π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993 . . .
e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369 . . .
γ = 0.5772156649015328606065120900824024310421593 . . .
φ = 1.618033988749894848204586834365638117720 . . .
Variable: es un s´
ımbolo (letra), y representa un n´mero de un
u
conjunto num´rico determinado.
e
Ejemplo: Sea x ∈ N, entonces:
x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = 6 ∨ x = 10 ∨ . . .
Luego, x es una variable.
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3. Expresi´n matem´tica
o a
Cualquier combinaci´n de n´meros y letras enlazadas por las
o u
diferentes operaciones matem´ticas se denomina una expresi´n
a o
matem´tica.
a
Ejemplos:
1 3x − 5
√
2 3x − 5
√
3 sen( 3x − 5)
√
4 2ax 3 − n 5 y + 1 − mx
5
5 x 2 + 2y + −3
z
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4. Notaci´n matem´tica
o a
La representaci´n simb´lica que nos permite reconocer cuales son
o o
las variables de una expresi´n matem´tica se llama notaci´n
o a o
matem´tica.
a
Ejemplos:
1 P( x ) = 3ax 2 − 5x + m
variable
2 Q( x; y ) = 2xny 2 − 3x 7 b 2 + y 4 + 1
variables
3 R√
3 = x 4 − x 3 + mx 2 + n2 x − 2 + c
( x − 1)
variable
4 f(2x − 3 ) = ax 2 − 3x 5 + 7kx − r
variable
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5. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
Exprese el per´
ımetro y el ´rea de una cancha de futbol.
a
Supongamos que mide x metros de largo e y metros de ancho,
tenemos que:
ımetro =2x + 2y
Per´
´
Area =x.y
Con el lenguaje algebarico las informaciones se expresan de forma
m´s sencilla.
a
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6. Frases en lenguaje algebraico
Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico
1 El triple de un n´mero: 3x
u
2 El cuadrado de la suma de dos n´meros: (a + b)2
u
3 Dos n´meros naturales consecutivos: n, n + 1
u
4 Hoy tengo 20 a˜os. ¿Cu´nto tendr´ cuando pasen x a˜os?:
n a e n
20 + x
5 Hoy tengo 20 a˜os. ¿Cuantos a˜os ten´ hace y a˜os?:
n n ıa n
20 − y
6 Un n´mero par: 2n
u
´ b.h
7 Area del tri´ngulo de base b y altura h:
a
2
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7. Al Juarismi
Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, conocido
generalmente como al-Jwarizmi matem´tico, astr´nomo y
a o
ge´grafo persa musulm´n chi´ vivi´ aproximadamente entre 780 y
o a ı, o
850.
Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al
muqabala, nuestras palabras ´lgebra, guarismo y algoritmo. De
a
hecho, es considerado como el padre del ´lgebra.
a
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8. Expresiones algebraicas
Una expresi´n algebraica es una combinaci´n de letras, n´meros y
o o u
n, √
signos de operaciones aritm´ticas +, −, ·, ÷, ( ) n . Las letras
e
suelen representar cantidades desconocidas y se denominan
variables o inc´gnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten
o
traducir al lenguaje matem´tico expresiones del lenguaje habitual.
a
Ejemplos:
1 Suma de cuadrados: a2 + b 2
2 El triple de un n´mero menos el doble de otro: 3x − 2y
u
3 Suma de varias potencias de un n´mero: x 4 + x 3 + x 2 + x
u
4 Suma de los n primeros n´meros naturales:
u
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + n =
2
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9. Valor num´rico (VN)
e
Si le asignamos valores a las variables de una expresi´n matem´tica
o a
y efectuamos las operaciones que se indican, el n´mero real que se
u
obtiene se llama valor num´rico de la expresi´n.
e o
Ejemplo 1:
Dada la expresi´n matem´tica P(x) = 3x − 1
o a
Si x = 1 → P(1) = 3.1 − 1 = 2
Si x = 2 → P(2) = 3.2 − 1 = 5
√ √ √
Si x = 2 → P(√2) = 3. 2 − 1 = 3 2 − 1
1 1
Si x = → P( 1 ) = 3. − 1 = 0
3 3 3
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10. Valor num´rico (VN)
e
Ejemplo 2:
x −y
Dada la expresi´n matem´tica T(x;y ) =
o a
x +y
2−1 1
Si x = 2 ∧ y = 1 → T(2;1) = =
2+1 3
0−4 −4
Si x = 0 ∧ y = 4 → T(0;4) = = = −1
0+4 4
1 − (−1) 2
Si x = 1 ∧ y = −1 → T(1;−1) = = , no existe
1 + (−1) 0
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11. Valor num´rico (VN)
e
Ejemplo 3:
Dada la expresi´n matem´tica R(x+1) = x 2 − x + 1, calcule el valor
o a
de R(0) .
Hacemos x + 1 = 0 → x = − 1
Luego, R(0) = (−1)2 − ( − 1) + 1 = 3
Ejemplo 4:
Dada la expresi´n matem´tica N( √x−1) = x 2 + x − 10, calcule el
o a 3
valor de N(1) .
√ √
Hacemos 3 x − 1 = 1 → 3 x = 2 → x = 8
Luego, N(1) = 82 + 8 − 10 = 62
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12. Polinomio
La expresi´n que enlaza variables y/o constantes mediante una
o
combinaci´n finita de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y/o
o
potenciaciones, en las cuales los exponentes de las variables son
enteros positivos se llama polinomio.
Ejemplos:
1 P(x;y ;z) = −2x 4 y 2 z 7 es un polinomio de un t´rmino
e
(monomio) con tres variables.
2 Q(x) = 5x 3 + 1 es un polinomio de dos t´rminos (binomio)
e
con una variable.
3 R(x;y ) = 2x 4 − y 9 + 7x es un polinomio de tres t´rminos
e
(trinomio) con dos variables.
4 M(x) = x 3 + x 2 + x + 5 es un polinomio de cuatro t´rminos.
e
5 N(x) = 2 es un polinomio constante de variable x.
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13. No son polinomios
1 P(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + · · ·
2 Q(x) = 3x 5 − x 2 + log x 4
3 R(x) = x 3 + x 2 + x −1 + 9
x2 + y3
4 M(x;y ) =
x4 + y5
√
5 N(x;y ) = x 4 + y 3 + x5 + 6
6 F(x;y ) = x 2 y 5 − 2y 12 + cos(x 2 + y 2 )
Son expresiones matem´ticas.
a
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14. Polinomios de una variable
Polinomio lineal
Forma general: P(x) = ax + b ; a = 0
donde
x es la variable.
a y b son los coeficientes.
a es llamado coeficiente principal.
b es llamado t´rmino independiente.
e
Su grado es 1.
Ejemplos:
1 P(x) = 5x − 2
2 Q(x) = 3x + 8
3 R(x) = x + 4
4 M(x) = 7x
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15. Polinomios de una variable
Polinomio cuadr´tico
a
Forma general: P(x) = ax 2 + bx + c ; a = 0
donde
x es la variable.
a, b y c son los coeficientes.
a es llamado coeficiente principal.
c es llamado t´rmino independiente.
e
Su grado es 2 (mayor exponente de la variable).
Ejemplos:
1 P(x) = 3x 2 − 2x + 5
2 Q(x) = x 2 + 3x − 1
3 R(x) = 6x 2 + 11
4 M(x) = 4x 2 − 3x
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16. Polinomios de una variable
Polinomio c´bico
u
Forma general: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ; a = 0
donde
x es la variable.
a, b, c y d son los coeficientes.
a es llamado coeficiente principal.
d es llamado t´rmino independiente.
e
Su grado es 3 (mayor exponente de la variable).
Ejemplos:
1 P(x) = 5x 3 − x 2 + 2x − 7
2 Q(x) = x 3 + 4x + 2
3 R(x) = 2x 3 + 6x 2 + 1
4 M(x) = x 3 − 1
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17. Polinomios de una variable
Polinomio de grado n
Forma general:
P(x) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an−1 x + an ; a0 = 0
donde
x es la variable.
a0 , a1 , a2 , ..., an son los coeficientes.
a0 es llamado coeficiente principal.
an es llamado t´rmino independiente.
e
Su grado es n (mayor exponente de la variable).
Ejemplos:
4 3
1 P
(x) = 5x − x + 2x − 3 es un polinomio de grado 4.
2 Q(x) = 2x 3 + 4x 2 + x 5 − 7x + 1 es un polinomio de grado 5
3 R(x) = x 7 + 2x 5 − 3x 10 + 9 es un polinomio de grado 10
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18. Propiedades
Consideremos el polinomio de grado n
P(x) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an−1 x + an ; a0 = 0
Luego, se cumple
1 Suma de coeficientes
n
ak = a0 + a1 + a2 + · · · + an = P(1)
k=0
2 T´rmino independiente
e
TI = an = P(0)
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19. Ejemplo 1
Dado el polinomio P(x) = (2x − 1)10 + 3(x + 1)4 − 2
calcule la suma de coeficientes y su t´rmino independiente.
e
Soluci´n:
o
Suma de coeficientes:
P(1) = (2.1 − 1)10 + 3(1 + 1)4 − 2
= (1)10 + 3(2)4 − 2
= 1 + 48 − 2 = 47
T´rmino independiente:
e
P(0) = (2.0 − 1)10 + 3(0 + 1)4 − 2
= ( − 1)10 + 3(1)4 − 2
=1+3−2=2
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20. Ejemplo 2
Dado el polinomio P( x−2 ) = x 3 + x 2 + x + 1
3
calcule la suma de coeficientes y su t´rmino independiente.
e
Soluci´n:
o
Suma de coeficientes: P(1)
x −2
Hacemos =1→x =5
3
Luego, P(1) = 53 + 52 + 5 + 1 = 156
T´rmino independiente: P(0)
e
x −2
Hacemos =0→x =2
3
Luego, P(0) = 23 + 22 + 2 + 1 = 15
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21. Cambio de variable
Las variables de un polinomio (o expresi´n algebraica) pueden ser
o
sustituidas por cualquier otra variable o polinomio, quedando el
polinomio en t´rminos de la nueva variable.
e
Ejemplo 1:
Dado el polinomio P(x) = 3x − 2; cambiemos su variable x por
otras variables.
Si x <> y → P(y ) = 3y − 2
Si x <> z → P(z) = 3z − 2
Si x <> 2t → P(2t) = 3.2t − 2 = 6t − 2
Si x <> x + 1 → P(x+1) = 3(x + 1) − 2 = 3x + 1
Si x <> x 2 → P(x 2 ) = 3x 2 − 2
Si x <> 2x − 1 → P(2x−1) = 3(2x − 1) − 2 = 6x − 5
Si x <> P(x) → P(P(x) ) = 3P(x) − 2
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22. Aplicaciones
x2 − y2
1 Dada la expresi´n matem´tica P(x;y ) =
o a
x2 + y2
halle el valor de P(√2+1;√2−1)
2 Dados los polinomios f(x−2) = x 2 + 2 ∧ g(x+2) = x 2 − 2
Si h(x) = f(x+1) + g(x−1) , calcule el valor de h(4) .
3 Si P es un polinomio lineal que verifica P(x+1) − P(x) = 2
calcule su coeficiente principal.
4 Si P(x) es un polinomio m´nico de segundo grado, cuyo
o
t´rmino independiente es 5 y la suma de sus coeficientes es
e
igual a 3, calcule el valor de P(−1) .
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